2026年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破一二次函數(shù)與三角形

1.如圖，拋物線y=Q-+以+C（Q工0）與y軸交于點(diǎn)C（0,4）,與工軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（-2,0）,拋物線的對(duì)稱軸％=1與拋物線交于點(diǎn)D,與直線交于點(diǎn)E.

（I）求拋物線的解析式：

（2）若點(diǎn)F是直線FC卜方的拋物線卜的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F使四邊形力。股?的面積最大,若

存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：

（3）探究對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,C,A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存

在，請(qǐng)求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.如圖，拋物線y=42-4工+6與x軸交于4B兩點(diǎn)（力在8的左邊），與y軸交于點(diǎn)C,連接4C,

（1）求證；△OBC是等腰直角三角形.

（2）連接DC,如圖1,若BC平分乙4CD,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

（3）如圖2,若點(diǎn)。在線段BC的下方拋物線上一點(diǎn)，畫(huà)DE_LBC于點(diǎn)E.

①求OE的最大值.

②在線段CE上取點(diǎn)F,連?？譕F,若乙W=且點(diǎn)C關(guān)于直線OF的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在拋物

線上，求點(diǎn)。的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出答案）.

3.如圖1,拋物線y=-％2+取+。與*軸相交于點(diǎn)人、點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,對(duì)稱軸為

直線x=l,交x軸于點(diǎn)D,頂點(diǎn)為點(diǎn)E.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)連接AC,CE,AE,求△ACE的面積;

(3)如圖2,點(diǎn)F在y軸上，旦OF=VJ,點(diǎn)N是拋物線在第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且在拋物線對(duì)稱

軸右側(cè)，連接ON交對(duì)稱軸于點(diǎn)G,連接GF,若GF平分/OGE,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

4.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(-2,0),C(0,-3)兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線％

(2)若直線y=kx-5與拋物線交于點(diǎn)M,N,交x軸于點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)P,連接CN,且

1

tan/OPM=y

①求^CMN的面積；

②在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)一是E,使E,C,N,M四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)

出點(diǎn)E的坐標(biāo).

5.如圖，已知拋物線y=—(%+1)2+4與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C.

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,判斷aACM的形狀.

(3)在拋物線是否存在一點(diǎn)P,使AP/IB面積為8,若存在，直接寫(xiě)出總P的坐標(biāo)；不存在，說(shuō)

明理由.

6.二次函數(shù)丫=。工2+以+4(a/0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,0)、B(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P

為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC,交于點(diǎn)Q.過(guò)點(diǎn)P作PD_Lx軸于點(diǎn)D.

(2)連接BC,當(dāng)NDPB=2NBCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；

(3)請(qǐng)判斷：器是否有最大值？如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.如圖，拋物線y=Q/+3X+C(Q工0)與x軸交于點(diǎn)4(一2,0)和點(diǎn)B,與'軸交于點(diǎn)C(0,8),點(diǎn)P

為直線8c上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP,PB,直線BC與拋物線的對(duì)稱軸，交于點(diǎn)E.

（1）求a、b的值；

（2）如圖1,點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作尸0||y軸交線段48于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3線段

PD的長(zhǎng)為d,求d與t的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量I的取值范圍）；

（3）如圖2,在（2）的條件下,連接CD.過(guò)點(diǎn)A作4/?ICO于點(diǎn)F,AE=CD,過(guò)點(diǎn)E作/?G」一

AB于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GHIIDP交x軸于點(diǎn)H,連接尸”、F0,若NHF。=90。，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.如圖，拋物線的頂點(diǎn)為4（2,1）,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求△408的面積；

（3）若點(diǎn)P（m,—m）（m工0）為拋物線上一點(diǎn)，求與P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

11.如圖，二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)/（一3,0）,B（l,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,點(diǎn)C,D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B,D,

（I）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若直線80與y軸的交點(diǎn)為E點(diǎn)，連接40,AE,求A40E的面積；

（3）直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

12.如圖1,已知拋物線y=/+取+「經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,它的對(duì)稱軸是直線x=2,動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂

點(diǎn)A出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為￡秒，連接0P并延長(zhǎng)交

拋物線于點(diǎn)B,連接。4,AB.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)△40B為直角三角形時(shí)，求t的值；

（3）如圖2,OM為△/lOB的外接圓，在點(diǎn)戶的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請(qǐng)你探究:

在iWtW5時(shí)，求點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度.

