類似的，我們還可以得到：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線、角平D4．已知兩個(gè)相似三角形的相似比是3:8，那么它們對(duì)應(yīng)的角平分線之比是5．已知：如圖，已知ΔABC∽ΔDEF，求證：相似三角形面相似三角形性質(zhì)定理（2相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比7．如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為4:9，這兩個(gè)三角形的周A．30cmB．40cmC．50cmD9．如圖，△ABC中，BC=4，AC=3，AB=5，過交AB于點(diǎn)E．(1)點(diǎn)A到BD的距離_______．10．如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，連接DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，則△ADF的面積S1與四邊形EFCB的面積S2的比值為()12．在□ABCD中E是邊BC上一點(diǎn)，將△ABE沿著AE翻折到△AFE．如圖，(1)求證：AD=DE；13．在Rt△ABC中，上ACB=90°,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CM上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作DE丄CM分別交邊CA,CB于點(diǎn)D,E．(2)如圖，若DE=CM，求證：BC=2DC．14．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，分別連接CE．①求證：AE2=AD.BC；②求證：DE平分DADC；是()則CD的值為()949218．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊AD上，且AE=2作EF丄BE，交CD于點(diǎn)F，則DF的長為()432 3速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過（）秒后，△PBQ與△ABC相似．20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E分別在AB,AC的邊上，且DEⅡBC，△ABC的中線AF交DE于點(diǎn)G．若四邊形BDEC的面積與△ADE的面積相等，AG=1，則FG的長為()沿EF折疊，使點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使折疊后的四邊形ECBF面積為△DEF面積的2倍，則AE的長為．(1)求證：△DBE∽△ABC；30．如圖所示是由三個(gè)小正形組成的網(wǎng)格，連接AC，AD，AE，根據(jù)要求完成下列題角的角平分線之比為()32．如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高線，下列結(jié)論正確的是()A．AB2=BD.CDB．AC2=CD.BDC．AD2=BD.CDD．BC2=AB.AC33．如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形的中點(diǎn)，連接BM,DM，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()交BA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，以DE的長為半徑作弧，在△ABC內(nèi)與前一條弧相交于點(diǎn)G；④連接BG并延長交AC于點(diǎn)H．若H恰好為AC的中點(diǎn)，則AC的長為()35．如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AE丄BC于點(diǎn)E，并交BD于點(diǎn)G，若AE=8，36．如圖，正方形CEDF的頂點(diǎn)D,E,F分別在△ABC的邊AB,BC,A則△AFD與△BDE面積之和等于()38．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，EF丄BD，垂足為點(diǎn)H，EF分別交AD、DC及BC的延長線于點(diǎn)E、M、F，且ED:CF=1:2，則DH:DO的值為()41．如圖，在平行四邊形ABCD中，個(gè)是等腰三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段43．如圖，在YABCD中，AB=6cm，AD=9cm，DBAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC44．如圖，△ABC中，E、D是BC邊上的三等分點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，BF交AD、AE于45．如圖，在邊長為7的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，CE與BF交于點(diǎn)P，則DP的長度為．46．如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中48．如圖，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，EF丄BE交CD于點(diǎn)F．(1)求證：△ABE∞△DEF；上FEB=上ACB，EF與AB相交（不與點(diǎn)M，C重合）、將線段DM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：D是MC的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合連接AE，EF，滿足52．如圖，在△ABC中，已知D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且DEⅡBC．若則的面積為()54．如圖，一張銳角三角形紙片ABC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=2DB，沿DE將△ABC剪成面積相等的兩部分，則的值為()三角形的周長是()的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將△AEF沿EF所在直線翻折得到△A￠EF（如圖的A．