等時(shí)圓模型初步了解試題一、等時(shí)圓模型的基礎(chǔ)概念與條件分析（一）模型定義與核心特征等時(shí)圓模型是指在重力場中，從圓周上任意一點(diǎn)沿光滑弦軌道由靜止釋放的質(zhì)點(diǎn)，到達(dá)圓周最低點(diǎn)（或從最高點(diǎn)沿光滑弦軌道到達(dá)圓周上任意一點(diǎn)）所用時(shí)間相等，且等于質(zhì)點(diǎn)沿豎直直徑做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。其核心特征可概括為“軌道不同，時(shí)間相等”，需滿足以下條件：軌道光滑：不計(jì)摩擦阻力，質(zhì)點(diǎn)僅受重力和軌道支持力，支持力不做功，機(jī)械能守恒。初始狀態(tài)：質(zhì)點(diǎn)從靜止開始釋放，初速度為0。軌道形狀：軌道為圓周上的弦（包括直徑），且所有軌道共面、共圓心。（二）時(shí)間公式推導(dǎo)設(shè)等時(shí)圓的半徑為(R)，從圓周上一點(diǎn)(A)沿弦軌道(AB)釋放質(zhì)點(diǎn)，其中(B)為圓周最低點(diǎn)，弦與豎直方向夾角為(\theta)。軌道長度：弦長(L=2R\cos\theta)（幾何關(guān)系：直徑為(2R)，弦長可由余弦定理或直角三角形性質(zhì)得出）。加速度：質(zhì)點(diǎn)沿軌道的加速度(a=g\cos\theta)（重力沿軌道方向的分力為(mg\cos\theta)，由牛頓第二定律(F=ma)推導(dǎo)）。運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移公式(L=\frac{1}{2}at^2)，代入(L)和(a)得：[2R\cos\theta=\frac{1}{2}(g\cos\theta)t^2]化簡后消去(\cos\theta)（(\cos\theta\neq0)），得(t=\sqrt{\frac{4R}{g}}=2\sqrt{\frac{R}{g}})，與(\theta)無關(guān)。自由落體對(duì)比：若質(zhì)點(diǎn)沿豎直直徑自由下落，下落高度為(2R)，由(2R=\frac{1}{2}gt^2)解得(t=2\sqrt{\frac{R}{g}})，與弦軌道時(shí)間完全相同，驗(yàn)證了等時(shí)性。二、基礎(chǔ)題型分類與解析（一）直接應(yīng)用時(shí)間公式的計(jì)算例題1：如圖所示，半徑為(R=10,\text{m})的等時(shí)圓豎直放置，重力加速度(g=10,\text{m/s}^2)。求：（1）質(zhì)點(diǎn)從圓周最高點(diǎn)沿任意弦軌道到達(dá)圓周上一點(diǎn)的時(shí)間；（2）若弦軌道與豎直方向夾角為(30^\circ)，質(zhì)點(diǎn)下滑的加速度和末速度大小。解析：（1）由等時(shí)圓時(shí)間公式(t=2\sqrt{\frac{R}{g}})，代入數(shù)據(jù)得(t=2\sqrt{\frac{10}{10}}=2,\text{s})。（2）加速度(a=g\cos\theta=10\cos30^\circ=5\sqrt{3},\text{m/s}^2\approx8.66,\text{m/s}^2)；末速度(v=at=5\sqrt{3}\times2=10\sqrt{3},\text{m/s}\approx17.32,\text{m/s})（或由機(jī)械能守恒(mgh=\frac{1}{2}mv^2)，(h=2R\cos\theta=20\times\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3},\text{m})，解得(v=\sqrt{2gh}=10\sqrt{3},\text{m/s})）。（二）等時(shí)圓模型的識(shí)別與構(gòu)建例題2：如圖所示，固定斜面傾角為(30^\circ)，斜面頂端有一光滑小滑輪，一根輕繩兩端分別系著質(zhì)量為(m_1)和(m_2)的物體，兩物體從靜止釋放后恰好同時(shí)到達(dá)斜面底端。已知斜面高為(h)，重力加速度為(g)，試判斷是否存在滿足條件的等時(shí)圓模型，并求出相關(guān)參數(shù)。解析：模型識(shí)別：兩物體沿斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，且斜面光滑、初速度為0，符合等時(shí)圓“等時(shí)性”特征，可嘗試構(gòu)建等時(shí)圓。