2025極限求法考試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.當x→0時，sinx/x的極限是（）A.0B.1C.2D.不存在2.函數f(x)=x2+1在x→1時的極限是（）A.1B.2C.3D.43.當x→∞時，(1+1/x)^x的極限是（）A.eB.1C.0D.不存在4.極限lim(x→0)(e^x-1)/x=（）A.0B.1C.2D.e5.函數y=1/x在x→0時的極限是（）A.0B.1C.∞D.不存在6.極限lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=（）A.0B.1C.2D.37.當x→0時，tanx/x的極限是（）A.0B.1C.2D.不存在8.函數f(x)=√x在x→4時的極限是（）A.2B.4C.8D.169.極限lim(x→∞)xsin(1/x)=（）A.0B.1C.∞D.不存在10.當x→0時，ln(1+x)/x的極限是（）A.0B.1C.2D.不存在答案：1.B2.B3.A4.B5.D6.C7.B8.A9.B10.B多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些函數在x→0時極限存在（）A.sinxB.cosxC.1/xD.x22.極限lim(x→1)(x3-1)/(x-1)的值為（）A.1B.2C.3D.43.當x→∞時，下列函數極限為0的是（）A.1/x2B.e^(-x)C.sinx/xD.x24.函數f(x)=x3在x→0時的極限性質正確的是（）A.左極限等于右極限B.極限存在C.極限為0D.極限不存在5.極限lim(x→0)(1-cosx)/x2=（）A.0B.1/2C.1D.26.下列極限計算正確的是（）A.lim(x→0)x=0B.lim(x→1)2=2C.lim(x→∞)1/x=0D.lim(x→0)sin2x/x=27.當x→0時，與x等價無窮小的是（）A.sinxB.tanxC.ln(1+x)D.1-cosx8.函數f(x)=1/(x-2)在x→2時（）A.左極限不存在B.右極限不存在C.極限不存在D.極限為09.極限lim(x→0)(e^2x-1)/x=（）A.0B.1C.2D.410.當x→0時，(1+x)^n-1與nx是（）A.等價無窮小B.同階無窮小C.高階無窮小D.低階無窮小答案：1.ABD2.C3.ABC4.ABC5.B6.ABCD7.ABCD8.C9.C10.A判斷題（每題2分，共10題）1.函數極限一定是唯一的。（）2.當x→0時，x和sinx是等價無窮小。（）3.極限lim(x→a)f(x)存在，則f(x)在x=a處一定有定義。（）4.當x→∞時，指數函數增長比冪函數快。（）5.函數f(x)=|x|在x→0時極限存在。（）6.極限lim(x→0)1/x=∞。（）7.若lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，則lim(x→a)(f(x)g(x))=AB。（）8.當x→0時，1-cosx是x的高階無窮小。（）9.函數在某點極限存在，則在該點附近有界。（）10.極限lim(x→∞)(x2+1)/x=∞。（）答案：1.√2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.√10.√簡答題（總4題，每題5分）1.簡述等價無窮小替換求極限的方法。利用常見等價無窮小替換，如x→0時，sinx~x，tanx~x等，簡化極限式子再求解。2.求極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)?；喌胠im(x→2)(x+2)=4。3.當x→0時，說明1-cosx與x2/2的關系。1-cosx與x2/2是等價無窮小。因為lim(x→0)(1-cosx)/(x2/2)=1。4.簡述極限存在的夾逼準則。若g(x)≤f(x)≤h(x)，且lim(x→a)g(x)=lim(x→a)h(x)=A，則lim(x→a)f(x)=A。討論題（總4題，每題5分）1.討論函數f(x)=1/(x-1)在x=1處極限情況及原因。在x=1處極限不存在。因為x→1?時，f(x)→+∞；x→1?時，f(x)→-∞。2.談談如何利用洛必達法則求極限。對于0/0或∞/∞型極限，對分子分母分別求導再求極限，若仍為0/0或∞/∞型可繼續(xù)使用。