阿基米德折弦定理

1.(2025?成都自主招生)在QO中4B=AC,順次連接A、B、C.

(1)如圖1,若點(diǎn)M是4C的中點(diǎn)，且MN//AC交8c延長(zhǎng)線,于點(diǎn)N,求證：MN為。0的切線;

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接MC,過(guò)點(diǎn)A作"于點(diǎn)尸，若3尸=a,MP=b,CM=c,

則〃、b、c有何數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖3,當(dāng)N3AC=6O°時(shí)，E是4c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。是線段4?上一點(diǎn)，且4D=CE,若跳：=5,

AA￡F的周長(zhǎng)為9,請(qǐng)求出右但.的值？

2.(2024秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖1,和

是OO的兩條弦(即折線ABC是圓的一條折弦)，BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點(diǎn)，則從M向8c所作

垂線的垂足。是折弦48c的中點(diǎn)，即C￡)=AB+BZ).

(1)請(qǐng)按照下面的證明思路，等出該證明的剩余部分；

證明：如圖2,在C8上截取CG=AB,

連接M4,MB,MC^MG.

?.?A/是ABC的中點(diǎn),

MA=MC,

:.MA=MC.

(2)如圖(3),已知等邊AA4C內(nèi)接于0O,AB=2,。為0O上一點(diǎn)，"BD=45°,AE工BD,垂足

為E,請(qǐng)你運(yùn)用“折弦定理”求MDC的周長(zhǎng).

3.(2024秋?速鄴區(qū)期中)問(wèn)題提出

如圖①，A8、AC是OO的兩條弦，HC>44,M是BAC的中點(diǎn)MD±ACt垂足為D,求證：8=ZM+4?.

小敏在解答此題時(shí)，利用了“補(bǔ)短法”進(jìn)行證明，她的方法如下：

圖①圖②圖③圖④

如圖②，延長(zhǎng)C4至E,使AE=M,連接M4、MB、MC、ME、BC.

（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程.）

推廣運(yùn)用

如圖③，等邊AABC內(nèi)接于G）O,AB=1,。是AC上一點(diǎn)，ZABD=45°,AE工BD,垂足為E,則ABDC

的周長(zhǎng)是—.

拓展研究

如圖④，若將“問(wèn)題提出”中“M是BAC的中點(diǎn)”改成“M是3c的中點(diǎn)“，其余條件不變CD=BA+ADn

這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫出CD、BA、4）三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)

明理由.

4.(2025?深圳四模)先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題.

命題：如圖1,在正方形相(；/)中，已知：NHM=45”,角的兩邊AE'、/分別與AC、相交于點(diǎn)V、

F,連接EF.求證：EF=BE+DF.

證明思路：

如圖2,將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADE.-,AB=AD,44)=90。，/.AB與AD重

合.YZADC=ZB=90O,.?.N/T>E=180°,點(diǎn)尸、D、E是一條直線.

根據(jù)S4S,得證ABF,得EF=EF=ED+DF=BEtDF.

(1)特例應(yīng)用

如圖1,命題中，如果BE=2,DF=3,求正方形AAS的邊長(zhǎng).

(2)類比變式

如圖3,在正方形A8CZ)中，已知NE4尸=45。，角的兩邊、AF分別與BC、CZ)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)石、

F,連接寫出EF、BE、。產(chǎn)之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)柘展深入

如圖4,在0O中，A3、AD是GO的弦,且A8=4),M、N是0。上的兩點(diǎn)，NMAN=g/BAD.

①如圖5,連接MB、MD,MD馬AN交干點(diǎn)、H,求證：MH=BM+DH,DM上AN：

②若點(diǎn)C在4OM(點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、M重合)上，連接C4、8分別交線段AM、4V或其延

長(zhǎng)線于點(diǎn)石、F,直接寫出石尸、BE、之間的等式關(guān)系.

7.如圖，已知A、B、C、。四點(diǎn)順次在OO上，且A8=8O,BM_LAC于M,

求證：AM=IX：+CM.

8.（2025?東港區(qū)校級(jí)一模）如圖：已知點(diǎn)A、B、C、。順次在圓O上，AB=BD,BM±ACf垂足

為M.證明：AM=DC+CM.（阿基米德折弦定理）

7)

9.（2025??？谝荒＃締?wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德（"Mimedes,公元前287-公元前212

年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.如圖1,AA和

4c是0O的兩條弦（即折線A8C是圓的一條折弦），BC>AB,點(diǎn)M是A8C的中點(diǎn)，則從M向/3C所

作垂線的垂足。是折弦A/3C的中點(diǎn)，即8=/兄+的.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明8=/M+/M的部分

證明過(guò)程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=AB,連接M4、MB、MC和MG.

???M是ABC的中點(diǎn),

:.MA=MC,

又?.?4=/€>,BA=GC,

「.AM4B統(tǒng)81/CG,

:.MB=MG,

義?.?MD工BC,

:.BD=DG,

:.AB+BD=CG+DG^?CD=DB+BA.

