1．如圖所示，等邊三角形ABC中，D為AC邊的中點，E為BC延長線上一點，CE=CD，DM丄BC于M．求上BDE的度數(shù)．的度數(shù)為()A．15°B．20°3．如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，以AD為斜邊作等腰直角三角形ADE，求上EAC連接AE．(1)如圖①,當(dāng)點D在邊AB上時，求證：△DBC≌△EAC．(3)如圖②,當(dāng)點D在邊BA的延長線上時2）中的猜想是否仍然成立？若成立，請給予5．如圖在直線AB的同一側(cè)作△ABD和△BCE,△ABD和△BCE都是等邊三角形，連接AE、CD交于點H，下列選項正確的是()6．如圖，點C在線段AB上，且不與端點重合，分別以AC、BC為邊作等邊△DAC和△EBC，且點D、E在AB同側(cè)，連結(jié)AE、BD交于點P，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有以下四個結(jié)論：(1)求證：△AEF是等邊三角形．(2)若BD=2，求CD的長．北偏東19°的方向行駛100海里到C地，則A，C兩地相距()則P1、O、P2三點所構(gòu)成的三角形的形狀是；連接P1，P2，交OA于N，交OB于使CE=AC，連接ED，EB．(1)求證：DE=DB；狀為()其中正確的是（填寫序號）：．證明：在AC上取點F，使CF=BC，連接BF．:△BCF是等邊三角形（______）:上ABF=______:BF=______（______）:AF=CF=BC這樣，我們就得到了含30°直角三角形的性質(zhì)．在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．(2)求AC的長度．交AB于點E．18．如圖，在△ABC中，上ACB=19．如圖，兩直線m與n相交于點A，它們相交所成的銳角等于15°,若點B是直線m上一定點，AB=6，點C、D分別是直線m、n上的動點，則BD+CD的最小值是（1）如圖，在△ABC中，作DBAC的平分線交BC于點D，在AB上截取AE=AC，連接:①, 22．如圖，在方格紙上的圖形中，以下說法正確的是()23．如圖，已知：AB與CD相交于點O，CO>AC，DB>DA，求證：OD>BD．把以下:上___________>D___________（___________）:上__________>D___________，:上___________>D___________，:OD>BD（___________）24．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊BC上，點E在AD的延長線上，連接BE，點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則線段BM，MN，CN的數(shù)量關(guān)系是()C．BM=MN=CND．不能確定27．如圖是某公園的一滑梯側(cè)面圖，已知上ACB=30°,滑梯架的高AB為2m，則滑梯AC長為()A．4mB．5mC．6mD．7m是等邊三角形，則這個條件可以是()29．已知a，b，c是△ABC的三邊，若(a-b)2+a-c=0，則△ABC為()30．如圖，在等邊三角形△ABC中，E為AB上一點，過點E的直線交AC于點F，交BC則DFED的度數(shù)是()A．15°B．20°則BD的長為()A．7cmB．6cmC．5.5cmD．5cm距離為3，則AC的長為()于點M，N；分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P線AP，交BC于點D，過點D作DE丄BC交AB于點E，若DE=3，上B=30°為()35．將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式擺放，若上1=60°,則△ABC是36．如圖，在邊長為6cm的等邊△ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，若39．如圖，某社區(qū)公園的平面示意圖為一個三角形區(qū)域ABC，A為公園主入口．已知AE、AF鋪設(shè)兩條智能照明步道，已知步道建設(shè)成本為每米400元，為節(jié)省經(jīng)費，這兩條40．在Rt△ABC中，上C=90°,上B=30°,點D在邊AB上且AC=AD，連接CD，點G在：．44．如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊三角形ABD、等邊三角形AEC，BE和DC相交于點M．(1)求證：BE=DC．45．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上．且AE=CD,BE與AD相交于(1)求證：AD=BE；點，但上EDF始終保持60°不變．(1)如圖①,若EFⅡAB求證：DE=DF；(2)如圖@，當(dāng)EF與AB不平行時1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請證明；如果47．如圖，在等邊△ABC中，ADTBC，垂足為D，E是AD上一點，DE=BD．