5.3同角三角函數(shù)值的基本關系式教學設計中職數(shù)學基礎模塊下冊湘科技版（2021·十四五）科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）5.3同角三角函數(shù)值的基本關系式教學設計中職數(shù)學基礎模塊下冊湘科技版（2021·十四五）課程基本信息1.課程名稱：5.3同角三角函數(shù)值的基本關系式

2.教學年級和班級：中職數(shù)學基礎模塊下冊湘科技版（2021·十四五）一年級全體學生

3.授課時間：2023年11月15日星期三第2節(jié)課

4.教學時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標1.發(fā)展數(shù)學抽象思維能力，理解同角三角函數(shù)值之間的關系。

2.培養(yǎng)數(shù)學建模能力，將實際問題轉化為三角函數(shù)模型。

3.提升數(shù)學運算能力，熟練運用三角函數(shù)關系式進行計算。

4.增強數(shù)學推理能力，通過邏輯推理得出三角函數(shù)關系式的結論。教學難點與重點1.教學重點，

①理解并掌握同角三角函數(shù)值的基本關系式，包括正弦、余弦、正切之間的關系。

②能夠運用這些關系式進行三角函數(shù)值的計算，包括直接計算和間接計算。

③能夠根據(jù)已知的一個三角函數(shù)值，求出其他兩個三角函數(shù)值。

2.教學難點，

①理解同角三角函數(shù)值之間關系的內在邏輯，特別是當角度接近直角或其倍數(shù)時，函數(shù)值的變化規(guī)律。

②在解決實際問題時，能夠靈活選擇合適的三角函數(shù)關系式，并將其應用于具體的數(shù)學模型中。

③在進行三角函數(shù)值的計算時，能夠準確處理特殊角的三角函數(shù)值，避免計算錯誤。教學資源準備1.教材：確保每位學生都有本節(jié)課所需的教材或學習資料，包括湘科技版中職數(shù)學基礎模塊下冊。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的三角函數(shù)圖像、關系式圖表和實際應用案例的多媒體資源，以幫助學生直觀理解。

3.教室布置：設置分組討論區(qū)，便于學生互動交流，并確保實驗操作臺整潔，為可能的小組實驗活動做準備。教學過程設計一、導入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設情境：展示生活中常見的三角形狀，如建筑、藝術作品等，引導學生觀察并提問：“這些三角形狀是如何設計和構建的？”

2.提出問題：引導學生思考，在構建這些形狀時，如何確定各個角度的大小和邊長比例。

3.引入新課：介紹本節(jié)課的主題——同角三角函數(shù)值的基本關系式，并簡要說明其重要性。

二、講授新課（15分鐘）

1.正弦、余弦、正切函數(shù)的定義：介紹正弦、余弦、正切函數(shù)的定義，結合具體圖形進行講解。

2.三角函數(shù)關系式的推導：通過圖形演示，推導出同角三角函數(shù)值的基本關系式，如sin2θ+cos2θ=1。

3.特殊角的三角函數(shù)值：講解0°、30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函數(shù)值，并說明其應用。

三、鞏固練習（10分鐘）

1.課堂練習：給出幾個關于同角三角函數(shù)值的基本關系式的計算題，讓學生獨立完成。

2.小組討論：分組討論，讓學生分享自己的解題思路和計算過程，互相學習。

四、課堂提問（5分鐘）

1.提問：引導學生思考，如何將同角三角函數(shù)值的基本關系式應用于實際問題中。

2.回答：邀請學生回答問題，并給予點評和指導。

五、師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.教師提問：針對本節(jié)課的重點內容，提出問題，如“如何判斷一個角的正弦值、余弦值和正切值的大小關系？”

2.學生回答：邀請學生回答問題，并給予點評和指導。

3.教師總結：針對學生的回答，總結本節(jié)課的重點內容，強調同角三角函數(shù)值的基本關系式在實際問題中的應用。

六、核心素養(yǎng)拓展（5分鐘）

1.創(chuàng)設情境：給出一個實際問題，如建筑設計、機械制造等，引導學生運用同角三角函數(shù)值的基本關系式解決問題。

2.學生解答：邀請學生解答問題，并給予點評和指導。

3.教師總結：針對學生的解答，總結本節(jié)課的核心素養(yǎng)，如數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學推理等。

