4.3.2角的比較與運算教學(xué)設(shè)計

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“幾何圖

形初步”4.3角第2課時，內(nèi)容包括角的比較，角的和與差，角的平分線.

2.內(nèi)容解析

角的比較、角的和與差、角的平分線是本章重要的基礎(chǔ)知識，也是后續(xù)學(xué)習(xí)圖形與幾何必備

的知識基礎(chǔ).角的大小比較方法有兩種：度量法和疊合法.其中，疊合法是重要的方法，疊

合時使面?zhèn)€角的頂點及一邊重合，另一邊落在第一條邊的同旁，保證了可比性；度量法中量

角器起到了一個移角的作用，其實質(zhì)是將兩個角移動后疊合在一起，比較兩角的大小是本節(jié)

知識產(chǎn)生、發(fā)展的起點，不論是圖形還是數(shù)量，除角的大小外，自然會產(chǎn)生角的和與角的差

的問題，再將角的和與差問題特殊化，自然又會產(chǎn)生等分問題.

與線段的比較、和與差、中點一樣，對于角的比較、角的和與差、角平分線，也是從數(shù)和形

兩方面來研究.研究方法有兩個方面：一是數(shù)與形結(jié)合，把幾何意義與度數(shù)的數(shù)量關(guān)系結(jié)合

起來.二是類比學(xué)習(xí)，按知識內(nèi)容，線段的比較、和與差、中點與角的比較、角的和與差、

角平分線是類比性知識；按敘述方式，都采用圖形語言、文字語言和符號語言綜合描述所研

究的對象；按學(xué)習(xí)過程，都注意從具體到抽象（模型一圖形一文字一符號），同時也重視反

向的訓(xùn)練.

基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點為：角的大個、角的和與差、角平分線的意義及

數(shù)量關(guān)系：感受類比的思想.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）理解角的大小、角的和與差、角平分線的意義及數(shù)量關(guān)系，并會用文字語言、圖形語

言、符號語言進行描述.

（2）類比線段的大小、和與差、中點，學(xué)習(xí)角的比較、角的和與差、角平分線，體會類比

思想.

2.目標(biāo)解析

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能從圖形和數(shù)量關(guān)系兩個角度認(rèn)識角的大小，會用度量法和疊合

法比較兩個角的大??；能從幾何圖形和數(shù)量關(guān)系兩方面認(rèn)識角的和與差及角平分線，知道兩

個角的和、差仍然是一個角，知道角的和、差或等分的度數(shù)的計算；能結(jié)合角的大小、和與

差、角平分線的直觀圖形，用文字語言和符號語言描述它們，反之，能將它們用符號語言或

文字語言所表述的圖形及關(guān)系，用圖形直觀表示出來.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：在學(xué)習(xí)過程中，能在回憶線段的大小、和與差、中點內(nèi)容的同時，

想象本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，能對學(xué)習(xí)進程心中有數(shù)；能將對線段的大小、和與差、中點的

研究方法和基本套路遷移到角的相關(guān)問題研究中，不斷地提出問題、分析問題、解決問題.

三、教學(xué)問題診斷分析

角的比較大小、角的和與差、角平分線研究與研究線段的大小比較、和與差、中點的內(nèi)容和

方法很相似，教學(xué)時把兩者作對比，學(xué)生在學(xué)習(xí)方法和學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解上，不會有困難.困

難在于正確地完成圖形語言、文字語言、符號語言之間的轉(zhuǎn)化.究其原因，一方面，語言是

思維的產(chǎn)物，圖形是實物和模型第一次抽象，是對研究對象的直觀反映，文字語言是對圖形

的描述、理解和討論，符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象.它們的綜合運用，要求

學(xué)生必須對研究對象從數(shù)和形上有著深刻的理解，并具有讀圖和畫圖的能力；二是缺乏培養(yǎng)

和訓(xùn)練，對于圖形、文字、符號語言的綜合運用，雖然在學(xué)習(xí)線段知識時已有接觸，但要達

到融會貫通的程度還需要經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點為：用圖形語言、文字語言、符號語言綜合描述角的

大小、角的和與差的關(guān)系及角的平分線.

