2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：與決策實(shí)踐題庫考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在題干后的括號(hào)內(nèi)）1.某公司想了解員工對(duì)新型管理模式的接受程度，隨機(jī)調(diào)查了100名員工，這種調(diào)查方式屬于？A.抽樣調(diào)查B.典型調(diào)查C.重點(diǎn)調(diào)查D.全面調(diào)查2.一組數(shù)據(jù)：5,7,9,10,12。其中位數(shù)是？A.7B.9C.10D.113.在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤是指？A.接受了一個(gè)真實(shí)為假的假設(shè)B.拒絕了一個(gè)真實(shí)為假的假設(shè)C.接受了一個(gè)真實(shí)為真的假設(shè)D.拒絕了一個(gè)真實(shí)為真的假設(shè)4.樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量，這個(gè)說法？A.總是對(duì)的B.總是錯(cuò)的C.在樣本量足夠大時(shí)對(duì)D.在樣本量足夠小時(shí)對(duì)5.已知某城市成年男性的平均身高為175cm，標(biāo)準(zhǔn)差為6cm。若隨機(jī)抽取100名成年男性，其身高的樣本平均數(shù)的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差約為？A.0.6cmB.6cmC.60cmD.無法計(jì)算6.在比較兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值是否存在顯著差異時(shí)，如果總體方差未知且相等，通常采用哪種檢驗(yàn)方法？A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本等方差）C.t檢驗(yàn)（獨(dú)立樣本異方差）D.卡方檢驗(yàn)7.一個(gè)快餐店記錄了過去30天每天的銷售量，并想了解銷售量是否與星期幾有關(guān)。最適合用來分析這個(gè)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法是？A.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)B.配對(duì)樣本t檢驗(yàn)C.方差分析D.相關(guān)分析8.當(dāng)研究兩個(gè)連續(xù)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，最適合使用的統(tǒng)計(jì)量是？A.相關(guān)系數(shù)（Pearson）B.相關(guān)系數(shù)（Spearman）C.卡方統(tǒng)計(jì)量D.F統(tǒng)計(jì)量9.某工廠生產(chǎn)的零件長度服從正態(tài)分布，已知平均長度為10cm，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1cm。現(xiàn)在要求零件長度在9.9cm到10.1cm之間為合格品，隨機(jī)抽取一個(gè)零件，它是合格品的概率大約是多少？A.68%B.95%C.99.7%D.50%10.一家電商網(wǎng)站想要評(píng)估兩種不同的推薦算法對(duì)用戶購買轉(zhuǎn)化率的影響。將用戶隨機(jī)分為兩組，分別使用兩種算法，最后比較兩組的轉(zhuǎn)化率。這種研究設(shè)計(jì)屬于？A.相關(guān)研究B.準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)研究C.實(shí)驗(yàn)研究D.觀察研究二、計(jì)算題（每題5分，共20分。請(qǐng)寫出必要的計(jì)算步驟）1.某班級(jí)30名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑篬此處省略30個(gè)具體分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)，例如：85,76,90,88,92,71,85,78,95,80,...,82]。計(jì)算該班級(jí)學(xué)生成績的均值、中位數(shù)和方差。2.欲比較甲、乙兩種肥料對(duì)某種作物產(chǎn)量的影響。隨機(jī)選取10塊土地，均等分施用甲、乙兩種肥料，其他條件盡可能保持一致。收獲后測(cè)得產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下：甲肥料：[此處省略10個(gè)具體產(chǎn)量數(shù)據(jù)，例如：450,455,460,453,458,448,462,456,454,459]乙肥料：[此處省略10個(gè)具體產(chǎn)量數(shù)據(jù)，例如：440,445,450,443,448,435,455,452,447,451]假設(shè)兩總體方差相等，請(qǐng)計(jì)算兩種肥料產(chǎn)量的均值之差，并構(gòu)建其95%的置信區(qū)間。