答案解析部分

1.【答案】（I）解：???拋物線、=。/+以+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（0,4）、0）,且對(duì)稱軸為直線x=l.

fc=4

.14a-2b+c=0

l-卷=1

解得仁=?’

Ic=4

二拋物線的解析式為2

y=—5乙X4-x+4.

(2)解：存在，理由如下：

如圖1,作軸于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,設(shè)F(x,-1x2+x+4),

乙

???點(diǎn)8與點(diǎn)力(一2,0)關(guān)于直線工=1對(duì)稱，

:.B(4,0),AB=4+2=6,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+4,則4k+4=0,

解得k=—l,

y=-x+4,

G(x,—x+4)?

FG--^x2+%+4-(-x+4)=-1x2+2%,

22

:.SAFBC=\OH,FG+^BH?FG=/x4(-1x+2%)=-x+4x,

S四邊形SABFC=SAFBC+S/A8c=—/+4x+2、6x4=-(X-2)2+16,

四邊形技大

??.當(dāng)尤=2時(shí),S3ABFC=\6,F(2,4),

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(2,4)，四邊形/8FC的面積的最大值是16.

(3)解：存在，設(shè)P(l,m),

v4(-2,0),C(0,4),

???AC2=224-42=20,PA2=m2+(1+2)2=m2+9,PC2=(m—4)2+I2=m2—8m+17?

當(dāng)P4=PC時(shí),則/+9=m2-87n+17,

解得m=1,

???戶1(1,1);

當(dāng)PC=4C時(shí)，則機(jī)2一8巾+17=20,

解得7nl=4—V19?m2=4+A^19?

P2(l,4-V19),P3(l,4+719);

當(dāng)P4=4C時(shí)，則m2+9=20,

解得機(jī)】=VTT,m，2=—VTT?

d),P5(I,

???綜上所述，p點(diǎn)的坐標(biāo)(1,D或(1,4一a?)或(1,4+71可或(1,VH)或(1,-Vil).

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；等腰三角形的性質(zhì)；直角坐

標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式

【解析】【分析】(1)將A(-2,0)、C(0,4)、對(duì)稱軸x=-/二l代入y=ax?+bx+c中求出a、b、c

的值，據(jù)此可得拋物線的解析式；

(2)作FHJ_x軸于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)G,設(shè)F(x,-1x2+x+4),易得B(4,0),AB=6,利用待定

系數(shù)法求出直線BC的解析式，得到G(x,-x+4),表示出FG,根據(jù)S四邊形ABFC=SAFBC+SAABC表示出

S啦彩ABFC,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答；

(3)設(shè)P(I,m),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得AC2、PA2、PC2,然后分PA=PC、PC=AC、PA=AC,

求出m的值，據(jù)此可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.【答案】(1)證明：令％=0,可得y=義/-4工+6=6,

令y=0,可得-4%+6=0,

解得勺=2,M=6,

A.4(2,0),8(6,0),C(0,6),

：.OB=6,OA=2,OC=6,

*：OB=OC=6,Z-BOC=90°,

???△80C為等腰直角三角形

(2)解：過(guò)點(diǎn)4作4E1交8c于點(diǎn)E,交CD于F,連接BF,如圖,

???△80C為等腰直角三角形，A9=2,

：.AB=6-2=4,4ABE=45°,

V.4E1BC,

是等腰直角三角形，

-AE=EB=§AB=2企，

平分乙4c0,

：.LACB=乙FCB,

即根據(jù)“三線合一”可知：AE=EF=2a,即4尸=4&,

=>JEF2+EB2=4,

：.AF2=AB2+BF2,

???A4尸8是等腰直角三角形,即8FJL0B,

???F(6,4)，

，利用待定系數(shù)法可得直線C尸的解析式為：y=-ix+6,

y=-o1%4「-6

聯(lián)立｛]3

y=尹2-4x4-6

22

解得郎鼠（舍去）,^2=~3~

32'

1^2=-9-

，D(竽，韻;

(3)解：VS(6,0)，C(0,6)，

???利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式為：y=-〉+6,

①設(shè)過(guò)點(diǎn)。的坐標(biāo)為Q,1X2-4X+6),過(guò)點(diǎn)0與直線BC平行的直線解析式為y=-％+6,過(guò)D點(diǎn)

作y軸的平行線交BC于點(diǎn)P,如圖，

y=-x+b

聯(lián)立12可得5/-3x+6—6=0,

y=2~4A%4-6/

?=(-3)2-4x1x(6-b)=0,

3

b=

2,

—3x4-=0’

:?解得=x2=3,

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,-|),根據(jù)DPIIOC可得P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3,

即可得P(3,3),

，當(dāng)OE有最大值時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,-|),P(3,3),

即：po=_%+6一(1x2-4%+6)=-1x2+3x,

當(dāng)T=3時(shí)，DP=之,

,：DP||OC,

J.LDPE=乙OCB=45°,

VDE1BC,

???△PDE為等腰直角三角形，

?*DE=當(dāng)DP—?\/2?