【理解運(yùn)用】如圖1,AB>AC是0O的兩條弦，AB=4,AC=6,點(diǎn)M是A8C的中點(diǎn)，于

點(diǎn)。，則3Q=;

【變式探究】如圖3,若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷C。、DB、胡之

間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4,是。。的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)。圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足ND4C=45。，若

AB=6fOO的半徑為5,則AZ）=____.

各e不

圖1圖2圖3圖4

10.(2024?六合區(qū)模擬)我們知道，如圖1,/W是GX>的弦，點(diǎn)尸是AF8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作所_LA8于

點(diǎn)E,易得點(diǎn)E是A4的中點(diǎn)，即AE=￡B.0(9上一點(diǎn)C(AC>8C),則折線AC4稱為0O的一條“折

弦”.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在弦44的上方時(shí)(如圖2),過(guò)點(diǎn)”作E/FAC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中

點(diǎn)，即AE=EC+CB.

(2)當(dāng)點(diǎn)。在弦44的下方時(shí)(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由；

若不成立，那么AE、EC、C3滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.

(3)如圖4,已知RtAABC中，ZC=90°,ZZMC=30°,RtAABC的外接圓的半徑為2,過(guò)0。上一

點(diǎn)P作P”J_AC于點(diǎn)〃，交/W于點(diǎn)M,當(dāng)NRW=45。時(shí)，求A”的長(zhǎng).

B

O.

B

圖4

11.（2025秋?海州區(qū)校級(jí)期中）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1,A。，BD為OO的兩條弦（ADvBD）,點(diǎn)、C為AB的中點(diǎn)、,過(guò)。作CE_L4。，垂足

為E.

求i正：BE=DE+AD.

【問(wèn)題探究】小明同學(xué)的思路是：如圖2,在8E上截取8尸=4）,連接C4,CB,CD,CF......

請(qǐng)你按照小明的思路完成上述問(wèn)題的證明過(guò)程.

【結(jié)論運(yùn)用】如圖3,AABC是00的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)。是A8上一點(diǎn)，/4C￡）=45。，連接CD,

過(guò)點(diǎn)4作AE_LCO,垂足為E.若48=4四，則ABCO的周長(zhǎng)為.

【變式探究】如圖4,若將【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】中“點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧AC8的中點(diǎn)”，其

他條件不變，上述結(jié)論“的=QE+4>”還成立嗎？若成立，清說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出破、AD.

力￡之間的新等量關(guān)系，并加以證明.

12.(2024?深圳)如圖，AA/3c內(nèi)接于0O,BC=2,A4=AC,點(diǎn)。為AC上的動(dòng)點(diǎn)，且cos/A8C=噂

(1)求A4的長(zhǎng)度;

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦">的延長(zhǎng)線交4c延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,問(wèn)4NAE的值是否變化？若不變,

請(qǐng)求出4〉A(chǔ)E的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作A〃_L8O,求證：BH=CD+DH.

13.(2024?鄂州自主招生)如圖，點(diǎn)4、B、C、。四點(diǎn)順次在0O上，AB=BD,8WJ.4C于

小華對(duì)此進(jìn)行了研究：首先，他取MB。為正三角形，且AC為0O的直徑，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：AM=DC+CM;

接著，他取為等腰直角三角形，AC平分ZMD,試問(wèn)：4W=DC+CM還成立嗎？小華利用這種

情形還計(jì)算出tan22.5o=a-1,請(qǐng)問(wèn)他的結(jié)論正確嗎？另外，小華還猜想：一般地，AW=DC+CM恒

成立，請(qǐng)你幫助他證明或否定這個(gè)結(jié)論.

(對(duì)于前面兩問(wèn)只需作出肯定或否定的回答，無(wú)需證明)

14.（2025?青羊區(qū)校級(jí)三模）如圖所示，在G）O中，BC=2,AA=AC,點(diǎn)。為劣孤AC上的動(dòng)點(diǎn)，且

cosZABC=.

10

（1）求的長(zhǎng)度；

（2）求4〉A(chǔ)E的值；

（3）過(guò)A點(diǎn)作求證：BH=CD+DH.

15.（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1,AB和BC是OO的兩條弦（即

折線是圓的一條折弦），BC>AB,M是A4c的中點(diǎn)，則從M向/?C所作垂線的垂足。是折弦

的中點(diǎn)，即CD=A5+9/）.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明=的部分證明過(guò)程.

證明：如圖2,在C3上截取CG=AB,連接MA,MB,MC和MG.

???M是ABC的中點(diǎn)，

：.MA=MC

請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該注明的剩余部分;

實(shí)踐應(yīng)用：

（1）如圖3,已知AA4C內(nèi)接于0O,I3C>AB>ACt。是AC8的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得

圖中某三條線段的等量關(guān)系為—.