3.某醫(yī)生想檢驗(yàn)一種新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效地降低血壓。選取了50名高血壓患者，隨機(jī)分為兩組，每組25人。一組服用新藥，另一組服用現(xiàn)有藥物，治療一段時(shí)間后測(cè)量其收縮壓變化（單位：mmHg）。新藥組平均收縮壓變化為-15mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差為5mmHg；現(xiàn)有藥物組平均收縮壓變化為-8mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差為6mmHg。請(qǐng)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（α=0.05），判斷新藥是否比現(xiàn)有藥物更有效地降低收縮壓。4.一家汽車銷售公司想要了解顧客的年齡與其購買汽車價(jià)格（萬元）之間的關(guān)系。隨機(jī)抽取了20名最近購買汽車的顧客，得到如下數(shù)據(jù)（單位：歲，萬元）：[此處省略20對(duì)年齡和價(jià)格的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，例如：(30,15),(45,25),(38,18),...,(52,28)]請(qǐng)計(jì)算年齡與購買價(jià)格的Pearson相關(guān)系數(shù)，并簡要解釋其含義。三、簡答題（每題6分，共18分）1.簡述抽樣調(diào)查的優(yōu)點(diǎn)。在什么情況下，使用抽樣調(diào)查可能比全面調(diào)查更優(yōu)？2.解釋什么是假設(shè)檢驗(yàn)中的P值。P值小于0.05意味著什么？是否P值越小，結(jié)論就越可靠？3.在進(jìn)行方差分析時(shí)，為什么需要檢驗(yàn)各個(gè)組的方差是否齊性？如果不滿足方差齊性，應(yīng)該如何處理？四、案例分析題（共22分）某連鎖超市想了解其促銷活動(dòng)對(duì)銷售額的影響，并比較不同促銷方式的效果。他們選擇了三個(gè)分店進(jìn)行為期一個(gè)月的實(shí)驗(yàn)。分店A（老顧客優(yōu)惠）主要針對(duì)老顧客提供折扣；分店B（新品體驗(yàn)）舉辦新品試用和體驗(yàn)活動(dòng)；分店C（滿減活動(dòng)）推出購買滿一定金額即可減免的活動(dòng)。三個(gè)分店在促銷活動(dòng)前一個(gè)月和活動(dòng)期間的銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬元）如下：促銷前一個(gè)月銷售額：分店A=25，分店B=30，分店C=28活動(dòng)期間銷售額：分店A=30，分店B=38，分店C=35請(qǐng)運(yùn)用你學(xué)過的統(tǒng)計(jì)方法，分析：(1)三個(gè)分店在促銷活動(dòng)期間的銷售額是否顯著高于促銷前？（提示：考慮使用什么檢驗(yàn)方法，并說明理由。）（6分）(2)比較三種不同的促銷方式，哪種效果最好？（提示：考慮使用什么檢驗(yàn)方法，并說明理由。）（8分）(3)基于你的分析結(jié)果，為該連鎖超市提供關(guān)于未來促銷活動(dòng)的建議。（需要有數(shù)據(jù)支持，并說明建議的理由）（8分）試卷答案一、選擇題1.A2.B3.A4.C5.A6.B7.C8.A9.B10.C二、計(jì)算題1.均值=(所有數(shù)據(jù)之和)/數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)=[將30個(gè)分?jǐn)?shù)相加]/30中位數(shù)=排序后位于中間位置的數(shù)值（若數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，取中間兩個(gè)數(shù)的平均值）方差=Σ(每個(gè)數(shù)據(jù)-均值)2/(數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)-1)[需根據(jù)提供的具體分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算]2.均值之差=甲組均值-乙組均值[計(jì)算甲組10個(gè)產(chǎn)量數(shù)據(jù)的均值]-[計(jì)算乙組10個(gè)產(chǎn)量數(shù)據(jù)的均值]標(biāo)準(zhǔn)誤差(SE)=sqrt[(甲組平方和-甲組均值2)/(甲組樣本量-1)+(乙組平方和-乙組均值2)/(乙組樣本量-1)]/sqrt[(甲組樣本量+乙組樣本量)/(甲組樣本量*乙組樣本量)][根據(jù)甲乙兩組數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差]95%置信區(qū)間=均值之差±(t值*標(biāo)準(zhǔn)誤差)[查找t分布表，自由度為甲乙兩組樣本量之和減2，α/2=0.025對(duì)應(yīng)的t值；將計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)誤差和t值代入公式]3.H?:新藥效果≤現(xiàn)有藥物效果(即新藥均值變化-現(xiàn)有藥物均值變化≤0)H?:新藥效果>現(xiàn)有藥物效果(即新藥均值變化-現(xiàn)有藥物均值變化>0)[提出假設(shè)]樣本均值之差=-15-(-8)=-7合并方差估計(jì)=[(n?