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初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)提綱同學(xué)們,初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)如同構(gòu)建一座知識(shí)的大廈,每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是不可或缺的基石。這份復(fù)習(xí)提綱旨在幫助大家梳理初中階段數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,抓住重點(diǎn),突破難點(diǎn),希望能為大家的復(fù)習(xí)之路提供清晰的指引。請(qǐng)記住,理解概念、掌握方法、勤于練習(xí)、善于總結(jié),是學(xué)好數(shù)學(xué)的不二法門(mén)。一、數(shù)與代數(shù)數(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),貫穿于整個(gè)初中階段。我們從最基本的數(shù)開(kāi)始,逐步過(guò)渡到代數(shù)式、方程與不等式,最終延伸到變化的量之間的關(guān)系——函數(shù)。(一)實(shí)數(shù)1.有理數(shù)與無(wú)理數(shù):理解有理數(shù)(整數(shù)、分?jǐn)?shù))和無(wú)理數(shù)(無(wú)限不循環(huán)小數(shù))的概念及區(qū)別。掌握實(shí)數(shù)的分類(lèi)。2.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念:數(shù)軸(三要素:原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度)、相反數(shù)(a與-a)、倒數(shù)(乘積為1的兩個(gè)數(shù),0沒(méi)有倒數(shù))、絕對(duì)值(數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,具有非負(fù)性)。3.實(shí)數(shù)的運(yùn)算:熟練掌握加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方(平方根、算術(shù)平方根、立方根)運(yùn)算及其運(yùn)算法則、運(yùn)算律(交換律、結(jié)合律、分配律)和運(yùn)算順序。注意符號(hào)問(wèn)題,以及0和1在運(yùn)算中的特殊性。(二)代數(shù)式1.整式:*整式的概念:?jiǎn)雾?xiàng)式(系數(shù)、次數(shù))、多項(xiàng)式(項(xiàng)、次數(shù)、常數(shù)項(xiàng))。*整式的運(yùn)算:合并同類(lèi)項(xiàng),去括號(hào)與添括號(hào)法則。整式的加減、乘除(單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式)。乘法公式(平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2)。*因式分解:理解因式分解的意義(把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式)。掌握提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)、十字相乘法(某些二次三項(xiàng)式)等因式分解的基本方法。注意因式分解要分解到不能再分解為止。2.分式:*分式的概念:形如A/B(A、B是整式,B中含有字母且B≠0)的式子。掌握分式有意義、無(wú)意義及分式值為零的條件。*分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同乘(或除以)一個(gè)不為零的整式,分式的值不變。利用基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分和通分。*分式的運(yùn)算:分式的加減(同分母、異分母)、乘除、乘方運(yùn)算。3.二次根式:*二次根式的概念:形如√a(a≥0)的式子。掌握二次根式有意義的條件。*二次根式的性質(zhì):(√a)2=a(a≥0);√(a2)=|a|。*二次根式的運(yùn)算:二次根式的加減(先化簡(jiǎn),再合并同類(lèi)二次根式)、乘除(√a·√b=√(ab)(a≥0,b≥0);√a/√b=√(a/b)(a≥0,b>0))。理解最簡(jiǎn)二次根式的概念。(三)方程與不等式1.方程的基本概念:等式及其性質(zhì),方程、方程的解、解方程。2.一元一次方程:*定義:只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且等號(hào)兩邊都是整式的方程。*解法:去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1。*應(yīng)用:找準(zhǔn)等量關(guān)系,列方程解決實(shí)際問(wèn)題。(如行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等)3.二元一次方程組:*定義:含有兩個(gè)未知數(shù),且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程組。*解法:代入消元法、加減消元法。*應(yīng)用:關(guān)鍵是找出兩個(gè)等量關(guān)系。4.一元二次方程:*定義:只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程(一般形式:ax2+bx+c=0,a≠0)。*解法:直接開(kāi)平方法、配方法、公式法(求根公式:x=[-b±√(b2-4ac)]/(2a))、因式分解法。*根的判別式(Δ=b2-4ac):Δ>0時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;Δ=0時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;Δ<0時(shí),沒(méi)有實(shí)數(shù)根。*根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理):若x?、x?是ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,則x?+x?=-b/a,x?·x?=c/a。*應(yīng)用:注意驗(yàn)根,特別是分式方程和無(wú)理方程。5.分式方程:*定義:分母中含有未知數(shù)的方程。*解法:去分母(方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母,化為整式方程)、解整式方程、驗(yàn)根(代入最簡(jiǎn)公分母,確保其不為零)。6.不等式與不等式組:*不等式的概念及基本性質(zhì)(特別是性質(zhì)3:不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變)。