（2）如圖4,已知等腰AABC內(nèi)接于0O,AB=ACt。為題上一點(diǎn)，連接DA,ZACD=45°,AE±CD

于點(diǎn)E,M力C的周長(zhǎng)為4夜+2,BC=2,請(qǐng)求出AC的長(zhǎng).

16.如圖，已知圓內(nèi)接AWC中，AB>ACf。為ZMC的中點(diǎn)，DE_LAA于E,求證：8。?_4獷AC.

1.(2025?成都自主招生)在0。中A8=AC,順次連接4、B、C.

(1)如圖1,若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，且MV//AC交8c延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,求證：為的切線；

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接MC,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P,若BP=a,MP=b,CM=c,

則a、b、c有何數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖3,當(dāng)N8AC=6O°時(shí)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，。是線段上一點(diǎn)，且BD=CE,若BE=5,

A4斤的周長(zhǎng)為9,請(qǐng)求出五階的值？

圖3

【解答】解：(1)如圖1,連接OM,

?.?M是AC的中點(diǎn)，

：.OMLAC,

'：MNI/AC.

：.OMLMN,

???OW為0O的半徑，

二.MN為g的切線；

(2)如圖2,連接OM交AC于K,連結(jié)AM,

是AC的中點(diǎn),

?.AM=CM,

AM=CM=c，

VAPJLBM,

/.ZAPW=ZAPB=90。，

：.AP2=AM2-PM2=c2-b2.

AB2=AP2+BP2=c2-Z72+a2，

AC=AB=>Jc2-b2+a2,

???M是AC的中點(diǎn),

：.OM_LAC,

..AK=CK=-AC=-\lc2-b2+a2,

22

ZAPB=NCKM=90°,ZABP=AMCK，

.BPCK

~AB~CM'

:.BPCM=CKAB,

ac=；Vc2-b2+a2-Vc2-/72+a2，

2?c=c2-b2+a~,

/.(a-c)2-b1=0,

/.(a+b-c)(a-Z?—c)=0,

'/a+h-oOt

:.a-b-c=0,

.".ci—b+c;

(3)過(guò)點(diǎn)8作8H//4C,過(guò)點(diǎn)D作DH//BC,BH與DH交于點(diǎn)H,連接C〃,

貝lj/BDH=ZABC=60°,/DBH=ZACB=60°,

是等邊三角形,

:.BH=BD,NO4H=60°,

/.I3H=CE,NCBH=ZABC+NDBH=&甲+&)。=\2伊，

ZACE=1800-46=120°=NCB〃,AC=BCy

:.MCE"CBH(SAS),

；./CAE=/BCH,AE=CH,

?:DHHBC,DH=CE,

四邊形CEO"是平行四邊形，

：.CE/!EDyCH=ED,

:.ZBCH=/BED,CH=AE,

:.ZBED=ZCAE,AE=ED,

過(guò)點(diǎn)E作ET_L帥于點(diǎn)T,交AC于點(diǎn)L,連接幾，

貝ljAT"?！笰。，AL=DL,

2

?.?/44C=60°,

.?.AAZ兒是等邊三角形，

ZA￡D=60°=ZAC6,

:.DLHBC,即〃。與“在同一直線上,

，四邊形BCLH是平行四邊形，

：.CL=BH=BD=CE,LH=BC,

設(shè)CE=x,則CL=x,8C=AC=5-x,AD=DL=AL=AC-CL=5-2xAT=^-

f2

\-DF//CH，

LF_LDgpLF_5-2x

~CL~~LH'~T~5-x'

,Lr_(5^2x)xf

5-x

口

...AAF=A4Lr+,L7EF-=5u-2rx+.-(-5----2--x--)-x=--5-(-5-----2--x-),

5-x5-x

在RtABET中，ET=BEsin600=—c,

\-AE2=AT2+ET2,

AE2=(^y^)2+(孚)2=X2-5X+25,

延長(zhǎng)B”，ED交于點(diǎn)、R,則4HD=NFCE,ZR=/CFE,DH=CE,

:.^HDR^^CEF(AAS),

：.DR=EF,

5(5-2x)x+20

：.ER=ED+DR=AE+EF=9-AF=9-

5-x5-x

rCHIIED,

CHBC

"ER~~BE

…BC?5-xx+20x+20

二.CH=-----ER=------x--------=--------

BE55-x5

x+20

AE丁

0eCLM+20、，

x~-5x+25=(-------)~,

5

解得：丙=5(舍去)，x,=—

-8

4k_5(5-2幻25

/lD=5-2x—=-,Ar——10—2,

5-xq15

84□-----

8

則DA^=>4Dsin60o=-x^=—,

作DV/_L4于點(diǎn)M,

428

11155G15G15>/3

一二0必忱-Sw-—ADEF——AI'DM=-x-x-^------x2x—=^-

222422816

2.（2024秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出并證明了“折弦定理”.如圖1,鉆和8c

是0。的兩條弦（即折線A3C是圓的一條折弦），BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點(diǎn)，則從M向8c所作

垂線的垂足O是折弦A8C的中點(diǎn)，即C￡）=A3+8￡）.