41,

???此時(shí)。"的最大值為微傳

②D(2,0)

【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】ft?：(3)②設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)T(且點(diǎn)T在拋物線上)，則有OF垂直

平分線段CT,即7。=0C=6,

由圖可知拋物線y=：/—4%+6上除點(diǎn)C、點(diǎn)B夕卜，再無(wú)其他點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為6,

???點(diǎn)、T與點(diǎn)B重合，此時(shí)對(duì)稱軸OF即為R￡△BOC斜邊的中線，

即點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，

過(guò)A點(diǎn)作4G_L8C于G點(diǎn)，連接FA,

7.4(2,0),8(6,0),C(0,6),△BOC為等腰直角三角形,

：,0B=6,0A=2,0C=6,且可得△AG8為等腰直角三角形，

-*-DC=6魚(yú)，AG=GB=24

?'-OF=BF=CF=:BC=3vL

工FG=BF-GB=6CG=BC-GB=4&，

??tsnz.Cri4F=■YF=—產(chǎn)=不，tanz?4CB==—產(chǎn)=方，

AG2722CG4722

tanz.GAF=tanz>力C8,

C.LGAF=乙ACB,

此忖若D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則E點(diǎn)與G點(diǎn)重合，滿足4ED"=4108,

此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,0):

若D點(diǎn)不與A點(diǎn)重合：

點(diǎn)F為定點(diǎn)(BC中點(diǎn))，且F點(diǎn)在線段AE上，即：CE>CF，

第一種情況：當(dāng)D點(diǎn)從A點(diǎn)往C點(diǎn)靠近時(shí)，E點(diǎn)也會(huì)逼近F點(diǎn)，

此時(shí)形成的角々EDF會(huì)越來(lái)越小，

???即不存在乙EDF=乙4CB的情必

第二種情況：當(dāng)D點(diǎn)從A點(diǎn)往B點(diǎn)靠近時(shí)，DF與BF的夾角/DF8將越來(lái)越小，

則在Rt△。尸8的另一個(gè)銳角4EDF會(huì)越來(lái)越大，

???即不存在NEDF=乙4CB的情況；

綜匕D點(diǎn)與A點(diǎn)重合滿足要求，即。（2,0）.

【分析】（1）令解析式中x=0及y=0,分別算出對(duì)應(yīng)的y及x的值，即可得出點(diǎn)A、B、C的坐

標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出OB、OA、OC,即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC交BC于點(diǎn)E,交CD于F,連接BF,易得△AEB是等腰直角三角形，

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AE=EB=2或，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AF的長(zhǎng)，利用勾股定理算出

BF,進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出4AFB是等腰直角三角形，且BF_LOB,從而得出點(diǎn)F的坐

標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，聯(lián)立直線CF與拋物線的解析式組成方程組，求解可得

點(diǎn)D的坐標(biāo)；

13）①利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，設(shè)過(guò)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（",1X2-4X+6）,過(guò)點(diǎn)D

與直線BC平行的直線解析式為y=-x+b,過(guò)D點(diǎn)作y軸的平行線交BC于點(diǎn)P,聯(lián)立兩函數(shù)解析

式可得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)該方程根的判別式的值為。求出b的值，從而即可求出D及P

的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)C關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)T（且點(diǎn)T在拋物線上），則有OF垂直平分線段CT,即

TO=OC=6,由圖可知拋物線y=2/-4x+6上除點(diǎn)C、點(diǎn)B外，再無(wú)其他點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為6,

故點(diǎn)T與點(diǎn)B重合，此時(shí)對(duì)稱軸OF即為RsBOC斜邊的中線，即點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作

AGJ_BC于G點(diǎn)，連接FA,易得△AGB為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及銳角三

角函數(shù)的定義得NGAF=NACB,此時(shí)若D點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則E點(diǎn)與G點(diǎn)重合，滿足

ZEDF=ZACB,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）；若D點(diǎn)不與A點(diǎn)重合：