2-B．3-C．D．4-57．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，DEⅡBC，若=，則S△ADE =S△ABC點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿折線C→B→A向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿邊CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．△PCQ的面積S（單位：cm2）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系如圖2所示1）m=2）n=．59．如圖，在四邊形ABCD中，ADⅡBC，DB=90°,AB=8，BC=4，點(diǎn)E在邊AAE=3，連接CE，且上DCE=上BCE．點(diǎn)F在BC的延長線上，連接DF若DF=DC，則線段CF的長為．接AM、BM、CM，若CM=3，則AM+BM的最小值為．61．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，對(duì)角線BD的長為16，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD（1）如圖1，若D，E分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)F，則四邊形CDFE（2）如圖2，若M，N分別是邊BC和AC上距離C點(diǎn)最近的6等分點(diǎn)，AM與BN相交于點(diǎn)G，則四邊形CMGN的面積為．63．如圖，在四邊形ABCD中，上A=90°,連接BD，過點(diǎn)C作CE^AB，垂足為E，CE①請(qǐng)判斷線段BC，BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；@若BC=13，AD=5，求EF的長．64．如圖，在□ABCD中，點(diǎn)M,N在AD邊上，AM=DN，連接CM并延長交BA的延長線于點(diǎn)E，連接BN并延長交CD的延長線于點(diǎn)F．求證：AE=DF．小麗的思考過程如下：65．如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．AE，把△ABE沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，延長AP交CD于點(diǎn)F，求證：F內(nèi)部，當(dāng)△PDN是以DN為斜邊的直角三角形時(shí)，求BE的長．:AD=AB，D【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角【詳解】解：:兩個(gè)相似三角形的相似比是3:8，QΔABC∽ΔDEF，:相似三角形面積的比等于相似比的平方．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確表示出三角形(2)18【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．:△AOB∽△DOC；設(shè)較小三角形的周長為2k，較大三角形的周長為3k，相似比的平方，列出方程解答即可求解，掌握相似三角形【詳解】解：設(shè)較小的三角形的面積為x，則較大的三角形的面積為x+40，:兩個(gè)相似三角形的面積比為4:9，:較小的三角形的面積為32，故答案為：32．:BC2+AC2=AB2，:△ABC是直角三角形，∵BDⅡAC，:點(diǎn)A到BD的距離即為BC的長，等于4，故答案為：4；（2）解：∵BDⅡAC，:△ACE∽△BDE，【分析】證明△AEF∽△CDF，得到S△CDF=4S△AEF，S△ADF=2S△AEF，解答即可．:ABⅡ:△AEF∽△CDF，:S△CDF=4S△AEF，:S△ADF=2S△AEF，:S△ADC=6S△AEF，:S四邊形EFCB=5S△AEF，過點(diǎn)A作AM丄BC于點(diǎn)M，AF丄DE用勾股定理求出EF，再利用DE=2EF，即可解答．:△ABM∽△EAF，:ADⅡBC，Q將△ABE沿著AE翻折到△AFE，:AD=DE；（2）解：Q將△ABE沿著AE翻折到△AFE，:△CDE∽△FDC，Q四邊形ABCD是平行四邊形，BC=（1）根據(jù)題意可得∠CDF+∠DCF=90°,由直角三角形斜邊中線的相似三角形的性質(zhì)，即可求證BC=2DC．:∠CDF+∠DCF=90°,∵上ACB=90°,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，∵DE=CM，的中點(diǎn)，代入比例式即可求證；②由①知△AED∽△BCE可得（2）過點(diǎn)A作AFⅡBC，連接DF，EF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造Rt△ADF，再根據(jù)等腰三角形的判定得出△CDF為:△AED∽△BCE，AEAD:=，BCBE:E為AB的中點(diǎn)，:AE=BE，AEAD:=，BCAE即AE2=AD.BC；:△AED∽△BCE，ADDE:=，BECE:AE=BE，ADDE:=，AECE:DE平分DADC；（2）解：如圖，過點(diǎn)A作AFⅡBC，連接DF，EF，:DF=DC，在Rt△ADF中，AD2+AF2=DF2，:AF=1，性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合，掌握以上知識(shí)，合理【分析】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，由DEⅡBC，易證△ADE∞△:△ADE∞△ABC，:S△ABC=根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，然后代入數(shù)值求解即可．:AB=BC=x，:AB:CD=1:，:ABⅡCD，:△AOB∽△COD，:△AOB與△COD的周長比為：1:．:AE=4,DE=2，分兩種情況討論求解．