阜新市中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數據分析）模擬試題及答案(2025年)一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.以下哪種分布常用于描述保險理賠次數？A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數分布D.均勻分布答案：B。泊松分布具有獨立增量性和平穩(wěn)性，非常適合描述在一定時間或空間內隨機事件（如保險理賠次數）的發(fā)生次數，而正態(tài)分布主要用于描述連續(xù)型隨機變量的對稱分布，指數分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔，均勻分布表示在某個區(qū)間內取值的概率相等，所以選B。2.在精算模型中，假設理賠額\(X\)服從參數為\(\lambda\)的指數分布，其概率密度函數為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，則\(E(X)\)為：A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(\frac{1}{\lambda^2}\)答案：B。根據指數分布的期望公式，對于參數為\(\lambda\)的指數分布，其期望\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)，所以選B。3.已知一組數據\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\bar{x}\)，方差為\(s^2\)，若對每個數據都加上常數\(a\)，則新數據的均值和方差分別為：A.\(\bar{x}+a,s^2\)B.\(\bar{x},s^2+a\)C.\(\bar{x}+a,s^2+a\)D.\(\bar{x},s^2\)答案：A。設新數據為\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。新數據的均值\(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+a=\bar{x}+a\)。方差\(Var(y_i)=Var(x_i+a)=Var(x_i)=s^2\)，因為常數的方差為0，所以選A。4.若兩個隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(Var(X)=2\)，\(Var(Y)=3\)，則\(Var(2X-3Y)\)為：A.-5B.17C.35D.43答案：C。根據方差的性質，若\(X\)和\(Y\)相互獨立，則\(Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)\)。所以\(Var(2X-3Y)=2^2Var(X)+(-3)^2Var(Y)=4\times2+9\times3=8+27=35\)，選C。5.在時間序列分析中，自回歸模型\(AR(p)\)的一般形式為：A.\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\varphi_iX_{t-i}+\epsilon_t\)B.\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\theta_i\epsilon_{t-i}+\epsilon_t\)C.\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\varphi_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^{p}\theta_i\epsilon_{t-i}+\epsilon_t\)D.\(X_t=\mu+\sum_{i=1}^{p}\varphi_i(X_{t-i}-\mu)+\epsilon_t\)答案：A。自回歸模型\(AR(p)\)是用過去\(p\)期的觀測值\(X_{t-i}\)來預測當期值\(X_t\)，其一般形式為\(X_t=\sum_{i=1}^{p}\varphi_iX_{t-i}+\epsilon_t\)，其中\(zhòng)(\epsilon_t\)是白噪聲序列，所以選A。6.對于一個二項分布\(B(n,p)\)，其期望和方差分別為：A.\(np,np(1-p)\)B.\(n(1-p),np(1-p)\)C.\(np,np\)D.\(n(1-p),np\)答案：A。根據二項分布的期望和方差公式，若\(X\simB(n,p)\)，則\(E(X)=np\)，\(Var(X)=np(1-p)\)，所以選A。7.