第3講力的合成與分解

■備知識梳理自主學習?息礎(chǔ)回扣

1.力的合成

(1)合力與分力

①定義；假設(shè)幾個力共同作用的效果跟某個力單獨作用的絲^相同，這一個力就叫作那

幾個力的合力,那幾個力國作這一個力的分力。

②關(guān)系：合力與分力是等效替代關(guān)系。

電教材鏈接?想一想人教版教材必修第一冊P72插圖,兩個人分別用力R、B提著一

桶水，水桶靜止；如圖乙所示，一個人單獨用力/提著同一桶水，水桶靜止。這種現(xiàn)象說明

什么？

水桶所受拉力示意圖

提示：兩個或者更多力的共同作用與一個力的單獨作用效果相同，體現(xiàn)了分力與合力的

等效性。

(2)共點力

幾個力如果都作用在物體的同一點，或者它們的作月線相交于一點，那這幾個力就是共

點力。如圖均為共點力。

(3)力的合成

①定義：求幾個力的合力的過程。

②運算法則

a.平行四邊形定則：求兩個互成角度的分力的合力，如果以表示這兩個力的有向線段為

鄰邊作平行四邊形,這兩個鄰邊之間的對角線就代表合力的大小和方向。如圖甲所示，人、

尸2為分力，尸為合力。

入平移

今

b.三角形定則：把兩個矢最的首尾順次連接起來，第一個矢晟?的起點到第二個矢最的終

點的有向線段為合矢量。如圖乙所示，Q、力為分力，F(xiàn)為合力。

2.力的分解

（1）定義：求一個力的分力的過程。

力的分解是力的合成的逆運算。

（2）遵循的原則

①平行四邊形定則。

②三角形定則。

（3）分解方法

①按研究問題需要分解力

如圖所示，物體重力G按需要可進行兩個方向分解，一是使物體沿斜面下滑，二是使物

體壓緊斜面，這兩個分力與合力間遵循平行四邊形定則，其大小分別為Gi=GsinaG2=GCOS

仇

②正交分解法：將已知力按互相垂直的兩個方向進行分解的方法。

3.矢量和標量

（1）矢最：既有大小又有方向,相加時遵從平行四邊杉定則的物理展,如速度、力等。

⑵標量：只有大小沒有方向,相加時按算術(shù)法則的物理量,如路程、速率等。

|概念辨析，

1.合力的作用效果跟原來那幾個力共同作用產(chǎn)生的效果相同。（V)

2.合力與原來那幾個力同時作用在物體上。（X）

3.合力的作用可以替代原來那幾個力的作用。（J）

4.求幾個力的合力遵循平行四邊形定則。（J）

5.合力廠總比分力中的任何一個力都大。（X）

6.兩個力Fi和B間的夾角為a如果夾角＜9不變，Q大小不變，只要22增大，合力F

就必然增大。（X）

株鍵能力提升互動排完?考點鉆講

考點一共點力的合成

I.兩個共點力的合力

(1)當兩個力方向相同時，合力最大，F(xiàn)max=F|+B。

(2)當兩個力方向相反時，合力最小，F(xiàn)mi?=|Fi-F2b

(3)合力大小的變化范圍為國一BIW產(chǎn)+

2.三個共點力的合力

(1)最大值：當三個力同方向時，合力最大，即尸「取=Q+匕+23。

(2)最小值

①當最大的一個力小于或等于另外兩個力的代數(shù)和時，合力最小為0。

②當最大的一個力大干另外兩個力的代數(shù)和時，合刀的最小俏等于最大的一個力減去另

外兩個力的代數(shù)和。

3.求合力的方法

(1)作圖法：作出力的圖示，結(jié)合平行四邊形定則，用刻度尺量出表示合力的線段的長度,

再結(jié)合標度算出合力大小C

(2)計算法：根據(jù)平行四邊形定則作出力的示意圖，然后利用勾股定理、三角函數(shù)、正弦

定理等求出合力。

4.重要結(jié)論

(1)兩個分力的大小一定時，夾角夕越大，合力越小C

(2)合力一定時，兩個分力的夾角越大，兩分力越大c

考向|合力與分力的關(guān)系

【典例1】(多選)下列有關(guān)合力和分力的關(guān)系說法正確的是(BD)