四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）溫故知新，引入課題

上節(jié)課我們學(xué)了角的有關(guān)概念，你能回憶一下學(xué)了哪些內(nèi)容嗎？從研究線段得到啟發(fā)，接下

來將研究什么？

師生活動：學(xué)生回憶，回答問題.

問題1:請同學(xué)們回憶一下，前面我們學(xué)習(xí)了線段的哪些內(nèi)容？

師生活動：學(xué)生I可顧在線段中所學(xué)內(nèi)容，教師歸納.

教師關(guān)注學(xué)生對所學(xué)線段內(nèi)容的整體認(rèn)識以及“幾何模型一一圖形一一文字一一符號”的學(xué)

習(xí)過程.

【設(shè)計意圖】通過回憶與本節(jié)課內(nèi)容密切相關(guān)的引導(dǎo)性材料，使學(xué)生對學(xué)習(xí)進程心中有數(shù)，

幫助學(xué)生掌握研究問題的方法.

（二）觀察思考，探究新知

問題2：類比線段大小的比較，你認(rèn)為該如何比較兩個角的大小？在練習(xí)本上畫兩個角，比

較它們的大小，并說明你是怎么比較的.

師生活動：學(xué)生討論解決問題的方法，學(xué)生代表展示交流.

學(xué)生展示交流后提問：比較角的大小的方法有幾種？每種方法中應(yīng)注意的問題什么？

教師在學(xué)生展示交流的基礎(chǔ)上，利用課件動畫演示用量角器量角、用疊合法比較角的大小過

程，歸納操作要點：

量角器量角要注意：對中，重合，讀數(shù)；

疊合兩角時要注意：（I）重合（兩角的頂點及一邊重合（2）同旁（另一邊落在第一條邊

的同旁）.

追問：兩個角的大小關(guān)系有幾種？你能用圖形和符號表示嗎？

師生活動：學(xué)生畫出圖形，并用符號表示（圖1）,指出兩個角的大小關(guān)系有且僅有三種情

況.

"(O')A(A,)O(O')A{A')(){(),)

Z-A()B<Z.A,(),B,Z.AOB=Z.A,(),B,￡AOB>乙A'O'B'

圖I

教師關(guān)注學(xué)牛.運用度量法、疊合法比較角的大小操作的規(guī)范性；學(xué)生是否能體會兩個角的大

小關(guān)系有且僅有三種情況.

【設(shè)計意圖】采用類比的方法，按照''幾何模型——圖形——文字——符號”的學(xué)習(xí)程序，

學(xué)生動手操作，自主探究.建立線段比較長短與角比較大小之間知識與方法的聯(lián)系，在對比

中加深理解.指出對于兩個角的大小關(guān)系和兩個實數(shù)的大小關(guān)系一樣，有且僅有三種情況：

NA>N3,ZA=ZB,NAVN3,為以后分類研究一些有關(guān)角的問題奠定基礎(chǔ).

問題3：如圖2,圖中共有兒個角？它們之間有什么關(guān)系？

圖2

師生活動：學(xué)生確定角的個數(shù)，明確角之間的和差關(guān)系.

教師關(guān)注學(xué)生是否能發(fā)現(xiàn)用的和差關(guān)系，若學(xué)生僅說出它們的大小關(guān)系，教師可引導(dǎo)學(xué)生進

一步觀察圖形，類比線段的和與差，發(fā)現(xiàn)角的和差關(guān)系.

學(xué)生完成上述問題后提問：

你能用符號表示這些角之間的和差關(guān)系嗎？

教師關(guān)注學(xué)生能否理解角的和與差的意義.

【設(shè)計意圖】以角的比較大小的圖形（圖2）為背景，提出角的和差問題，將知識由角的大

小過渡到角的和與差，銜接自然流暢.同時，針對同一圖形變換審視角度提出問題，可以提

高學(xué)生的讀圖能力.用符號表示角的和差關(guān)系，仍遵循“幾何模型——圖形——文字——符

號”的學(xué)習(xí)過程，在圖形與等式之間建立一種關(guān)系.從角的大小數(shù)量上研究角的和與差，突

出反映角的和與差的意義與度數(shù)的數(shù)量間的關(guān)系，加深對角的和與差概念的理解.

