2025年上學(xué)期高三數(shù)學(xué)“三角恒等變換與圖象性質(zhì)”小專題試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知$\cos(\alpha+\beta)=m$，$\tan\alpha\tan\beta=2$，則$\cos(\alpha-\beta)=$（）A.$3m$B.$-m$C.$\frac{m}{3}$D.$3m-2$設(shè)$x\in[0,2\pi]$，函數(shù)$y=\sinx$與$y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$的圖象交點個數(shù)為（）A.3B.4C.6D.8若$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=3$，則$\sin\alpha\cos\alpha=$（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{5}$已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$，將其圖象向右平移$\frac{\pi}{6}$個單位長度后與原圖象重合，則$\omega$的最小值為（）A.2B.3C.6D.12函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的最大值與最小值之和為（）A.$\sqrt{2}-1$B.$\sqrt{2}+1$C.0D.2已知$\alpha$為銳角，$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}$，則$\sin\alpha=$（）A.$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$B.$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$C.$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$D.$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$的圖象的對稱軸方程為（）A.$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$B.$x=k\pi+\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$C.$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$D.$x=k\pi-\frac{\pi}{12}(k\in\mathbb{Z})$將函數(shù)$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移$\frac{\pi}{6}$個單位長度，得到的函數(shù)解析式為（）A.$y=\sinx$B.$y=\cosx$C.$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$D.$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(\omegax+\varphi\right)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖象如圖所示，則$\omega+\varphi=$（）A.$\frac{\pi}{3}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\pi$若函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的值域為（）A.$\left[0,\frac{3}{2}\right]$B.$\left[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$C.$\left[0,1+\sqrt{3}\right]$D.$\left[0,2\right]$已知$\alpha,\beta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，$\cos\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin(\alpha+\beta)=\frac{5}{13}$，則$\cos\beta=$（）A.$\frac{16}{65}$B.$\frac{33}{65}$C.$\frac{56}{65}$D.$\frac{63}{65}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知$\tan\alpha=2$，則$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$________。函數(shù)$f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$的最小正周期為________，單調(diào)遞增區(qū)間為________。函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的最大值為2，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{\pi}{2}$，且過點$\left(\frac{\pi}{6},2\right)$，則$f(x)=$________。已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，則$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$，且$\alpha\in(0,\pi)$，求$\sin\alpha-\cos\alpha$和$\tan\alpha$的值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+2\cos^2x$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最大值和最小值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$。（1）畫出函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\pi\right]$上的圖象；（2）寫出函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心。（12分）已知$\alpha,\beta$為銳角，$\cos\alpha=\frac{4}{5}$，$\tan(\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$。（1）求$\sin(\alpha-\beta)$的值；（2）求$\cos\beta$的值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的部分圖象如圖所示。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x+\frac{\pi}{12})$，求函數(shù)$g(x)$在區(qū)間$\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$上的最大值和最小值。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\omegax+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的最小正周期；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4}\right]$上單調(diào)遞增，求$\omega$的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，$g(x)=\sinx-\cosx$，若$f(x)=2g(x)$，求$\sin2x+\cos2x$的值。已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，若對任意$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，都有$f(x)\geqm$成立，求實數(shù)$m$的最大值。參考答案與解析一、選擇題A解析：$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=m$，$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$，由$\tan\alpha\tan\beta=2$得$\sin\alpha\sin\beta=2\cos\alpha\cos\beta$，設(shè)$\cos\alpha\cos\beta=t$，則$\sin\alpha\sin\beta=2t$，所以$t-2t=m\Rightarrowt=-m$，則$\cos(\alpha-\beta)=t+2t=3t=-3m$，選A。C解析：令$\sinx=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$，在$[0,2\pi]$內(nèi)解方程可得6個解，選C。B解析：$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=3\Rightarrow\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{3}$，選B。C解析：由題意得$\frac{\pi}{6}=\frac{2k\pi}{\omega}(k\in\mathbb{N}^*)\Rightarrow\omega=12k$，當(dāng)$k=1$時，$\omega=12$，選D。（注：原搜索結(jié)果中答案為C，此處按正確解法修正）A解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，在$[0,\pi]$上最大值為$\sqrt{2}$，最小值為$-1$，和為$\sqrt{2}-1$，選A。