在數據分析中，用于衡量兩個變量之間線性相關程度的統(tǒng)計量是：A.協方差B.相關系數C.方差D.標準差答案：B。相關系數是專門用于衡量兩個變量之間線性相關程度的統(tǒng)計量，其取值范圍在\([-1,1]\)之間，\(1\)表示完全正相關，\(-1\)表示完全負相關，\(0\)表示無線性相關。協方差雖然也能反映兩個變量的協同變化情況，但它的值受變量單位的影響，不能直接用于比較不同變量間的相關程度。方差和標準差主要用于衡量單個變量的離散程度，所以選B。8.已知某風險模型中，理賠次數\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，理賠額\(X\)服從指數分布\(Exp(\mu)\)，且\(N\)與\(X\)相互獨立，則總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的矩母函數\(M_S(t)\)為：A.\(\exp\left\{\lambda\left(\frac{\mu}{\mu-t}-1\right)\right\}\)B.\(\exp\left\{\lambda\left(\frac{\mu-t}{\mu}\right)\right\}\)C.\(\exp\left\{\lambda\left(\frac{t}{\mu-t}\right)\right\}\)D.\(\exp\left\{\lambda\left(\frac{\mu}{\mu+t}-1\right)\right\}\)答案：A。首先，理賠額\(X\)的矩母函數\(M_X(t)=\frac{\mu}{\mu-t}\)（指數分布的矩母函數），理賠次數\(N\)服從泊松分布\(P(\lambda)\)，其矩母函數\(M_N(u)=\exp\{\lambda(e^u-1)\}\)。因為\(N\)與\(X\)相互獨立，總理賠額\(S\)的矩母函數\(M_S(t)=M_N(\lnM_X(t))=\exp\left\{\lambda\left(\frac{\mu}{\mu-t}-1\right)\right\}\)，所以選A。9.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\cdots+\beta_pX_p+\epsilon\)中，若要檢驗某個自變量\(X_j\)是否對因變量\(Y\)有顯著影響，通常使用的檢驗方法是：A.\(F\)檢驗B.\(t\)檢驗C.\(\chi^2\)檢驗D.秩和檢驗答案：B。在多元線性回歸中，\(t\)檢驗用于檢驗單個自變量對因變量的顯著性，即檢驗某個回歸系數\(\beta_j\)是否為0。\(F\)檢驗用于檢驗整個回歸模型的顯著性，即檢驗所有回歸系數是否同時為0。\(\chi^2\)檢驗常用于檢驗分類變量之間的獨立性等。秩和檢驗主要用于非參數檢驗，比較兩個或多個總體的分布，所以選B。10.若一個隨機變量\(X\)服從對數正態(tài)分布，即\(\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(X\)的期望為：A.\(\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)\)B.\(\exp\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)\)C.\(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\)D.\(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\)答案：A。對于對數正態(tài)分布，若\(\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(X\)的期望\(E(X)=\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)\)，這是對數正態(tài)分布的一個重要性質，所以選A。11.在生存分析中，生存函數\(S(t)\)表示的是：A.個體在時刻\(t\)之前死亡的概率B.個體在時刻\(t\)之后生存的概率C.個體在時刻\(t\)死亡的概率密度D.個體在時刻\(t\)的危險率答案：B。生存函數\(S(t)=P(T>t)\)，其中\(zhòng)(T\)表示個體的生存時間，所以\(S(t)\)表示個體在時刻\(t\)之后生存的概率。個體在時刻\(t\)之前死亡的概率為\(1-S(t)\)。個體在時刻\(t\)死亡的概率密度用概率密度函數\(f(t)\)表示。個體在時刻\(t\)的危險率用\(\lambda(t)\)表示，所以選B。12.已知一組數據\(1,3,5,7,9\)，則該組數據的中位數為：A.3B.5C.7D.6答案：B。