2025年攀枝花中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案2025年攀枝花中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.以下哪種分布常用于描述保險(xiǎn)理賠次數(shù)？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布答案：B。泊松分布具有獨(dú)立增量性且能較好地描述單位時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，在保險(xiǎn)中常用于描述理賠次數(shù)。正態(tài)分布主要用于描述大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和；指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔；均勻分布是在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率相等的分布。2.在風(fēng)險(xiǎn)理論中，若理賠額$X$服從參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，則$E(X)$為（）A.$\frac{1}{\lambda}$B.$\lambda$C.$\frac{1}{\lambda^2}$D.$\lambda^2$答案：A。根據(jù)指數(shù)分布的期望公式，對于參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，$E(X)=\frac{1}{\lambda}$。3.已知一組數(shù)據(jù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$的均值為$\overline{x}$，方差為$s^2$，若對每個(gè)數(shù)據(jù)都加上常數(shù)$c$，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.$\overline{x}+c$，$s^2$B.$\overline{x}$，$s^2+c$C.$\overline{x}+c$，$s^2+c$D.$\overline{x}$，$s^2$答案：A。設(shè)原數(shù)據(jù)為$x_i$，新數(shù)據(jù)為$y_i=x_i+c$。新數(shù)據(jù)的均值$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+c)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+c=\overline{x}+c$。方差$D(y_i)=D(x_i+c)=D(x_i)=s^2$，因?yàn)槌?shù)的方差為0，且方差具有平移不變性。4.若兩個(gè)隨機(jī)變量$X$和$Y$相互獨(dú)立，且$X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)$，則$Z=X+Y$服從（）A.$N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$B.$N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2-\sigma_2^2)$C.$N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2\sigma_2^2)$D.$N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^2\sigma_2^2)$答案：A。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，若兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量$X$和$Y$，$X\simN(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^2)$，則它們的和$Z=X+Y$服從正態(tài)分布$N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。5.在線性回歸模型$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i$中，$\epsilon_i$是（）A.解釋變量B.被解釋變量C.隨機(jī)誤差項(xiàng)D.回歸系數(shù)答案：C。在線性回歸模型中，$x_i$是解釋變量，$y_i$是被解釋變量，$\beta_0$和$\beta_1$是回歸系數(shù)，$\epsilon_i$是隨機(jī)誤差項(xiàng)，它反映了除$x_i$之外其他因素對$y_i$的影響。6.假設(shè)某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的理賠次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda=3$的泊松分布，則$P(N=2)$為（）A.$\frac{9}{2e^3}$B.$\frac{3}{2e^3}$C.$\frac{9}{e^3}$D.$\frac{3}{e^3}$答案：A。泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為$P(N=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，當(dāng)$\lambda=3$，$k=2$時(shí)，$P(N=2)=\frac{3^2e^{-3}}{2!}=\frac{9}{2e^3}$。7.以下關(guān)于極大似然估計(jì)的說法，錯(cuò)誤的是（）A.極大似然估計(jì)是通過使樣本出現(xiàn)的概率最大來估計(jì)參數(shù)B.極大似然估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值是唯一的C.極大似然估計(jì)具有不變性D.極大似然估計(jì)在很多情況下具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)答案：B。極大似然估計(jì)是通過構(gòu)造似然函數(shù)，使得樣本出現(xiàn)的概率最大來估計(jì)參數(shù)。極大似然估計(jì)具有不變性，即若$\hat{\theta}$是$\theta$的極大似然估計(jì)，則$g(\hat{\theta})$是$g(\theta)$的極大似然估計(jì)。