第二章復(fù)變函數(shù)第一節(jié)解析函數(shù)的概念及C.-R.方程1、導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)：設(shè)是在區(qū)域內(nèi)確定的單值函數(shù)，并且，。如果極限存在，為復(fù)數(shù)，則稱在處可導(dǎo)或可微，極限稱為在處的導(dǎo)數(shù)，記作，或。解析函數(shù)：定義：如果在及的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在處解析；如果在區(qū)域內(nèi)處處解析，則我們稱在內(nèi)解析，也稱是的解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)（函）數(shù)一般記為或。注解1、語言，如果任給，可以找到一個(gè)與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，，注解2、解析性與連續(xù)性：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性的函數(shù)必然是這個(gè)上的連續(xù)函數(shù)；注解3、解析性與可導(dǎo)性：在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性是一個(gè)局部概念，而解析性是一個(gè)整體概念；注解4、函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)解析，是指在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)解析，因此在此點(diǎn)可導(dǎo)；反之，在一個(gè)點(diǎn)的可導(dǎo)性不能得到在這個(gè)點(diǎn)解析。

解析函數(shù)的四則運(yùn)算：和在區(qū)域內(nèi)解析，那么，，（分母不為零）也在區(qū)域內(nèi)解析，并且有下面的導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：。復(fù)合求導(dǎo)法則：設(shè)在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，在平面上的區(qū)域內(nèi)解析，而且當(dāng)時(shí)，，那么復(fù)合函數(shù)在內(nèi)解析，并且有求導(dǎo)的例子：（1）、如果（常數(shù)），那么；（2）、，；（3）、的任何多項(xiàng)式在整個(gè)復(fù)平面解析，并且有（4）、在復(fù)平面上，任何有理函數(shù)，除去使分母為零的點(diǎn)外是解析的，它的導(dǎo)數(shù)的求法與z是實(shí)變量時(shí)相同。2、柯西-黎曼條件可微復(fù)變函數(shù)的實(shí)部與虛部滿足下面的定理：定理3.1設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在點(diǎn)可微的充要條件是：實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)在(x,y)處可微；u(x,y)和v(x,y)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）證明：（必要性）設(shè)在有導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，當(dāng)時(shí)（）其中，。比較上式的實(shí)部與虛部，得因此，由實(shí)變二元函數(shù)的可微性定義知，u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）設(shè)u(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，并且有柯西-黎曼方程成立：設(shè)則由可微性的定義，有：令，當(dāng)（）時(shí)，有令，則有所以，f(x,y)在點(diǎn)可微的。定理3.2設(shè)函數(shù)f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在D區(qū)域D內(nèi)確定，那么f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)在D內(nèi)可微；u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)滿足柯西-黎曼條件（簡稱C-R方程）關(guān)于柯西-黎曼條件，有下面的注解：注解1、解析函數(shù)的實(shí)部與虛部不是完全獨(dú)立的，它們是C-R方程的一組解，它們是在研究流體力學(xué)時(shí)得到得；注解2、解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式更簡潔：注解3、利用此定理，可以判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)是否在一點(diǎn)可微或在一個(gè)區(qū)域內(nèi)解析：如以及在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)解析，而在任何點(diǎn)都不可微。解析函數(shù)第二節(jié)初等解析函數(shù)

7、冪函數(shù)利用對(duì)數(shù)函數(shù)，可以定義冪函數(shù)：設(shè)a是任何復(fù)數(shù)，則定義z的a次冪函數(shù)為當(dāng)a為正實(shí)數(shù)，且z=0時(shí)，還規(guī)定。由于因此，對(duì)同一個(gè)的不同數(shù)值的個(gè)數(shù)等于不同數(shù)值的因子個(gè)數(shù)。因此，有下面的結(jié)論：冪函數(shù)的基本性質(zhì)：由于對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性，冪函數(shù)一般是一個(gè)多值函數(shù)；當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)單值函數(shù)；當(dāng)（當(dāng)n是正整數(shù)）時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)n值函數(shù)；當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)n值函數(shù)；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是一個(gè)無窮值多值函數(shù)。設(shè)在區(qū)域G內(nèi)，我們可以把Lnz分成無窮個(gè)解析分支。對(duì)于Lnz的一個(gè)解析分支，相應(yīng)地有一個(gè)單值連續(xù)分支。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，的這個(gè)單值連續(xù)分支在G內(nèi)解析，并且,其中應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)它求導(dǎo)數(shù)的那個(gè)分支，lnz應(yīng)當(dāng)理解為對(duì)數(shù)函數(shù)相應(yīng)的分支。對(duì)應(yīng)于Lnz在G內(nèi)任一解析分支：當(dāng)a是整數(shù)時(shí)，在G內(nèi)是同一解析函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在G內(nèi)有n個(gè)解析分支；當(dāng)a是無理數(shù)或虛數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在G內(nèi)有無窮多個(gè)解析分支，是一個(gè)無窮值多值函數(shù)。例如當(dāng)n是大于1的整數(shù)時(shí)，稱為根式函數(shù)，它是的反函數(shù)。當(dāng)時(shí)，有這是一個(gè)n值函數(shù)。在復(fù)平面上以負(fù)實(shí)軸（包括0）為割線而得得區(qū)域D內(nèi)，它有n個(gè)不同的解析分支：它們也可以記作，這些分支在負(fù)實(shí)軸的上沿與下沿所取的值，與相應(yīng)的連續(xù)分支在該處所取的值一致。當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，原點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)。但按照a是有理數(shù)或者a不是有理數(shù)，這兩個(gè)支點(diǎn)具有完全不同的性質(zhì)。為了理解這些結(jié)論，我們?cè)?或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)，任作一條簡單閉曲線C圍繞0或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。在C上任取一點(diǎn)，確定Argz在的一個(gè)值；相應(yīng)地確定,在的一個(gè)值?，F(xiàn)在考慮下列兩種情況：(1)a是有理數(shù)，當(dāng)一點(diǎn)z從出發(fā)按反時(shí)針或順時(shí)針方向連續(xù)變動(dòng)n周時(shí)，argz從連續(xù)變動(dòng)到，而則從相應(yīng)地連續(xù)變動(dòng)到,也即第一次回到了它從出發(fā)時(shí)的值。這時(shí)，我們稱原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的n-1階支點(diǎn)，也稱n-1為階代數(shù)支點(diǎn)。（2）a不是有理數(shù)時(shí)，容易驗(yàn)證原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的無窮階支點(diǎn)。當(dāng)a不是整數(shù)時(shí)，由于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是的支點(diǎn)，所以任取連接這兩個(gè)支點(diǎn)的一條簡單連續(xù)曲線作為割線，得一個(gè)區(qū)域。在內(nèi)，可以把分解成解析分支。關(guān)于冪函數(shù)當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時(shí)的映射性質(zhì)，有下面的結(jié)論：設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，并且。在z平面上取正實(shí)數(shù)軸（包括原點(diǎn)）作為割線，得到一個(gè)區(qū)域D*?？紤]D*內(nèi)的角形，并取在D*內(nèi)的一個(gè)解析分支當(dāng)z描出A內(nèi)的一條射線時(shí)（不包括0），w在w平面描出一條射線。讓從0增加到（不包括0及），那么射線l掃過角形A，而相應(yīng)的射線掃過角形，因此把夾角為的角形雙射成一個(gè)夾角為的角形，同時(shí)，這個(gè)函數(shù)把A中以原點(diǎn)為心的圓弧映射成中以原點(diǎn)為心的圓弧。類似地，我們有，當(dāng)n(>1)是正整數(shù)時(shí)，的n個(gè)分支分別把區(qū)域D*雙射成w平面的n個(gè)角形.作出一個(gè)含i的區(qū)域，使得函數(shù)在這個(gè)區(qū)域內(nèi)可以分解成解析分支；求一個(gè)分支在i點(diǎn)的值。解：由于我們先求函數(shù)w的支點(diǎn)。因?yàn)榈闹c(diǎn)是0及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以函數(shù)w可能的支點(diǎn)是0、1、2及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。任作一條簡單連續(xù)閉曲線C，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含0，但不包含1及2。設(shè)是C上一點(diǎn)，我們確定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在這點(diǎn)的值分別為。當(dāng)z從按反時(shí)針方向沿C連續(xù)變動(dòng)一周時(shí)，通過連續(xù)變動(dòng)可以看到，增加了，而沒有變化，于是w在的值就從連續(xù)變動(dòng)到因此0是函數(shù)w的一個(gè)支點(diǎn)；同時(shí)，任作一條簡單連續(xù)閉曲線C，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域含1，但不包含0及2。設(shè)是C上一點(diǎn)，我們確定Argz、Arg(z-1)及Arg(z-2)在這點(diǎn)的值分別為。當(dāng)z從按反時(shí)針方向沿C連續(xù)變動(dòng)一周時(shí)，通過連續(xù)變動(dòng)可以看到，增加了，而沒有變化，于是w在的值就從連續(xù)變動(dòng)到因此1也是函數(shù)w的一個(gè)支點(diǎn)；同理，2和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也是它的支點(diǎn)。支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，把函數(shù)分解成單值解析分支。首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0、1、2及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無界簡單連續(xù)曲線作為割線，在所得區(qū)域內(nèi)，可以把w分解成連續(xù)分支。例如可取作為復(fù)平面上這樣的割線，得區(qū)域D。其次，任作作一條簡單連續(xù)閉曲線，使其不經(jīng)過0、1、2，并使其內(nèi)區(qū)域包含這三個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)，但不包含另外一點(diǎn)。