A.兩個力的合力一定大于這兩個力中的任意一個

B.兩個分力大小一定，夾角越大，合力越小

C.合力及其分力同時作用于同一物體上

D.兩個力的合力可以等于這兩個力中的任意一個

【解析】兩個分力產(chǎn)|、上的合力范圍為|"1一”2|《六三”|十〃2,當”1=七時，合力的最

小值為零，可知合力可能比每個分力都大，可能比每個分力都小，也可能等于分力的大小，

故A錯誤，D正確；根據(jù)平行四邊形定則，兩個分力大小一定，夾角越大，合力越小，故B

正確：合力及其分力是一種效果相同的等效關(guān)系，并沒有同時作用于同一物體上，故C錯誤。

考向2合力的計算

【典例2】如圖所示，一個“Y"字形彈弓頂部跨度為心兩根相同的橡皮條均勻且彈

性良好，其自由長度均為3在兩橡皮條的末端用一塊軟羊皮(長度不計)做成裹片可將彈丸發(fā)

射出去。若橡皮條的彈力滿足胡克定律，且勁度系數(shù)為火，發(fā)射彈丸時每根橡皮條的最大長

度為2L(彈性限度內(nèi))，則彈丸被發(fā)射過程中所受的最大彈力為(A)

A6kL

A.

?B甫

C.kLD.2kL

力與產(chǎn)3大小相等，方向相反；尸|和尸3的合力與廣5大小相等、方向相反；尸2和五4的合力與

F5大小相等、方向相反；義尸|、&、/3、鼻恰好圍成一個正方形，合力的大小為26匕FS

=y[2F,所以這5個共點力的合力大小等于正￡方向與B相反。故A、D正確，B、C錯

?口

1大O

2.一物體受到三個共面共點力Q、B、用的作用，三力的矢量關(guān)系如圖所示（小方格邊

長相等），則下列說法正確的是（B）

^r_L_L_4.J..

L-&±i:n±n;

A.三力的合力有最大值B+F2+F3,方向不確定

B.三力的合力有唯一值3尸3,方向與B同向

C.三力的合力有唯一值2F3,方向與尸3同向

D.由題給條件無法求合力大小

解析：先以力月和B為鄰邊作平行四邊開九其合力與B共線，大小戶i2=2B,如圖所

示，問2再與第三個力用合成求合力?合，可得〃金=?乙，故選R。

考點二力的分解

（1）一般來說，當物體受到三個或三個以下的力時，常按問題需要進行分解，若這三個力

中，有兩個力互相垂直，優(yōu)先選用正交分解法。

（2）當物體受到三個以上的力時，常用正交分解法。

3.力的分解多解性的思路

已知一個分力B的方向和另一個分力B的大小，對力廠進行分解，如圖所示，有三種

可能：（外與”的夾角為⑺

(1)6〈尸sin夕時無解。

(2)B=Fsin0或F6F時有一組解。

(3)Fsin/時有兩組解。

考向1按研究問題需要分解力的應(yīng)用

【典例3】用卡車運輸質(zhì)量為，〃的勻質(zhì)圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩

光滑斜面之間，如圖所示。兩斜面I、II固定在車上，傾角分別為30。和60。，重力加速度為

g。當卡車沿平直公路勻速行駛時，工件對斜面I、II壓力的大小分別為人、尸2,則(D)

A廠近匚立

A.F|=smg?F2=?)mg

A/5A/3

B.Fi=9mg,F2=3mg

C.Fi—jmg，F(xiàn)z—mg

小?