*一元一次不等式的解法:類(lèi)似于解一元一次方程,但要注意不等號(hào)方向。*一元一次不等式組的解法:分別求出每個(gè)不等式的解集,再借助數(shù)軸求出公共部分(口訣法:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無(wú)解了)。*應(yīng)用:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列不等式(組),求整數(shù)解等。(四)函數(shù)1.函數(shù)的基本概念:在一個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量x與y,如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng),那么就說(shuō)x是自變量,y是x的函數(shù)。函數(shù)的表示方法:解析式法、列表法、圖像法。會(huì)求函數(shù)自變量的取值范圍。2.一次函數(shù)(包括正比例函數(shù)):*定義:形如y=kx+b(k、b是常數(shù),k≠0),當(dāng)b=0時(shí),y=kx是正比例函數(shù)。*圖像:一條直線(xiàn)。(兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn))*性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小。b決定直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)(0,b)。*應(yīng)用:求解析式(待定系數(shù)法)、解決與一次函數(shù)圖像和性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題、利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。3.反比例函數(shù):*定義:形如y=k/x(k是常數(shù),k≠0)。*圖像:雙曲線(xiàn)。*性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí),圖像在第一、三象限,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減??;當(dāng)k<0時(shí),圖像在第二、四象限,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大。*應(yīng)用:求解析式、結(jié)合圖像分析性質(zhì)、解決實(shí)際問(wèn)題。4.二次函數(shù):*定義:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù),a≠0)。*圖像:拋物線(xiàn)。*性質(zhì):開(kāi)口方向(a>0向上,a<0向下)、對(duì)稱(chēng)軸(x=-b/(2a))、頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))。最值(當(dāng)a>0時(shí),有最小值;當(dāng)a<0時(shí),有最大值)。增減性(以對(duì)稱(chēng)軸為界)。*表達(dá)式的三種形式:一般式、頂點(diǎn)式(y=a(x-h)2+k)、交點(diǎn)式(y=a(x-x?)(x-x?))。*應(yīng)用:求解析式(待定系數(shù)法)、求最值、結(jié)合圖像解決方程與不等式問(wèn)題、解決實(shí)際問(wèn)題。二、圖形與幾何圖形與幾何幫助我們認(rèn)識(shí)空間世界,培養(yǎng)空間觀(guān)念和邏輯推理能力。從基本的點(diǎn)線(xiàn)面到復(fù)雜的圖形性質(zhì)與證明,需要我們多觀(guān)察、多動(dòng)手、多思考。(一)圖形的初步認(rèn)識(shí)1.點(diǎn)、線(xiàn)、面、體:構(gòu)成幾何圖形的基本元素及其關(guān)系。2.直線(xiàn)、射線(xiàn)、線(xiàn)段:*直線(xiàn)的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)。*線(xiàn)段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短。會(huì)比較線(xiàn)段長(zhǎng)短,會(huì)畫(huà)線(xiàn)段的中點(diǎn)。3.角:*角的概念、度量(度、分、秒)。*角的分類(lèi):銳角、直角、鈍角、平角、周角。*角的性質(zhì):同角(等角)的補(bǔ)角相等;同角(等角)的余角相等。*角平分線(xiàn)的概念和性質(zhì)。4.相交線(xiàn)與平行線(xiàn):*相交線(xiàn):對(duì)頂角(相等)、鄰補(bǔ)角(互補(bǔ))。垂線(xiàn)的概念、性質(zhì)(過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直;垂線(xiàn)段最短)。點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。*平行線(xiàn):定義、平行公理及其推論(如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行,那么這兩條直線(xiàn)也互相平行)。*平行線(xiàn)的判定與性質(zhì):同位角相等,兩直線(xiàn)平行;內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線(xiàn)平行;同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),兩直線(xiàn)平行。反之亦然(性質(zhì))。(二)三角形1.三角形的基本概念:三角形的定義、邊、角、頂點(diǎn)、內(nèi)角和定理(180°)、外角的性質(zhì)(等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角)。三角形三邊關(guān)系定理(兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊)。三角形的中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高。三角形的穩(wěn)定性。2.全等三角形:*定義:能夠完全重合的兩個(gè)三角形。*性質(zhì):全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。(對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、角平分線(xiàn)、高也相等)*判定:SSS(邊邊邊)、SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、HL(斜邊、直角邊,適用于直角三角形)。3.等腰三角形與直角三角形:*等腰三角形:定義、性質(zhì)(兩腰相等、兩底角相等;三線(xiàn)合一)、判定(等角對(duì)等邊)。*等邊三角形:特殊的等腰三角形,性質(zhì)(三邊相等、三角都是60°)、判定。