D解析：$\sin\alpha=\sin\left[\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}-\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}=\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$，選A。A解析：令$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrowx=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$，選A。A解析：橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$，向左平移$\frac{\pi}{6}$個單位得$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$，選D。B解析：由圖象知周期$T=\pi\Rightarrow\omega=2$，過點$\left(\frac{\pi}{12},1\right)$，則$\sin\left(2\times\frac{\pi}{12}+\varphi\right)=1\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{3}$，所以$\omega+\varphi=2+\frac{\pi}{3}$，無正確選項。（注：原題可能存在圖象缺失，此處按常規(guī)解法給出思路）A解析：$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$，在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的值域為$\left[0,\frac{3}{2}\right]$，選A。C解析：$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos\beta=\cos[\alpha-(\alpha-\beta)]=\cos\alpha\cos(\alpha-\beta)+\sin\alpha\sin(\alpha-\beta)=\frac{4}{5}\times\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{3}{5}\times\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\frac{9}{5\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{50}$，無正確選項。（注：原題可能存在數(shù)據(jù)錯誤，此處按常規(guī)解法給出思路）B解析：$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$，非奇非偶函數(shù)，選C。二、填空題3解析：原式$=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$$\pi$；$\leftk\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}\right$解析：$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，令$2k\pi-\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi\Rightarrowk\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6}$$2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$解析：$A=2$，$T=\pi\Rightarrow\omega=2$，過點$\left(\frac{\pi}{6},2\right)$，則$\sin\left(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=1\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{6}$$\sqrt{2}$解析：$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos2x\sin\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\left(\cos2x\cos\frac{\pi}{3}-\sin2x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x-\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x+\frac{3}{2}\sin2x=2\sin2x-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\cos2x$，最大值為$\sqrt{2^2+\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2}$，計算可得$\sqrt{2}$三、解答題解：由$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}$平方得$1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\Rightarrow\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{12}{25}$，因為$\alpha\in(0,\pi)$，所以$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha<0$，$\sin\alpha-\cos\alpha=\sqrt{1-2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{7}{5}$，聯(lián)立解得$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，$\cos\alpha=-\frac{3}{5}$，所以$\tan\alpha=-\frac{4}{3}$解：（1）$f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{1}{2}\sin2x+2\times\frac{1+\cos2x}{2}=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{3}{2}$，$T=\pi$（2）在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上，$2x+\frac{\pi}{4}\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]$，最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{2}$，最小值為$-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{2}$解：（1）圖象略，關(guān)鍵點：$(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$(\frac{\pi}{12},1)$，$(\frac{\pi}{3},0)$，$(\frac{7\pi}{12},-1)$，$(\frac{5\pi}{6},0)$，$(\pi,\frac{\sqrt{3}}{2})$（2）單調(diào)遞增區(qū)間：$\leftk\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}\right$，對稱中心：$\left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6},0\right)(k\in\mathbb{Z})$解：（1）$\tan(\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$，$\alpha,\beta$為銳角，所以$\alpha-\beta\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)$，$\sin(\alpha-\beta)=-\frac{1}{\sqrt{10}}$（2）$\cos\beta=\cos[\alpha-(\alpha-\beta)]=\cos\alpha\cos(\alpha-\beta)+\sin\alpha\sin(\alpha-\beta)=\frac{4}{5}\times\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{3}{5}\times\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\frac{9\sqrt{10}}{50}$解：（1）由圖象知$A=2$，$T=\pi\Rightarrow\omega=2$，過點$\left(\frac{\pi}{6},2\right)$，則$\sin\left(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=1\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{6}$，所以$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$（2）$g(x)=2\sin\left(2(x+\frac{\pi}{12})+\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，在$\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$上的最大值為2，最小值為$-\sqrt{3}$解：（1）$f(x)=\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\omegax+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\omegax\cos\frac{\pi}{6}+\cos\omegax\sin\frac{\pi}{6}+\cos\omegax\cos\frac{\pi}{3}-\sin\omegax\sin\frac{\pi}{