設(shè)x秒后，△PBQ與△ABC相似，可表示出BP=8-2x,BQ=4x，再分BP與AB是對(duì)應(yīng)邊和BP與BC是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解【詳解】解：設(shè)x秒后，△PBQ與△ABC相似，則BP=AB-AP=8-2x,BQ=4x，當(dāng)BP與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則，BPBQ當(dāng)BP與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，則BPBQBCAB故選：C．【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；證明△ADE∽△ABC，得然后證明△AGD∽△AFB,，得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出【詳解】解：:△ADE與四邊形DBCE的面積相等，:DEⅡBC，:△ADE∽△ABC，:DEⅡBC，:△AGD∽△AFB,:△ADE∞△ABC，:AG=1:FG=-1，【詳解】解：:兩個(gè)相似三角形的相似比是4:9，:它們對(duì)應(yīng)的角平分線之比是4:9．22．45°##45度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的故答案為：45°.【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”證明:△ABC∽△ADE，故答案為：32°.【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線；取CE的中點(diǎn)M，連接【詳解】解：如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接DM．::△BEF∽△BMD，25．2【分析】該題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，根S△AEF=S△DEF．根據(jù)S四邊形ECBF=2S△DEF，得出S△△ABC．證明Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，得【詳解】解：:將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，），:S四邊形ECBF=2S△DEF，:Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，故答案為：2．【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．延長F【詳解】解：延長FE，CD交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，:AB=2AF，:ABⅡCD，AB=CD=2AF，:△AFE∽△DHE，:HD=3AF．∵ABⅡCD，:△AFG∽△CHG，故答案為：1:5．:△BCD∽△BAC；::△DBE∽△ABC；:△DBE∽△ABC，DE=2，:AC=6，:△ABC∽△AED．（2）解：:△ABC∽△AED，:△CBF∽△DAF，:△ACD∽△ECA．定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是【詳解】解：:△ABC∽△DEF，面積比為設(shè)相似:△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)角的角平分線之比的性質(zhì)可推得AB2=BC·BD，AC2=BC·CD，AD2=BD·CD，可判斷A選項(xiàng)、B選項(xiàng)、C選項(xiàng)的正誤；結(jié)合勾股定理、完全平方公式即可判斷D選項(xiàng)．:△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，:△DBA∽△DAC，AB2=BC·BD，AC2=BC·CD，則A選項(xiàng)、B選項(xiàng)錯(cuò)誤；即AD2=BD·CD，則C選項(xiàng)正確；QRt△ABC中，BC2=AB2+AC2，又Q(AB-AC)2≥0，:AB2+AC2≥2AB·AC，故選：C．的關(guān)鍵．連接MC，易證△ACE是直角三角形，由點(diǎn)M質(zhì)可得易證BM垂直平分AC，DM垂直平分CE，推出只是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，于是得到△ACE與△BDM不一定相似，得到不一定成立，故D錯(cuò)誤．【詳解】解：連接MC，:點(diǎn)M,B在AC的垂直平分線上，點(diǎn)M,D在CE的垂直平分線上，:BM垂直平分AC，DM垂直平分CE，:BM垂直平分AC，DM垂直平分CE，上ABC=90°,上CDE=90°,:MB=MD，故選項(xiàng)B正確；:AC=AB,CE=DE，:上BMD=90°,BM=DM，:△BMD是等腰直角三角形，:△ACE與△BDM不一定相似，不一定成立，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明三角形全等以及三角形相似是解題關(guān)鍵．連接FG，先證明△BFG≌∠ABH=∠ACB，進(jìn)一步證明△ABH∽△ACB得到，再由H是AC中點(diǎn)，得到AC=2AH，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接FG，:△BFG≌CDE(SSS)，:△ABH∽△ACB，:H是AC的中點(diǎn)，:AC=2AH，【詳解】解：:四邊形ABCD是菱形，:ADⅡBC,AD=BC=AB，:EC=6， :ADⅡBC，:△ADG∽△EBG，【分析】由△BDE∽△DAF，推出，設(shè)D:上BDE=上A，:△BDE∽△DAF，在Rt△ADF中，則有25=9k2+25k2，故選：C.【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，:平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于O點(diǎn)，:OH∥CD，:△EDF∽△EHO，【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)．先由菱形的性質(zhì)得到ADⅡBC，AC^BD，AD=BC，再證明ACⅡEF，進(jìn)而證明四邊形AEFC是平行四邊形，得到AE=CF，由EFⅡAC，推出△DEH∽△DAO，得到【詳解】解：:四邊形ABCD是菱形，:ADⅡBC，AC^BD，AD=BC，:EFⅡAC，:四邊形AEFC是平行四邊形，:AE=CF，∵EFⅡAC，:ED:AE=1:2，∵EFⅡAC，【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．