并且在很多情況下具有良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，如一致性、漸近正態(tài)性等。但極大似然估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值不一定是唯一的，似然函數(shù)可能存在多個(gè)極值點(diǎn)。8.在時(shí)間序列分析中，AR(1)模型的形式為（）A.$X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t$B.$X_t=\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\epsilon_t$C.$X_t=\mu+\varphiX_{t-1}+\epsilon_t$D.$X_t=\mu+\varphi_1X_{t-1}+\varphi_2X_{t-2}+\epsilon_t$答案：A。AR(1)模型即一階自回歸模型，其形式為$X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t$，其中$\varphi$是自回歸系數(shù)，$\epsilon_t$是白噪聲序列。9.若隨機(jī)變量$X$服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，則$D(X)$為（）A.$np$B.$np(1-p)$C.$n^2p$D.$n^2p(1-p)$答案：B。對于二項(xiàng)分布$B(n,p)$，其期望$E(X)=np$，方差$D(X)=np(1-p)$。10.在多元線性回歸模型$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_kx_k+\epsilon$中，檢驗(yàn)回歸方程顯著性的統(tǒng)計(jì)量是（）A.$t$統(tǒng)計(jì)量B.$F$統(tǒng)計(jì)量C.$\chi^2$統(tǒng)計(jì)量D.$Z$統(tǒng)計(jì)量答案：B。在多元線性回歸中，檢驗(yàn)回歸方程顯著性使用$F$統(tǒng)計(jì)量，用于檢驗(yàn)所有回歸系數(shù)是否同時(shí)為0。$t$統(tǒng)計(jì)量用于檢驗(yàn)單個(gè)回歸系數(shù)的顯著性；$\chi^2$統(tǒng)計(jì)量常用于擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等；$Z$統(tǒng)計(jì)量常用于大樣本情況下的均值檢驗(yàn)等。11.已知某數(shù)據(jù)集的偏度系數(shù)為正，這表明該數(shù)據(jù)分布（）A.左偏B.右偏C.對稱D.無法確定答案：B。偏度系數(shù)衡量數(shù)據(jù)分布的不對稱程度。當(dāng)偏度系數(shù)為正，數(shù)據(jù)分布右偏，即數(shù)據(jù)的右側(cè)有較長的尾巴；當(dāng)偏度系數(shù)為負(fù)，數(shù)據(jù)分布左偏；當(dāng)偏度系數(shù)為0，數(shù)據(jù)分布對稱。12.在保險(xiǎn)費(fèi)率厘定中，以下哪種方法不屬于經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率方法？A.信度理論方法B.案均賠款法C.純保費(fèi)法D.最小二乘法答案：D。信度理論方法、案均賠款法和純保費(fèi)法都屬于經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率方法，用于根據(jù)以往的保險(xiǎn)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定保險(xiǎn)費(fèi)率。最小二乘法主要用于線性回歸模型中參數(shù)的估計(jì)，不屬于保險(xiǎn)費(fèi)率厘定的經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率方法。13.假設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布為$X$，其累積分布函數(shù)為$F(x)$，則$P(a\ltX\leqb)$等于（）A.$F(b)-F(a)$B.$F(a)-F(b)$C.$1-F(b)+F(a)$D.$1-F(a)+F(b)$答案：A。根據(jù)累積分布函數(shù)的定義，$P(X\leqx)=F(x)$，所以$P(a\ltX\leqb)=P(X\leqb)-P(X\leqa)=F(b)-F(a)$。14.在數(shù)據(jù)分析中，主成分分析的主要目的是（）A.對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類B.降低數(shù)據(jù)的維度C.檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性D.預(yù)測數(shù)據(jù)的未來值答案：B。主成分分析是一種多元統(tǒng)計(jì)方法，其主要目的是通過線性變換將原始高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為一組各維度線性無關(guān)的主成分，從而降低數(shù)據(jù)的維度，同時(shí)盡可能保留原始數(shù)據(jù)的信息。15.若某保險(xiǎn)產(chǎn)品的費(fèi)率為$r$，期望理賠額為$E(X)$，則該保險(xiǎn)產(chǎn)品的安全附加費(fèi)為（）A.$r-E(X)$B.$rE(X)$C.$r+E(X)$D.$\frac{r}{E(X)}$答案：A。保險(xiǎn)費(fèi)率$r$通常由純保費(fèi)和安全附加費(fèi)組成，純保費(fèi)等于期望理賠額$E(X)$，所以安全附加費(fèi)為$r-E(X)$。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下哪些分布是常見的連續(xù)型分布？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數(shù)分布D.均勻分布答案：ACD。正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布都是連續(xù)型分布。正態(tài)分布是最常見的連續(xù)型分布，用于描述大量自然和社會(huì)現(xiàn)象；指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔；均勻分布在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率相等。