（1）請(qǐng)按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

證明：如圖2,在C4上截取CG=/W,

連接MA,MB,MCfilMG.

???M是ABC的中點(diǎn),

/.MA=MC,

:.MA=MC.

（2）如圖（3）,已知等邊AABC內(nèi)接于OO,AB=2,。為0O上一點(diǎn)，ZABD=45°,AE1BD,垂足

為E,請(qǐng)你運(yùn)用“折弦定理”求ABDC的周長(zhǎng).

【解答】(1)證明：如圖2,在CA上截取CG=/\A,

連接以4,MB，MC-fllMG.

???M是ABC的中點(diǎn),

/.MA=MC,

:.MA=MC.

在AW朋和AMGC中

BA=GC

?.一ZA=ZC,

MA=MC

.?.AMBA=&WGC(%S),

:.MB=MG,

又?.?MD_LAC,

/.FiD—GD9

DC=GC+GD=AB+BD;

(2)解：如圖3,截取即=cr),連接AF,AD,CD,

由題意可得：AB=AC.ZABF=ZACD,

在AA印7和AACD中

AB=AC

ZABF=ZACD,

BF=DC

：.^ABF^ACD(SAS),

：,AF=AD,

\-AElI3Df

：.FE=DE,則CD+DE=BE,

\'ZABD=45°，

則ABDC的周長(zhǎng)是2+2夜.

A

3.（2024秋?建鄴區(qū)期中）問(wèn)題提出

如圖①，AB.AC是的兩條弦，AC>AB,M是的中點(diǎn)M7）_LAC,垂足為。，求證：CD=BA+AD.

如圖②，延長(zhǎng)C4至石，使AE=4?,連接MA、MB、MC、ME、BC.

（請(qǐng)你在下面的空白處完成小敏的證明過(guò)程.）

推廣運(yùn)用

如圖③，等邊AABC內(nèi)接于OO,AB=1,。是AC上一點(diǎn)，N4BD=45。，AE工BD,垂足為石，則MDC

的周長(zhǎng)是

拓展研究

如圖④,若將“問(wèn)題提出”中“M是6AC的中點(diǎn)”改成“何是叱的中點(diǎn)”,其余條件不變,"C7）=期十AZ）”

這一結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，寫出CO、BA、AD三者之間存在的關(guān)系并說(shuō)

明理由.

【解答】問(wèn)題提出：證明：如圖2,延長(zhǎng)C4至石，使連接M4、MB、MC、ME、BC,

???M是B4C的中點(diǎn)，

:.MB=MC,ZyWSC=ZA/C3,

?/Z/VMB=180°-ZMCB,

?.?N￡4M=180°—NCAM=180。一NMK,

:.^EAM=ZBAM

在AEW和NiAM中

AE=AB

?.一/EAM=NBAM,

AM=AM

:.AEAM(SAS),

;.ME=MC,

X-.-A/D1AC,

/.ED=CD，

DC=AD+AE=BA+AD;

推廣運(yùn)用：解：如圖3,截取3F=C￡>,連接AF,AD,CD,

由題意可得：AB=AC,ZABF=ZACD,

在AAM和AACD中

AB^AC

，ZABF=ZACD,

BF=DC

：.SABF^ACD(SAS),

：.AF=AD,

：.FE=DE.則a>+/M=4石，

\'ZABD=45°，

ABy/2

:.BE=V2=T

則ABDC的周長(zhǎng)是1+a,

故答案為：i+\/i；

拓展研究：不成立，CD、曲、AD三者之間的關(guān)系：AD=BA+CDt

證明：連接￡4,EF,ED,EB交AC于N,

是3C的中點(diǎn)，

4EW=NCEM,

/BEM=NCEM

在AEON和AEDC中，DE=DE

\ZEDN=ZEDC=90°

:.AEDN三AEDC

：.CD=ND、NECD=NEND,

?〕NECD=ZABE,/ENC=ZANB,

：.ZANB=ZABEf

/.AN=AB,

：.AD=AN+ND=BA+CD.

4.(2025?深圳四模)先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題.

命題：如圖1,在正方形A6CD中，已知：Z￡AF=45°,角的兩邊AE、4尸分別與3C、CD相交于點(diǎn)石、

F,連接斯.求證：EF=/3E+DF.

證明思路：

如圖2,將A4BE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至AADE.\AB=AD,ZfiAD=90°,「.AB與AD重

合.???NADC=N3=90。，「.N㈤E=180°,點(diǎn)尸、D>E是一條直線.

根據(jù)S4S,得證A4瓦'=得EF=EF=ED+DF=BE+DF.