:△ADE∽△ABC，AB=5，:BP=2，BPBQBPBQABBC2BQ:=，BPBQBPBQBCAB2BQ:=，定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出ADⅡBC，F(xiàn)E=4，根據(jù)FEⅡBC得出【詳解】解：∵在YABCD中，BE平分DABC，CF平分上BCD，【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，由△ACD是等腰三角形，:△BCD∽△BAC，故答案為：46°；113°或92°.角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的長，然后證明△ABE∽△FCE，即可得到CF．【詳解】解：:AE平分DBAD，又:四邊形ABCD是平行四邊形，:ADⅡBC，:AE=2AG，在Rt△ABG中，故答案為：2cm，3cm．合圖形添加平行線的輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)A作AMⅡBC交BF延長線于點(diǎn)M，通過證明△AFM≌△CFB，得到AM=BC，MF=BF，則有,根據(jù)三等分點(diǎn)的定義以及等量代換可得，再通過證明【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AMⅡBC交BF延長線于點(diǎn)M，:AF=CF，:△AFM≌△CFB，:AM=BC，MF=BF，:BF=BM，出PD．在Rt△ABF中在Rt△BCE中QE、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，:△ABF≌△BCE(SAS)，:四邊形PGHC是矩形，:△ABF∽△GDF，:△BCE∽△HCD，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形知，證明△PME∽△AMD即可；④2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．:△BAE∽△CAD，:△BAE∽△CAD:△PME∽△AMD:MP.MD=MA.ME，故③正確；由MP.MD=MA.ME可得:△PMA∽△EMD:△CAP∽△CMA:AC2=CP.CM:AC=CB，:△ABD∽△ACB．（2）解：Q△ABD∽△ACB，:AB2=AC.AD，:AC=9，【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，:上BEF=90°,:上ABE=上DEF，:△ABE∞△DEF．（2）解：Q四邊形ABCD為正方形，AB=4解得：DE=2．【分析】該題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)．:△FBE∽△ABC，:△BFA∽△BEC．:△ANF∽△ENB，（2）延長FE到H使FE=EH，連接CH，AH，EM，通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)M，點(diǎn)EEFDEFD1FHCHCF2:上C=上DEC，:DE=DC，:DM=DC，即D是MC的中點(diǎn)；如圖，延長FE到H使FE=EH，連接CH，AH，EM，:上DME=90°-a，:上AME=a，又QEF=EH，:AF=AH，又QAB=AC，:△BAF≌△CAH(SAS)，:上BCH=2a，:上BCH=上EDM，:DE∥CH，:△EFD∽△HFC，:CH=2DE，:BF=2DE=2DM．似三角形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三:AC=4；:△ADE∞△ABC，:AE=BE=2，:△AEF∽△BCE，如圖所示，過點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，證明出△AFD∽△ACB，得到【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，:△AFD∽△ACB，:設(shè)S△AFD=4s，S△ACB=9s，∵沿DE將△ABC剪成面積相等的兩部分，【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)最長邊分別為10cm和6cm確定相似比，相似三角形的周長比等于相似比，再根據(jù)周長之和為48cm即【詳解】解：Q兩個(gè)相似三角形的最長邊分別為10cm和6cm，:較大三角形與較小三角形的周長比為：5:3，:較小三角形的周長為A￠H最小，此時(shí)△A￠BC面積最小，延長AD,BC交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN丄CM于點(diǎn)N，則:四邊形ADCG是矩形，∵E是線段AD的中點(diǎn)，AD=2，:ABⅡCD，19【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明△ADE∞△ABC，根據(jù)相似【詳解】解：:DEⅡBC:△ADE∞△ABC，:S△ABC=據(jù)面積公式求出PD的長，證明△ADP∽△ACB，列出比例式求出AP的長，進(jìn)而求出AB的長故答案為：8；22:PD=2，:△ADP∽△ACB，APPD21ABBC42:P為AB的中點(diǎn)，:AB=2BP=12；的判定與性質(zhì)，延長CE交DA延長線于點(diǎn)G，過D作DH丄BF于點(diǎn)H，則上BHD=90°,由三線合一性質(zhì)可得CH=FH=CF，然后證明四邊形ABHD是矩形，所以AB=DH=8，【詳解】解：如圖，延長CE交DA延長線于點(diǎn)G，過D作DH丄BF于點(diǎn)H，則∵ADⅡBC，DB=90°,:四邊形ABHD是矩形，:△AEG一△BEC，:BE=5，:ADⅡBC，:DDCE=DBCE，由勾股定理得：CD2=CH2+CD2，解得最短得出即當(dāng)M在AG上時(shí)，取最小值.:△MCG∽△BCM，即當(dāng)M在AG上時(shí)取最小值，為5.故答案為5.:EG=2，DG=4，13 【分析】（1）連接DE，可證明DE是△ABC的中位線，得到DE∥AB，D△DEF∽△ABF，得到則可得到則S△據(jù)（2）連接MN，證明△CMN∽△CBA，得到 【詳解】解1）如圖所示