點(diǎn)F為定點(diǎn)（BC中點(diǎn)），且F點(diǎn)在線段AE上，即CE>CF,第一種情況：當(dāng)D點(diǎn)從A點(diǎn)往C點(diǎn)靠

近可，E點(diǎn)也會(huì)逼近F點(diǎn)，此時(shí)形成的角NEDF會(huì)越來(lái)越小，即不存在NEDF二NACB的情況；第

二種情況：當(dāng)D點(diǎn)從A點(diǎn)往B點(diǎn)靠近時(shí)，DF與BF的夾角/DFB將越來(lái)越小，則在RgDFB的另

一個(gè)銳角NEDF會(huì)越來(lái)越大，即不存在/EDF=NACB的情況，綜上所述即可得出答案.

3.【答案】（1）解：???拋物線y=-x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,

令x=0,則c=3,

???對(duì)稱軸為直線x=l,

.bi

，b=2,

???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

(2)解：如圖1,AE與y軸的交點(diǎn)記作H,

由(1)知，拋物線的解析式為y=x2+2x+3,

令y=0,則-x，+2x+3=0,

Ax=-1或x=3,

AA(-1,0),

當(dāng)x=l時(shí)，y=-l+2+3=4,

AE(1,4),

???直線AE的解析式為y=2x+2,

AH(0,2),

ACH=3-2=1,

SAACE=lCH*|XE-XA|=ix1x2=i;

乙乙

(3)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)F作FP_LDE于P,則FP=1,過(guò)點(diǎn)F作FQ_LON于Q,

圖2

TGF平分NOGE,

AFQ=FP=1,

在RSFQO中,OF=V2,

根據(jù)勾股定理得,OQ=JoF2-FQ2=1，

???OQ=FQ,

AZFOQ=45°,

.,.ZBON=90o-45°=45°,

過(guò)點(diǎn)Q作QMJ_OB于M,OM=QM

AON的解析式為y=x①，

???點(diǎn)N在拋物線y=-x2+2x+3@匕

y=X

(y」+2、+3.

解得:由于點(diǎn)N在對(duì)稱軸x=l右側(cè)，所以舍去),

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(上鏟，上婪).

乙乙

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

【解.析】【分析】3)根據(jù)拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)可得c的值，進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱軸直線公式可得b的

值，從而即可求出拋物線的解析式；

(2)AE與y軸的交點(diǎn)記作H,首先求出A、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AE的解

析式，進(jìn)而即可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，最后根據(jù)S4ACE=1CH?|XE-XA|即可算出答案；

(3)過(guò)點(diǎn)F作FP_LDE于P,貝i」FP=l,過(guò)點(diǎn)F作FQ_LON于Q,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得

FQ=FP=1,由勾股定理算出OF、0Q的長(zhǎng)，貝IJOQ=FQ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及角的和差可

得NBON=45。，過(guò)點(diǎn)Q作QMJ_OB于M,OM=QM,易得ON的解析式是y=x,聯(lián)立直線ON與

拋物線的解析式，求解可得點(diǎn)N的坐標(biāo).

4.【答案】(1)解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

???對(duì)稱軸為直線x

?b_1

??一加一2'

/.b=-a,

/.y=ax2-ax+c,

將點(diǎn)A(-2,0),C(0,-3)代入,

.(■c=-3

??UQ+2Q+C=0'

(c=-3

解得〃1，

ta=2

Ay=1x2-ix-3；

(2)解：①y=kx-5與y軸的交點(diǎn)P(0,-5),

AOP=5,

VtanzOPM=

.1_OB

-2二而

AOB=5,

AB(1,0),

將B點(diǎn)代入y=kx-5,

/.|k-5=0,

Ak=2,

Ay=2x-5,

(y=2x-5

聯(lián)立方程組11

[y=2x2-2X-o3

解得『二3或

AM(4,3),N(1,-3),

VC(0,-3),P(0,-5),

???CP=2,

SACMN=SACPM-SACNP=)X2X4-ax2x1=3；

②存在，E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)或(?3,-9)或(3,3).

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)：銳角三角函數(shù)的定義：二次函數(shù)與一次函

數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：(2)②存在點(diǎn)E,使E,C,N,M四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，理由如下：

設(shè)E(x,y),

當(dāng)EC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

后里3解得6：3

???E(5,3)；

當(dāng)EM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),

f"+4=1解得儼=-3

(y+3=-3-3.1寸(y=-9

AE(-3,-9)；

當(dāng)EN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

⑶亂解得建

AE(3,3)；

綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,3)或(-3,-9)或(3,3).