泊松分布是離散型分布，用于描述單位時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。2.在線性回歸分析中，以下哪些是衡量回歸模型擬合優(yōu)度的指標(biāo)？A.判定系數(shù)$R^2$B.調(diào)整的判定系數(shù)$\overline{R}^2$C.均方誤差MSED.殘差平方和RSS答案：ABCD。判定系數(shù)$R^2$表示回歸模型對樣本數(shù)據(jù)的擬合程度，取值范圍在$[0,1]$之間，越接近1擬合效果越好。調(diào)整的判定系數(shù)$\overline{R}^2$是對$R^2$的修正，考慮了模型中自變量的個(gè)數(shù)。均方誤差MSE是殘差平方和除以自由度，反映了模型預(yù)測值與實(shí)際值的平均誤差程度。殘差平方和RSS是實(shí)際值與預(yù)測值之差的平方和，RSS越小，模型擬合效果越好。3.時(shí)間序列分析中，平穩(wěn)時(shí)間序列的性質(zhì)包括（）A.均值為常數(shù)B.方差為常數(shù)C.自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)D.具有季節(jié)性答案：ABC。平穩(wěn)時(shí)間序列具有均值為常數(shù)、方差為常數(shù)以及自協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)的性質(zhì)。具有季節(jié)性的時(shí)間序列不是平穩(wěn)時(shí)間序列，平穩(wěn)時(shí)間序列不隨時(shí)間的推移而呈現(xiàn)出明顯的趨勢或周期性變化。4.在保險(xiǎn)精算中，風(fēng)險(xiǎn)度量的常用方法有（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaRD.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR答案：ABCD。方差和標(biāo)準(zhǔn)差是衡量風(fēng)險(xiǎn)的基本統(tǒng)計(jì)量，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度。風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值CVaR是在VaR的基礎(chǔ)上，考慮了超過VaR的損失情況，是一種更保守的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。5.以下關(guān)于抽樣調(diào)查的說法，正確的有（）A.抽樣調(diào)查可以節(jié)省時(shí)間和成本B.抽樣調(diào)查的樣本可以完全代表總體C.抽樣調(diào)查需要合理確定樣本容量D.抽樣調(diào)查可以采用不同的抽樣方法答案：ACD。抽樣調(diào)查通過從總體中抽取一部分樣本進(jìn)行調(diào)查來推斷總體的特征，相比于全面調(diào)查，可以節(jié)省時(shí)間和成本。抽樣調(diào)查需要合理確定樣本容量，樣本容量過小可能導(dǎo)致估計(jì)不準(zhǔn)確，過大則會(huì)增加成本。同時(shí)可以采用不同的抽樣方法，如簡單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣等。但抽樣調(diào)查的樣本只能在一定程度上代表總體，由于抽樣誤差的存在，樣本不可能完全代表總體。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述極大似然估計(jì)的基本思想和步驟?；舅枷耄簶O大似然估計(jì)的基本思想是認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，已經(jīng)得到的樣本是最有可能出現(xiàn)的，即要找到一組參數(shù)，使得該樣本出現(xiàn)的概率最大。也就是說，通過已知的樣本數(shù)據(jù)，去尋找最能解釋這些樣本出現(xiàn)的參數(shù)值。步驟：-第一步：構(gòu)造似然函數(shù)。設(shè)總體$X$的概率密度函數(shù)（對于連續(xù)型總體）或概率質(zhì)量函數(shù)（對于離散型總體）為$f(x;\theta)$，其中$\theta$是待估計(jì)的參數(shù)。若$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體$X$的樣本，則似然函數(shù)$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)$。-第二步：取對數(shù)。為了方便計(jì)算，通常對似然函數(shù)取對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)$\lnL(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\lnf(X_i;\theta)$。-第三步：求導(dǎo)數(shù)。對對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)$\theta$求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得到似然方程$\frac{\partial\lnL(\theta)}{\partial\theta}=0$。-第四步：解方程。求解似然方程，得到參數(shù)$\theta$的極大似然估計(jì)值$\hat{\theta}$。如果似然方程比較復(fù)雜，也可以通過數(shù)值方法來求解。2.說明線性回歸模型中多重共線性的含義、產(chǎn)生的原因及影響。含義：多重共線性是指線性回歸模型中的自變量之間存在高度的線性相關(guān)關(guān)系。也就是說，一個(gè)自變量可以近似地由其他自變量的線性組合來表示。產(chǎn)生的原因：-數(shù)據(jù)收集的范圍有限。例如在抽樣時(shí)，只選取了自變量取值范圍較窄的樣本，可能導(dǎo)致自變量之間的相關(guān)性增強(qiáng)。-變量之間存在內(nèi)在的聯(lián)系。比如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，一些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之間本身就存在著相互影響和關(guān)聯(lián)的關(guān)系。