幾何構(gòu)建：設(shè)斜面底端為等時(shí)圓最低點(diǎn)，斜面頂端在圓周上，斜面長度為弦長(L=\frac{h}{\sin30^\circ}=2h)。時(shí)間公式應(yīng)用：由等時(shí)圓時(shí)間公式(t=2\sqrt{\frac{R}{g}})，且斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)間(t=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2\times2h}{g\sin30^\circ}}=\sqrt{\frac{8h}{g}})（加速度(a=g\sin30^\circ=\frac{g}{2})）。參數(shù)求解：聯(lián)立(2\sqrt{\frac{R}{g}}=\sqrt{\frac{8h}{g}})，解得(R=2h)，即存在以斜面底端為最低點(diǎn)、半徑(R=2h)的等時(shí)圓，兩物體軌道為該圓的弦。（三）多軌道時(shí)間比較問題例題3：如圖所示，豎直平面內(nèi)有四個(gè)光滑軌道，分別為：①豎直直徑(AB)；②與豎直方向夾角(30^\circ)的弦(AC)；③與豎直方向夾角(45^\circ)的弦(AD)；④過圓心的水平軌道(AE)（軌道末端在圓周上）。從各軌道頂端由靜止釋放質(zhì)點(diǎn)，比較到達(dá)軌道底端的時(shí)間(t_1,t_2,t_3,t_4)的大小關(guān)系。解析：軌道①②③：均為等時(shí)圓的弦（①為直徑，②③為不同夾角的弦），由等時(shí)圓結(jié)論知(t_1=t_2=t_3=2\sqrt{\frac{R}{g}})。軌道④：水平軌道(AE)高度差為(R)（圓心到圓周的距離為半徑），加速度(a=g)（豎直方向自由落體，水平方向支持力不影響豎直運(yùn)動(dòng)），下落時(shí)間由(R=\frac{1}{2}gt_4^2)解得(t_4=\sqrt{\frac{2R}{g}}\approx1.414\sqrt{\frac{R}{g}})，小于等時(shí)圓時(shí)間(2\sqrt{\frac{R}{g}})。結(jié)論：(t_4<t_1=t_2=t_3)。三、進(jìn)階題型與拓展應(yīng)用（一）反向等時(shí)圓模型（從最低點(diǎn)到圓周上各點(diǎn)）若將模型反向：以圓周最高點(diǎn)為靜止釋放點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)沿不同弦軌道到達(dá)圓周上各點(diǎn)，時(shí)間是否仍相等？推導(dǎo)：設(shè)圓周最高點(diǎn)為(A)，半徑為(R)，弦軌道與豎直方向夾角為(\theta)，則軌道長度(L=2R\sin\theta)，加速度(a=g\sin\theta)（重力沿軌道分力為(mg\sin\theta)），由(L=\frac{1}{2}at^2)得(t=2\sqrt{\frac{R}{g}})，仍為等時(shí)。結(jié)論：等時(shí)圓具有雙向性，“從最高點(diǎn)到圓周各點(diǎn)”與“從圓周各點(diǎn)到最低點(diǎn)”時(shí)間相等。（二）復(fù)合軌道與等時(shí)圓組合例題4：如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑(R=0.5,\text{m})的等時(shí)圓，最低點(diǎn)為(O)，圓周上有(A,B,C)三點(diǎn)，其中(A)為最高點(diǎn)，(B)與(O)等高，(C)為(AO)中點(diǎn)正上方的圓周點(diǎn)?，F(xiàn)有三個(gè)質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)1：從(A)沿(AO)自由下落；質(zhì)點(diǎn)2：從(B)沿光滑弦軌道(BO)下滑；質(zhì)點(diǎn)3：從(C)沿光滑弦軌道(CO)下滑。求三質(zhì)點(diǎn)到達(dá)(O)點(diǎn)的時(shí)間（(g=10,\text{m/s}^2)）。解析：質(zhì)點(diǎn)1：沿直徑自由下落，時(shí)間(t_1=2\sqrt{\frac{R}{g}}=2\sqrt{\frac{0.5}{10}}=\sqrt{0.1}\approx0.316,\text{s})。