【分析】(1)利用對(duì)稱軸求得b=F，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)①先求出直線的解析式，聯(lián)立方程組求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，再由SACMN=SACPM-SACNP求解即

可；

②設(shè)E(x,y),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分二種情況討論：當(dāng)EC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),可得

E(5,3)；當(dāng)EM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得E(-3,-9)；當(dāng)EN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

可得E(3,3).

5.【答案】(1)解：拋物線、=一。+1)2+4與乂軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)跳與y軸交于點(diǎn)C.

Vy=-(x+1)2+4=-x2-2x+3,

令尤=0,則y=3,

?"'(0,3)，

令y=0,

則-Q+1)2+4=0,

解得勺=1,%2=—3,

?；4(-3,0),8(1,0)

(2)解：???拋物線的頂點(diǎn)為M(—l,4),

如圖，連接AC,MC,AM,

V.4(-3,0),B(l,0),C(0,3)，

??OA=OC=3,OB=1,

???A40C是等腰直角三角形，

A.4C2=32+32=18,,

??陽(yáng)一1,4),

過(guò)點(diǎn)M作MD_Ly軸于點(diǎn)D,

=1,OD=4,

：.CD=OD-OC=1,

???△CMO是等腰直角三角形，

：,MC2=l24-l2=2,

V.4M2=22+42=20,

A.4M2=AC2+MC2,

???ZL4cM是直角三角形；

(3)解：P點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,4)或(-1+2&,-4)或(一1一2或，-4)

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】(3)解：存在.

設(shè)P(x,-%2-2x4-3)?

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，

面積為8,AB=OA+OB=4,

x4x(―%2-2x+3)=8,

整理得好+2%+1=0,

解得=外=-1，

???P（-L4）.

當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，

TAPAB面積為8,48=。4+。8=4,

尺X4XQ2+2X-3)=8,

整理得%24-2%-7=0,

解得=-1+2魚(yú)，x4=-1-2V2,

當(dāng)T=-1+2&時(shí)，y=-(-1+2企＞-2(-1+2V2)+3=-4.

當(dāng)x=-1—2迎時(shí)，y=-(-1-2V2)2-2(-1-2V2)+3=-4.

AP(-1+2V2,-4)或P(-l-2&,-4).

綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（―1,4）或（―1+2^2,—4）或（―1—2^2?—4）.

【分析】（1）將x=0代入解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將y=0代入解析式求出x的值，即可得到點(diǎn)

A、B的坐標(biāo)；

（2）連接AC,MC,AM,過(guò)點(diǎn)M作MOly軸于點(diǎn)D,先證明△CMO是等腰直角三角形，再結(jié)合

AM2=AC2+MC2,利用勾股定理的逆定理證明ZL4cM是直角三角形即可;

（3）設(shè)PQ,一％2_2%+3）,分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方

時(shí)，再分別求解即可。

6.【答案】（1）解：（1）由題意可得:

a?(-4)2+b-(-4)+4=0解得:(a=-1

a+匕+4=0U=-3

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2-3x4-4

（2）解：設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E,

VPD//y軸,

，乙0P8=乙OEB,

VZDPB=2ZBCO，

AZOEB=2ZBCO.

AZECB=ZEBC,

ABE=CE,設(shè)OE=a,則CE=4-a,

ABE=4-a,

在RtABOE中，由勾股定理喈BE2=OE2+OB2,

A(4-a)2=a2+I2

解得a=竽,

*e,E(0,,

設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y=kK+e(k手0)

..k.0+e=辛，,解得f=

I〃.1+0=0.(0=-g-.

?,?直線BP的表達(dá)式為”一導(dǎo)x+呈.

(3)解：設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N.

過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M.

x

由A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-4,0),(0,4)

可得AC所在直線表達(dá)式為y=x+4

???M點(diǎn)坐標(biāo)為(I,5),BM=5

由BM〃PN,可得△PNQS/XBMQ

.PQ_PN_PN

設(shè)尸(a。，一劭—3(ZQ+4)(-4VQ°V0)?則N(QQ>iZg+4)

2

...PQ_一說(shuō)一3。0+4-(。0+4)_-堤-400_-(a0+2)+4

QB~5-5一5，

???當(dāng)aQ=-2時(shí)，癌有最大值。.X

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,6).

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的實(shí)際

應(yīng)用-幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于a,b的方程組，解方程組

求出a,b的值，可得到二次函數(shù)解析式.