-模型設(shè)定不合理。例如在模型中引入了過多具有相關(guān)性的自變量。影響：-估計(jì)的參數(shù)不穩(wěn)定。多重共線性會(huì)使回歸系數(shù)的估計(jì)值方差增大，導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)值對樣本數(shù)據(jù)的微小變化非常敏感，估計(jì)值的波動(dòng)較大。-難以解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。由于自變量之間的相關(guān)性，很難單獨(dú)確定每個(gè)自變量對因變量的影響程度，回歸系數(shù)的符號和大小可能不符合經(jīng)濟(jì)理論和實(shí)際情況。-降低預(yù)測的精度。雖然多重共線性可能不會(huì)顯著影響模型的擬合優(yōu)度，但會(huì)使模型的預(yù)測區(qū)間變寬，降低預(yù)測的準(zhǔn)確性和可靠性。3.解釋保險(xiǎn)費(fèi)率厘定中純保費(fèi)法和損失率法的基本原理和區(qū)別。純保費(fèi)法的基本原理：純保費(fèi)法是基于保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的純保費(fèi)來確定保險(xiǎn)費(fèi)率的方法。純保費(fèi)是指用于支付未來保險(xiǎn)賠款的那部分保費(fèi)。其計(jì)算公式為純保費(fèi)=期望理賠額。在實(shí)際應(yīng)用中，通常通過對歷史理賠數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，估計(jì)出期望理賠額，然后考慮費(fèi)用附加和利潤附加等因素，得到最終的保險(xiǎn)費(fèi)率。即保險(xiǎn)費(fèi)率=純保費(fèi)+費(fèi)用附加+利潤附加。損失率法的基本原理：損失率法是根據(jù)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的損失率來調(diào)整保險(xiǎn)費(fèi)率的方法。損失率是指實(shí)際賠款與保費(fèi)收入的比率。首先確定一個(gè)目標(biāo)損失率，然后根據(jù)實(shí)際損失率與目標(biāo)損失率的比較來調(diào)整費(fèi)率。如果實(shí)際損失率高于目標(biāo)損失率，則提高費(fèi)率；反之，則降低費(fèi)率。區(qū)別：-計(jì)算基礎(chǔ)不同。純保費(fèi)法以期望理賠額為基礎(chǔ)，側(cè)重于對未來賠款的直接估計(jì)；損失率法以損失率為基礎(chǔ)，關(guān)注的是實(shí)際賠款與保費(fèi)收入的比例關(guān)系。-調(diào)整方式不同。純保費(fèi)法主要是通過對理賠數(shù)據(jù)的分析來確定純保費(fèi)，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行附加得到費(fèi)率；損失率法是根據(jù)實(shí)際損失率與目標(biāo)損失率的差異來調(diào)整現(xiàn)有的費(fèi)率。-適用情況不同。純保費(fèi)法適用于新業(yè)務(wù)或數(shù)據(jù)較少的情況，因?yàn)榭梢灾苯痈鶕?jù)期望理賠額來確定費(fèi)率；損失率法適用于有一定歷史數(shù)據(jù)積累的成熟業(yè)務(wù)，能夠根據(jù)業(yè)務(wù)的實(shí)際經(jīng)營情況及時(shí)調(diào)整費(fèi)率。四、計(jì)算題（每題15分，共25分）1.設(shè)某保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的理賠次數(shù)$N$服從參數(shù)為$\lambda=2$的泊松分布，理賠額$X$服從參數(shù)為$\mu=1000$的指數(shù)分布，且$N$與$X$相互獨(dú)立。求該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望和方差。解：-首先，根據(jù)泊松分布和指數(shù)分布的性質(zhì)：已知$N\simPoisson(\lambda=2)$，則$E(N)=\lambda=2$，$D(N)=\lambda=2$。$X\simExp(\mu=1000)$，則$E(X)=\frac{1}{\mu}=1000$，$D(X)=\frac{1}{\mu^2}=1000^2$。-然后，根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望和方差公式：對于復(fù)合泊松分布$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，其期望$E(S)=E(N)E(X)$。將$E(N)=2$，$E(X)=1000$代入，可得$E(S)=2\times1000=2000$。其方差$D(S)=E(N)D(X)+D(N)[E(X)]^2$。將$E(N)=2$，$D(N)=2$，$E(X)=1000$，$D(X)=1000^2$代入，可得：$D(S)=2\times1000^2+2\times1000^2=4\times1000^2=4000000$。所以，該保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的總理賠額$S$的期望為2000，方差為4000000。2.某保險(xiǎn)公司收集了10個(gè)投保人的年齡$x$（歲）和年保費(fèi)$y$（元）的數(shù)據(jù)，如下表所示：|年齡$x$|25|30|35|40|45|50|55|60|65|70||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||年保費(fèi)$y$|1000|1200|1300|1500|1600|1800|2000|2200|2400|2600|-（1）建立$y$關(guān)于$x$的線性回歸模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$。-（2）計(jì)算判定系數(shù)$R^2$，并說明其意義。解：-（1）首先計(jì)算所需的統(tǒng)計(jì)量：$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{25+30+\cdots+70}{10}=47.5$$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1000+1200+\cdots+2600}{