設(shè)是上一點(diǎn)，確定w在的一個(gè)值，同樣的討論，有當(dāng)z從沿連續(xù)變化一周回到時(shí)，連續(xù)變化而得的值沒有變化。所以，我們可以作為割線如下，取線段[0,1]及從2出發(fā)且不與[0,1]相交的射線為割線，也可以把分解成連續(xù)分支。例如取在所得區(qū)域內(nèi)，可以把w分解成連續(xù)分支。例如可取[0,1]及作為復(fù)平面上的割線，得區(qū)域。求w在上述區(qū)域中的一個(gè)解析分支在z=i的值。在z=-1，取于是在D或內(nèi)，w可以分解成兩個(gè)解析分支由于所求的分支在z=-1的值為，可見這個(gè)分支是由下圖可以得到，在D或內(nèi)z=i處，因此w的所求分支在z=i的值是.例2、 驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)域D=C-[0,1]內(nèi)可以分解成解析分支；求出這個(gè)函數(shù)在(0,1)上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在處的值及函數(shù)在(0,1)下沿的值。證明：我們有則及是的三階支點(diǎn)，而無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是它的支點(diǎn)。事實(shí)上，任作作一條簡單連續(xù)閉曲線C*，使其內(nèi)區(qū)域包含0、1，設(shè)z*是C*上一點(diǎn)，確定w在z*的一個(gè)值，當(dāng)z從z*沿C*連續(xù)變化一周回到z*時(shí)，w連續(xù)變化而得的值沒有變化。因此，在區(qū)域D=C-[0,1]內(nèi)，可以把w分解成解析分支?，F(xiàn)在選取在(0,1)上沿取正實(shí)值的那一支，即在(0,1)上沿，其中0<x<1，根號(hào)表示算術(shù)根。求這一支在z=-1的值。在(0,1)上沿，取argz=0，arg(1-z)=0。于是所求的一支為其中0<x<1，根號(hào)表示算術(shù)根。求這一支在z=-1的在D內(nèi)z=-1處于是w的指定的一支在z=-1處的值是.最后，考慮上述單值分支在(0,1)下沿取值的情況。在區(qū)域D內(nèi)，當(dāng)z沿右邊的曲線，從(0,1)上沿變動(dòng)到(0,1)下沿時(shí)，argz沒有變化，而arg(1-z)減少了，于是在(0,1)的下沿，有當(dāng)z沿左邊的曲線，從(0,1)上沿變動(dòng)到(0,1)下沿時(shí)，argz增加了，而arg(1-z)沒有變化，于是在(0,1)的下沿，有因此，無論怎樣，當(dāng)z=x在(0,1)的下沿時(shí)，上述單值分支的值是.解析函數(shù):第三節(jié)初等多值函數(shù)8、三角函數(shù)：由于Euler公式，對(duì)任何實(shí)數(shù)x，我們有：，所以有因此，對(duì)任何復(fù)數(shù)z，定義余弦函數(shù)和正弦函數(shù)如下：則對(duì)任何復(fù)數(shù)z，Euler公式也成立：關(guān)于復(fù)三角函數(shù)，有下面的基本性質(zhì)：1、cosz和sinz是單值函數(shù)；2、cosz是偶函數(shù)，sinz是奇函數(shù):3、cosz和sinz是以為周期的周期函數(shù):4、；證明：，所以5、注解：由于負(fù)數(shù)可以開平方，所以由此不能得到，例如z=2i時(shí)，有6、cosz和sinz在整個(gè)復(fù)平面解析，并且有：證明：7、cosz和sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)：cosz在復(fù)平面的零點(diǎn)是，，sinz在復(fù)平面的零點(diǎn)是，。8、同理可以定義其他三角函數(shù)：9、反正切函數(shù)：由函數(shù)所定義的函數(shù)w稱為z的反正切函數(shù)，記作，由于，令，得到，從而，所以反正切函數(shù)是多值解析函數(shù)，它的支點(diǎn)是，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是它的支點(diǎn)。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二節(jié)復(fù)平面上的點(diǎn)集4、初步概念：設(shè)，的-鄰域定義為稱集為以為中心，為半徑的閉圓盤，記為。設(shè)，若中有無窮個(gè)點(diǎn)，則稱為的極限點(diǎn)；若，使得，則稱為的內(nèi)點(diǎn)；若中既有屬于的點(diǎn)，由有不屬于的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)；集的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為的邊界，記為；稱為的閉包，記為；若，使得，則稱為的孤立點(diǎn)（是邊界點(diǎn)但不是聚點(diǎn)）；開集：所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合；閉集：或者沒有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于；則任何集合的閉包一定是閉集；如果，使得，則稱是有界集，否則稱是無界集；復(fù)平面上的有界閉集稱為緊集。例1、圓盤是有界開集；閉圓盤是有界閉集；例2、集合是以為心，半徑為的圓周，它是圓盤和閉圓盤的邊界。例3、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無界集，復(fù)平面是無界開集。例4、集合是去掉圓心的圓盤。圓心，它是的孤立點(diǎn)，是集合的聚點(diǎn)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域：，集合稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)鄰域。類似地有，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)與孤立點(diǎn)，開集、閉集等概念。我們也稱為的一點(diǎn)緊化。5、區(qū)域、曲線：復(fù)平面C上的集合，如果滿足：（1）、是開集；（2）、中任意兩點(diǎn)可以用有限條相銜接的線段所構(gòu)成的折線連起來，而使這條折線上的點(diǎn)完全屬于。則稱是一個(gè)區(qū)域。結(jié)合前面的定義，有有界區(qū)域、無界區(qū)域。性質(zhì)（2）我們稱為連通性，即區(qū)域是連通的開集。區(qū)域內(nèi)及其邊界上全部點(diǎn)所組成的集稱為閉區(qū)域。擴(kuò)充復(fù)平面上不含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域的定義同上；含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域是C上的一個(gè)區(qū)域與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)鄰域的并集。設(shè)已給如果和都在閉區(qū)間上連續(xù)，則稱集合為一條連續(xù)曲線。如果對(duì)上任意不同兩點(diǎn)及，但不同時(shí)是的端點(diǎn)，我們有，那么上述集合稱為一條簡單連續(xù)曲線，或若爾當(dāng)曲線。若還有，則稱為一條簡單連續(xù)閉曲線，或若爾當(dāng)閉曲線。若爾當(dāng)定理：任意一條若爾當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無界的稱為外區(qū)域。光滑曲線：如果和都在閉區(qū)間上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在上，則稱集合為一條光滑曲線；類似地，可以定義分段光滑曲線。設(shè)是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果內(nèi)任何簡單閉曲線的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于，則稱是單連通區(qū)域，否則稱是多連通區(qū)域。中區(qū)域的連通性：如果內(nèi)任何簡單閉曲線的內(nèi)區(qū)域或外區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于，則稱是單連通區(qū)域，否則稱是多連通區(qū)域。集合為半平面，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為直線即。集合為一個(gè)垂直帶形，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為直線及。集合為一角形，它是一個(gè)單連通無界區(qū)域，其邊界為半射線及。集合為一個(gè)圓環(huán)，它是一個(gè)多連通有界區(qū)域，其邊界為圓及。在上，集合與分別為單連通及多連通的無界區(qū)域，其邊界分別為及。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域：每個(gè)復(fù)數(shù)具有的形狀，其中和，是虛數(shù)單位；和分別稱為的實(shí)部和虛部，分別記作，。復(fù)數(shù)和相等是指它們的實(shí)部與虛部分別相等。如果，則可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果，那么稱為一個(gè)虛數(shù)；如果，而，則稱為一個(gè)純虛數(shù)。復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域，記為C。2、復(fù)平面：C也可以看成平面，我們稱為復(fù)平面。作映射：，則在復(fù)數(shù)集與平面之建立了一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)。橫坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸，縱坐標(biāo)軸稱為虛軸；復(fù)平面一般稱為z-平面，w-平面等。復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量，。向量的長度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：；向量與正實(shí)軸之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，定義為：（）。復(fù)數(shù)的共軛定義為：；復(fù)數(shù)的三角表示定義為：；復(fù)數(shù)加法的幾何表示：設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：關(guān)于兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；試用復(fù)數(shù)表示圓的方程：（）其中，a,b,c,d是實(shí)常數(shù)。解：方程為，其中。例2、設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，證明利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們可以更簡單的表示復(fù)數(shù)的乘法與除法：設(shè)、是兩個(gè)非零復(fù)數(shù)，則有則有即，，其中后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等。同理，對(duì)除法，有即，，其后一個(gè)式子也應(yīng)理解為集合相等。例3、設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：例4、作出過復(fù)平面C上不同兩點(diǎn)a,b的直線及過不共線三點(diǎn)a,b,c的圓的表示式。解：直線：；圓：利用復(fù)數(shù)的三角表示，我們也可以考慮復(fù)數(shù)的乘冪：令，則進(jìn)一步，有共有-個(gè)值。例4、求的所有值。解：由于，所以有其中，。第四節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在點(diǎn)坐標(biāo)是的三維空間中，把xOy面看作就是面?？紤]球面：取定球面上一點(diǎn)稱為球極。我們可以建立一個(gè)復(fù)平面C到之間的一個(gè)1-1對(duì)應(yīng)：，，。我們稱上面的映射為球極射影。對(duì)應(yīng)于球極射影為，我們引入一個(gè)新的非正常復(fù)數(shù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，稱為擴(kuò)充復(fù)平面，記為。關(guān)于，其實(shí)部、虛部、輻角無意義，模等于；基本運(yùn)算為（為有限復(fù)數(shù)）：；；。第三節(jié)復(fù)變函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)的概念設(shè)在復(fù)平面C上以給點(diǎn)集。如果有一個(gè)法則，使得，同它對(duì)應(yīng)，則稱為在上定義了一個(gè)復(fù)變數(shù)函數(shù)，簡稱為復(fù)變函數(shù)，記為。注解1、同樣可以定義函數(shù)的定義域與值域；注解2、此定義與傳統(tǒng)的定義不同，沒有明確指出是否只有一個(gè)和對(duì)應(yīng)；注解3、復(fù)變函數(shù)等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變量的實(shí)值函數(shù)：若，，則等價(jià)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)和。函數(shù)也稱為從到C上的一個(gè)映射或映照。把集合表示在一個(gè)復(fù)平面上，稱為-平面；把相應(yīng)的函數(shù)值表示在另一個(gè)復(fù)平面上，稱為-平面。從集合論的觀點(diǎn)，令，記作，我們稱映射把任意的映射成為，把集映射成集。