陜西2025自考[工商管理]概率論與數(shù)理統(tǒng)計（經(jīng)管類）主觀題專練一、填空題（每空2分，共10分）1.若隨機(jī)變量X的分布律為：P(X=k)=c/(k+1)，k=1,2,3,則常數(shù)c=__________。2.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，樣本均值為x?，樣本方差為S2，當(dāng)n=25時，統(tǒng)計量(√25)·(x?-μ)/S服從________分布。3.在假設(shè)檢驗中，若H?為原假設(shè)，犯第一類錯誤的概率記作α，則α表示________。4.設(shè)事件A、B互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，則P(A∪B)=________。5.若總體X的期望E(X)=2，方差D(X)=0.25，則樣本均值x?的期望E(x?)=________，方差D(x?)=________。二、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述樣本均值x?和樣本方差S2的統(tǒng)計意義。2.解釋什么是假設(shè)檢驗中的P值，并說明其作用。3.列舉三種常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其主要性質(zhì)。4.說明全概率公式和貝葉斯公式的適用條件及區(qū)別。三、計算題（每題10分，共30分）1.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率為0.1，現(xiàn)隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，求恰有1件次品的概率。2.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x)=λe??,x≥0（指數(shù)分布），抽取樣本容量為n=10的樣本，求樣本均值的分布。3.某商場調(diào)查顧客購買商品的平均花費，隨機(jī)抽取100名顧客，樣本均值為150元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為20元。若總體近似服從正態(tài)分布，求總體均值μ的95%置信區(qū)間。四、證明題（每題15分，共30分）1.證明：若X?,...,X?是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則統(tǒng)計量(√n)·(x?-μ)/(σ/√n)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2.證明：對于任意事件A和B，有P(A|B)+P(ā|B)=1。五、應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.某工廠質(zhì)檢部門檢測產(chǎn)品重量，假設(shè)產(chǎn)品重量X服從正態(tài)分布N(50,4)，現(xiàn)隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，測得重量分別為：49,51,48,52,50。（1）求樣本均值和樣本方差；（2）檢驗總體均值是否顯著大于50（α=0.05）。2.某電商企業(yè)分析用戶購買行為，發(fā)現(xiàn)購買概率與用戶年齡有關(guān)。若已知20歲以下用戶購買概率為0.2，20-30歲用戶購買概率為0.4，30歲以上用戶購買概率為0.6，且各年齡段用戶占比分別為：30%,50%,20%。（1）求隨機(jī)購買一個用戶的購買概率；（2）若已知某用戶購買了商品，求其屬于20-30歲年齡段的概率。答案與解析一、填空題1.2解析：根據(jù)分布律性質(zhì)，∑P(X=k)=1，即c/(1+1)+c/(2+1)+c/(3+1)=1，解得c=2/3。2.t解析：當(dāng)總體方差未知時，統(tǒng)計量(√n)·(x?-μ)/(S/√n)服從t分布。3.在H?為真時，拒絕H?的概率解析：第一類錯誤即假陽性，指原假設(shè)成立卻錯誤拒絕的次數(shù)。4.0.7解析：A、B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7。5.2；0.01解析：樣本均值x?是總體期望的無偏估計，方差為D(x?)=σ2/n=0.25/25=0.01。二、簡答題1.樣本均值x?是總體均值μ的無偏估計，反映樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢；樣本方差S2是總體方差σ2的無偏估計，反映樣本數(shù)據(jù)的離散程度。2.P值是在原假設(shè)H?成立時，觀察到當(dāng)前或更極端結(jié)果的概率。若P值<α，則拒絕H?。3.常見連續(xù)型隨機(jī)變量：-指數(shù)分布：f(x)=λe??,x≥0；-正態(tài)分布：f(x)=（1/(σ√2π)）·e^(-(x-μ)2/(2σ2))；-均勻分布：f(x)=1/(b-a),a≤x≤b。4.全概率公式適用于條件概率的綜合計算，需知道所有劃分事件的概率；貝葉斯公式用于后驗概率計算，需先驗概率及條件概率。三、計算題1.P(X=1)=C(3,1)·(0.1)1·(0.9)2=0.243解析：使用二項分布公式，n=3,p=0.1。2.樣本均值的分布為N(0,λ/n)解析：指數(shù)分布的樣本均值服從伽馬分布，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后呈正態(tài)分布。3.95%置信區(qū)間為(140.54,159.46)解析：正態(tài)分布總體均值置信區(qū)間為x?±t_(α/2)·(S/√n)，查t表得t_(0.025,9)=2.262。四、證明題1.證明：-X?,...,X?~N(μ,σ2)?x?~N(μ,σ2/n)；-標(biāo)準(zhǔn)化后(√n)·(x?-μ)/(σ/√n)~N(0,1)。2.證明：P(A|B)+P(ā|B)=P(A∩B)/P(B)+P(ā∩B)/P(B)=P((A∩B)∪(ā∩B))/P(B)=P(S)/P(B)=1。五、應(yīng)用題1.（1）樣本均值49.6，樣本方差4.96-x?=(49+51+48+52+50)/5=49.6；-S2=[(49-49.6)2+...+(50-49.6)2]/4=4.96。（2）拒絕H?-H?:μ≤50，拒絕域為t>t_(0.05,4)=2.132；-計算t=(49.6-50)/(2/√5)=-0.89＜2.132，不拒絕。2.（1）P(A)=0.38-P(A)=0.3×0.2+0.5×0