則7ACE的度數(shù)為()A．15°B．30°49．如圖，點P在上MON內(nèi)，點P關(guān)于OM、ON的對稱點上MON的度數(shù)是()A．15°B．30°以BD為邊在△ABC外作等邊△BDE．若F是DE的中點，當(dāng)CF取最小值時，△BDE的周長為()B，C，D在同一直線上．連接BE和CE．則以下結(jié)論中正確的個數(shù)為()53．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AC邊的中點，點F是AB邊上一動點，連接FD，F(xiàn)E．當(dāng)FD+FE取得最小值時，DAFE的度數(shù)為()54．如圖，已知上MON=30°,點A1,A2,A3,A4在射線ON上，點B1,B2,B3在射線OM上，△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4均為等邊三角形．若O則EG=cm．點D為AB上一點，且AD=AC，CD與BE交于點M側(cè)作等邊三角形CDE，連接AE，則CE+AE的最小值是．61．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC的邊AB、BC上的動點（其中P、Q不與端點重合若點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為2cm/s，連接AQ、CP交于點M．64．如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點PA=CQ，連PQ交AC邊于D．(2)線段DE與AC有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．(2)探究證明：如圖2，當(dāng)上MON=60°,點B在射線ON上時，①（1）中的結(jié)論還成立嗎？成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出PA，PB之間另外@若PBⅡOA，猜想線段OA和BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．66．已知點A(0,4)在y軸正半軸上，以O(shè)A為邊作等邊△OAB．(1)如圖①,點P在x軸正半軸上，以AP為邊在第一象限內(nèi)作等邊△APQ，連接①求證：△AOP≌△ABQ；@求證：OC=BC(2)如圖@，若點M為y軸正半軸上一動點，點M在點A的上邊，連接MB，以MB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△MBN，連接NA并延長交x軸于點D，當(dāng)點M運動時，的值A(chǔ)．30°B．n°C．n°或180°-n°D．30°或150°AC，則上OAC的大小為()弧，兩弧分別相交于點M和點N，作直線MN分別與BC，AC交于點E和點F；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點H和點G，再分別以點H，點G為圓心，大于HG的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，若射線AP恰好經(jīng)過點E，則下列其中，正確結(jié)論的個數(shù)有()71．如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點B勻速運動，過點P作PQ丄AB，交邊AC于點Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點D落在BC邊上時，點P需移動s．別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是．(1)求證：△ABC≌△ADE；74．如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC邊BC、AC上的點，且BD=CE，BE與AD交于點F．求證：AD=BE．方向平移得到的．已知EF過點A，BE交CD于點G．【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，后根據(jù)外角的性質(zhì)可求DE的度數(shù)，進而得上上ABC=30°,即可求得上BDE的度【詳解】解：Q三角形ABC是等邊△ABC，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式求解得到DE的度數(shù)．:上EAD=45°,:上EAC=上EAD-上CAD=15°.故答案為：15°.(2)AEⅡBC，理由見解析(3)AEⅡBC仍然成立，證明見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，在△DBC和△EAC中，（2）解：AEⅡBC，理由如下：:AEⅡBC．（3）解：AEⅡBC仍然成立，證明如下：在△DBC和△EAC中，:AEⅡBC．△CBD≌△EBA是解題的關(guān)鍵．