稱及分別為和的象，而稱和分別為及的原象。若把中不同的點(diǎn)映射成中不同的點(diǎn)，則稱它是一個(gè)從到的雙射?？紤]映射。解：設(shè)，，，則有，，這是一個(gè)平面到平面的雙射，我們稱為一個(gè)平移?？紤]映射，其中。解：令，則它可以分解為以下兩個(gè)映射的復(fù)合：，第一個(gè)映射是一個(gè)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為），第二個(gè)映射是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的相似映射。考慮映射。解：它可以分解為以下兩個(gè)映射的復(fù)合：，映射是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)軸的對(duì)稱映射；映射把映射成，其輻角與相同：而模，滿足。我們稱為關(guān)于單位圓的對(duì)稱映射，與稱為關(guān)于單位圓的互相對(duì)稱點(diǎn)。若規(guī)定把映射成，則它是一個(gè)擴(kuò)充平面到擴(kuò)充平面的一個(gè)雙射。例4、考慮映射。解：等價(jià)于，。2．復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)在集合上確定，是的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)復(fù)常數(shù)。如果任給，可以找到一個(gè)與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，，則稱為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的極限，記作：注解：1、復(fù)變函數(shù)的極限等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變二元函數(shù)的重極限。2、關(guān)于極限的和、差、積、商等性質(zhì)可以不加改變的推廣到復(fù)變函數(shù)。3．復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的定義設(shè)函數(shù)在集合上確定，是的一個(gè)聚點(diǎn)，如果成立，則稱在處連續(xù)；如果在中每一點(diǎn)連續(xù)，則稱在上連續(xù)。注解1、如果，則在處連續(xù)的充要條件為：即一個(gè)復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性等價(jià)于兩個(gè)實(shí)變二元函數(shù)的連續(xù)性；注解2、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)論成立：兩個(gè)復(fù)變函數(shù)連續(xù)的加、減、乘、除（分母不等于零）是復(fù)變函數(shù)連續(xù)；注解3、如果函數(shù)在集上連續(xù)，并且函數(shù)值屬于集，而在集上，函數(shù)連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)在上連續(xù)。4．一致連續(xù)性設(shè)函數(shù)在集合上確定，如果任給，可以找到一個(gè)僅與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，，則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。定理1.1、設(shè)函數(shù)在簡單曲線或有界閉區(qū)域上連續(xù)，那么它在上一致連續(xù)。定理1.2、設(shè)函數(shù)在簡單曲線或有界閉區(qū)域上連續(xù)，那么它在上有界，即在集上有界。定理1.3、設(shè)函數(shù)在簡單曲線或有界閉區(qū)域上連續(xù)，那么在上達(dá)到它的最大模和最小模。5．無窮大極限設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的區(qū)域或閉區(qū)域上確定，是的一個(gè)聚點(diǎn)，不屬于。如果任給，可以找到一個(gè)與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，，則稱當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)趨于無窮大，記作：設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的無界區(qū)域或閉區(qū)域上確定。是一個(gè)有限復(fù)常數(shù)。如果任給，可以找到一個(gè)與有關(guān)的正數(shù)，使得當(dāng)，并且時(shí)，，則稱當(dāng)趨于時(shí)，函數(shù)趨于極限，記作：第三章復(fù)變函數(shù)的積分第二節(jié)柯西公式4、柯西公式：設(shè)f(z)在以圓為邊界的閉圓盤上解析，f(z)沿C的積分為零?？紤]積分則有：（1）被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分I必然存在；（2）在上述閉圓盤上不解析，I的值不一定為0，例如；現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。作以為心，以為半徑的圓，由柯西定理，得因此，I的值只f(z)與在點(diǎn)附近的值有關(guān)。令，則有由于I的值只f(z)與在點(diǎn)附近的值有關(guān)，與無關(guān)，由f(z)在點(diǎn)的連續(xù)性，應(yīng)該有，即事實(shí)上，當(dāng)趨近于0時(shí)，有由于由f(z)在點(diǎn)的連續(xù)性，所以，使得當(dāng)時(shí)，，因此即當(dāng)趨近于0時(shí)，上式右邊的有第二個(gè)積分趨近于0；而，因此，結(jié)論成立。定理4.1設(shè)D是以有限條簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么在內(nèi)任一點(diǎn)z，有,其中，沿曲線C的積分是按反時(shí)針方向取的，我們稱它為柯西公式。證明：設(shè)，顯然函數(shù)在滿足的點(diǎn)處解析。以到z為心，作一個(gè)包含在D內(nèi)的圓盤，設(shè)其半徑為，邊界為圓。在上，挖去以為邊界的圓盤，余下的點(diǎn)集是一個(gè)閉區(qū)域。在上，的函數(shù)以及解析，所以有其中，沿曲線C的積分是按關(guān)于D的正向取的，沿的積分是按反時(shí)針方向取的。因此，結(jié)論成立。注解1、對(duì)于某些有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。注解2、柯西公式是解析函數(shù)的最基本的性質(zhì)之一，對(duì)于復(fù)變函數(shù)理論本身及其應(yīng)用都是非常重要的。注解3、柯西公式有非常明確的物理背景和物理意義。定理4.2設(shè)D是以有限條簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù),證明：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時(shí)成立。設(shè)是D內(nèi)另一點(diǎn)。只需證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，下式也趨近于0現(xiàn)在估計(jì)上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個(gè)圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當(dāng)時(shí)，設(shè)|f(z)|在C上的一個(gè)上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時(shí)，要證的積分趨于0。現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有由此證明，當(dāng)h趨近于0時(shí)，上式的右邊趨于0，于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)成立。系4.1設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。注解1、以上討論表明，函數(shù)在一個(gè)區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異；注解2、任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；定理4.3設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中。證明：令是圓，那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。注解1、上面的不等式稱為柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個(gè)整函數(shù)，例如等。關(guān)于整函數(shù)，我們有下面的劉維爾定理：定理4.4有界整函數(shù)一定恒等常數(shù)。證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在，使得。，f(z)在上解析。由柯西公式，有，令，可見，從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。5、莫勒拉定理：應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對(duì)于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。證明：作以為心的圓盤。在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對(duì)于K內(nèi)任何一個(gè)三角形的周界C，則可以證明f(z)在K內(nèi)有原函數(shù)F(z)，即。于是F(z)在K內(nèi)解析。由系4.1，f(z)在K內(nèi)，在解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。又因?yàn)榈娜我庑裕Y(jié)論成立。第六章留數(shù)理論及應(yīng)用第一節(jié)留數(shù)1、留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在點(diǎn)解析。作圓，使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據(jù)柯西定理，積分等于零。設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析。選取r，使0<r<R，并且作圓，那么如果f(z)在也解析，則上面的積分也等于零；如果是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則上述積分就不一定等于零；這時(shí)，我們把積分定義為f(z)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，記作，這里積分是沿著C按反時(shí)針方向取的。注解1、我們定義的留數(shù)與圓C的半徑r無關(guān)：事實(shí)上，在內(nèi)，f(z)有洛朗展式：，而且這一展式在C上一致收斂。逐項(xiàng)積分，我們有因此，。注解2、即f(z)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)等于其洛朗級(jí)數(shù)展式中的系數(shù)。注解3、如果是f(z)的可去奇點(diǎn)，那么定理1.1（留數(shù)定理）設(shè)D是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界是一條或有限條簡單閉曲線C。設(shè)f(z)在D內(nèi)除去有孤立奇點(diǎn)外，在每一點(diǎn)都解析，并且它在C上每一點(diǎn)都解析，那么我們有：這里沿C的積分按關(guān)于區(qū)域D的正向取的。證明：以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)為心，作圓，使以它為邊界的閉圓盤上每一點(diǎn)都在D內(nèi)，并且使任意兩個(gè)這樣的閉圓盤彼此無公共點(diǎn)。從D中除去以這些為邊界的閉圓盤的一個(gè)區(qū)域G，其邊界是C以及，在G及其邊界所組成的閉區(qū)域上，f(z)解析。因此根據(jù)柯西定理，這里沿C的積分按關(guān)于區(qū)域D的正向取的，沿的積分按反時(shí)針方向取的。根據(jù)留數(shù)的定義，得定理的結(jié)論成立。第六章留數(shù)理論及應(yīng)用第一節(jié)留數(shù)2、留數(shù)的計(jì)算：本節(jié)講述幾種常見的情形下，如何計(jì)算留數(shù)。首先考慮一階極點(diǎn)的情形。設(shè)是f(z)的一個(gè)一階極點(diǎn)。因此在去掉中心的某一圓盤內(nèi)（），其中在這個(gè)圓盤內(nèi)包括解析，其泰勒級(jí)數(shù)展式是：而且。顯然，在f(z)的洛朗級(jí)數(shù)中，的系數(shù)等于，因此如果容易求出的泰勒級(jí)數(shù)展式，那么由此可得；否則要采用其他方法求留數(shù)。如果在上述去掉中心的圓盤內(nèi)（），其中P(z)及Q(z)在這圓盤內(nèi)包括在解析，，是Q(z)的一階零點(diǎn)，并且Q(z)在這圓盤內(nèi)沒有其他零點(diǎn)，那么是f(z)的一階極點(diǎn)，因而函數(shù)有兩個(gè)一階極點(diǎn)，這時(shí)因此其次，我們考慮高階極點(diǎn)得情形。設(shè)是f(z)的一個(gè)k階極點(diǎn)(k>1)。這就是說，在去掉中心的某一圓盤內(nèi)（），其中在這個(gè)圓盤內(nèi)包括解析，而且。在這個(gè)圓盤內(nèi)，泰勒級(jí)數(shù)展式是：由此可見，因此問題轉(zhuǎn)化為求泰勒級(jí)數(shù)展式的系數(shù)。