七、課堂小結（5分鐘）

1.回顧本節(jié)課的主要內容：同角三角函數(shù)值的基本關系式及其應用。

2.強調重點：強調本節(jié)課的重點內容，如特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)關系式的推導等。

3.作業(yè)布置：布置課后作業(yè)，鞏固學生對本節(jié)課內容的理解和掌握。

整個教學過程共計45分鐘，教師需根據(jù)實際情況靈活調整教學環(huán)節(jié)和用時。教學資源拓展1.拓展資源：

-三角函數(shù)的歷史背景：介紹三角函數(shù)的發(fā)展歷程，從古代的幾何學應用到現(xiàn)代的工程和物理領域，激發(fā)學生對三角函數(shù)的興趣。

-三角函數(shù)在工程中的應用：提供一些實際案例，如建筑設計中的三角函數(shù)應用、電子工程中的信號處理等，展示三角函數(shù)在現(xiàn)實世界中的重要性。

-三角函數(shù)在數(shù)學競賽中的題目：收集一些涉及三角函數(shù)的數(shù)學競賽題目，包括國內外知名競賽的題目，以供學生挑戰(zhàn)和提升自己的能力。

-三角函數(shù)的數(shù)學證明方法：介紹一些常用的三角函數(shù)證明方法，如三角恒等式的應用、積分法、復數(shù)法等，拓寬學生的數(shù)學視野。

2.拓展建議：

-閱讀相關書籍：推薦學生閱讀一些關于三角函數(shù)的科普書籍或教材，如《三角函數(shù)與幾何應用》、《三角函數(shù)導論》等，以加深對三角函數(shù)的理解。

-觀看教學視頻：推薦學生觀看一些在線教學視頻，如MOOC平臺上的三角函數(shù)課程，通過視頻講解和實例分析，幫助學生更好地掌握三角函數(shù)知識。

-參加數(shù)學競賽：鼓勵學生參加數(shù)學競賽，如數(shù)學建模競賽、數(shù)學奧林匹克競賽等，通過競賽鍛煉學生的三角函數(shù)應用能力和解決問題的能力。

-實踐項目：引導學生參與一些與三角函數(shù)相關的實踐項目，如測量建筑物的高度、分析信號波形等，將理論知識應用于實際操作中，提高學生的實踐能力。

-小組討論：組織學生進行小組討論，分享自己在學習三角函數(shù)過程中的心得體會，互相學習和啟發(fā)，拓寬知識面。

-制作思維導圖：鼓勵學生制作三角函數(shù)的思維導圖，整理和歸納三角函數(shù)的相關知識點，幫助記憶和理解。

-查閱資料：指導學生查閱相關的數(shù)學期刊、學術論文等，了解三角函數(shù)領域的最新研究成果和發(fā)展趨勢。課堂小結，當堂檢測課堂小結：

1.回顧本節(jié)課的主要內容，強調同角三角函數(shù)值的基本關系式，包括正弦、余弦、正切之間的關系，以及特殊角的三角函數(shù)值。

2.總結本節(jié)課的教學重點，即學生能夠理解并運用三角函數(shù)關系式進行計算，能夠根據(jù)已知的一個三角函數(shù)值，求出其他兩個三角函數(shù)值。