DC邊上的高相等，可判斷③.:AE=DC，故①正確；:上CDB=上EAB，:AE和DC邊上的高相等，即點B到AE和DC邊的距離相等，:HB平分上AHC，故③正確；質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識；根據(jù)于點H，利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式求得CH=CG，即可判斷④正:△ACM≌△DCN(ASA)，作CG丄BD于點G，作CH丄AE于點H:CP平分DAPB，④正確；:FB=FC，:△AEF是等邊三角形；:AB=2BD=4，:BC=2AB=8，∵一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏東41°的方向:△ABC是等邊三角形，OPP【詳解】解：∵P1與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，，與P關(guān)于OB對稱，P2與P關(guān)于OA對稱，(2)△ABE為等邊三角形，理由見解析:CE=AC，:AE=2AC=AB，且上DAC=:DE=DB；:BA=EA，:△ABE是等邊三角形．:a-b=0,b-c=0,c-a=:△ABC的三邊長分別為a，b，c，:△ABC是等邊三角形，12．①③④DH=DF，則可對③進行判斷；證明△ADE≥△ADH得到AH=AE，同理可得BH=BF，則可對④進行判斷．【詳解】解：:BC恰好平分<ABF，:<C=<FBD，:△ABC為等腰三角形，所以①正確；②錯誤；:DE=DH，:DH=DF，:DE=DF，所以③正確；在△ADE和△ADH中:△ADE≥△ADH（HL:AH=AE，:AB=AH+BH=AE+BF，所以④正確．故答案為：①③④.【分析】本題主要考查了對“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．”的理解，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，作出輔助線求解．在AC上取點F，使CF=BC，連接BF，結(jié)合上C=60°,可得出△BCF是等邊三角形，再由等邊三角【詳解】證明：在AC上取點F，使CF=BC，連接BF．:AF=CF=BC，故答案為：等邊三角形的判定；30°；AF；等邊對等角:AD=BD，即AC的長度為9．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含3質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余等知識點．掌根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法可知AF平分DBAC，因此作MG丄AB，可得MG=CM=1，進而由30°直角三角形的性質(zhì)可得BM的長度．【詳解】解由題意可知：AF平分DBAC，過點M作MG丄AB交AB于點G，如圖：,故答案為：或2a．確掌握垂直平分線的作法，線段垂直平分線上任意一點，到線（1）分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧交:AD=BD．【詳解】解：QCD是AB邊上的高線，:CD丄AB，:上A=30°,:上BCD=90°-60°=30°,過點E作EF丄AB，垂足為點F，交直線n于點H，:當(dāng)C點位于點F，D點位于點H時，DB+DC的值最小，等于EF，【點睛】本題考查了軸對稱、垂線段最短、含30°角的直角三角形:∠AEC=∠ACE，:∠ACB＞∠B．推出∠AEC=∠ACE和∠AEC＞∠211）見解析:DBAD=DCAD:△DAE≌△DAC(SAS)【詳解】解：如圖，連接AD,BC，由圖可知，ODⅡBC，在△COB中，OB>BC，23．A；AOC；在三角形中，大邊對大角；對頂角相等；A；BOD；B,BOD；在三角形中，:DA>DAOC（在三角形中，大邊對大角）:DA>DBOD:OD>BD（在三角形中，大角對大邊）（2）在線段EA上截取EH=EC，連接HC，證明△EHC是等邊三角形△AHC≌△BEC，可得BE=AH，結(jié)合AH+EH=AE，可得結(jié)論.:上ABC=60°,（2）證明：在線段EA上截取EH=EC，連接HC，:△EHC是等邊三角形:BE=AH，最后通過等邊三角形性質(zhì)即可求解，掌握知【詳解】解：如圖，連接AM，AN，∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，:BM=AM，AN=CN，:△AMN是等邊三角形，:AM=MN=AN，:BM=MN=CN，故選：C．【詳解】解：Q△ABC是等邊三角形，點E在AC上，在△ABE和△ACD中，:△ABE≌△ACD(SAS)，:△AED是等邊三角形，:上AED=60°,【分析】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．:AC=2AB=4m，【詳解】解：∵D是BC的中點，ADTBC，:AD是線段BC的垂直平分線，:△ABC是等邊三角形；:△ABC是等邊三角形；:△ABC是等邊三角形；又:a，b，c是△ABC的三邊，:△ABC是等邊三角形．