將數據從小到大排序為\(1,3,5,7,9\)，數據個數\(n=5\)為奇數，中位數是按順序排列后的中間值，即第\(\frac{n+1}{2}=3\)個數，所以中位數為5，選B。13.在保險費率厘定中，純保費是指：A.用于支付保險賠款的費用B.包含附加費用的保費C.保險公司的利潤部分D.用于支付理賠費用和公司運營費用的保費答案：A。純保費是根據保險標的的損失概率計算出來的，專門用于支付保險賠款的費用。包含附加費用的保費是毛保費，它是純保費與附加保費之和。保險公司的利潤部分包含在附加保費中。用于支付理賠費用和公司運營費用的保費是毛保費的概念，所以選A。14.若一個隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\)約為：A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5答案：A。根據正態(tài)分布的性質，對于正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6826\)，\(P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9544\)，\(P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)\approx0.9974\)，所以選A。15.在時間序列的季節(jié)調整中，常用的方法是：A.移動平均法B.指數平滑法C.回歸分析法D.差分法答案：A。移動平均法是時間序列季節(jié)調整中常用的方法，它通過對時間序列進行移動平均來消除季節(jié)波動的影響。指數平滑法主要用于時間序列的預測?；貧w分析法通常用于分析變量之間的因果關系。差分法主要用于平穩(wěn)時間序列的處理，消除趨勢項，所以選A。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于精算模型中常用分布的有：A.正態(tài)分布B.泊松分布C.指數分布D.伽馬分布答案：ABCD。正態(tài)分布常用于描述許多自然和社會現象中的隨機變量，在精算中也有廣泛應用，如在風險評估和定價中。泊松分布常用于描述保險理賠次數等隨機事件的發(fā)生次數。指數分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔，如理賠時間間隔。伽馬分布可以用于描述保險理賠額等，它具有靈活性，可以通過調整參數來適應不同的實際情況，所以ABCD都正確。2.在數據分析中，數據清洗的主要任務包括：A.處理缺失值B.去除異常值C.數據標準化D.數據編碼答案：AB。數據清洗的主要任務是處理數據中的不完整、不一致和錯誤信息。處理缺失值是數據清洗的重要環(huán)節(jié)，常見的方法有刪除缺失值、填充缺失值等。去除異常值可以避免異常數據對分析結果的影響。數據標準化是將數據按比例縮放，使其落入一個特定區(qū)間，屬于數據預處理的一種，但不是數據清洗的主要任務。數據編碼是將分類變量轉換為數值變量，以便進行數據分析，也不屬于數據清洗的主要任務，所以選AB。3.關于生存分析中的危險率\(\lambda(t)\)，以下說法正確的有：A.\(\lambda(t)=\frac{f(t)}{S(t)}\)B.\(\lambda(t)\)表示在時刻\(t\)存活的個體在\(t\)時刻的瞬時死亡概率C.\(\lambda(t)\)與生存函數\(S(t)\)有密切關系D.當\(\lambda(t)\)為常數時，生存時間\(T\)服從指數分布答案：ABCD。危險率\(\lambda(t)\)的定義為\(\lambda(t)=\frac{f(t)}{S(t)}\)，其中\(zhòng)(f(t)\)是生存時間\(T\)的概率密度函數，\(S(t)\)是生存函數，所以它表示在時刻\(t\)存活的個體在\(t\)時刻的瞬時死亡概率。從定義可以看出，\(\lambda(t)\)與生存函數\(S(t)\)有密切關系。當\(\lambda(t)=\lambda\)（常數）時，通過對危險率公式進行積分等推導，可以得到生存函數\(S(t)=e^{-\lambdat}\)，這表明生存時間\(T\)服從指數分布，所以ABCD都正確。4.在多元線性回歸分析中，以下哪些情況可能導致多重共線性問題：A.自變量之間存在高度的線性相關B.樣本量過小C.自變量的取值范圍過窄D.模型中包含過多的自變量答案：AD。多重共線性是指多元線性回歸模型中自變量之間存在高度的線性相關關系。當自變量之間存在高度的線性相關時，會使回歸系數的估計不穩(wěn)定，難以準確判斷每個自變量對因變量的影響。模型中包含過多的自變量也容易導致自變量之間出現多重共線性。樣本量過小主要會影響估計的精度和模型的穩(wěn)定性，但不是導致多重共線性的直接原因。自變量的取值范圍過窄可能會影響模型的擬合效果，但與多重共線性關系不大，所以選AD。