問題4：利用一副三角尺，你能畫出哪些度數(shù)的角？這些角有什么規(guī)律？

師生活動：學(xué)生動手操作，小組合作探究，師生歸納.

師生歸納：一副三角尺上的角都是常用的角，它們是30。，45°,60。，90。的角，利用

=116°37,.

3.20°30'X8；

解：原式=20°X8+30'X8

=1600240,

=164°

4.106。6'+5.

解：原式=(106+5)。+(6+5丫

=210+1°+5+(6+5)'

=21。+(66。5y

=21。+13'+1'+5

=21。+13'+60"+5

=21。⑶12"

(四)合作探究

問題5：類比線段的中點，在圖3中，射線08有沒有一種特殊位置，若有，此時三個角之

間乂存在怎樣的關(guān)系？

圖3

圖4圖5

師生活動：畫出圖形，如圖4,明確角的平分線的概念.

提出問題:

（1）你能用符號表示圖4中角之間的關(guān)系嗎？

（2）類似角的平分線，還有角的三等分線（圖5）,一個角的三等分線有幾條？四等分線呢？

【設(shè)計意圖】從角的和差問題中，將射線03的位矍特氏化，并類比線段的中點，引出角的

平分線的概念，不僅知識的產(chǎn)生、發(fā)展自然連續(xù)，也體現(xiàn)了由一般到特殊，由特殊到一般的

研究方法.同時，也能建立知識間的聯(lián)系，完善認(rèn)知結(jié)均.

問題6：你能得到一個角的平分線嗎？

師生活動：畫圖展示交流，歸納方法（用量角器、折紙）；教師結(jié)合學(xué)生的展示交流或利用

課件動畫演示折疊過程中的翻折過程.教師關(guān)注學(xué)生操作是否規(guī)范.

【設(shè)計意圖】進一步明晰角平分線的概念，為后續(xù)學(xué)習(xí)軸對稱和研究有關(guān)圖形的翻折問題打

下基礎(chǔ).

(五)典例分析

例3：如圖，08是NAOC的平分線，。。是NCOE的平分線.

(1)如果/AOC=80。，那么N80C是多少度？

(2)如果乙4。8=40。，ZDOE=30°,那么N8。。是多少度？

(3)如果N4OE=140。，ZCOD=30°,那么NAO3是多少度？

解：(1)因為08平分N4OC,NAOC=80。，

所以N80C=LZA0C=-X80°=40°.

22

(2)因為04平分N40C,

所以/BOC=NAOB=40°.

因為。。平分NCOE,

所以NCOD=ZDOE=30c,

所以/BO。=/8OC+NCOQ=40。+30。=70°.

(3)因為/。。。=30。，0D平分NCOE,

所以NCOE=2ZCOD=60°,

所以NAOC=NAO￡—NCOE=140°—60°=80°.

又因為OB平分NAOC,

所以ZAOB=-ZAOC=-x80°=40°.

22

例4：如圖，已知NAO8=40。，自。點引射線OC,若乙4OC：ZCOI3=2：3.求OC與/

4OB的平分線所成的角的度數(shù).

解：分以下兩種情況：

①如圖，0c在NA04內(nèi)部，OD平分NAOB,

OA

設(shè)/AOC=2x,^COD=3x,

???NAOB=40°,.,.2x+3x=40°,得x=8°,

:.ZAOC=2x=2x80=16o.

平分NAOB,/.Z>4OD=20°,

???ZCOD=ZAOD-N4OC=20。-16*40.

②如圖，0c在NAO3外部，OD平分NAOB,

???設(shè)NA0C=2x,NC0B=3x,

,/ZAOB=40°,

???3x—2x=40°,得x=40。，

:.N40C=2x=2x40°=80。，

???。0平分/4。8,???N4OD=20°,

/.ZCOD=ZAOC+ZAOD=S00+20a=1()0°.