D.F)=2〃氓，尸2=]mg

【解析】將工件的重力垂直于斜面I、H進行分解，如圖所示，由幾何關(guān)系可知，F(xiàn)i

=mgcos300=2m^，"2=mgsin300=5〃火,故D正確。

考向2力的正交分解法的應(yīng)用

【典例4](2024?湖北卷)如圖所示，兩拖船P、Q拉著無動力貨船S一起在靜水中沿

圖中虛線方向勻速前進，兩根水平纜繩與虛線的夾角均保持為30。。假設(shè)水對三艘船在水平

方向的作用力大小均為/,方向與船的運動方向相反，則每艘拖船發(fā)動機提供的動力大小為

(B)

A.坐fB.粵f

C.2fD.3f

【解析】根據(jù)題意對貨船S受力分析如圖甲所示，正交分解可知27cos30。=/,所以

有~3人

對拖船P受力分析如圖乙所示，則有（7'5皿30。）2+（/+7'8530。）2=尸，解得尸="|土

故選Bo

考向3力的分解多解性

【典例5】（多選）已知力產(chǎn)，且它的個分力Q跟尸成30c角，大小未知，另個分力

尸2的大小為由F，方向未知，則R的大小可能是（AC）

A&B顯

c?3u?2

C.D.小F

【解析】根據(jù)題意，作出矢量三角形如圖，通過幾何關(guān)系得，F(xiàn)尸曄F或F尸當F,

JJ

故A、C正確，B、D錯誤。

考點三“活結(jié)”與“死結(jié)”、“動桿”與“定桿”問題

考向1“死結(jié)”與“活結(jié)”模型

模型模型解讀模型示例

“死結(jié)”可理解為把繩子分成兩段，且不可以

“死結(jié)”沿繩子移動的結(jié)點。“死結(jié)”兩側(cè)的繩因結(jié)而

由“死結(jié)”，

模型變成了兩根獨立的繩，因此由“死結(jié)”分開的OA.08兩

段繩子上的

兩段繩子上的彈力不一定相等彈力不一定

相等

“活結(jié)”，兩段繩

子實際上還是一根

“活結(jié)”可理解為把繩子分成兩段，且可以沿繩子，繩子上的辨

“活結(jié)”力處處相等

繩子移動的結(jié)點?！盎罱Y(jié)”分開的兩段繩子上下

模型

彈力的大小一定相等

MON

【典例6】（2024?浙江1月選考）如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，小球A、B上系有不

