第1頁/共1頁2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）.A. B. C. D.2.設(shè)，則=（）A.3 B.5 C.-1 D.13.已知，使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.4.已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論錯誤的有（）A.定義域為 B.值域為C.在上單調(diào)遞減 D.圖象關(guān)于原點對稱5.若命題“，”為真命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A. B.0 C.1 D.36.記實數(shù)的最小數(shù)為若則函數(shù)的最大值為（）A.4 B. C.1 D.57.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間為A. B. C. D.8.已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．根據(jù)此定義，下列函數(shù)為“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的取值范圍為B.C.若，則的取值范圍是D.函數(shù)的值域為11.對于任意表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則_________．13.若函數(shù)定義域為，則函數(shù)的定義域為_____．14.設(shè)函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，.若存在，使得有解，則實數(shù)的取值范圍為__________.四．解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是一元二次方程的兩個不等實數(shù)根．（1）若均為正根，求實數(shù)的取值范圍；（2）求使的值為整數(shù)的的整數(shù)值；16.某公司最近4年對某種產(chǎn)品投入的宣傳費萬元與年銷售量之間的關(guān)系如下表所示.14916168.6236.6304.6372.6（1）根據(jù)以上表格中數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適宜作為與的函數(shù)模型？（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤萬元與的關(guān)系為，則年宣傳費為多少時年利潤最大？17.已知二次函數(shù)滿足且該函數(shù)圖象與軸交于點，在軸上截得的線段長為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）解不等式.18.若定義在上函數(shù)對任意實數(shù)、恒有，當(dāng)時，，且.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求在上最小值；（3）解關(guān)于的不等式：.19.教材中的基本不等式可以推廣到階：個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).也即：若，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.利用此結(jié)論解決下列問題：（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值，并求取得最大值時的的值；（3）對任意，判斷與的大小關(guān)系并加以嚴(yán)格證明.

2025-2026學(xué)年高一上學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知數(shù)集滿足：，，若，則一定有：（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助交集與并集的性質(zhì)推導(dǎo)即可得.【詳解】由，，故、或、，由，故，故C正確，D錯誤；同理，、或，，故A、B錯誤.故選：C.2.設(shè)，則=（）A.3 B.5 C.-1 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義區(qū)間和解析式，求函數(shù)值.【詳解】，則.故選：A3.已知，使成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合不等式性質(zhì)求解即得.【詳解】對于A，，A不是；對于B，當(dāng)時，由，得，B不是；對于C，，可能有，如，C不是；對于D，由，得，則；若，則，D是.故選：D4.已知函數(shù)，下面有關(guān)結(jié)論錯誤的有（）A.定義域為 B.值域為C.在上單調(diào)遞減 D.圖象關(guān)于原點對稱【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域、對勾函數(shù)的性質(zhì)一一分析選項即可.【詳解】對于A，顯然的定義域為，故A正確；對于B、D，易知函數(shù)，即為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，且，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故值域為，故BD正確；對于C，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集表示，且的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C錯誤.故選：C5.若命題“，”為真命題，則實數(shù)a可取最小整數(shù)值是（）A. B.0 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】分析可知，根據(jù)存在性問題結(jié)合配方法分析求解.【詳解】因為，即，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，若，，即，所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是.故選：A.6.記實數(shù)的最小數(shù)為若則函數(shù)的最大值為（）A.4 B. C.1 D.5【答案】B【解析】【分析】由題意在同一個坐標(biāo)系中，分別作出三個函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．故選：B．7.已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則的單調(diào)遞增區(qū)間為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)找到函數(shù)內(nèi)層函數(shù)的遞減區(qū)間即為答案．【詳解】令所以函數(shù)的定義域為根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減,要找的單調(diào)遞增區(qū)間，即找函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故選C【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減．需要注意的是定義域優(yōu)先原則．屬于基礎(chǔ)題．8.已知定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．根據(jù)此定義，下列函數(shù)為“理想函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用定義判斷和證明函數(shù)是否為“理想函數(shù)”【詳解】A:當(dāng)時，對當(dāng)時，，因此不是“理想函數(shù)”，故A錯誤.B：當(dāng)時，對當(dāng)時，，所以不是“理想函數(shù)”，故B錯誤.C：當(dāng)時，例如時，所以不是“理想函數(shù)”，故C錯誤.D：當(dāng)時，對當(dāng)時，，所以是“理想函數(shù)”，故D正確故選：D二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.【詳解】解：的定義域為．對于A，的定義域為，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B，定義域為，與定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對于C，的定義域為，與定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D，，與的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：ACD．