：.OC與N4O8的平分線所成的角的度數(shù)為4?；?00。.

(六)當(dāng)堂鞏固

1.如圖：OC是NAOB的平分線，。。是N8OC的平分線，那么下列各式中正確的是

2

A.ZCOD=-ZAOCB.ZAOD=-ZAOB

23

3

C.ZBOD=-ZAOBD.NBOC=3/AOB

32

2.(1)如下圖，填空:

ZAOB+ZBOC=；ZAOC

ZAOC+ZCOD=；ZAOD

NBOD-NCOD=；Z.BOC

ZAOD-=ZAOB./BOD

(2)如上圖：已知NA08=ZBOC=ZCOD,

則OB是的平分線；ZAOC

4Aoe=；ZBOC=

/BOD；NAOB；NDOC；-ZAOD.

3

3.填空：

TA。是NB4c的平分線

AZ=Z.BAD；CAD；

（角平分線的意義）

?；NABC=2NABE

，平分N.BE；ABC.

（角平分線的意義）

4.如圖，NAOB=NCOD=90,ZAOD=146°,則N40C=.34°

5.已知N4O4=38。，N3OG25。，那么NAOC的度數(shù)是.13?；?3。

6.計算：

(1)12°36'56"+45。24'35"；

(2)79°45'+61。48'49”；

(3)62°24'17"X4：

(4)102°43'+3.

答案：(1)58°：(2)141。33'49〃；(3)249。376"；(4)34。14'20".

7.如圖，OC是平角NA08的角平分線，ZCOD=32°,求NAOO的度數(shù).

答案：ZAOD=\22°.

8.如圖，NAOB=170°,乙4OC=NBOD=90。，求NCO。的度數(shù).

D

A

B

答案：ZCOD=10°.

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生估計角的大小的能力.用適當(dāng)方法臉證，則可進一步鞏固比較角大小

的方法.鞏固角平分線性質(zhì)和角的和與差概念，能使學(xué)生加深對角的平分線概念的認(rèn)識，將

形與數(shù)建立起聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識.通過現(xiàn)察圖形，得出角之間的和差關(guān)系，

提高學(xué)生對角的和差意義的認(rèn)識，從而培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

（七）能力提升

1.如圖，己知NA0C=6（T,N8OQ=90°,NA08是/QOC的3倍，求NAO8的度數(shù).

解：設(shè)/COD=x,

VZAOC=60°,N8OO=9D°,

/.ZAOD=60°~x,

ZAOB=90°+60°-x=150°-x,

VNAOB是NO。。的3倍，

J150°-x=3x,解得A-=37.5°,

:.ZAOB=3x37.5°=112.5°.

2.如圖，NAOB=120。，0。平分NBOC,OE平分NAOC.

A

(1)求NEO。的度數(shù)；

解：(1)VZAOB=\20°,0。平分N8OC,OE平分NAOC,

工ZEOD=NQOC+ZEOC

=」(/BOC+N4OC)

2

=-ZAOB=-x\20°=60°.

22

（2）若/8。。=90。，求/AOE的度數(shù).

解：VZAOB=\20°,NBOC=90°,

/AOC=120。-90。=30。.

TOE平分NAOC,

/.ZAOE=-ZAOC=-x30°=15°.

22

（八）感受中考

I.（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點重合，直角邊所在直線分別重合，那么N

BAC的大小為°.

NB4C=900+45°=135°.

故答案為：135.

2.（2022?湘潭）如圖，一束光沿CO方向，先后經(jīng)過平面鏡04、OA反射后，沿EF方向

射出，已知NAOB=120°,NCO8=20°,則.

【解答】解：因為一束光沿CO方向，先后經(jīng)過平面鏡。仄04反射后，沿E尸方向射出，

所以./AEF=/OED.

在△ODE中，ZOED=nO°—NAO8—NEQO=180°-120°-20°=40°,

所以NAEr=NOEO=4（）°.

故答案為：40°.

【設(shè)計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進