(2)利用平行線的性質(zhì)可證得/DPB=NOEB,利用三角形的外角的性質(zhì)去證明NECB=/EBC,利

用等角對(duì)等邊可得到BE=CE；設(shè)OE=a,則CE=BE=4-a,在RsBOE中,利用勾股定理可得到關(guān)于

a的方程，解方程求出a的值，可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；再利用待定系數(shù)法求出直線BP的函數(shù)解析式，

(3)設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N,過(guò)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M,利用點(diǎn)A,C的坐標(biāo)可求出

直線AC的函數(shù)解析式，利用點(diǎn)M的坐標(biāo)可求出BM的長(zhǎng)；由BM〃PN,可證得△PNQs^BMQ,

利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得比例式式；利用函數(shù)解析式設(shè)P(a0,-a02-3%十

4)(-4<a0<0)，則N(a0,劭+4),可得到器與ao之間的函數(shù)解析式，將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂

點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出器的最值及ao的值，同時(shí)可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

7.【答案】(1)解：將4(一2,0),C(0,8)代入y=Q/+3%+C,

?r4a-6+c=0

,,Ic=8'

解得卜=T，

Ic=8

?*?y=—^x2+3x+8

(2)解：令y=0,則一2一+3%+8=o,

解得：x=-2或x=8,

，B(8,0)，

設(shè)直線8c的解析式為y=kx+b,

.rb=8

??〔8k+b=0*

解得仁，

y=-x+8,

過(guò)點(diǎn)P作PGIIy軸交BC于G,

設(shè)P(t,—t2+3t+8)?則G(t,—t+8)?

PG——2t2+3t+8+t—8=一義/+4t,

:,S&CBP=/x8x(一④仔+4t)——2產(chǎn)+16t=-2(t—4)?+32?

，當(dāng)t=4時(shí)，4BCP的面積有最大值，最大值為32.

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面

積

【解析】【分析】(1)將A(-2,0)、C(0,8)代入尸ax2+3x+c中求出a、c的值，據(jù)此可得拋物線

的解析式；

(2)令y=0,求出x的值，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作

PG〃y軸交BC于G,設(shè)P(t,-lt2+3t+8),則G(t,-t+8),表示出PG,根據(jù)三角形的面積公式

可得S.CBP,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.

8.【答案】(1)解：如下圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE1%軸，垂直為E,過(guò)點(diǎn)A作4FJ.X軸，垂直為F,

???點(diǎn)4(3,4)

：.0A=5,AF=4,

???四邊形OABC為菱形,

：.0A=OC=BC=AB=5,BE=AF=4,CE=3,

?'-8(8,4),C(5,0)，

???點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)

???E(竽，2):

(2)解：①設(shè)AC：y=kx+mf把點(diǎn)4(3,4)和C(5,0)代入，

解得：k=—2,m=10?

Ay=-2x+10,

設(shè)B'(x,-2X+10),

TBE=B，E,

**[x—6.5)2++10—2)2=2.52，

解得x=4或工=5,

???B'(4,2)或8(5,0),

??,點(diǎn)D在A8上，

???設(shè)點(diǎn)O(m,4)，

?:BD=B'D,

J[m-4)24-(4-2)2=(8-m)2+(4-4下或(m-5)2+(4-0)2=(8-m)2+(4-4)2

解得m=芋或m=身，

???D號(hào),4)或。償，4).

②當(dāng)8,在48下方時(shí)，如下圖所示，連接OB,BB',

???四邊形。力8c是菱形，

:?乙OBC=乙BOC

???△88'。與48。。相似，

=(DB'B=乙OBC,

???。8與BB'重合，點(diǎn)8’在OB上

YBE=B'E

；?乙EBB'=乙EB'B=乙OBJ

(z.EBB=Z.BBD

7BB=BB，

LEB,B=Z.DBB

:?&BB'D=△BB'E,

：.DB=BE=B'E=B'D=2.5,

，四邊形B'EBO是菱形，

*,*點(diǎn)D,4)?

???勉物線、=Q/+bx+c過(guò)點(diǎn),4(3,4),E(苧,2),D號(hào),4),

16913,

4Q+~2~b+c=92

12111,.

-^-a+^b+c=4,

(9Q+3b+c=4,

解得Q=—g.