判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵，作EM∥BC交AC于點M，證明△AEM是等邊三角形，進而證明△EMF≌△DCF，得出即可求出結(jié)論．【詳解】解：作EM∥BC交AC于點M，:DAEM=DB=DAME=DACB=DA=60°,:△AEM是等邊三角形，:AE=EM，:EM=CD，:DMEF=DD,DEMF=DDCF:△EMF≌△DCF【分析】本題考查了含45°直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的知識，本題先求得上EAF=60°,然后證得△EAF是等邊三角形，然后得到上AFE=60°,然后根據(jù):△EAF是等邊三角形，∵7AFE是△DEF的外角，:DFED=DAFE-DD=60°-45°=15°;∵ADTBC于點D，:BD=BC-CD=6cm，【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點到直線的距平分線上的點到角兩邊的距離相等．過點D作DE丄BC于點E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得【詳解】解：如圖，過點D作DE丄BC于點E，:AD=DE，:DE=AD=3，:AC∥ED，:AE=DE=3，【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判【詳解】解：:直尺的對邊平行:VABC是等邊三角形．【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用：【詳解】解：:VABC是等邊三角形，:D是AC的中點，上DEC=30°,故答案為：9cm．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性角平分線性質(zhì)得到DE=CD，再結(jié)合含30°角的直角三角形性質(zhì)求出BD．先作輔助線DE丄AB，利用角平分線性質(zhì)得出DE=CD，再根據(jù)含30°角的直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半求出BD，最后計算CB的長度．∵AD是VABC的角平分線，上C=90°,DE⊥A:DE=CD=3，:BD=2DE=6，【詳解】解：∵等邊VABC中，D為AC中點，故答案為：11∵BD平分DABC，:AE=A￠F，:當(dāng)點A、F、A￠三點共線時，AE+AF的值最小，最小值為A:AA￠=AC=600，:步道建設(shè)成本為每米400元，:這兩條步道總建設(shè)費用的最小值為600的性質(zhì)證明△DGP為等邊三角形，再由:AD=AC，:翻折，:△DGP為等邊三角形，作DM丄EF于點M，作GN丄EF于點N，易得EM=FN=DE，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得【詳解】如圖，過點D作DM丄EF于點M，過點G作GN丄EF于點N，:DG=MN；:VABC是等邊三角形.【分析】此題主要考查了點的坐標(biāo)變化規(guī)律．過點B1向x軸作垂線B1C，根據(jù)B1,B2,B3的坐標(biāo)，求出A1,A2,A3,A4的坐標(biāo)，根據(jù)以上規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：過點B1向x軸作垂線B1C，垂足為C，:點A1坐標(biāo)為(-2,0)，:點A2坐標(biāo)為，點A4坐標(biāo)為(-5,3)，【分析】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余、含本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的綜合運用，??:BE=DC；:在△DMB中，本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明在△ABE和△CAD中??:△ABE≌△CAD(SAS):AD=BE（2）解：Q△ABE≌△CAD:上ABP=上CAD:上BQP=90°:上PBQ=90°-上BPQ=30°:CE=CF，又:CD=CD，:DE=DF；如圖所示，在AC上截取CH=CF，連接DH，:△CDH≌△CDF(SAS)，:△EDF是等邊三角形，:DE=DF=EF，:當(dāng)DF丄BC時，DF最小，即此時△EDF的周長最小，:此時有DF=1BD=a，:△EDF的周長最小為a．【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，由等邊三角形的性質(zhì)推出AD垂直平分BC是解題的:AD垂直平分BC，:BE=CE，:△BDE是等腰直角三角形，:上DBE=45°,:上ECD=45°,【詳解】解：:ABⅡCD，:EG=FG，:△EFG是等邊三角形．的性質(zhì)．連接OE、OF．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)【詳解】解：如圖，連接OE、OF．