-1)s?2+(n?-1)s?2]/(n?+n?-2)[根據(jù)n?=25,n?=25,s?=5,s?=6計(jì)算合并方差]t統(tǒng)計(jì)量=(樣本均值之差-0)/[sqrt(合并方差*(1/n?+1/n?))][代入計(jì)算出的數(shù)值]查t分布表，自由度為48(n?+n?-2)，α=0.05的右側(cè)臨界值。[比較計(jì)算出的t統(tǒng)計(jì)量與臨界值][得出結(jié)論：若t統(tǒng)計(jì)量>臨界值，則拒絕H?]4.相關(guān)系數(shù)r=[Σ(xi-x?)(yi-?)]/[sqrt(Σ(xi-x?)2*Σ(yi-?)2)][根據(jù)提供的20對(duì)數(shù)據(jù)計(jì)算x?（年齡均值）,?（價(jià)格均值），然后代入公式計(jì)算r][解釋：計(jì)算出的r值介于-1和1之間，表示年齡與購買價(jià)格之間的線性相關(guān)強(qiáng)度和方向。例如，r>0表示正相關(guān)，r<0表示負(fù)相關(guān)，|r|越接近1表示線性關(guān)系越強(qiáng)，|r|越接近0表示線性關(guān)系越弱。]三、簡答題1.抽樣調(diào)查的優(yōu)點(diǎn)包括：省時(shí)省力省錢、減少數(shù)據(jù)處理量、避免全面調(diào)查可能帶來的破壞性、可及性更強(qiáng)、結(jié)果可推斷總體等。在總體單位數(shù)龐大、分布廣泛、調(diào)查具有破壞性或成本過高的情況下，使用抽樣調(diào)查可能比全面調(diào)查更優(yōu)。2.P值是指在原假設(shè)（H?）為真時(shí)，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。P值小于0.05意味著樣本結(jié)果與原假設(shè)存在顯著差異的可能性小于5%。P值越小，說明在原假設(shè)為真時(shí)觀察到當(dāng)前結(jié)果的運(yùn)氣越差，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強(qiáng)，結(jié)論越可靠，但不能完全保證結(jié)論的絕對(duì)正確。3.進(jìn)行方差分析時(shí)需要檢驗(yàn)各個(gè)組的方差是否齊性，因?yàn)榉讲罘治觯ˋNOVA）的有效性假設(shè)之一是各組方差相等（方差齊性）。如果不滿足方差齊性，可能會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果的錯(cuò)誤（如增大TypeI錯(cuò)誤）。處理方法包括：使用對(duì)齊方差敏感的檢驗(yàn)方法（如Welch'sANOVA）、通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換（如對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)、平方根等轉(zhuǎn)換）使方差齊性、使用非參數(shù)檢驗(yàn)方法等。四、案例分析題(1)方法：由于涉及三個(gè)組的均值比較，且數(shù)據(jù)為前后測(cè)設(shè)計(jì)，可采用單因素重復(fù)測(cè)量方差分析（如果同一分店數(shù)據(jù)視為重復(fù)測(cè)量）或獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（如果視為三個(gè)獨(dú)立組，但時(shí)間點(diǎn)信息有限，重復(fù)測(cè)量更佳）。此處更傾向于使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)比較三個(gè)分店促銷后的銷售額，但需注意前提檢驗(yàn)。為簡化，此處按獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)思路（或假設(shè)為重復(fù)測(cè)量方差分析）。假設(shè)使用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)比較三個(gè)分店促銷后的銷售額。思路：分別比較分店A促銷后與分店B、分店C促銷后銷售額是否有顯著差異，或分店B與分店C促銷后銷售額是否有顯著差異。計(jì)算各組促銷后銷售額的均值（A=30,B=38,C=35），計(jì)算各組均值的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)每對(duì)進(jìn)行比較，使用t檢驗(yàn)。計(jì)算公式為t=(均值1-均值2)/sqrt[(s?2/n?)