10.已知函數(shù)為定義在上的減函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的取值范圍為B.C.若，則的取值范圍是D.函數(shù)的值域為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，分析出要使定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，須滿足一次函數(shù)的斜率，二次函數(shù)的對稱軸，且函數(shù)在左側(cè)的最小值大于等于在右側(cè)的最大值，進而列出不等式組，求出的取值范圍，即可判斷；對于B，C，利用函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，求出的取值范圍，即可判斷；對于D，取符合題意的，得到函數(shù)的確切解析式并求出其值域，即可判斷.【詳解】對于A，當(dāng)時，函數(shù)，對稱軸為，且.所以要使定義在上的函數(shù)是減函數(shù)，須滿足，即，解得，即的取值范圍為，故A正確；對于B，因為函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以等價于，整理得，其判別式，故恒為正，即對所有都成立，所以，恒成立，故B正確；對于C，因為函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，所以等價于，解得，即的取值范圍是，故C正確；對于D，由選項A可知，當(dāng)，函數(shù)在上是減函數(shù)，所以令，此時，當(dāng)時，可得；當(dāng)時，因為，所以，所以函數(shù)的值域為，不是，故D錯誤.故選：ABC11.對于任意的表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)取整函數(shù)的定義結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷，對于B，根據(jù)取整函數(shù)的定義求解判斷，對于C，根據(jù)取整函數(shù)的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)分析判斷，對于D，先解一元二次不等式，再利用取整函數(shù)定義求解.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以不是奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為，所以B正確，對于C，因為時，，所以，所以C正確，對于D，由，得，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以D正確.故選：BCD【點睛】思路點睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進行解答.三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，則，則，則，所以．考點：函數(shù)奇偶性應(yīng)用．13.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為_____．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的定義域為，得到函數(shù)的分子對應(yīng)的函數(shù)的定義域為，解之得，再結(jié)合分式的分母不等于0，列出不等式組，解之可得函數(shù)的定義域．【詳解】∵函數(shù)的定義域為，∴函數(shù)的定義域為，解得，因此函數(shù)的定義域滿足：，可得．∴函數(shù)的定義域為：．故答案為：．14.設(shè)函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，.若存在，使得有解，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可知，可得函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖象，由圖象可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)，可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，此時恒成立.畫出局部函數(shù)圖象如圖所示：當(dāng)時，，解得：或，要存在，使得有解，只需，故答案為：.四．解答題：本題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知是一元二次方程的兩個不等實數(shù)根．（1）若均為正根，求實數(shù)的取值范圍；（2）求使的值為整數(shù)的的整數(shù)值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題可得，判別式和，運算得解；（2）利用韋達定理化簡，結(jié)合題意求解.【小問1詳解】由題意，一元二次方程有兩個正根，故，得，且，解得：【小問2詳解】由題意，，又當(dāng)，即時，且，故，由于為整數(shù)，故只能取，又，故整數(shù)的值為.16.某公司最近4年對某種產(chǎn)品投入的宣傳費萬元與年銷售量之間的關(guān)系如下表所示.14916168.6236.6304.6372.6（1）根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個更適宜作為與的函數(shù)模型？（2）已知這種產(chǎn)品的年利潤萬元與的關(guān)系為，則年宣傳費為多少時年利潤最大？【答案】（1）更適宜作為與的函數(shù)模型（2）時，年利潤最大【解析】【分析】（1）將點代入和，求出這兩個函數(shù)，然后將代入，看哪個算出的數(shù)據(jù)接近實際數(shù)據(jù)哪個就更適宜作為與的函數(shù)模型；（2）根據(jù)（1）可得，利用函數(shù)單調(diào)性求最大利潤.【詳解】解：（1）①若選，把代入上式，得，解得，.當(dāng)時，，與相差較大，該函數(shù)不適宜作為與的函數(shù)模型.②若選，把代入上式，得，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，.比較知更適宜作為與的函數(shù)模型；（2）由（1）知，令，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)，即時，年利潤最大.【點睛】本題考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，涉及了函數(shù)的最值，是中檔題.17.已知二次函數(shù)滿足且該函數(shù)圖象與軸交于點，在軸上截得的線段長為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）解不等式.【答案】（1）（2）（3）詳解見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，由函數(shù)對稱軸和圖象在x軸上截得的線段長為可得，將點代入計算，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出參數(shù)即可；（3）將原不等式變形為，分類討論求出當(dāng)、、時不等式的解集即可.【小問1詳解】由題意知，設(shè)圖象與x軸的兩個交點為，則，由知，函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)圖象在x軸上截得的線段長為，所以，則，將點代入解析式，得，解得，所以，即；【小問2詳解】，該拋物線的對稱軸為，因為該函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，即實數(shù)a的取值范圍為；【小問3詳解】不等式轉(zhuǎn)化為，即，當(dāng)時，不等式解得或，當(dāng)時，不等式解得，當(dāng)時，不等式解得或，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為.18.若定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)、恒有，當(dāng)時，，且.（1）求證：為奇函數(shù)；（2）求在上的最小值；（3）解關(guān)于的不等式：.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，可得出的值，令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可得出結(jié)論；（2）先利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)為上的減函數(shù)，可知在上的最小值為，根據(jù)題意計算出的值，即可得