3.強調本節(jié)課的教學難點，即學生能夠理解同角三角函數(shù)值之間關系的內在邏輯，以及在實際問題中靈活選擇合適的三角函數(shù)關系式。

4.鼓勵學生在課后復習時，結合實際例子，如建筑設計、機械制造等，加深對三角函數(shù)關系的理解。

當堂檢測：

1.簡答題：

-請簡述同角三角函數(shù)值的基本關系式，并舉例說明其應用。

-如何通過已知的一個三角函數(shù)值，求出其他兩個三角函數(shù)值？

-請舉例說明三角函數(shù)關系式在解決實際問題中的應用。

2.計算題：

-已知角θ的正弦值為0.5，求θ的正切值和余弦值。

-在直角三角形ABC中，∠A=30°，AB=10cm，求AC和BC的長度。

3.應用題：

-在建筑設計中，需要計算一個三角形屋頂?shù)钠露?，已知屋頂?shù)慕嵌葹?5°，求屋頂?shù)钠露龋葱甭剩?/p>

檢測結束后，教師應及時批改并反饋學生的答題情況，對于普遍存在的問題進行講解和指導，確保學生對本節(jié)課內容的理解和掌握。同時，教師可以根據(jù)學生的表現(xiàn)，調整后續(xù)的教學策略，以適應不同學生的學習需求。重點題型整理1.題型一：求特定角的三角函數(shù)值

例題：已知角α的度數(shù)為60°，求sinα、cosα、tanα的值。

解答：在直角三角形中，若∠α=60°，則根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinα=對邊/斜邊，cosα=鄰邊/斜邊，tanα=對邊/鄰邊。在一個單位圓中，60°角的正弦值是√3/2，余弦值是1/2，正切值是√3。

2.題型二：求三角函數(shù)的倒數(shù)

例題：若sinθ=1/2，求θ的正切值和余切值。

解答：已知sinθ=1/2，根據(jù)三角函數(shù)的關系，tanθ=sinθ/cosθ。由于sin2θ+cos2θ=1，可以求得cosθ=√(1-sin2θ)=√(1-1/4)=√3/2。因此，tanθ=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3，cotθ=1/tanθ=√3。

3.題型三：求一個角的三角函數(shù)值

例題：若sinα=√3/2，且α在第二象限，求cosα、tanα的值。

解答：在第二象限，正弦值為正，余弦值為負。已知sinα=√3/2，根據(jù)sin2α+cos2α=1，可以求得cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-3/4)=-√1/4=-1/2。因此，tanα=sinα/cosα=(√3/2)/(-1/2)=-√3。

4.題型四：三角函數(shù)關系式的應用

例題：若sinθ=3/5，且cosθ>0，求sin(θ+30°)的值。

解答：首先，利用sin2θ+cos2θ=1求得cosθ=√(1-sin2θ)=√(1-9/25)=4/5。然后，使用和角公式sin(θ+30°)=sinθcos30°+cosθsin30°。代入已知的sinθ和cosθ的值，得到sin(θ+30°)=(3/5)(√3/2)+(4/5)(1/2)=(3√3+4)/10。

5.題型五：三角函數(shù)在實際問題中的應用

例題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，求∠A的正切值。

解答：在直角三角形中，tanA=對邊/鄰邊。已知∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，所以∠A的對邊是AC，鄰邊是BC。根據(jù)勾股定理，AC=√(AB2-BC2)=√(132-52)=√(169-25)=√144=12cm。因此，tanA=AC/BC=12/5。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.多媒體輔助教學：在講授三角函數(shù)關系式時，利用多媒體展示三角函數(shù)圖像和實際應用案例，使抽象的概念更加直觀，提高學生的學習興趣。

2.案例教學法：結合實際工程案例，如建筑設計、機械制造等，讓學生在實際問題中運用三角函數(shù)知識，增強學生的實踐能力。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生對三角函數(shù)關系式的理解不夠深入：部分學生在理解三角函數(shù)關系式時，存在概念模糊、公式記憶不牢固等問題。

2.教學方法單一：傳統(tǒng)的講授法容易使學生感到枯燥乏味，缺乏互動性和趣味性，不利于提高學生的學習積極性。

3.課堂評價方式單一：主要依靠學生的課堂表現(xiàn)和課后作業(yè)來評價學生的學習效果，缺乏對學生綜合能力的全面考察。

反思改進措施（三）改進措施

1.強化概念教學：針對學生對三角函數(shù)關系式的理解不夠深入的問題，可以通過制作概念圖、動畫演示等方式，幫助學生加深對概念的理解。

2.豐富教學方