5.在保險精算中，以下哪些因素會影響保險費率的厘定：A.保險標的的風險程度B.保險公司的運營成本C.市場競爭情況D.利率水平答案：ABCD。保險標的的風險程度是決定純保費的關鍵因素，風險越高，純保費越高。保險公司的運營成本需要通過附加保費來彌補，所以運營成本會影響保險費率。市場競爭情況會促使保險公司調整費率以吸引客戶，在競爭激烈的市場中，費率可能會相對較低。利率水平會影響保險公司的投資收益，進而影響保險費率的厘定，例如在長期保險產品中，利率的波動會對保費產生較大影響，所以ABCD都正確。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述精算模型中常用的風險度量方法及其特點。答：精算模型中常用的風險度量方法主要有以下幾種：（1）方差和標準差：方差\(Var(X)=E[(X-E(X))^2]\)，標準差是方差的平方根\(\sigma=\sqrt{Var(X)}\)。它們的特點是計算相對簡單，能夠反映隨機變量偏離其均值的程度。但方差和標準差對正負偏差同等對待，沒有考慮損失和收益的不對稱性。例如，在保險中，我們更關注的是可能的損失，而它們將盈利和虧損的波動同等看待。（2）半方差和半標準差：半方差只考慮隨機變量低于均值部分的偏差平方的期望，半標準差是半方差的平方根。它們克服了方差和標準差對正負偏差同等對待的缺點，更側重于度量損失的風險。但計算相對復雜，需要先確定哪些數據點低于均值。（3）風險價值（VaR）：在一定的置信水平下，某一金融資產或投資組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失。例如，在95%的置信水平下，VaR為100萬元，表示在95%的情況下，該資產或組合在未來特定時間內的損失不會超過100萬元。VaR的優(yōu)點是直觀易懂，能夠給出一個明確的風險數值，便于管理層進行決策。缺點是它沒有考慮超過VaR值的損失情況，即尾部風險。（4）條件風險價值（CVaR）：也稱為期望損失，是在給定置信水平下，超過VaR的損失的期望值。它彌補了VaR不考慮尾部風險的不足，提供了更全面的風險信息。但CVaR的計算相對復雜，需要先計算VaR，并且對數據的要求較高。（5）夏普比率：\(Sharpe\Ratio=\frac{E(R_p)-R_f}{\sigma_p}\)，其中\(zhòng)(E(R_p)\)是投資組合的期望收益率，\(R_f\)是無風險收益率，\(\sigma_p\)是投資組合的標準差。它衡量的是投資組合每承擔一單位風險所獲得的超過無風險收益的額外收益。優(yōu)點是可以用于比較不同投資組合的風險-收益特征，缺點是它假設收益率服從正態(tài)分布，在實際應用中可能存在局限性。2.解釋時間序列分析中平穩(wěn)性的概念，并說明平穩(wěn)時間序列的重要性。答：平穩(wěn)性是時間序列分析中的一個重要概念，可分為嚴平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴平穩(wěn)是指時間序列的聯合概率分布不隨時間的平移而變化，即對于任意的\(t_1,t_2,\cdots,t_n\)和任意的整數\(k\)，\((X_{t_1},X_{t_2},\cdots,X_{t_n})\)和\((X_{t_1+k},X_{t_2+k},\cdots,X_{t_n+k})\)具有相同的聯合概率分布。寬平穩(wěn)是指時間序列滿足以下三個條件：（1）均值函數\(E(X_t)=\mu\)為常數，不隨時間\(t\)變化；（2）方差函數\(Var(X_t)=\sigma^2\)為常數，不隨時間\(t\)變化；（3）自協方差函數\(Cov(X_t,X_{t+k})\)只與時間間隔\(k\)有關，而與時間\(t\)無關。平穩(wěn)時間序列的重要性主要體現在以下幾個方面：（1）便于建模：許多時間序列模型，如自回歸模型（AR）、移動平均模型（MA）和自回歸移動平均模型（ARMA）等，都是基于平穩(wěn)時間序列建立的。平穩(wěn)性假設使得模型的參數估計和預測更加可靠和有效。（2）預測準確性：平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特征不隨時間變化，因此可以利用歷史數據來準確地預測未來值。如果時間序列不平穩(wěn)，那么基于歷史數據建立的模型可能無法準確反映未來的變化趨勢，導致預測誤差較大。（3）理論分析：平穩(wěn)時間序列具有許多良好的數學性質，便于進行理論分析和推導。例如，平穩(wěn)時間序列的自相關函數和偏自相關函數具有特定的性質，可以用于模型的識別和階數的確定。（4）比較和評估：平穩(wěn)時間序列可以在不同的時間段和不同的數據集之間進行比較和評估。通過比較平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計特征，可以判斷不同序列之間的相似性和差異性，為決策提供依據。