:點P關(guān)于OM、ON的對稱點分別為E、F，:OP=EF，:OE=OF=EF，【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、識．連接BF，過點C作CH丄BF，交BF的延長線于H，AB和CH交于點G，當(dāng)點F與點H重合時，CF取最小值，根據(jù)“直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”可得AB=12，再證明△ACG是等邊三角形，進而可得BG的值，然后計算VBDE的周長即可．【詳解】解：如下圖，連接BF，過點C作CH丄BF，交BF的延長線于H，AB和CH交于點G，∵VBDE是等邊三角形，點F是DE的中點，:點F在射線BF上運動，當(dāng)點F與點H重合時，CF取最小值，此時點D、G重合，:△ACG是等邊三角形，角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，添加輔助線定可得結(jié)論②正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE垂直平分AC，根據(jù)線段垂直【詳解】解：:VABC為等邊三角形，:上ABC=60°,如圖，過E點作EF丄BA的延長線于F點，作EG丄BD于G點．:△EFA≌EGD(AAS)，:EF=EG，:BE為DABC的平分線．:BE垂直平分AC，:EA=EC．:上ECD≠60°.【分析】取AB的中點H，連接EH，過點D作DI丄AB于點I，交EH的接HD，證明點G是點D關(guān)于AB的對稱點，當(dāng)F與H重合時，F(xiàn)D+FE取得最小值，此線于點G，連接HD，∵等邊VABC，點D，E分別是BC，AC邊的中點，AB的中點H，:△AHE,△BHD都是等邊三角形，:IG=ID，:點G是點D關(guān)于AB的對稱點，A2=30°,等腰三角形的性質(zhì)可得ABA2A223【詳解】解：∵△A1B1A2是等邊三角形B1A2BAAA2-A2A2邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵，連接AE，AG，易證得△AEG為等邊三角形，即可得到EG=BC，進而得到答案．【詳解】解：連接AE，AG，如圖所示，∵DE，GF分別是AB，AC的中垂線，:BE=AE,AG=CG，在△ABE和△ACG中，:△ABE≥△ACG，:AE=AG，:△AEG是等邊三角形，形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三從而得到AG的長，即可求解．??:AD=2AG，:AB=2AC，【分析】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，【詳解】解：:VABC是等邊三角形，ìAB=ACìAB=AC:△ABD≌△CAE(SAS)，:PD=1，等邊三角形是解題的關(guān)鍵．作MD丄AC于D點，由軸對稱的性質(zhì)可得證△CMN是等邊三角形，則可得上BCM=60°,進而得上ACM=30°,由此得:△BMN與△B￠MN關(guān)于直線MN對稱，:上B=45°,:△CMN是等邊三角形，:上BCM=60°,5.2故答案為：45．:MH=CH．故答案為：4.60．6DFOC=90°,即EF垂直平分BC，則BB、E、A三點共線時BE+AE最小，即CE+AE最小，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．于點O，:DFOC=90°,:EF丄BC，:EF垂直平分BC，:BE=CE，:BE+AE最小，即CE+AE最小，為6，故答案為：6．（2）根據(jù)題意，得上ABC=60°,分上PQB=90°和上BPQ=90°兩種情況解答即可．故答案為：60°.:點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為2cm/s，等邊VABC的邊長為:BP=AB-AP=(4-2t)(cm)，:BP=2BQ，:4-2t=4t，:BQ=2BP，故答案為或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，據(jù)等面積法即可判斷①正確；由DA=60°,得DABC+DACB=120°,根據(jù)角平分線的定【詳解】解：如圖1，作OH丄BC于點H，Q△ABC的角平分線BD、CE交于點O，OF丄AB于點F，:OH=OF，如圖2，在BC上截取BM=BE，連接OB，:△BOM≌△BOE(SAS)，:△COM≌△COD(ASA)，:CM=CD，【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角【詳解】解：Q△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，:上CDF=90°-60°=30°,:AF=AC-CF=16-4=12，:BH=AB-AH=16-6=10．【分析】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、三線合一以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識（