如果容易求出的泰勒級(jí)數(shù)展式，那么由此可得；否則要采用其他方法求留數(shù)。顯然，因此，我們也可根據(jù)下列公式計(jì)算：例2、函數(shù)在z=0有三階極點(diǎn)，則因此由上述公式也可得：例3、函數(shù)在z=i有二階極點(diǎn)。這時(shí)令z=i+t，那么在的泰勒展式中，t的系數(shù)就是f(z)在i的留數(shù)。寫出h(t)中每個(gè)因子的到t的一次項(xiàng)，我們有：當(dāng)|t|<1時(shí)因此當(dāng)|t|<1時(shí)，于是由上述公式也可得：第五章留數(shù)第二節(jié)留數(shù)定理的應(yīng)用3、積分的計(jì)算（I）：在數(shù)學(xué)分析中以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜。利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)：（1）、利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡了計(jì)算；（2）、利用留數(shù)計(jì)算積分，沒有一些通用的方法，我們主要通過例子進(jìn)行討論；（3）我們只討論應(yīng)用單值解析函數(shù)來計(jì)算積分，應(yīng)用多值解析函數(shù)來計(jì)算積分在課本中有討論。由于時(shí)間的關(guān)系，我們不討論應(yīng)用多值解析函數(shù)來計(jì)算積分的問題，同學(xué)們可以自學(xué)。計(jì)算積分其中常數(shù)a>1。解：令，那么。而且當(dāng)t從0增加到時(shí)，z按反時(shí)針方向繞圓C:|z|=1一周。因此于是應(yīng)用留數(shù)定理，只需計(jì)算在|z|<1內(nèi)極點(diǎn)處的留數(shù)，就可求出I。上面的被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)：及。顯然。因此被積函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)，而它在這點(diǎn)的留數(shù)是：于是求得注解1、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零。計(jì)算積分解：首先，這是一個(gè)廣義積分，它顯然是收斂的。我們應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算它?？紤]函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面上的一個(gè)是z=i。作以O(shè)為心、r為半徑的圓盤?？紤]這一圓盤在上半平面的部分，設(shè)其邊界為。取r>1，那么z=i包含在的內(nèi)區(qū)域內(nèi)。沿取的積分，則有其中表示上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的?，F(xiàn)在估計(jì)積分。我們有因此令，就得到從而注解1、我們計(jì)算所得的值這個(gè)廣義積分的柯西主值，但由于此積分收斂，所以積分值等于主值。注解2、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次。引理3.1設(shè)f(z)是閉區(qū)域上連續(xù)的復(fù)變函數(shù)，并且設(shè)是以O(shè)為心、r為半徑的圓弧在這閉區(qū)域上的一段。如果當(dāng)z在這閉區(qū)域上時(shí)，那么我們有證明：設(shè)M(r)是f(z)在上的最大值，則有因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以又因?yàn)?，所以?jì)算積分解：取r>0，則有函數(shù)在除去有一階極點(diǎn)z=i外，在其他每一點(diǎn)都解析。取積分區(qū)域如圖，而只要取r>1。于是我們有其中表示上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的。現(xiàn)在應(yīng)用引理3.1，取，那么在這引理中所設(shè)各條件顯然成立。因此，令，就得到

從而可見積分I收斂，并且注解1、應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如的積分，其中f(x)在上可能有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，在其他每一點(diǎn)解析，而且當(dāng)z在上時(shí)，引理中的條件滿足。注解2、上面求出的廣義積分也是其柯西主值。注解3、如果函數(shù)f(x)在上可能有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，在其他每一點(diǎn)解析，而且在實(shí)軸上有孤立奇點(diǎn)，我們也可以計(jì)算某些積分，如下例。計(jì)算積分解：取，使，我們有函數(shù)只是在z=0有一個(gè)一階極點(diǎn)。作積分路徑如圖，在上半平面上作以原點(diǎn)為心、為半徑的半圓。于是我們有在這里沿的積分分別是按幅角減小與增加的方向取的?，F(xiàn)在求當(dāng)趨近于0時(shí)，的極限。當(dāng)時(shí)其中h(z)是在z=0的解析函數(shù)。因此由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一個(gè)鄰域內(nèi)，|f(z)|有上界。于是當(dāng)充分小時(shí)，從而令，應(yīng)用引理3.1，可以得到所求積分收斂，并且。第六章留數(shù)理論及應(yīng)用第三節(jié)輻角原理及其應(yīng)用5、亞純函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)、儒歇定理：應(yīng)用留數(shù)定理，我們也可以解決有關(guān)零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)間的關(guān)系，我們只介紹儒歇定理，并應(yīng)用它來決定方程在一些區(qū)域內(nèi)根的個(gè)數(shù)。儒歇定理（定理5.2）設(shè)D是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界C是一條或有限條簡單閉曲線。設(shè)函數(shù)f(z)及g(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，并且在C上，|f(z)|<|g(z)|，那么在D上，f(z)及f(z)+g(z)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同。注解1、應(yīng)用此定理時(shí)，我們只要估計(jì)和在區(qū)域邊界上模的值。注解2、選擇f(z)及g(z)的原則是，f(z)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)好計(jì)算。求方程在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)。解：令由于當(dāng)|z|=1時(shí)，我們有而已給方程在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)與在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)相同，即5個(gè)。如果a>e，求證方程在單位圓內(nèi)有n個(gè)根。證明：令由于當(dāng)時(shí)，在|z|<1內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與相同，即n個(gè)，因此方程在單位圓內(nèi)有n個(gè)根。第七章共形映射第一節(jié)單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)1、一般概念：解析函數(shù)所確定的映射是保形映射。它是復(fù)變函數(shù)論中最重要的概念之一，與物理中的概念有密切的聯(lián)系，而且對(duì)物理學(xué)中許多領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。如應(yīng)用共形映射成功地解決了流體力學(xué)與空氣動(dòng)力學(xué)、彈性力學(xué)、磁場、電場與熱場理論以及其他方面的許多實(shí)際問題。不但如此，20世紀(jì)中亞音速及超音速飛機(jī)的研制促成了從保形映射理論到擬保形映射理論的發(fā)展。我們主要研究單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)。設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，并且在任意不同點(diǎn)，函數(shù)所取的值不同。那么我們就稱它為區(qū)域的單葉解析函數(shù)，簡稱即為單葉函數(shù)。注解1、單葉函數(shù)是確定一個(gè)單射的解析函數(shù)。例1、函數(shù)及是z平面上的單葉解析函數(shù)它們把z平面映射成w平面，其中是復(fù)常數(shù)，并且對(duì)于第二個(gè)映射。例2、在每個(gè)帶形內(nèi)單葉解析，并且把這個(gè)帶形映射成z平面上除去從原點(diǎn)出發(fā)的一條射線而得的區(qū)域，，其中a是任意實(shí)常數(shù)。注解2、上面的例子把z平面上的區(qū)域映射成w平面上的區(qū)域。引理1.1設(shè)函數(shù)f(z)在解析，并且。設(shè)，那么在有p階零點(diǎn)，并且對(duì)充分小的正數(shù)，存在著一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有p個(gè)一階零點(diǎn)。證明：在有p階零點(diǎn)是顯然的。由于f(z)不恒等于零，可以作出以為心的開圓盤，其邊界為C，使得f(z)在上解析，并且使得及f’(z)除去外在上無其他零點(diǎn)。那么取w，使?，F(xiàn)在應(yīng)用儒歇定理，比較f(z)-w及在內(nèi)D的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由于而當(dāng)時(shí)可見f(z)-w及在D內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)同為p（每個(gè)n階零點(diǎn)作n個(gè)零點(diǎn)）。最后只須證明f(z)-w在D內(nèi)的每個(gè)零點(diǎn)都是一階的。這是因?yàn)?，所以，而。定?.1、設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，那么在D內(nèi)任一點(diǎn)，證明：反證之。假定，那么由引理1.1，可得出與單葉相矛盾得結(jié)論。注解1、如果一個(gè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，那么它的導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)任意一點(diǎn)不等于零；注解2、反之，這個(gè)定理的逆定理不成立，例如的導(dǎo)數(shù)在z平面上任意一點(diǎn)不為零，而這個(gè)函數(shù)在整個(gè)z平面上不是單葉的。定理1.2設(shè)函數(shù)w=f(z)在解析，并且，那么f(z)在的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析。定理1.3設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且不恒等于常數(shù)，那么是一個(gè)區(qū)域，即f確定從D到的一個(gè)滿射。證明：先證明是開集，即證明任一點(diǎn)是的內(nèi)點(diǎn)。設(shè)，并且。由引理1.1，可以找到一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于任何滿足的復(fù)數(shù)，我們有，使得。因此開圓盤包含在內(nèi)，即是的內(nèi)點(diǎn)。其次我們證明的連通性，即證明在內(nèi)任意不同兩點(diǎn)及可以用在的一條折線連接起來。我們有，使得。由于D是一個(gè)區(qū)域，在D內(nèi)有折線連接及，在這里。函數(shù)w=f(z)把這條折線上每一條線段映射成內(nèi)一條光滑曲線，從而把這折線映射成內(nèi)連接及的一條光滑曲線：另一方面，由于是內(nèi)的一個(gè)緊集，根據(jù)有限覆蓋定理，它可以被內(nèi)有限個(gè)開圓盤所覆蓋，從而在內(nèi)可以作出連接及的折線。注解：如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，那么根據(jù)定理1.3，它把區(qū)域D雙射成區(qū)域。于是f(z)有一個(gè)在內(nèi)確定的反函數(shù)。定理1.4設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析，并且，那么w=f(z)有一個(gè)在內(nèi)單葉解析的反函數(shù)，并且如果，那么證明：先證明在內(nèi)任一點(diǎn)連續(xù)。由引理1.1，任給，選取這一引理結(jié)論中的正數(shù)及，使得，那么當(dāng)時(shí)因此在內(nèi)任一點(diǎn)連續(xù)。下面證明導(dǎo)數(shù)公式成立。當(dāng)，并且時(shí)，我們有。于是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以即定理的結(jié)論成立。第七章共形映射第一節(jié)單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)w=f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉解析函數(shù)。設(shè)。則我們有，。考慮在過的一條簡單光滑曲線C：其中x(t)及y(t)是z(t)的實(shí)部和虛部。設(shè)。