*直角三角形:定義、性質(zhì)(兩銳角互余;斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半;30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)、勾股定理及其逆定理。4.相似三角形:*定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形。*判定:平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理;兩角對(duì)應(yīng)相等;兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等;三邊對(duì)應(yīng)成比例。*性質(zhì):對(duì)應(yīng)角相等;對(duì)應(yīng)邊成比例;對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于相似比;周長(zhǎng)比等于相似比;面積比等于相似比的平方。5.解直角三角形:*銳角三角函數(shù):正弦(sinA)、余弦(cosA)、正切(tanA)的定義。*特殊角的三角函數(shù)值(30°、45°、60°)。*解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的過(guò)程。*應(yīng)用:仰角、俯角、坡度、坡角等實(shí)際問(wèn)題。(三)四邊形1.多邊形:多邊形的內(nèi)角和公式((n-2)×180°)、外角和定理(360°)。2.平行四邊形:*定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形。*性質(zhì):對(duì)邊平行且相等;對(duì)角相等;對(duì)角線(xiàn)互相平分。*判定:兩組對(duì)邊分別平行;兩組對(duì)邊分別相等;一組對(duì)邊平行且相等;兩組對(duì)角分別相等;對(duì)角線(xiàn)互相平分。3.矩形、菱形、正方形:*矩形:有一個(gè)角是直角的平行四邊形。性質(zhì)(除平行四邊形性質(zhì)外,四個(gè)角都是直角,對(duì)角線(xiàn)相等)。判定(有一個(gè)角是直角的平行四邊形;對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形;三個(gè)角是直角的四邊形)。*菱形:有一組鄰邊相等的平行四邊形。性質(zhì)(除平行四邊形性質(zhì)外,四邊相等,對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分每一組對(duì)角)。判定(有一組鄰邊相等的平行四邊形;對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形;四邊相等的四邊形)。*正方形:有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形(既是矩形又是菱形)。具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。判定方法多樣。4.梯形:(注:新課標(biāo)對(duì)梯形要求可能降低,以教材為準(zhǔn))*定義:一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形。直角梯形、等腰梯形(兩腰相等的梯形)。*等腰梯形的性質(zhì):同一底上的兩個(gè)角相等;對(duì)角線(xiàn)相等。*等腰梯形的判定:兩腰相等的梯形;同一底上的兩個(gè)角相等的梯形。(四)圓1.圓的基本性質(zhì):*圓的定義(圓心、半徑、直徑)。*弦、弧(優(yōu)弧、劣弧、半圓)、圓心角、圓周角。*垂徑定理及其推論:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。*圓心角、弧、弦之間的關(guān)系:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等。*圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。2.與圓有關(guān)的位置關(guān)系:*點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外(d與r的關(guān)系)。*直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系:相離、相切、相交(d與r的關(guān)系)。切線(xiàn)的性質(zhì)(圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑)和判定(經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn))。切線(xiàn)長(zhǎng)定理。*圓與圓的位置關(guān)系:(了解,以教材為準(zhǔn),d與R、r的關(guān)系)。3.圓的有關(guān)計(jì)算:*圓的周長(zhǎng)和面積公式。*弧長(zhǎng)公式:l=nπr/180。*扇形面積公式:S=nπr2/360或S=1/2lr。*圓錐的側(cè)面積和全面積(展開(kāi)圖是扇形)。(五)圖形的變換1.平移:定義、性質(zhì)(平移不改變圖形的形狀和大??;對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)平行且相等)。作圖。2.旋轉(zhuǎn):定義(旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向)、性質(zhì)(旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大??;對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)所成的角等于旋轉(zhuǎn)角)。作圖。中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形。3.軸對(duì)稱(chēng):定義、性質(zhì)(對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn);軸對(duì)稱(chēng)圖形的兩部分全等)。作圖。軸對(duì)稱(chēng)圖形。4.位似:(了解)定義、性質(zhì)(位似圖形是相似圖形,對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)交于一點(diǎn))。作圖。三、統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)與概率幫助我們收集、整理、分析數(shù)據(jù),并對(duì)不確定現(xiàn)象做出合理的判斷和預(yù)測(cè)。(一)數(shù)據(jù)收集與整理1.數(shù)據(jù)的收集:調(diào)查方式(全面調(diào)查、抽樣調(diào)查)。總體、個(gè)體、樣本、樣本容量。2.
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