質(zhì)點(diǎn)2：軌道(BO)為水平弦，與豎直方向夾角(\theta=90^\circ)，弦長(L=2R\cos90^\circ=0)（錯(cuò)誤，應(yīng)為幾何關(guān)系：(BO)為水平半徑，長度(L=R)，加速度(a=g\cos90^\circ=0)（豎直方向無分力），但實(shí)際(B)與(O)等高，質(zhì)點(diǎn)2靜止釋放后無法沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，時(shí)間(t_2\to\infty)（題目隱含軌道需有高度差，此處(B)點(diǎn)應(yīng)在圓周上且高于(O)，修正后(\theta=45^\circ)，則(t_2=t_1\approx0.316,\text{s})）。質(zhì)點(diǎn)3：設(shè)(C)點(diǎn)與豎直方向夾角為(\theta)，由幾何關(guān)系得弦長(L=2R\cos\theta)，加速度(a=g\cos\theta)，時(shí)間(t_3=2\sqrt{\frac{R}{g}}=t_1)。結(jié)論：修正后(t_1=t_2=t_3\approx0.316,\text{s})。（三）非豎直平面等時(shí)圓（傾斜平面）等時(shí)圓模型可拓展到傾斜平面：在傾角為(\alpha)的光滑斜面上，以某點(diǎn)為圓心作圓，使圓周上各點(diǎn)沿斜面內(nèi)的弦軌道下滑到最低點(diǎn)時(shí)間相等。此時(shí)重力加速度需分解為沿斜面方向的分量(g'=g\sin\alpha)，時(shí)間公式變?yōu)?t=2\sqrt{\frac{R}{g\sin\alpha}})，推導(dǎo)過程與豎直平面類似，僅需將(g)替換為(g\sin\alpha)。四、易錯(cuò)點(diǎn)與解題技巧（一）常見錯(cuò)誤分析混淆“等時(shí)圓”與“等高點(diǎn)時(shí)間比較”：若軌道不在同一等時(shí)圓上，即使起點(diǎn)高度相同，時(shí)間也可能不同。例如，半徑不同的兩個(gè)等時(shí)圓，半徑越大，時(shí)間越長。忽略“靜止釋放”條件：若質(zhì)點(diǎn)初速度不為0，等時(shí)性不成立，需用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式(L=v_0t+\frac{1}{2}at^2)計(jì)算時(shí)間。軌道是否為“弦”的判斷：若軌道端點(diǎn)不在圓周上（如折線軌道、弧線軌道），則不屬于等時(shí)圓模型，需用能量守恒結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。（二）解題技巧總結(jié)構(gòu)建等時(shí)圓：遇到多軌道等時(shí)問題，優(yōu)先嘗試以最低點(diǎn)（或最高點(diǎn)）為圓心，過軌道起點(diǎn)作圓，若所有起點(diǎn)在圓周上，則時(shí)間相等。幾何關(guān)系優(yōu)先：通過三角函數(shù)（正弦、余弦）計(jì)算弦長和加速度，注意區(qū)分軌道與豎直方向、水平方向的夾角。公式靈活變形：時(shí)間公式(t=2\sqrt{\frac{R}{g}})可變形為(R=\frac{gt^2}{4})，用于已知時(shí)間求半徑或比較半徑大小。五、綜合應(yīng)用題例題5：如圖所示，一固定光滑半球形碗，半徑為(R)，碗口水平，最低點(diǎn)為(O)。在碗口邊緣有三個(gè)點(diǎn)(A,B,C)，其中(A)在碗口正前方，(B)與(A)夾角(60^\circ)，(C)在碗口正上方。將三個(gè)相同小球從(A,B,C)三點(diǎn)由靜止釋放，分別沿光滑碗壁滑到(O)點(diǎn)，求：（1）三小球到達(dá)(O)點(diǎn)的時(shí)間關(guān)系；（2）若碗的半徑(R=2,\text{m})，求小球從(A)點(diǎn)滑到(O)點(diǎn)的時(shí)間及末速度（(g=10,\text{m/s}^2)）。解析：（1）模型判斷：半球形碗的內(nèi)壁可視為等時(shí)圓的一部分（以(O)為最低點(diǎn)，碗口邊緣在圓周上），(A,B)兩點(diǎn)在碗口邊緣（即圓周上），沿內(nèi)壁下滑軌道為弦，故(t_A=t_B=2\sqrt{\frac{R}{g}})；(C)點(diǎn)在碗口正上方，軌道為豎直直徑，時(shí)間(t_C=2\sqrt{\frac{R}{g}})，因此(t_A=t_B=t_C)。（2）時(shí)間計(jì)算：(t_A=2\sqrt{\frac{R}{g}}=2\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac{8}{10}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx0.894,\text{s})；末速度：由機(jī)