(1)特例應(yīng)用

如圖1,命題中，如果的=2,DF=3,求正方形/WC力的邊長(zhǎng).

(2)類比變式

如圖3,在正方形A8CZ)中，已知ZE4F=45。，角的兩邊AE、AF分別與8C、CZ)的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)石、

F,連接￡F.寫出所、BE、止之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論.

(3)外展深入

如圖4,在OO中，A3、AD是QO的弦，且A8=4O,M、N是G)O上的兩點(diǎn)，AMAN=-ABAD.

2

①如圖5,連接MB、MD,MD與AN交于點(diǎn)、H,求證：MH=BM+DH,DM上AN;

②若點(diǎn)C在AOM(點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、M重合)上，連接C4、CQ分別交線段AM、4V或其延

長(zhǎng)線于點(diǎn)石、F,直接寫出石尸、BE、。歹之間的等式關(guān)系.

丁

圖4圖5

【解答】解：(1)如圖1,

____________D

由

圖1

設(shè)正方形/WCO的邊長(zhǎng)為X,貝1」有C￡=x-2,CF=x-3.

由材料可知：EF=BE+DF=：2+3=5.

在R3CEF中，

?/ZC=90°,

:.CE2+CF2=EF2.

(X-2)2+(X-3)2=52.

解得：x,=6,9=-1(舍去)

所以正方形八。8的邊長(zhǎng)為6.

(2)EF=BE-DF.

理由如下：

在8C上取一點(diǎn)廣，使得BF=DF.連接A9，如圖3.

?.?四邊形48CD是正方形，

..AB=AD,ZB=ZBAD=ZADC=9(f.

/.ZADF=90°=ZB.

在MBF和MDF中，

AB=AD

<NB=/ADF.

BF'=DF

...AABF'=AA。/(SAS).

:.AF=AF,ZBAF=ZDAF.

:.ZFAF=ZBAD=9Cf.

?.?NE4F=45。，

"AE=45°=NfAE.

在△尸A￡和AME中，

AFf=AF

</尸AE=NFAE.

AE=AE

:,/\FAE^AFAE(SAS).

：.FE=FE.

/.EF=FE=BE-BF=BE-DF.

(3)①延長(zhǎng)M1)到點(diǎn)“，使得DVT=8W,連接AAT,如圖5.

?/ZADM'+ZADM=180°,zS4BM+ZADM=180°，

：.ZABM=ZADM,.

在AABM和AAD”中，

AB=AD

NABM=NA?！?

BM=DM'

:2BMWMDM'(SAS).

「.AM=AM'ABAM=ADAM".

;.ZMAM'=^BAD.

?.?/MAN=L/BAD,

2

ZMAN=-ZMAM'.

2

：.ZMAN=ZMfAN.

'；AM=AM',ZM47V=NM'4V,

:.MH=M'H,AH_LMM.

:.MH=M'H=DM'+DH=BM+DH，DM±AN.

②I.當(dāng)點(diǎn)。在。NM上時(shí)，如圖6、7.

B

MM

圖6圖7

同理可得：EF=BE+DF.

II.當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí)或點(diǎn)C在高于點(diǎn)。時(shí)，如圖8.

5.（2024秋?廈門期末）己知A、B、C、。是0O上的四點(diǎn)，CD=BD,4c是四邊形的對(duì)角

線

（1）如圖1,連接“力，若/0）/3=60°,求證：AC是〃44的平分線；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)。作OEJ.AC,垂足為若AC=7,八B=5,求線段AE的長(zhǎng)度.

【解答】（1）證明：?.?8=80,

:.CD=BD,

???NCDB=60°,

.?.ABCD是等邊三角形，

CD=BC，

:.ZCAD=ZBAC,即AC是的平分線；

（2）解：連接8。，在線段CE上取點(diǎn)尸，使得=連接￡）「,

DELAC.

:.DF=DA,

;.ZDFE=ZDAE,

CD=BD,

:.CD=BD,功AC=/DCB，

：.NZ=N/W,

?.?四邊形48。是圓的內(nèi)接四邊形,

.?.ZZMfi+ZZ)CB=180o,

?.Z￡>FC+ZD/^=180°,

:.ZDFC=ZDABt

?.?在△€*￡>/和MD4中，

/DFC=NDAB

?NDCF=NDBA

CD=BD

「.△C。尸三△BDA(AAS),

：.CF=AB=5,

AC=7,AB=5,

6.(2024?咸寧模擬)小明學(xué)習(xí)了垂徑定理.，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究.

(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題.如圖1,在OO中，c是劣弧"的中點(diǎn)，直線COL4T

于點(diǎn)E,則他=8石.請(qǐng)證明此結(jié)論；

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦.如圖2,E4,總組成0O

的一條折弦.C是劣弧的中點(diǎn)，直線CDJLR1于點(diǎn)E,則4￡=尸石+尸8.可以通過(guò)延長(zhǎng)AP相

交于點(diǎn)尸，再連接4)證明結(jié)論成立.請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

(3)如圖3,PA.依組成G)O的一條折弦，若C是優(yōu)弧的中點(diǎn)，直線8_L小于點(diǎn)E,則AE,PE

與廢之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，不必證明.