可伸長的細線八仄c和丈其中。的上端懸掛于豎直固定的支架上，d跨過左側(cè)定滑輪、c

跨過右側(cè)定滑輪分別與相同配重P、Q相連，調(diào)節(jié)左、右兩側(cè)定滑輪高度達到平衡。已知小

球A、B和配重P、Q質(zhì)量均為50g,細線c、d平行且與水平方向成夕=30。角（不計摩擦）,

則細線〃、b的拉力分別為（D）

A.2N,1NB.2N,0.5N

C.1N,1ND.1N,0.5N

【解析】由題意可知細線c?對A的拉力和細線d對B的拉力大小相等、方向相反，對

A、B整體分析可知細線a的拉力大小為7；=（"5+〃拒應(yīng)=1N,設(shè)細線。與水平方向夾角為

a,對A、B分析分別有7）,sina+「sin9=/〃M，Tbcosa=Tdcos0,解得7）,=0.5N,故選D。

考向2“動桿”與“定桿”模型

1.動桿：若輕桿用光滑的轉(zhuǎn)軸或錢鏈連接，當桿處于平衡時，桿所受到的彈力方向一定

沿著桿，否則會引起桿的轉(zhuǎn)動。如圖甲所示，。為轉(zhuǎn)軸，8為兩繩的結(jié)點，輕桿在緩慢轉(zhuǎn)動

過程中，彈力方向始終沿桿的方向。

2.定桿：若輕桿被固定不發(fā)生轉(zhuǎn)動，則桿所受到的彈力方向不一定沿桿的方向，如圖乙

所示。

【典例7】（多選）圖甲中輕桿04的A端固定在豎直墻壁上，另一端。光滑，一端固

定在豎直墻壁8點的細線跨過。端系?質(zhì)量為〃?的重物，08水平；圖乙中輕桿可?繞4

點自由轉(zhuǎn)動，另?端0'光滑；?端固定在豎直墻壁夕點的細線跨過0,端系?質(zhì)量也為機的

重物。已知圖甲中NBOA=30。，下列說法正確的是（AC）

A.圖甲輕桿中彈力大小為巾mg

B.圖乙輕桿中彈力大小為，5〃吆

C.圖甲中輕桿中彈力與細線013中拉力的合力方?向一定沿豎直方向

D.圖乙中細線對輕桿彈力可能不沿桿

【解析】由于題圖甲輕桿0A為“定桿”，其。端光滑，可以視為活結(jié)，兩側(cè)細線中

拉力大小相等，都等于mgt由力的平衡條件可知，題圖甲輕桿中彈力大小為Fr=cos45°

=@〃g,故A正確；題圖乙中輕桿07T可繞A點自由轉(zhuǎn)動，為“動桿”，另一端0洸滑，

可以視為活結(jié)，（7兩側(cè)細線中拉力相等，“動桿”中彈力方向一定沿“動桿”方向，“動

桿”中彈力大小等于。，兩側(cè)細線中拉力的合力大小，兩細線夾角不確定，則輕桿中彈力

大小無法確定，故B、D錯誤：根據(jù)共點力平衡條件，題圖甲中輕桿彈力與細線08中拉力

的合力方向一定與豎直細線,的拉力方向相反，即豎直向二，故C正確。

對點演練〕

3.如圖甲所示的玩具吊車，其簡化結(jié)構(gòu)如圖乙所示，桿AB固定于平臺上且不可轉(zhuǎn)動，

其B端固定一光滑定滑輪；輕桿CZ）用較鏈連接于平臺上，可繞。端自由轉(zhuǎn)動，其。端連接

兩條輕繩，一條輕繩繞過滑輪后懸掛一質(zhì)量為，〃的重物，另一輕繩纏繞于電動機轉(zhuǎn)軸。上，

通過電動機的牽引控制重物的起落。某次吊車將重物吊起至一定高度后保持靜止，此時各段

輕繩與桿之間的夾角如圖乙所示，其中兩桿處于同一豎亙面內(nèi)，。。繩沿豎直方向，7=37。,

0=90。，重力加速度大小為g,則（D）

A.a一定等于4

B.桿受到繩子的作用力大小為小〃名

C.C。桿受到繩子的作用力方向沿的角平分線方向，大小為〃吆

D.當啟動電動機使重物緩慢下降時，人8桿受到繩子的作用力將逐漸增大

解析：A8桿固定于平臺上，力不一定沿桿，同一條繩的力大小相等，其合力一定在其角

平分線上，由于力不一定沿桿，所以。不一定等于￡,故A錯誤：如圖所示，由兩個力7所

作力的平行四邊形為菱形，根據(jù)平衡條件可得T=用外根據(jù)幾何關(guān)系可得a+4=53。，對角

線為產(chǎn)桿，則A3桿受到繩子的作用力大小為產(chǎn)懺=2Tcos與云市〃?8，故B錯誤：根據(jù)題意

。端連接兩條輕繩，兩條經(jīng)繩的力不一定大小相等，且C。桿為較鏈連接，為“活”桿，桿

力沿著桿的方向，水平方向有尸桿cos530=Tcos37o=mgcos37。，解得尸桿=%*,故C錯誤；