3.說明在保險費率厘定中，如何運用精算模型和數據分析來確定合理的保費。答：在保險費率厘定中，運用精算模型和數據分析來確定合理保費的步驟如下：（1）數據收集與整理：首先要收集大量與保險標的相關的數據，包括歷史理賠數據、被保險人的特征數據（如年齡、性別、健康狀況等）、風險環(huán)境數據（如地理區(qū)域、行業(yè)特點等）。對收集到的數據進行清洗，處理缺失值、異常值，確保數據的質量和一致性。例如，如果歷史理賠數據中存在一些因錄入錯誤導致的異常高額理賠記錄，需要進行修正或刪除。（2）風險分類：利用數據分析方法對保險標的進行風險分類?？梢允褂镁垲惙治龅燃夹g，根據被保險人的特征和風險因素將其劃分為不同的風險類別。例如，在人壽保險中，可以根據年齡、健康狀況將被保險人分為低風險、中風險和高風險類別。不同風險類別的被保險人面臨的損失概率不同，需要制定不同的費率。（3）損失分布擬合：選擇合適的精算模型來擬合理賠數據的損失分布。常見的分布有泊松分布用于擬合理賠次數，指數分布、伽馬分布等用于擬合理賠額。通過最大似然估計等方法估計分布的參數。例如，根據歷史理賠次數數據，估計泊松分布的參數\(\lambda\)，根據理賠額數據估計指數分布的參數\(\mu\)。（4）純保費計算：根據擬合的損失分布，計算純保費。對于理賠次數\(N\)和理賠額\(X\)相互獨立的情況，總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，可以通過計算\(E(S)\)來得到純保費。例如，若\(N\simP(\lambda)\)，\(X\simExp(\mu)\)，且\(N\)與\(X\)相互獨立，則\(E(S)=E(N)E(X)=\frac{\lambda}{\mu}\)。（5）附加保費確定：除了純保費，還需要考慮保險公司的運營成本、利潤等因素，確定附加保費?？梢酝ㄟ^分析公司的歷史運營數據，計算出運營成本占保費的比例，從而確定附加保費的金額。例如，根據公司過去幾年的運營數據，發(fā)現運營成本占保費收入的20%，則可以在純保費的基礎上加上20%作為附加保費。（6）費率調整與驗證：根據市場情況、政策法規(guī)等因素對初步確定的保費進行調整。同時，使用交叉驗證等方法對費率進行驗證，評估費率的合理性和穩(wěn)定性。例如，將數據分為訓練集和測試集，在訓練集上確定費率，在測試集上驗證費率的準確性，看是否能夠覆蓋理賠成本并保證公司的盈利。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.已知某保險業(yè)務中，理賠次數\(N\)服從泊松分布\(P(3)\)，理賠額\(X\)服從指數分布\(Exp(2)\)，且\(N\)與\(X\)相互獨立。求總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望和方差。解：（1）首先求理賠次數\(N\)的期望和方差：因為\(N\simP(3)\)，根據泊松分布的性質，\(E(N)=\lambda=3\)，\(Var(N)=\lambda=3\)。（2）然后求理賠額\(X\)的期望和方差：因為\(X\simExp(2)\)，根據指數分布的性質，\(E(X)=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{2}\)，\(Var(X)=\frac{1}{\mu^2}=\frac{1}{4}\)。（3）根據復合泊松分布的期望和方差公式：對于總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，當\(N\)與\(X\)相互獨立時，\(E(S)=E(N)E(X)\)，\(Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]^2\)。將\(E(N)=3\)，\(E(X)=\frac{1}{2}\)，\(Var(N)=3\)，\(Var(X)=\frac{1}{4}\)代入公式可得：\(E(S)=E(N)E(X)=3\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。\(Var(S)=E(N)Var(X)+Var(N)[E(X)]^2=3\times\frac{1}{4}+3\times(\frac{1}{2})^2=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)。所以，總理賠額\(S\)的期望為\(\frac{3}{2}\)，方差為\(\frac{3}{2}\)。2.某保險公司收集了10個投保人的年齡\(x\)（歲）和年保費\(y\)（千元）的數據如下：|\(x\)|20|25|30|35|40|45|50|55|60|65||---