D圖1圖2圖3

【解答】證明：(1)如圖1,連接4),BD,

?.9是劣弧4y的中點(diǎn)，

.\ZCD4=ZCDB,

'.'DE1AB,

;.ZAED=/DEB=900,

：.ZA+ZADE=90°,ZB+NCDB=90°,

:.ZA=/B,

「.AADB為等腰三角形，

?/CD1AB,

AE=BE;

(2)如圖2,延長(zhǎng)。3、AP相交于點(diǎn)尸，再連接AD,

,.?AZ)8P是圓內(nèi)接四邊形，

:.ZPBF=ZPAD、

?.?C是劣弧的中點(diǎn)，

:.NCDA=NCDF,

\'CDlPA,

.?.AA。為等腰三角形，

.\ZF=ZA,AE=EF,

/.ZPBF=ZF,

:.PB=PF,

:.AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

連接4),BD,AB,DB、AP相交于點(diǎn)尸，

???弧AC=弧3C,

ZADC=NBDC,

\-CDlAP,

:.ZDEA=ZDEF,ZADE=&DE,

?;DE=DE,

「.AZME=AD莊，

:.AD=DF,AE=EF,

：.ZDAF=ZDFAt

:.ZDFA=NPFB,"BD=ZDAP,

;.PF=PB,

：.AE=PE-PB.

7.如圖，已知A、B、C、。四點(diǎn)順次在OO上，且AB=BD,8M_LAC于M,

求證：AM=DC+CM.

【解答】證明：在M4上截取ME=MC,連接8E,如圖,

\'BMLAC,而M￡=MC,

;.BE=BC,

:.&EC=NBCE、

'：AB=BD,

:.ZADR=/BAD,

而ZADB=NBCE,

;4EC=/BAD,

又?.?NB8+Zfi4D=180。，N3E4+ZBCE=180°,

:.ZBEA=ZBCD.

而NBAE=NBDC,

所以MBE=ADBC(AAS),

:.AE=CDf

:.AM=!X：+CM.

8.（2025?東港區(qū)校級(jí)一模）如圖：已知點(diǎn)A、B、C、。順次在圓O上，AB=BD,BM1AC,垂足

為M.證明：AV=DC+CM.（E可基米德折弦定理）

【解答】證明：5C=BC,

:.ZBAyf=^BDCf又AB=BD,

將繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到AD8N,使ZE4M與4DC重合，如圖,

/.AABM二ADBN，

：.AM=DN,BM=BN,ZAMB=公，

?/_LAC,即/AMB=9()。,

「.Z/V=90。，

在直角MMC和直角A57VC中，

BM=BN

BC=BC'

；.MMC合岫NC,

:.CM=CN,

:.DN=CD+CN,

：.AM=DC+CM.

o

D

9.（2025??？谝荒＃締?wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德加edes,公元前287-公元前212

年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.如圖1,AA和

4c是0O的兩條弦（即折線43c是圓的一條折弦），BC>AB,點(diǎn)M是A8C的中點(diǎn)，則從M向4c所

作垂線的垂足。是折弦A3C的中點(diǎn)，即8=。/3+的.下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CZ?=/M+/M的部分

證明過(guò)程.

證明：如圖2,在CD上截取CG=AB,連接M4、誰(shuí)、MC和MG.

???M是ABC的中點(diǎn),

又BA=GC,

.?.AMABwAMCG,

:.MB=MG,

又

:.BD=DG,

：.AB+BD=CG+DG^CD=DB+8A.

【理解運(yùn)用】如圖1,AB.4c是QO的兩條弦，AB=4,AC=6,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MDJ.BC于

點(diǎn)、D,則BD=1;

【變式探究】如圖3,若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷C/）、DB、BA之

間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明.

【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4,AC是0O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)。圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NA4C=45。，若

A8=6,0。的半徑為5,則AD=.

【解答】解：【理解運(yùn)用工由題意可得a）=/M+M,即6=6-CD+/W,

/.CD=6-CD+4,

.,.CD=3，

;.BD=BC-CD=6-5=1,

故答案為：1;

【變式探究】DB=CD+BA.

證明：在08上截取皮?=曲，連接MA、MB、MC、MG,

,/M是弧AC的中點(diǎn)，

.\/W/=A7C,/MBA=/MBG,

又M13-MB,

bMABw^MGB(SAS),

:.MA=MG,

:.MC=MG,

又DM工BC,

:.DC=DG,

：.AB+DC=BG+DG,即DB=CD+8A;

【實(shí)踐應(yīng)用】

如圖，當(dāng)點(diǎn)R在8C下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)R作?！阓LAC于點(diǎn)Gj,

?.?8C是圓的直徑，

：.ZBAC=90°,

t.tAB=6f圓的半徑為5,

..AC=8,

ZD,AC=45°,

:.CG]+AI3-AG]，

AG|=g(6+8)=7,

/.AD,=772.