當(dāng)當(dāng)8,再AB上方時(shí)，如下圖所示，延長(zhǎng)交》軸于點(diǎn)F,

???△BB'O與A8。。相彳以，

:,乙DBB，=乙DB'B=乙OBC=乙BOC,

?，4B平行為軸，

:.U)BB，=乙OFB,

:.乙BOC=乙OFB,

：?0B=BF,

???點(diǎn)F(16,0),

設(shè)直線88'為y=b+b,代入F(16,0)和8(8,4)得

[16k+b=0

I8k+b=4'

解方程組得k=—J,b=8,

???直線3夕為y=-2％+8,

設(shè)B（幾，一4幾+8）,

?:BE=B'E=2.5

,d-竽＞+（-1n+8-2/=竽,

解得幾=8或幾=善,

當(dāng)n=8時(shí)，點(diǎn)8'（8,4）與點(diǎn)B重合,舍去,

當(dāng)月=爭(zhēng)時(shí)，點(diǎn)8,點(diǎn),給,

設(shè)點(diǎn)0（m,4）,

,:BD=BD

??[8-m）2=（普-m）2+（年-4）2>

解方程得m=學(xué)，

???D（旨，4），

拋物線y=。/+以+。過(guò)點(diǎn)4（3,4）,E（苧，2）,D（苧，4）,

16913,

4Q+~2~b+c=92

255J5一.

-a+-Tb+c=4,

（9Q+3b+c=4,

解得Q=

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離

公式

【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BE_Lx軸，垂直為E,過(guò)點(diǎn)A作AF_Lx軸，垂直為F,根據(jù)兩點(diǎn)間

的距離公式算出AF,進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得出B,C的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐

標(biāo)公式可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①求出直線AC的解析式為y=-2x+10,設(shè)B（x,-2x+10）,根據(jù)BE二BE建立方程，求解

得出x的值，從而即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)D（m,4）,由BD=BD可得m的方程，則D點(diǎn)坐標(biāo)可

求出；

②當(dāng)B，在AB下方時(shí)，如下圖所示，連接OB,BB',由題意可得若△BBD與△BOC相似，

△BBD是等腰二角形，則點(diǎn)B恰好落在線段。8上，證明△則BD=BE,可得點(diǎn)D

的坐標(biāo)，由物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A,E,D三點(diǎn)，由待定系數(shù)法可求出a的值；當(dāng)再AB上方

時(shí)，如下圖所示，延長(zhǎng)BB交x軸于點(diǎn)F,若△BBD與△BOC相似，可以推出NBOC=NOFB,根

據(jù)等角對(duì)等邊得OB=BF,從而可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BB，的解析式，根據(jù)直線

1

-n+

上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)設(shè)B(n,28)由BE=B,E=2.5建立方程，求解得n的值，進(jìn)而可求出B1

的坐標(biāo)，設(shè)D(m,4),根據(jù)BD=BD建立方程組，求解得出m的值，從而即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo),

由物線y=ax?+bx+c過(guò)點(diǎn)A,E,D三點(diǎn)，由待定系數(shù)法可求出a的值，綜上所述即可得出答案.

9.【答案】(1)解：???拋物線、=。/+以+3過(guò)8(-3,0)與C(l,0)兩點(diǎn)

.19a-3b+3=0

Q+匕+3=0

.(a=-1

?,U=-2

即Q=-1,b=-2

(2)解：

.*.y=x2—2x+3

當(dāng)x=0時(shí),y=3

A.4(0,3)

設(shè)直線AB：y=kx+b'

VB(-3,0)

?,/b=3

I-3k+b=0

./=1

f=3

直線48解析式為y=x+3

VDP||y軸，

，P、O的橫坐標(biāo)都為I

，p(￡,一￡2—2亡+3),0(3t+3)

.,"=一戶一2￡+3-(t+3)

二一產(chǎn)一3t(3)解：①作ELIOA于L,延長(zhǎng)PC交x軸于T

：.LAFC=乙AOC=90°

???乙1=z2

：,LEAL=乙DCT

V.4F=CD

△AEL=△CDT

：.EL=DT,AL=CT

VD(t,￡+3)

/.EL=t4-3,AL=CT=1—f

VOL=OA-AL=3-(<1-t)=2+t

，E(T-3,2+t)

②作EW||y軸交力B于W,交06于V,延長(zhǎng)GE交x軸于R

則”(一￡一3,一￡),K(-t-3,0),WE=-2t-2,WV=-t

由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)得：。4=OB

：,ZLARO=4S°.

C.LBWV=/.WEG=乙GRB=LABO=45°

：.WG=GE,WV=BV,GR=BG

???由勾股定理得：GW=^WE=-V2(t4-1)，BW=\[2WV=-V2t?