由于曲線C在的切線與實(shí)軸的夾角是的幅角。現(xiàn)證明如下：作通過曲線C上之點(diǎn)及的割線，由于割線的方向與向量的方向一致，可以看出：只要當(dāng)趨近于時(shí)，向量與實(shí)軸的夾角連續(xù)變動(dòng)趨近于極限，那么當(dāng)趨近于時(shí)，割線確有極限位置，即為曲線C在的切線的位置。但由光滑曲線的條件，極限存在。因此下列極限也存在：它就是曲線C在處切線與實(shí)軸的夾角，在這里幅角是連續(xù)變動(dòng)的，并且極限式兩邊幅角的數(shù)值是相應(yīng)地適當(dāng)選取的。函數(shù)w=f(z)把簡單光滑曲線C映射成過的一條簡單曲線：由于，可見也是一條光滑曲線；它在的切線與實(shí)軸的夾角是因此，在處切線與實(shí)軸的夾角及C在處切線與實(shí)軸的夾角相差。這一數(shù)值與曲線C的形狀及在處切線的方向無關(guān)。設(shè)在D內(nèi)過還有一條簡單光滑曲線，函數(shù)w=f(z)把它映射成一條簡單光滑曲線。和上面一樣，與在及處切線與實(shí)軸的夾角分別是及所以，在處曲線到曲線的夾角恰好等于在處曲線C到曲線的夾角：因此，用單葉解析函數(shù)作映射時(shí)，曲線間的夾角的大小及方向保持不變，我們稱這個(gè)性質(zhì)為單葉解析函數(shù)所作映射的保角性。上面是對(duì)單葉解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幅角所作的幾何解釋，下面再說明它的模的幾何意義。根據(jù)假設(shè)，我們有由于是比值的極限，它可以近似地表示這種比值。在w=f(z)所作映射下，及分別表示z平面上向量及w平面上向量的長度，這里向量及的起點(diǎn)分別取在及。當(dāng)較小時(shí)，近似地表示通過映射后，對(duì)的伸縮倍數(shù)，而且這一倍數(shù)與向量的方向無關(guān)。我們把稱為在點(diǎn)的伸縮率。現(xiàn)在用幾何直觀來說明單葉解析函數(shù)所作映射的意義。設(shè)w=f(z)是在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，，那么w=f(z)把的一個(gè)鄰域內(nèi)任一小三角形映射成w平面上含的一個(gè)區(qū)域內(nèi)的曲邊三角形。這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊近似成比例。因此這兩個(gè)三角形近似地是相似形。此外，w=f(z)還把z平面上半徑充分小的圓近似地映射成圓所以，我們把單葉解析函數(shù)所確定的映射稱為保形映射或映照，或稱為共形映射或保角映射。它在每一點(diǎn)保角，并且在每一點(diǎn)具有一定的伸縮率。第七章共形映射第二節(jié)分式線性函數(shù)及其映射性質(zhì)3、分式線性函數(shù)：分式線性函數(shù)是指下列形狀的函數(shù)：其中是復(fù)常數(shù)，而且。在時(shí)，我們也稱它為整線性函數(shù)。分式線性函數(shù)的反函數(shù)為它也是分式線性函數(shù)，其中。注解1、當(dāng)時(shí)，所定義的分式線性函數(shù)是把z平面雙射到w平面，即把C雙射到C的單葉解析函數(shù)；注解2、當(dāng)時(shí)，所定義的分式線性函數(shù)是把雙射到的單葉解析函數(shù)；注解3、我們可以把分式線性函數(shù)的定義域推廣到擴(kuò)充復(fù)平面。當(dāng)時(shí)，規(guī)定它把映射成；當(dāng)時(shí)，規(guī)定它把映射成；則把雙射到。現(xiàn)在把保形映射的概念擴(kuò)充到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)及其鄰域，如果把及其一個(gè)鄰域保形映射成t=0及其一個(gè)鄰域，那么我們說w=f(z)把及其一個(gè)鄰域保形映射成及其一個(gè)鄰域。如果把及其一個(gè)鄰域保形映射成t=0及其一個(gè)鄰域，那么我們說w=f(z)把及其一個(gè)鄰域保形映射成及其一個(gè)鄰域。注解4、分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面保形映射成擴(kuò)充w平面。注解5、區(qū)域、連通性等概念可以推廣到擴(kuò)充復(fù)平面。一般分式線性函數(shù)是由下列四種簡單函數(shù)疊合而得的：（1）、（為一個(gè)復(fù)數(shù)）；（2）、（為一個(gè)實(shí)數(shù)）；（3）、（r為一個(gè)正數(shù)）；（4）、。事實(shí)上，我們有：把z及w看作同一個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)，則有：（1）、確定一個(gè)平移；（2）、確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)；（3）、確定一個(gè)以原點(diǎn)為相似中心的相似映射；（4）、是由映射及關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射疊合而得。第七章共形映射第二節(jié)分式線性函數(shù)及其映射性質(zhì)4、分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)：規(guī)定：在擴(kuò)充復(fù)平面上，任一直線看成半徑是無窮大的圓。定理4.1在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性函數(shù)把圓映射成圓。證明：由于分式線性函數(shù)所確定的映射是平移、旋轉(zhuǎn)、相似映射及型的函數(shù)所確定的映射復(fù)合而得，但前三個(gè)映射顯然把圓映射成圓，所以只用證明映射也把圓映射為圓即可。在圓的方程（如果a=0，這表示一條直線）中，代入則得圓的復(fù)數(shù)表示：其中a,b,c,d是實(shí)常數(shù)，是復(fù)常數(shù)。函數(shù)把圓映射成為即w平面的圓（如果d=0，它表示一條直線，即擴(kuò)充w平面上半徑為無窮大的圓）。設(shè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面上的圓C映射成擴(kuò)充w平面上的圓C'。于是，C及C'把這兩個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面分別分成兩個(gè)沒有公共點(diǎn)的區(qū)域，及，其邊界分別是C及C'。則此分式線性函數(shù)把映射成之中的一個(gè)區(qū)域，但是究竟的象是還是，我們必須通過檢驗(yàn)中某一個(gè)點(diǎn)的象來決定。定理4.2對(duì)于擴(kuò)充z平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)以及擴(kuò)充w平面上任意三個(gè)不同的點(diǎn)，存在唯一的分式線性函數(shù)，把分別映射成。證明：先考慮已給各點(diǎn)都是有限點(diǎn)的情形。設(shè)所求分式線性函數(shù)是那么，由得同理，有：，，，，因此，有，由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。其次，如果已給各點(diǎn)除外都是有限點(diǎn)。則所求分式線性函數(shù)有下列的形式：那么，由同理有，由此，我們可以解出分式線性函數(shù)。由此也顯然得這樣的分式線性函數(shù)也是唯一的。注解：和分別稱為及的交比，分別記為及。系4.1在分式線性函數(shù)所確定的映射下，交比不變。設(shè)一個(gè)分式線性函數(shù)把擴(kuò)充z平面上任意不同四點(diǎn)映射成擴(kuò)充w平面上四點(diǎn)，那么。定理4.3擴(kuò)充z平面上任何圓，可以用一個(gè)分式線性函數(shù)映射成擴(kuò)充w平面上任何圓。證明：設(shè)C是z平面上的一個(gè)圓，C'是w平面上的一個(gè)圓，在C和C'上分別取三個(gè)不同的點(diǎn)和，由定理4.2，存在一個(gè)分式線性函數(shù)，把映射成，從而把圓C映射成圓C'。設(shè)已給圓，如果兩個(gè)有限點(diǎn)及在過的同一射線上，并且，那么我們說及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)。注解1、圓C上的點(diǎn)是它本身關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)；注解2、規(guī)定及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)；注解3、利用此定理也可以解釋關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。引理4.1不同兩點(diǎn)及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)的必要與充分條件是：通過及的任何圓與圓C直交。證明：如果C是直線（半徑為無窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓，及之中有一個(gè)是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則結(jié)論顯然?，F(xiàn)在考慮圓C為，而及都是有限的情形。（必要性）設(shè)及關(guān)于圓C的對(duì)稱，那么通過及的直線（半徑為無窮大的圓）顯然和圓C直交。作過及的任何圓（半徑為有限）C'。過作圓C'的切線，設(shè)其切點(diǎn)是z'。于是，從而。這說明，而上述C'的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C'直交。（充分性）過及作一個(gè)圓（半徑為有限）C'，與C交于一點(diǎn)z'。由于圓C與C'直交，C'在z'的切線通過圓C的心。顯然，及在這切線的同一側(cè)。又過及作一直線L，由于L與C直交，它通過圓心。于是及在通過的一條射線上。我們有因此，及是關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)。定理4.3如果分式線性函數(shù)把z平面上圓C映射成w平面上的圓C'，那么它把關(guān)于圓C的對(duì)稱點(diǎn)及映射成關(guān)于圓C'的對(duì)稱點(diǎn)及。證明：過及的任何圓是由過及的圓映射得來的。由引理4.1，過及的任何圓與圓C直交，從而由分式線性函數(shù)的保形性，過及的任何圓與圓C'直交。再利用引理4.1，及是關(guān)于圓C'的對(duì)稱點(diǎn)。例：考慮擴(kuò)充w平面上的一個(gè)圓|w|=R。分式線性函數(shù)，把及映射成關(guān)于圓w|=R的對(duì)稱點(diǎn)0及，把擴(kuò)充z平面上的曲線映射成為圓w|=R。由定理4.1、4.4知，上式表示的一個(gè)圓，及是關(guān)于它對(duì)稱點(diǎn)。第七章共形映射第二節(jié)分式線性函數(shù)及其映射性質(zhì)5、兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù)：(1)、試求把上半平面Imz>0保形映射成單位圓盤|w|<1的分式線性函數(shù)。這種函數(shù)應(yīng)當(dāng)一方面把Imz>0內(nèi)某一點(diǎn)映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。由于線性函數(shù)把關(guān)于實(shí)軸Imz=0的對(duì)稱點(diǎn)映射成為關(guān)于圓|w|=1的對(duì)稱點(diǎn)，所求函數(shù)不僅把映射成w=0，而且把映射成。因此這種函數(shù)的形狀是：其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)。其次，如果z是實(shí)數(shù)，那么于是，其中是一個(gè)實(shí)常數(shù)。因此所求的函數(shù)應(yīng)是由于z是實(shí)數(shù)時(shí)，|w|=1，因此它把直線Imz=0映射成圓|w|=1，從而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，|w|=0<1，因此這個(gè)函數(shù)正是我們所要求的。注解：1、圓盤|w|<1的直徑是由通過及的圓在上半平面的弧映射成的；2、以w=0為心的圓由以及為對(duì)稱點(diǎn)的圓映射成的；3、w=0是由映射成的。(2)、試求把單位圓|z|<1保形映射成單位圓盤|w|<1的分式線性函數(shù)。這種函數(shù)應(yīng)當(dāng)把|z|<1內(nèi)某一點(diǎn)映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不難看出，與關(guān)于圓|z|=1的對(duì)稱點(diǎn)是，和上面一樣，這種函數(shù)還應(yīng)當(dāng)把映射成。因此這種函數(shù)的形狀是：其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)。其次，如果|z|=1時(shí)，那么于是因此，其中是一個(gè)實(shí)常數(shù)。所求的函數(shù)應(yīng)是由于當(dāng)|z|=1時(shí)，|w|=1，因此它把圓|z|=1映射成圓|w|=1，從而把|z|<1映射成|w|<1或|w|>1，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，|w|=0<1，因此這個(gè)函數(shù)正是我們所要求的。注解：1、圓盤|w|<1的直徑是由通過及的圓在|z|<1內(nèi)的弧映射成的；2、以w=0為心的圓由以及為對(duì)稱點(diǎn)的圓映射成的；3、w=0是由映射成的。第七章共形映射第三節(jié)黎曼定理6、最大模原理、施瓦茨引理：最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性質(zhì)之一，它在復(fù)變函數(shù)論中有大量應(yīng)用。定理6.1如果函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且|f(z)|在D內(nèi)某點(diǎn)達(dá)到最大值，那么f(z)在D內(nèi)恒等于常數(shù)。