當啟動電動機使重物緩慢下降時，即T=〃?g不變，a+夕變小，根據(jù)尸桿=2Tcos結(jié)/，可知

F桿變大，故D正確。

課時作業(yè)9

目基礎(chǔ)鞏固八

1.（5分）三個共點力大小分別是Q、r2、八，關(guān)于它們的合力少的大小，下列說法正確

的是（C）

A.尸大小的取值范圍一定是0W尸WB+F2+F3

B./至少比尸|、B、B中的某一個大

C.若a：B：B=3：6：8,只要適當調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力為0

D.若Q：后：B=3：6：2,只要適當調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力為0

解析：合力不一定大于分力，B錯誤；三個共點力的合力的最小值能否為0,取決于任

何一個力是否都在其余兩個力的合力范圍內(nèi)，由于三個刀大小未知，所以三個力的合力的最

小值不一定為0,A錯誤：當三個力的大小分別為3N、6N、8N時，其中任何一個力都在

其余兩個力的合力范圍內(nèi)，三個力的合力可能為0,C正確；當三個力的大小分別為3N、6N、

2N時，不滿足上述情況，D錯誤。

2.（5分）（2023?重慶卷）矯正牙齒時，可用牽引線對牙施加力的作用。若某顆牙齒受到牽

引線的兩個作用力大小均為F,夾角為a（如圖所示），則該牙所受兩牽引力的合力大小為

A.2Fsin5B.2Fcos?

C.FsinaD.Feosa

解析：根據(jù)平行四邊形定則可知，該牙所受兩牽引力的合力大小為尸合=2/cos故選

3.（5分）如圖所示，人游泳時若某時刻手掌對水的作用力大小為F,該力與水平方向的

夾角為30。，則該力在水平方向的分力大小為（D）

A.2F

C.FD.

解析：沿水平方向和豎直方向?qū)⑹终茖λ淖饔昧Ψ纸?，則該力在水平方向的分力大小

為產(chǎn)cos30。=坐F,故選D。

4.（5分）兩個夾角為〃，大小分別是2N和3N的力作用于同一物體，這兩個力的合力少

與夾角0的關(guān)系，下列圖中表示正確的是（A)

解析：設(shè)B=2N,F?=3N,由力合成的平行四邊形定則可知，合力大小尸=

22

^/F1+F2+2FIF2COS0,。在0?兀之間，兩個力之間的夾角越大，合力/越小，當夕=兀時，

合力最小，F(xiàn)mi?=lN,在兀<*2兀時，兩個力之間的夾角越大，合力F越大,夕=2兀時，合

力最大，氏max=5N,故A正確，B、C、D錯誤。

5.（5分）（2023?浙江6月選考）如圖所示，水平面上固定兩個平行的半圓柱體，重力為G

的光滑圓柱體靜置其上，口、〃為相切點，4/0〃=9（）。，半徑。方與重力的夾角為37。。已知

sin37o=0.6,cos37o=0.8,則圓柱體受到的支持力入、A大小為（D）

O,3；

A.凡=().6G,Fb=MG

B.E=0.4G,凡=0.6G

C￡=0.8G,Fh=0.6G

D.氏=0.6G,為=0.8G

解析：對光滑圓柱體殳力分析如圖所示，由題意有幾=Gsin37o=0.6G,F/,=Gcos37°

=0.8G,故選D。

6.（5分）將尸=40N的力分解為H和E，其中Fi的方向與尸的夾角為30。，如圖所示，

則（B）

一一.

A.當BV20N時，一個B有一個R的值相對應(yīng)

B.當G=20N時，尸1的值是2（mN

C.當@>40N時，一個B就有兩個K的值與它相對應(yīng)

D.當10N〈B<20N時，一個尸2就有兩個居的值與它相對應(yīng)

解析：根據(jù)矢量三角形法則，如圖所示，當尸2的方向與尸1垂直時B最小，最小值為尸2

=Fsin30°=40x1N=20N,當B〈20N時，無解，故A、D錯誤；當F2=20N時，R的

值是FI=QCOS3（）O=2（）V5N,故B正確；根據(jù)A選項分析可知，當心》10N時，此時下2只

能處于圖中尸2最小值右側(cè)，故此時一個尸2只有一個Q的值與它相對應(yīng)，故C錯誤。

F

7.（5分）如圖所示，懸掛物體甲的細線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細繩上。點處；繩的一