,BG=BW-GW=y/2

由勾股定理得：BR=y12BG=2

又點(diǎn)H為BR的中點(diǎn)，OB=3

，G(-2,1),R(-1,0),“(一2,0)

③延長(zhǎng)GE交x軸于R,連接DH、OE

VD(t,t+3),G(-2,1),F(-t-3,2+t),R(—1,0)

：,DG=ER,OR=GH=1,乙DGH=乙FRO=135°

A△DGH三△ER。

:?DH=EO,乙GDH=CREO

④連接AC

■:乙HFO=匕DFE=90°,

：.LDFH=Z.EFO

「EGLAB,AF1CD,^DAF=^EAG

：.^ADF=乙AEG,

：.^GDF=乙FER

,:4GDH=乙REO

：.LFEO=乙FDH,

'：DH=EO

:,&DHF三2EOF

：.DF=EF

V.4E=CD

A.4F=CF

C.LFAC=45°

R￡A/OC中，tan^OAC=1

?J

9：LBAO=Z.FAC=45°

：.LGAE=WAC

?rATEG1

-Zan^GAE=AG=3

即孕(—2—2)=|四

解得：￡=Y

."T,等）

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式：二次函數(shù)-動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

【解析】【分析】(1)將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=。*2+6%+3求出&、b的值即可；

(2)先求出直線AB的解析式，再求出p?,-t2-2t+3),。(3t+3),可得d=-/一2t+3-

(￡+3)=-t2—3t；

(3)分類討論，分別畫(huà)出圖形并求解即可。

10.【答案】(1)解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=2/+1,

;拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(0,0),

???把點(diǎn)。(0,0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，

可得：4a+1=0,

解得：Q=—/，

，二次函數(shù)解析式為：y=-1ix-2)2+l；

，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),

：.OB=4,AC=1,

的面積為：ix4x1=2:

(3)解：二,點(diǎn)P(m,—m)(m±0)為拋物線y=-/(%-2)2+1上一點(diǎn),

?，?-m=-/(m-2/+1,

解得：mi=0(舍去)，m2=8,

???P的坐標(biāo)為(8,-8),

???拋物線的對(duì)稱軸為直線％=2.

，P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,-8).

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次困數(shù)解析式；二次困數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=a(x-h)人2+k的性

質(zhì)

【解析】【分析】(1)此題給出了拋物線的頂點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法(頂點(diǎn)式法)求出拋物線的解析

式即可；

(2)過(guò)點(diǎn)A作AC_Lx軸交x軸于點(diǎn)C,連接OA、AB,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)

而根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可算出答案；

(3)將點(diǎn)P(m,-m)代入拋物線的解析式，算出m的值，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)拋物線的對(duì)

稱性可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

1L【答案】⑴解：把點(diǎn)4(-3,0),8(1,0)代入'=—/+"+c得：㈡工比；；二;，

解得：｛"=?,

Ic=3

???二次函數(shù)的解析式為y=-%2-2X+3：

(2)解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-x2-2x+3=3,

?"(0,3)，

???y=-X2-2x+3的對(duì)稱軸為直線X二一三|=一1,

?皿-2,3),

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b(k00),

代入B(L0),。(一2,3)得：｛盤(pán)"』3’

解得：卜廣二1,

Ib=1

，直線BO的解析式為y=-x+1,

把x=0代入y=-x4-1得，y=1,

???E(0,1),

;AB=1-(-3)=4,

:?S.DE=SxABD-S&ABE

=|x4x3-|x4xl=6-2=4?

J4

即△ADE的面積為4；

(3)x<-2或%>1

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：(3)一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)8(1,0),。(一2,3),

由函數(shù)圖象得：一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的X的取值范圍為％<-2或k>1.

【分析】(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入y=-x?+bx+c可得關(guān)于b、c的方程組，求解得b、c的值,

從而即可求出拋物線的解析式；

[2)利用解析式中的x=O,算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用拋物線的對(duì)稱軸直線公式

算出其對(duì)稱軸直線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解

析式，然后將x=0代入直線BD的解析式算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，從而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的

面枳計(jì)算公式，由SAADE=SAABD-SAABE計(jì)算即可得出答案；

[3)求一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍，從圖象來(lái)說(shuō)，就是求一次函數(shù)圖象在二次函

數(shù)圖象上方部分相應(yīng)的自變量的取值范圍，結(jié)合圖象即可得出答案.

12.【答案】(1