證明：由定理1.3，假定f(z)在D內(nèi)不恒等于常數(shù)，那么是一個(gè)區(qū)域。設(shè)|f(z)|在達(dá)到最大值。顯然，，而且必有一個(gè)充分小的鄰域包含在內(nèi)。于是在這個(gè)鄰域內(nèi)可以找到一點(diǎn)w'滿足。從而在D內(nèi)有一點(diǎn)z'滿足w'=f(z')以及，這與所設(shè)矛盾。因此f(z)在D內(nèi)恒等于常數(shù)。注解1、此定理表明，在一個(gè)區(qū)域內(nèi)不恒等于常數(shù)的解析函數(shù)，其模不可能在這個(gè)區(qū)域內(nèi)達(dá)到最大值；注解2、此定理的結(jié)論具有非常明確的物理意義。系6.1設(shè)D是一個(gè)有界區(qū)域，其邊界為有限條簡單閉曲線C。設(shè)f(z)在D及其邊界組成的閉區(qū)域上連續(xù)，在D內(nèi)解析，并且不恒等于常數(shù)。設(shè)M是|f(z)|在上的最大值，即f(z)在上的最大模，那么f(z)在邊界C上而且只在邊界C上達(dá)到最大模。證明：顯然。引理6.1設(shè)f(z)是在開圓盤|z|<1內(nèi)的解析函數(shù)。設(shè)f(0)=0，并且當(dāng)|z|<1時(shí)，|f(z)|<1。在這些條件下，當(dāng)|z|<1時(shí)，；、;、如果對(duì)于某一個(gè)復(fù)常數(shù)，或者如果|f'(0)|=1，那么在|z|<1內(nèi)其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)，并且。證明：由于f(0)=0，f(z)在|z|<1內(nèi)有泰勒級(jí)數(shù)其中在|z|<1內(nèi)解析。因?yàn)楫?dāng)|z|<1時(shí)，|f(z)|<1，所以對(duì)于|z|=r(0<r<1)，我們有由最大模原理，當(dāng)時(shí)，仍然有令，我們就得到：當(dāng)|z|<1時(shí)于是當(dāng)0<|z|<1時(shí)，即由于f(0)=0，當(dāng)z=0時(shí)，上式成立，我們就得到引理中的結(jié)論(1)；（2）的結(jié)論也顯然成立。結(jié)論成立。設(shè)在某一點(diǎn)。那么，|g(z)|在達(dá)到它的最大模?；蛘咴O(shè)|f'(0)|=1，那么我們有|g(0)|=|f'(0)|=1，即在|g(z)|在0達(dá)到它的最大值1。因此，由極大模原理，在|z|<1內(nèi)，其中是一個(gè)模為1的復(fù)常數(shù)。注解1、此引理表明，設(shè)f(z)在|z|<1內(nèi)解析。設(shè)在映射w=f(z)下，|z|<1的象在|w|<1內(nèi)，并設(shè)f(0)=0，那么（1）|z|<r(0<r<1)的象在內(nèi)；（2）;（3）如果某一和它的象的模相等，或者|f'(0)|=1，那么其中是一個(gè)復(fù)常數(shù)，并且。注解2、施瓦茨引理在復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展歷史上，曾因和比伯巴赫猜想有關(guān)而受到廣泛關(guān)注。第七章共形映射第三節(jié)黎曼定理8、實(shí)例：在解決某些實(shí)際問題以及數(shù)學(xué)理論問題時(shí)，我們往往要把有關(guān)解析函數(shù)的定義域保形映射成較簡單的區(qū)域，以便進(jìn)行研究及計(jì)算，我們下面給出幾個(gè)實(shí)例。例1、求作一個(gè)單葉函數(shù)，把半圓盤|z|<1，Imz>0保形映射成上半平面。解：因?yàn)閳A及實(shí)軸在-1及+1直交，所以作分式線性函數(shù)，把-1及+1分別映射成w'平面上的0及兩點(diǎn)，于是把|z|=1及Imz=0映射成w'平面上在原點(diǎn)互相直交上面的兩條直線。由于分式線性函數(shù)中的系數(shù)是實(shí)數(shù)，所以z平面上的實(shí)軸映射成w'平面上的實(shí)軸；又由于z=0映射成w'=-1，半圓的直徑AC映射成w'平面上的負(fù)半實(shí)軸。顯然圓|z|=1映射成w'平面上的虛軸；又由于z=i映射成，半圓ADC映射成w'平面上的下半虛軸。根據(jù)在保形映射下區(qū)域及其邊界之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，已給半圓盤映射到w'平面上的的區(qū)域，應(yīng)當(dāng)在周界ABC的左方，因此它是第三象限。最后作映射，當(dāng)w'在第三象限中變化時(shí)，argw'在及之間變化。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的上半平面。因此，所求單葉函數(shù)為： 。例2、求作一個(gè)單葉函數(shù)，把z平面上的帶形保形映射成w平面上的單位圓|w|<1。解：函數(shù)，把z平面上的已給帶形保形映射成w'平面上的上半平面。取w'平面上關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)-i及i，那么函數(shù),把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的單位圓|w|<1。因此，我們得到.例3、求作一個(gè)單葉函數(shù)，把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|>1保形映射成擴(kuò)充w平面上去掉割線而得的區(qū)域。解：容易驗(yàn)證，分式線性函數(shù)，把割線保形映射成w'平面上的負(fù)實(shí)軸，把擴(kuò)充w平面上已給區(qū)域保形映射成w'平面上除去負(fù)實(shí)軸（包括0）而得的區(qū)域。另一方面，分式線性函數(shù)，把圓|z|=1保形映射成平面上的虛軸。由于它把z=2映射成，可見它把擴(kuò)充z平面上單位圓的外部|z|>1保形映射成平面上的右半平面。顯然，把平面上的這一部分保形映射成w'平面上除去負(fù)實(shí)軸而得的區(qū)域。因此我們得到由此可得函數(shù)即為所求函數(shù)。例4、求作一個(gè)單葉函數(shù)，把z平面上半帶域保形映射成w平面上的上半平面，并且使得。解：把坐標(biāo)系按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角，并且應(yīng)用指數(shù)函數(shù)做映射，我們求得函數(shù)，

把上述半帶域映射成w'平面上的半圓盤。把坐標(biāo)系按反時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)直角，并且應(yīng)用例1中的映射，得到函數(shù)，因此，我們得到把以給半帶域保形映射成平面的上半平面的單葉函數(shù)，不過這時(shí)分別被映射成。作分式線性函數(shù)，把映射成：，最后得到所求的單葉函數(shù)：。例5、在z平面的上半平面上，沿虛軸作一長h為的割線。求作一個(gè)單葉函數(shù)，把上述半平面去掉割線而得的區(qū)域保形映射成w平面上的上半平面。解：首先作映射，把割線去掉，使已給區(qū)域的全部邊界都變到w'平面的實(shí)軸上。為此，用在上述區(qū)域內(nèi)的單葉解析函數(shù)，把z平面的第一及第二象限分別映射成w'平面的上半平面及下半平面。這時(shí)射線AD被映射成w'平面上正實(shí)軸的上沿，DC被映射成從0到的線段的上沿，CB被映射成這條線段的下沿，BA被映射成正實(shí)軸的下沿，于是z平面上已給區(qū)域被保形影射成w'平面除去射線而得的區(qū)域。顯然，函數(shù)，把w'平面的上述區(qū)域映射成平面上除去正實(shí)軸所得的區(qū)域；而函數(shù)，又把這一區(qū)域映射成w平面上的上半平面，其中應(yīng)理解為在正實(shí)軸的上沿取正值的一個(gè)解析分支。結(jié)合以上討論，我們得到所求的單葉函數(shù)是：。第四章第一節(jié)級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)1、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列：復(fù)數(shù)序列就是：在這里，是復(fù)數(shù)，一般簡單記為。按照是有界或無界序列，我們也稱為有界或無界序列。設(shè)是一個(gè)復(fù)常數(shù)。如果任給，可以找到一個(gè)正數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí),那么我們說收斂或有極限，或者說是收斂序列，并且收斂于，記作。如果序列不收斂，則稱發(fā)散，或者說它是發(fā)散序列。令，其中a和b是實(shí)數(shù)。由不等式容易看出，等價(jià)于下列兩極限式：因此，有下面的注解：注解1、序列收斂（于）的必要與充分條件是：序列收斂（于a）以及序列收斂（于b）。注解2、復(fù)數(shù)序列也可以解釋為復(fù)平面上的點(diǎn)列，于是點(diǎn)列收斂于，或者說有極限點(diǎn)的定義用幾何語言可以敘述為：任給的一個(gè)鄰域，相應(yīng)地可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，在這個(gè)鄰域內(nèi)。注解3、利用兩個(gè)實(shí)數(shù)序列的相應(yīng)的結(jié)果，我們可以證明，兩個(gè)收斂復(fù)數(shù)序列的和、差、積、商仍收斂，并且其極限是相應(yīng)極限的和、差積、商。復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是或記為，或，其中是復(fù)數(shù)。定義其部分和序列為：如果序列收斂，那么我們說級(jí)數(shù)收斂；如果的極限是，那么說的和是，或者說收斂于，記作，如果序列發(fā)散，那么我們說級(jí)數(shù)發(fā)散。注解1、對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)序列，我們可以作一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)如下則序列的斂散性和此級(jí)數(shù)的斂散性相同。注解2、級(jí)數(shù)收斂于的定義可以敘述為：，注解3、如果級(jí)數(shù)收斂，那么注解4、令，我們有因此，級(jí)數(shù)收斂（于）的必要與充分條件是：級(jí)數(shù)收斂（于a）以及級(jí)數(shù)收斂（于b）。注解5、關(guān)于實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本結(jié)果，可以不加改變地推廣到復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，例如下面的柯西收斂原理：柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：級(jí)數(shù)收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N，p=1,2,3,…時(shí)，柯西收斂原理（復(fù)數(shù)序列）：序列收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)m及n>N，對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們也引入絕對(duì)收斂的概念：如果級(jí)數(shù)收斂，我們稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。注解1、級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂必要與充分條件是：級(jí)數(shù)以及絕對(duì)收斂：事實(shí)上，有注解2、若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則一定收斂。例、當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；并且有我們有，當(dāng)時(shí)，如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及絕對(duì)收斂，并且它們的和分別為，那么級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂，并且它的和為。第四章第一節(jié)級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)2、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)序列：設(shè)在復(fù)平面點(diǎn)集E上有定義，那么：是定義在點(diǎn)集E上的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為，或。設(shè)函數(shù)f(z)在E上有定義，如果在E上每一點(diǎn)z，級(jí)數(shù)都收斂于f(z)，那么我們說此級(jí)數(shù)在E上收斂（于f(z)），或者此級(jí)數(shù)在E上有和函數(shù)f(z)，記作設(shè)是E上的復(fù)變函數(shù)列，記作或。設(shè)函數(shù)在E上有定義，如果在E上每一點(diǎn)z，序列都收斂（于），那么我們說此序列在E上收斂（于），或者此序列在E上有極限函數(shù)，記作 注解1、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂于f(z)的定義可以敘述為：注解2、復(fù)變函數(shù)序列收斂于的定義可以敘述為：如果任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有或那么我們說級(jí)數(shù)或序列在E上一致收斂（于f(z)或）。注解1、和實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：柯西一致收斂原理（復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在E上一致收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)，p=1,2,3,…時(shí)，有柯西一致收斂原理（復(fù)變函數(shù)序列）：復(fù)變函數(shù)序列在E上一致收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有注解2、一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法（M-判別法）：設(shè)在復(fù)平面點(diǎn)集E上有定義，并且設(shè)