當(dāng)點(diǎn)A在8c上方時(shí)，NO24c=45。，同理易得A&=拒.

綜上所述：4)的長(zhǎng)為7五或起,

故答案為7庭或五.

10.(2024?六合區(qū)模擬)我們知道，如圖1,/W是G)O的弦，點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作所LAB

于點(diǎn)E,易得點(diǎn)E是■的中點(diǎn)，即AE=%?.0O上一點(diǎn)C(AC>3C),則折線ACB稱為的一條“折

弦”.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在弦/W的上方時(shí)(如圖2),過(guò)點(diǎn)F作EFLAC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E是“折弦ACB”的中

點(diǎn)，即AE=EC+CB.

(2)當(dāng)點(diǎn)C在弦回的下方時(shí)(如圖3),其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立說(shuō)明理由；

若不成立，那么4E、EC、8滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出，不必證明.

(3)如圖4,已知RtAABC中，ZC=90°,N"C=30。，RtAABC的外接圓的半徑為2,過(guò)OO上一

點(diǎn)P作尸”_LAC于點(diǎn)〃，交/W于點(diǎn)"，當(dāng)44B=45。時(shí)，求A”的長(zhǎng).

【解答】解：⑴如圖2,

在AC上截取AG=8C,連接E4,FG,FB,FC,

???點(diǎn)廠是A/4的中點(diǎn)，F(xiàn)A=FB、

FA=FB

在A7%G和AFBC中，《NE4G=/mC(同弧所對(duì)的圓周角相等)，

AG=BC

:.^FAG=^FBC(SAS)f

：.FG=FC,

\-FE±ACt

:.EG=EC>

.\AE=AG+EG=BC+CE;

(2)結(jié)論4E=EC+CB不成立，新結(jié)論為：CE=BC+AE,

理由：如圖3,

在C4上截取CG=C3,連接E4,FB,FC,

?.?點(diǎn)/是Aq的中點(diǎn),

:.FA=FB,FA=FB,

:.ZFCG=/FCB,

CG=CB

在AFCG和\FCB中，Z-FCG=/FCB,

FC=FC

/.AFCG=AFCB(SAS),

;.FG=FB,

:.FA=FG,

?/FE-LAC,

/.AE=GE,

:.CE=CG+GE=BC+AE;

(3)如圖3,

在RtAABC中，AB=2OA=4,N班C=30°,

BC=-AB=2fAC=2x/3,

2

當(dāng)點(diǎn)尸在弦4?上方時(shí)，

在C4上截取CG=C8,連接小，PB,PG,

?.?44CB=90。，

二.AB為0O的直徑,

NA依=90°,

?.?N/<4^=45u,

：.^PBA=45°=ZPABf

:.PA=PB,4CG=/PCB,

CG=CB

在APCG和APCB中，<ZPCG=NPCB,

PC=PC

:ZCG三&FCB(SAS),

:.PG=PB,

:.PA=PG,

\-PHlACf

:.AH=GH,

AC=A1I+GH+CG=2AH+BCf

2x/3=2AH+2,

AH=y/3-\,

當(dāng)點(diǎn)尸在弦AB下方時(shí)，如圖5,

在AC上截取AG=4C,連接以，PB,PC,PG

?.?4CB=90。，

.?.AB為的直徑，

.-.Z4PB=90°,

\'ZPAB=45°,

.\ZPfiA=45°=Z^4B,

：.PA=PB,

AG=BC

在MAG和AP8C中，-N/MG=NPBC(同弧所對(duì)的圓周角相等)，

PA=PB

:MAG三APBC(SAS),

;.PG=PC,

\'PHlACf

:.CH=GH,

...AC=AG+GH+CH=BC+2CH,

:.2&=2+2CH,

:.CH=6-1,

:.AH=AC-CH=2>/3-(43-\)=x/3+\f

即：當(dāng)448=45。時(shí)，A”的長(zhǎng)為行-1或G+l.

11.（2025秋?海州區(qū)校級(jí)期中）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，AD,8。為的兩條弦（AD<A0,點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過(guò)C作CE_L3O,垂足

為E.

求證：BE=DE+AD.

【問(wèn)題探究】小明同學(xué)的思路是：如圖2,在8E上截取連接C4,CB,CD,CF.

請(qǐng)你按照小明的思路完成上述問(wèn)題的證明過(guò)程.