+(s?2/n?)]，其中s?2,s?2為組內(nèi)方差，n?,n?為組內(nèi)樣本量（此處為1，但需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差）。更準(zhǔn)確地，應(yīng)計(jì)算三個(gè)組促銷后銷售額的整體均值（(30+38+35)/3=34.33），然后分別計(jì)算Avs34.33,Bvs34.33,Cvs34.33的t值?；蛘?，直接比較A(30)與B(38),A(30)與C(35),B(38)與C(35)這三個(gè)兩兩比較的t值。需計(jì)算每個(gè)組的樣本量（假設(shè)每個(gè)分店一個(gè)月的數(shù)據(jù)代表一個(gè)樣本點(diǎn)，即n=1，但這會(huì)使標(biāo)準(zhǔn)誤差極大，分析意義有限。更合理的假設(shè)是每個(gè)分店的數(shù)據(jù)是連續(xù)的，但題目未給出足夠信息計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和進(jìn)行t檢驗(yàn)）。（修正思路：題目給出的數(shù)據(jù)是三個(gè)店促銷前和促銷后的總銷售額，并非連續(xù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)，且樣本量n=1，無法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和進(jìn)行有效的t檢驗(yàn)或ANOVA。此題數(shù)據(jù)設(shè)置存在問題，無法按常規(guī)方法完成。如果強(qiáng)行假設(shè)每個(gè)數(shù)值是一個(gè)樣本，則無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。因此，此題在現(xiàn)有數(shù)據(jù)下無法給出標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)答案。改為定性分析）修正回答思路（定性）：觀察數(shù)據(jù)，三個(gè)分店促銷后的銷售額（30,38,35）均高于促銷前的銷售額（25,30,28）。促銷后銷售額的提升幅度分別為5萬元、8萬元和7萬元。從數(shù)據(jù)上看，分店B的促銷效果似乎最好，其次是分店C，分店A次之。但僅憑三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來確認(rèn)差異的顯著性。(2)方法：可以采用單因素方差分析（ANOVA）比較三個(gè)分店促銷期間的銷售額均值是否存在顯著差異。思路：計(jì)算三個(gè)分店促銷期間銷售額的均值（A=30,B=38,C=35）。計(jì)算三個(gè)樣本的均值（34.33），以及每個(gè)樣本的平方和（Σ(30-34.33)2=19.34,Σ(38-34.33)2=13.34,Σ(35-34.33)2=0.51）。計(jì)算總平方和（19.34+13.34+0.51=33.19）。計(jì)算組內(nèi)平方和（由于n=1，組內(nèi)平方和即各樣本與樣本均值的差的平方和，為19.34+13.34+0.51=33.19）。計(jì)算組間平方和（(30-34.33)2+(38-34.33)2+(35-34.33)2=19.34+13.34+0.51=33.19）。計(jì)算平均組內(nèi)平方和（MSwithin=33.19/(3-1)=16.596，自由度為dfwithin=2）。計(jì)算平均組間平方和（MSbetween=33.19/3=11.063，自由度為dfbetween=2）。計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量（F=MSbetween/MSwithin=11.063/16.596≈0.666）。查找F分布表，自由度dfbetween=2,dfwithin=2，顯著性水平α=0.05。由于自由度為2時(shí)，F(xiàn)臨界值非常大（遠(yuǎn)大于0.666）。因此，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)小于臨界值，P值遠(yuǎn)大于0.05。修正回答思路（定性）：觀察三個(gè)分店促銷期間的銷售額數(shù)據(jù)（30,38,35），均值存在差異。但僅有三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，無法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來確認(rèn)這種差異是否顯著。(3)建議：基于修正的定性分析：雖然無法通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)確認(rèn)差異顯著性，但根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)，分店B的銷售額提升最明顯（從30萬到38萬，增長8萬）。建議連鎖超市進(jìn)一步研究分店B采取的“新品體驗(yàn)”活動(dòng)