是一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)在E上，那么級(jí)數(shù)在E上一致收斂。定理2.1設(shè)復(fù)平面點(diǎn)集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡單曲線。設(shè)在集E上連續(xù)，并且級(jí)數(shù)或序列在E上一致收斂于f(z)或，那么f(z)或在E上連續(xù)。定理2.2設(shè)在簡單曲線C上連續(xù)，并且級(jí)數(shù)或序列在C上一致收斂于f(z)或，那么或注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列的逐項(xiàng)求導(dǎo)的問題時(shí)，我們一般考慮解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)在復(fù)平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析。如果級(jí)數(shù)或序列在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個(gè)緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說此級(jí)數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。定理2.3（魏爾斯特拉斯定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且級(jí)數(shù)或序列在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z)或，那么f(z)或在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)或證明：先證明f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)解析，取的一個(gè)鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理，因?yàn)楦鶕?jù)莫勒拉定理，可見f(z)在U內(nèi)解析。再由于是D內(nèi)任意一點(diǎn)，因此f(z)在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是，對(duì)于一致收斂于。由定理2.2，我們有也就是因此，定理中關(guān)于級(jí)數(shù)的部分證明結(jié)束。對(duì)于序列，我們也先證明在D內(nèi)任一點(diǎn)解析，取的一個(gè)鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理，因?yàn)楦鶕?jù)莫勒拉定理，可見在U內(nèi)解析。再由于是D內(nèi)任意一點(diǎn)，因此在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是，對(duì)于一致收斂于。由定理2.2，我們有也就是因此，定理中關(guān)于序列的部分證明結(jié)束。第四章第二節(jié)冪級(jí)數(shù)3、冪級(jí)數(shù)：本節(jié)研究一類特別的解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，即冪級(jí)數(shù)其中z是復(fù)變數(shù)，系數(shù)是任何復(fù)常數(shù)。注解1、這類級(jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有特殊重要的意義；注解2、一般冪級(jí)數(shù)在一定的區(qū)域內(nèi)收斂于一個(gè)解析函數(shù)；注解3、在一點(diǎn)解析的函數(shù)在這點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)表示出來，因此一個(gè)函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)解析的必要與充分條件是，它在這個(gè)點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開成一個(gè)冪級(jí)數(shù)。首先研究冪級(jí)數(shù)的收斂性，我們有阿貝爾第一定理：定理3.1如果冪級(jí)數(shù)在收斂，那么對(duì)滿足的任何z，它都不僅收斂，而且絕對(duì)收斂。證明：由于冪級(jí)數(shù)在收斂，所以有，因此存在著有限常數(shù)M，使得。把級(jí)數(shù)改寫成則有其中已令由于級(jí)數(shù)收斂，所以此冪級(jí)數(shù)在滿足的任何點(diǎn)z不僅收斂，而且絕對(duì)收斂。注解：與冪級(jí)數(shù)相對(duì)應(yīng)，作實(shí)系數(shù)冪級(jí)數(shù)其中x為實(shí)變數(shù)。則有定理3.2設(shè)的收斂半徑是R，那么按照不同情況，我們分別有：(1)、如果，那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）如果，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上每一點(diǎn)絕對(duì)收斂；（3）如果R=0，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上除去外每一點(diǎn)發(fā)散。證明：（1）先考慮的情形。如果，那么可以找到一個(gè)正實(shí)數(shù)，使它滿足。由于級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂，從而它在時(shí)也絕對(duì)收斂。如果，那么可以找到一個(gè)正實(shí)數(shù)，使它滿足。假定級(jí)數(shù)在時(shí)收斂，那么級(jí)數(shù)在時(shí)也收斂，與所設(shè)相矛盾。（2）如果，則對(duì)任何實(shí)數(shù)x，級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。如果，由于級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂，所以級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂，從而它在時(shí)也絕對(duì)收斂，由于的任意性，那么級(jí)數(shù)在復(fù)平面上每一點(diǎn)絕對(duì)收斂；（3）如果R=0，則對(duì)任何實(shí)數(shù)，級(jí)數(shù)都發(fā)散。若存在一個(gè)復(fù)數(shù)，使得收斂，則由定理3.1，當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂，即收斂，所以存在，使得收斂，與假設(shè)矛盾。注解1、當(dāng)時(shí)，對(duì)于，級(jí)數(shù)的斂散性不定。注解2、和數(shù)學(xué)分析中一樣，定理3.2中的稱為此級(jí)數(shù)的收斂半徑；而稱為它的收斂圓盤。當(dāng)時(shí)，我們說此級(jí)數(shù)的收斂半徑是，收斂圓盤擴(kuò)大成復(fù)平面。當(dāng)R=0時(shí)，我們說此級(jí)數(shù)的收斂半徑是0，收斂圓盤收縮成一點(diǎn)。注解3、因此，求的收斂半徑的問題歸結(jié)成求的收斂半徑的問題。和數(shù)學(xué)分析中一樣，常見情況下，可以用達(dá)朗貝爾法則或柯西法則求出。對(duì)于一般情況，則可用柯西-阿達(dá)馬公式求出，因此，有下面的定理：定理3.3如果下列條件之一成立：（1）（2）（3）那么當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的收斂半徑；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。注解1、公式（3）中的l總是存在的。注解2、（上極限的定義）已給一個(gè)實(shí)數(shù)序列。數(shù)滿足下列條件：任給，（1）至多有有限個(gè)；（2）有無窮個(gè)，那么說序列的上極限是L，記作如果任給，有無窮個(gè)，那么說序列的上極限是，記作如果任給，至多有有限個(gè)，那么說序列的上極限是，記作注解3、（柯西-阿達(dá)馬公式的證明）設(shè)，任取定z’，使得?？梢哉业?，使得。又由上極限的定義，存在著N>0，使得當(dāng)n>N時(shí)從而因此級(jí)數(shù)在時(shí)絕對(duì)收斂。由于的任意性，得到此級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂。另一方面，任取定，使得?？梢哉业?，使得。又由上極限的定義，有無窮多個(gè)，滿足，即滿足因此級(jí)數(shù)在時(shí)發(fā)散，從而此級(jí)數(shù)在內(nèi)發(fā)散。注解4、冪級(jí)數(shù)的和是收斂圓內(nèi)有定義的一個(gè)函數(shù)，我們稱為和函數(shù)。定理3.4設(shè)冪級(jí)數(shù)有收斂圓盤。那么在內(nèi)，它內(nèi)閉一致收斂；它的和函數(shù)解析，并且證明：我們只需證明在收斂圓盤內(nèi)閉一致收斂即可。設(shè)E是這個(gè)圓盤內(nèi)的任意一個(gè)緊集。于是存在著0<r<R，使得E包含在閉圓盤內(nèi)。于是當(dāng)時(shí)因?yàn)槭諗?，所以在E上一致收斂，因此它在收斂圓內(nèi)閉一致收斂。注解：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周的收斂與發(fā)散不定。例1、級(jí)數(shù)的收斂半徑是1。注解1、由柯西準(zhǔn)則我們可以證明，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)必要條件也是其通項(xiàng)趨近于0。注解2、例1中的冪級(jí)數(shù)在|z|=1上通項(xiàng)不趨近于0，所以發(fā)散。例2、級(jí)數(shù)的收斂半徑是1。在收斂圓|z|=1上，有，而級(jí)數(shù)收斂，所以此冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上處處收斂。注解：下面將要證明，例2中冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)等于它在|z|=1上，除去z=-1外，處處解析。第四章第三節(jié)泰勒展式4、解析函數(shù)泰勒展式：定理4.1、設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，證明：設(shè)。以為心，在U內(nèi)作一個(gè)圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。我們有由于當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)樗陨鲜降募?jí)數(shù)當(dāng)時(shí)一致收斂。把上面的展開式代入積分中，然后利用一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，得其中，由于z是U內(nèi)任意一點(diǎn)，定理的結(jié)論成立。定理4.2函數(shù)f(z)在一點(diǎn)解析的必要與充分條件是：它在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定理4.1中的冪級(jí)數(shù)展式。注解：在定理4.1中，f(z)在U內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)的泰勒展式。系4.1冪級(jí)數(shù)是它的和函數(shù)f(z)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即因此，我們有解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的唯一性定理：系4.2在定理4.1中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種形式的冪級(jí)數(shù)。注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。求在z=0的泰勒展式。解：由于，所以，因此同理，有由于在復(fù)平面上，以某些射線為割線而得的區(qū)域內(nèi)，多值函數(shù)---對(duì)數(shù)函數(shù)和一般冪函數(shù)可以分解成解析分支，因此在已給區(qū)域中任一圓盤內(nèi)，可以作出這些分支的泰勒展式。例2、求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式：解：已給解析分支在z=0的值為0，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為1，二階導(dǎo)數(shù)為-1，n階導(dǎo)數(shù)為,…,因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：其收斂半徑1。求的下列解析分支在z=0的泰勒展式（其中不是整數(shù)），。解：已給解析分支在z=0的值為1，它在z=0的一階導(dǎo)數(shù)為，二階導(dǎo)數(shù)為，n階導(dǎo)數(shù)為,…,因此，它在z=0或在|z|<1的泰勒展式是：其中，其收斂半徑為1。注解、這是二項(xiàng)式定理的推廣，對(duì)為整數(shù)的情況也成立。