【結(jié)論運(yùn)用】如圖3,AABC是OO的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)。是/W上一點(diǎn)，ZACD=45°,連接班>,CD,

過(guò)點(diǎn)A作AF_LC。，垂足為E.若A6=4右,則她8的周長(zhǎng)為_(kāi)8十4&

【變式探究】如圖4,若將【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】中“點(diǎn)C為A3的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)C為優(yōu)弧AC8的中點(diǎn)”，其

他條件不變，上述結(jié)論“破=OE+4>”還成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)寫出跖、40、

/比之間的新等量關(guān)系，并加以證明.

【解答】解：【問(wèn)題探究】如圖2,在8E上截取斯=4),連接C4,CB,CD,CF,

??,點(diǎn)、C為AB的中點(diǎn),

AC=BCf

AC=BC,

由圓周角定理得，ZDAC=ZDBC，

在S4C和AF8C中，

AD=BF

?ADAC=ZFBC,

AC=BC

:.ADAC"FBC(SAS)

:.CD=CF,又CE工BD,

；.DE=EF,

BE=EF+BF=DE+AD;

【結(jié)論運(yùn)用】連接相>，在CE上截取B=4￡>,連接A77,

由【問(wèn)題探究】可知，AD/W=AMC,

:.AD=AF,

?.?AAJLC/J,

：.DE=EFf

：.EC=EF+CF=DE+BDf

:.DB+DC=2EC,

在RtAAEC中，ZACE=45°,

72

:.EC=—AC=4

2t

「.AfiCD的周長(zhǎng)=OB+OC+BC=8+4上，

故答案為：8+4x/2;

【變式探究】結(jié)論"BE=DE+AD”不成立，BE+AD=DE,

理由如下：在線段DE上截取OF=AD,連接C3、CF、CD、C4,

,??點(diǎn)C為優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)”,

AC=BC，

：.AC=CB,ZADC=4BDC,

在AADC和AFDC中，

DA=DF

<ZADC=NFDC,

DC=DC

:.MDC=AFDC(SAS)f

;.CA=CF，

?.?C4=C8，

:.CF=CB,又CE1BD,

；.BE=EF,

:.DE=DF+EF=13E+AD.

12.(2024?深圳)如圖，A43C內(nèi)接于BC=2,=,點(diǎn)。為AC上的動(dòng)點(diǎn)，且cos/48C=嚕.

(1)求的長(zhǎng)度；

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦4)的延長(zhǎng)線交4c延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,問(wèn)ADAE的值是否變化？若不變,

請(qǐng)求由的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作47_L30,求證：BH=CD+DH.

?.A8=AC,4W_L8C,BC=2BM,

:.CM=-BC=\,

2

?“0S4*也=亞,

AB10

在RlAAMB中，BM=1,

(2)連接DC,

\'AB=AC,

;.ZACB=ZABC,

?.?四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,

...ZADC+ZA?C=180°,

Z4CE+ZACT=180°,

:.ZADC=ZACE,

?.?NC4E公共角，

/.AEAC^ACAD,

?-AC=AE，

ADAC

：.ADAE=AC2=\O；

(3)在A/)上取一點(diǎn)N,使得BN=CD,

在和AACD中

AB=AC

?Z3=Z1,

BN=CD

:.AABN^^ACD(SAS)f

AN=ADf

\AN=AD1AH1I3D,

：.NH=HD,

?.BN=CD,NH=HD,

:.BN+NH=CD+HD=BH.

13.（2024?鄂州自主招生）如圖，點(diǎn)A、B、C、。四點(diǎn)J順次在G）O上，AB=BD,4c于M,

小華對(duì)此進(jìn)行了研究:首先，他取MB。為正三角形，且AC為OO的直徑，計(jì)算后發(fā)現(xiàn)：AW=DC+CM;

接著，他取AAE）為等腰直角三隹形，AC平分ZaM）,試問(wèn)：AM=DC+CM還成立嗎？小華利用這種

情形還計(jì)算出tan22.5o=尤-1,請(qǐng)問(wèn)他的結(jié)論正確嗎？另外，小華還猜想：一般地，AM=DC+CM恒

成立，請(qǐng)你幫助他證明或否定這個(gè)結(jié)論.

（對(duì)于前面兩間只需作出肯定或否定的回答，無(wú)需證明）

【解答】解：（1）成立.在M4上截取ME=MC,連接破，如圖,

B

?.-BMLAC.而=

/.BE=BC,

:.ZBEC=ZBCE,

AB=BD,

.\ZADB=ZBAD,

而ZAD8=N8CE,

:.ZBEC=ZBAD,

又；ZBCD+ABAD=180。，NBEA+ZBCE=180°,

:"BEA=4BCD,

而/BAE=NRDC,

所以AA3E=ADBC(AAS),

/.AE=CD,

:.AM=DC+CM.

(2)結(jié)論正確.

則BM=CM=g〃,

理由：如圖，當(dāng)A48D是等腰直角三角形時(shí)，設(shè)8c=CZ)=/〃

2

/.AM=CD+CM=m+—m,

2

0

E>44—m

二.tanZBAM=—=—^-^=x/2-l,

AMV2