端固定在墻.匕另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時，

O點兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為。和夕。若a=70。，則0等于（B）

《乙

A.45°B.55°

C.60°D.70°

解析：對。點進行受力分析，如圖所示，因為甲、巳兩物體質(zhì)量相等，所以~與&大

小相等，合成的平行四邊彩為羨形，a=7O。，則/1=N2=55。，人和尸2的合力與乙等大，

反向，夕=N2,B正確。

卞

尸;

8.（5分）如圖是擴張機的原理示意圖，A、B為活動較鏈，C為固定較鏈，在A史作用

一水平力F，滑塊E就以比尸大得多的壓力向上頂物體D。己知圖中2/=l.0m,h=0.05m,

產(chǎn)=400N,滑塊E與左壁接觸，接觸面光滑，則D受到向上頂?shù)牧椋ɑ瑝K和桿的重力不

計）（B）

a

a

A.3000NB.2000N

C.1000ND.500N

解析：將力F沿AB和AC兩個方向進行分解，如田甲所示，則有2Qcosa=F,解得

凡="2=熹*再將凡分解為國和尸N,如圖乙所示，則有FN=FISEa,聯(lián)立解得產(chǎn)N=

根據(jù)幾何知識可知tana=；=10,得至4尺=5/=20（）（）N,B正確。

星綜合提升八

9.（5分）科學地佩戴口罩，對于呼吸道傳染病具有預(yù)防作用，既保護自己，又有利于公

眾健康。如圖為一側(cè)耳朵佩戴口罩的示意圖，--側(cè)的口置帶是由直線43、弧線8CO和直線

OE組成的。假若口罩帶可認為是一段勁度系數(shù)為*的彈性輕繩（遵循胡克定律），在佩藏好口

罩后彈性輕繩被拉長了x,此時4B段與水平方向的夾角為37。，OE段與水平方向的夾角為

53°,彈性繩涉及的受力均在同一平面內(nèi)，不計摩擦，已知§皿37。=0.6,8$37。=0.8,則耳

朵受到口罩帶的作用力為（B）

方向與水平向右成45。角

，方向與水平向左成45。角

C.kx,方向與水平向左成45。角

D.2日，方向與水平向右成45。角

解析：耳朵分別受到A3、EO段口罩帶的拉力?八8、FED,且心8=/中=爪，將兩力正交

分解如圖所示，F(xiàn).-E45cos370,后第一尸八6sin37°；cos53°,—FeDsin53°,

77

水平方向合力吊=以以+揖期，豎直方向合力F,=FABy+FEDy,解得吊=0X,Fy=/:耳朵

受到口罩的作用力/合=、用+/=￥心,方向與水平向左成45。角。故選B。

10.（5分）（2024.河北卷）如圖所示，彈簧測力計卜端掛有一質(zhì)量為0.20kg的光滑均勻球

體，球體靜止于帶有固定擋板的斜面上，斜面傾角為30。，擋板與斜面夾角為60。。若彈簧測

力計位于豎直方向，讀數(shù)為1.0N,g取10m/s2,擋板對球體支持力的大小為（A）

解析：對球體受力分析如圖所示，由幾何關(guān)系得力戶與力心與豎直方向的夾南均為30。,

因此由正交分解方程可得FNsin30°=Fsin30°,FNcos300+Fcos300+T=mg,解得F=FN

A

=晉N,故選A。

J

11.（5分）（2023?廣東卷）如圖所示，可視為質(zhì)點的機器人通過磁鐵吸附在船舷外壁面檢

測船體。里面可視為斜面，與豎直方向夾角為仇船和機器人保持靜止時，機器人僅受重力

G、支持力尺、摩擦力R和磁力產(chǎn)的作用，磁力垂直壁面。下列關(guān)系式正確的是（C）

解析：如圖所示，將重力沿垂直于壁面方向和沿壁而方向分解，沿壁面方向，由平衡條

件得尸f=Gcos仇A錯誤，C正確；垂直壁面方向，由平衡條件得尸=Gsin夕