第四章第三節(jié)泰勒展式5、零點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(z)在的鄰域U內(nèi)解析，并且，那么稱為f(z)的零點(diǎn)。設(shè)f(z)在U內(nèi)的泰勒展式是：現(xiàn)在可能有下列兩種情形：（1）如果當(dāng)n=1,2,3,…時(shí)，,那么f(z)在U內(nèi)恒等于零。（2）如果不全為零，并且對(duì)于正整數(shù)m，，而對(duì)于n<m，，那么我們說是f(z)的m階零點(diǎn)。按照m=1，或m>1，我們說是f(z)的單零點(diǎn)或m階零點(diǎn)。如果是解析函數(shù)f(z)的一個(gè)m階零點(diǎn)，那么顯然在的一個(gè)鄰域U內(nèi)其中在U內(nèi)解析。因此存在一個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，。于是。換而言之，存在著的一個(gè)鄰域，其中是f(z)的唯一零點(diǎn)。定理5.1設(shè)函數(shù)f(z)在解析，并且是它的一個(gè)零點(diǎn)，那么或者f(z)在的一個(gè)鄰域內(nèi)恒等于零，或者存在著的一個(gè)鄰域，在其中是f(z)的唯一零點(diǎn)。注解：此性質(zhì)我們稱為解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性。6、解析函數(shù)的唯一性：我們知道，已知一般有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的單實(shí)變或多實(shí)變函數(shù)在它的定義范圍內(nèi)某一部分的函數(shù)值，完全不能斷定同一個(gè)函數(shù)在其他部分的函數(shù)值。解析函數(shù)的情形和這不同：已知某一個(gè)解析函數(shù)在它區(qū)域內(nèi)某些部分的值，同一函數(shù)在這區(qū)域內(nèi)其他部分的值就可完全確定。引理6.1設(shè)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。如果f(z)在D內(nèi)的一個(gè)圓盤內(nèi)恒等于零，那么f(z)在D內(nèi)恒等于零。證明：設(shè)在D內(nèi)一個(gè)以為心的圓盤內(nèi)，。我們只需證明在以外任一點(diǎn)。用D內(nèi)的折線L連接，存在著一個(gè)正數(shù)，使得L上任一點(diǎn)與區(qū)域D的邊界上任一點(diǎn)的距離大于。在L上依次取，而其他任意相鄰兩點(diǎn)的距離小于；作每一點(diǎn)的鄰域，顯然，當(dāng)j<n時(shí)，。由于f(z)在內(nèi)恒等于零，。于是f(z)在內(nèi)泰勒展式的系數(shù)都是零，從而f(z)在內(nèi)恒等于零。一般地，已經(jīng)證明了f(z)在內(nèi)恒等于零，就可推出它在內(nèi)恒等于零，而最后就得到，因此引理的結(jié)論成立。定理6.1如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，并且不恒等于零，那么f(z)的每個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)鄰域，在其中是f(z)唯一的零點(diǎn)。定理6.2（解析函數(shù)的唯一性定理）設(shè)函數(shù)f(z)及g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。設(shè)是D內(nèi)彼此不同的點(diǎn)(k=1,2,3,…)，并且點(diǎn)列在D內(nèi)有極限點(diǎn)。如果，那么在D內(nèi)，f(z)=g(z)。證明：假定定理的結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然。設(shè)是點(diǎn)列在D內(nèi)有極限點(diǎn)。由于F(z)在連續(xù)，可見?？墒沁@時(shí)找不到的一個(gè)鄰域，在其中是F(z)唯一的零點(diǎn)，與解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性矛盾。在復(fù)平面解析、在實(shí)數(shù)軸上等于sinx的函數(shù)只能是sinz.解：設(shè)f(z)在復(fù)平面解析，并且在實(shí)軸上等于sinx，那么在復(fù)平面解析f(z)-sinz在實(shí)軸等于零，由解析函數(shù)的唯一性定理，在復(fù)平面解析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。注解：有關(guān)冪函數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓上某些點(diǎn)處解析，如第3段例1及例2，由解析函數(shù)的唯一性定理，都不存在另一個(gè)解析函數(shù)，在收斂圓內(nèi)與和函數(shù)恒等，而收斂圓上和函數(shù)為解析的點(diǎn)的鄰域內(nèi)，與它不恒等。例2是否存在著在原點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)，滿足下列條件：（1）、（2）、其中n=1,2,3,…。解：（1）、由于都以0為聚點(diǎn)，由解析函數(shù)的唯一性定理，f(z)=z是在原點(diǎn)解析并滿足的唯一的解析函數(shù)；但此函數(shù)不滿足條件。因此在原點(diǎn)解析并滿足這些條件的函數(shù)不存在；(2)、我們有由解析函數(shù)的唯一性定理，是在原點(diǎn)解析并滿足此條件的唯一的解析函數(shù)。第五章羅朗級(jí)數(shù)第一節(jié)洛朗展式7、解析函數(shù)的洛朗展式:在本節(jié)中，我們講述解析函數(shù)的另一種重要的級(jí)數(shù)展式，即在圓環(huán)內(nèi)解析函數(shù)的一種級(jí)數(shù)展式。首先考慮級(jí)數(shù)其中是復(fù)常數(shù)。此級(jí)數(shù)可以看成變量的冪級(jí)數(shù)；設(shè)這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R。如果，那么不難看出，此級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂，在內(nèi)發(fā)散。同樣，如果，那么此級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂；如果R=0，那么此級(jí)數(shù)在每一點(diǎn)發(fā)散。在上列情形下，此級(jí)數(shù)在沒有意義。于是根據(jù)定理2.3，按照不同情形，此級(jí)數(shù)分別在內(nèi)收斂于一個(gè)解析函數(shù)。更一般地，考慮級(jí)數(shù)這里是復(fù)常數(shù)。當(dāng)級(jí)數(shù)都收斂時(shí)，我們說原級(jí)數(shù)收斂，并且它的和等于上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)相加。設(shè)上式中第一個(gè)級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂，第二個(gè)級(jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂。于是兩級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別及在內(nèi)解析。又設(shè)，那么這兩個(gè)級(jí)數(shù)都在圓環(huán)內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂，于是我們說級(jí)數(shù)在這個(gè)圓環(huán)內(nèi)絕對(duì)收斂并且內(nèi)閉一致收斂；顯然它的和函數(shù)是一個(gè)解析函數(shù)。我們稱級(jí)數(shù)為洛朗級(jí)數(shù)。因此，洛朗級(jí)數(shù)的和函數(shù)是圓環(huán)D內(nèi)的解析函數(shù)，我們也有定理7.1設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)：內(nèi)解析，那么在D內(nèi)其中，是圓是一個(gè)滿足的任何數(shù)。證明：設(shè)z是圓環(huán)D內(nèi)任一點(diǎn)，在D內(nèi)作圓環(huán)，使得，這里。用分別表示圓。由于在閉圓環(huán)上解析，根據(jù)柯西定理，有，其中積分分別是沿關(guān)于它們所圍成圓盤的正向取的。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)一致收斂；而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)一致收斂。把這兩個(gè)式子代入前面的式子，然后逐項(xiàng)積分，我們就看到f(z)有展式其中，由柯西定理，上面兩式中的積分可以換成沿圓的積分，于是定理的結(jié)論成立。注解1、由于函數(shù)f(z)的解析區(qū)域不是單連通區(qū)域，所以公式不能寫成：注解2、我們稱為f(z)的解析部分，而稱為其主要部分。注解3、我們稱為f(z)的洛朗展式。定理7.2設(shè)洛朗級(jí)數(shù)在圓環(huán)中內(nèi)閉一致收斂于和函數(shù)g(z)，那么此展式就是g(z)在D內(nèi)的洛朗展式：證明：現(xiàn)在把系數(shù)用g(z)計(jì)算出來。在D內(nèi)任取一圓，用乘以定理中展式的兩邊，然后沿求積分。由于所討論的級(jí)數(shù)在上一致收斂，在求積分時(shí)，對(duì)有關(guān)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，于是我們有這里因?yàn)樯鲜街星蠛陀浱?hào)后各項(xiàng)只有在n=k時(shí)不為零，因此定理的結(jié)論成立。注解：此定理表明，洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)可以用它的和函數(shù)來計(jì)算，同時(shí)，這也表明，g(z)在D內(nèi)不可能有其他形式的洛朗展式，因此我們有下面的解析函數(shù)洛朗展式的唯一性定理：系4.1在定理7.1的假設(shè)下，f(z)在D的洛朗展式式唯一的。求函數(shù)分別在圓環(huán)1<|z|<2及內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式。解：如果1<|z|<2，那么利用當(dāng)時(shí)的冪級(jí)數(shù)展式我們得如果，那么同樣，我們有及在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式是：在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式是：。求函數(shù)在圓環(huán)1<|z|<3內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展式。解：由于1<|z|<3，那么利用當(dāng)時(shí)的冪級(jí)數(shù)展式我們得，而所以，有第五章第二節(jié)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)8、解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)：設(shè)函數(shù)f(z)在去掉圓心的圓盤內(nèi)確定并且解析，那么我們稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)。在D內(nèi)，f(z)有洛朗展式其中是圓。例如，0是的孤立奇點(diǎn)。一般地，對(duì)于上述函數(shù)f(z)，按照它的洛朗展式含負(fù)數(shù)冪的情況（主要部分的情況），可以把孤立奇點(diǎn)分類如下：（1）、如果當(dāng)時(shí)n=-1,-2,-3,…，，那么我們說是f(z)的可去奇點(diǎn)，或者說f(z)在有可去奇點(diǎn)。這是因?yàn)榱?，就得到在整個(gè)圓盤內(nèi)的解析函數(shù)f(z)。（2）、如果只有有限個(gè)（至少一個(gè)）整數(shù)n，使得，那么我們說是f(z)的極點(diǎn)。設(shè)對(duì)于正整數(shù)m，，而當(dāng)n<-m時(shí)，，那么我們是f(z)的m階極點(diǎn)。按照m=1或m>1，我們也稱是f(z)的單極點(diǎn)或m重極點(diǎn)。（3）、如果有無限個(gè)整數(shù)n<0，使得，那么我們說是f(z)的本性奇點(diǎn)。例如，0分別是的可去奇點(diǎn)、單極點(diǎn)及本性奇點(diǎn)。定理8.1函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著極限，，其中是一個(gè)復(fù)數(shù)。證明：（必要性）。由假設(shè)，在內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：因?yàn)樯鲜接疫叺膬缂?jí)數(shù)的收斂半徑至少是R，所以它的和函數(shù)在內(nèi)解析，于是顯然存在著。（充分性）。設(shè)在內(nèi)，f(z)的洛朗級(jí)數(shù)展式是由假設(shè)，存在著兩個(gè)正數(shù)M及，使得在內(nèi)，那么取，使得，我們有當(dāng)n=-1,-2,-3,…時(shí)，在上式中令趨近于0，就得到。于是是f(z)的可去奇點(diǎn)。系8.1設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著某一個(gè)正數(shù)，使得f(z)在內(nèi)有界。下面研究極點(diǎn)的特征。設(shè)函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，是f(z)的階極點(diǎn)，那么在內(nèi)，f(z)有洛朗展式：在這里。于是在內(nèi)在這里是一個(gè)在內(nèi)解析的函數(shù)，并且。反之，如果函數(shù)f(z)