14.2.2完全平方公式

夯實基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.計算：（y—；）=（）

11

A.2B.v+），+一

44

2.利用乘法公式計算正確的是（）

A.（4X-3）2=8X2+12X-9B.(2m+5)(2/??-5)=4m2-5

C.（a+b）（a+b）=a2+b2D.(4X+1)2=16X2+8X+1

3.如圖所示，將如圖一所示的大小相同的四個小正方形按圖二所示的方式放置在一個邊長為。的大正

方形中，中間恰好空出兩條互相垂直的寬都為人的長方形，杈據(jù)圖二中陰影部分的面積計算方法可以

驗證的公式為（）

4.對于任整數(shù)〃，多項式（4〃+5）：-9都能（）

A.被6整除B.被7整除C.被8整除D.被6或8整除

5.若加+〃=7,〃?，尸12,貝1J加2./〃〃十〃2的值是（）

A.11B.13C.37D.61

6.如果x2+(m-\)x+9是一個完全平方式，那么小的值是（）

A.7B.-7C.-5或7D.-5或5

7.己知。■人=1(),ab=5,則a2+b2的值為（）

A.95B.110C.90D.105

8.若a-b=3,a2+b2=5，則必的值為()

A.1B.-1C.2D.-2.

二、填空題：

9.計算(—x_y)2=.

10.計算：(x+2)2-(x-I)(x+1)=.

11.若。2+2。=1,則(4+1)2=.

12.a2+ab+b2+M=(a-b)2,刃5么M二.

13.已知4)戶一機)，+9是完全平方式，則〃?的值為.

14.已知I：(x+j?)2=17,(x-j)2=1,則x2+y2=,xy=.

15.已知〃+/?=5,出?=4,則2。2+2月=。

16.a-b=3,ab=3,貝ij(。+〃)2=。

三、解答題：

17.計算：

(I)(/〃-〃)(/〃+n)+(,〃+n)2-2M(2)(x-3)(3+x)-(l-x)2+2(5-x)

18.化簡：［(x-2y『+(x-2)，)(2y+x)］+2x.

19.先化簡，再求值［伽+與2-(卜卜其中〃=f=；.

2

20.已知/+x-2022=0,將下式先化簡，再求值：(2x+3)(2r-3)-x(5x+4)-(x-1)

21.已知a+A=6,ab=3,求下列各式的值.

(l)a2+b2

⑵…產(chǎn)

⑶5-2)(〃-2).

能力提升篇

一\單選題：

1.關(guān)于X、y的多項式/_49+5/+8)，+15的最小值為()

A.-1B.0C.1D.2

2.已知a+-=3,則/+［的值為()

aar

A.5B.6C.7D.8

二、填空題

3.已知a2+ab+b2=7,a2-ab+h2=9，貝U(a+b)2=.

4.已知a，b,c為MBC的三邊長，且cr+b1=8?+12Z?-52，其中c是AABC中

最短的邊長，且c為整數(shù)，則c=.

22

5.a-3a+l=0，則a+\的值為

cr

三、解答題：

6.試用兩種不同的方法表示圖1中陰影部分的面枳：

方法（二）：____________

從中你有什么發(fā)現(xiàn)，請用等式表示出來：

利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決卜.列問題:

如圖2,兩個正方形的邊長分別為a,b,且a+A="=9,求圖2中陰影部分的面枳.

7.閱讀材料：若nr-2mn+2n2-8/7+16=0?求〃?，〃的值.

解：nr-2mn+2n2-8/z+16=0，

...(/n2-2mn+〃，+(/-8〃+16)=0.

，+(〃-4y=0,

V(/n-n)2>0,(?-4)2>0,

=o,(〃-4)'=o

:.〃=4,/〃=4.

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題:

【分析】利用完全平方公式（。坊）2=a2±2"+〃，可對人，c,。作出判斷；再利用平方差公式：（"〃）

（a-b）=〃6,可對8作出判斷.

3.如圖所示，將如圖一所示的大小相同的四個小正方形按圖二所示的方式放置在一個邊長為。的大正

方形中，中間恰好空出兩條互相垂直的寬都為人的長方形，杈據(jù)圖二中陰影部分的面積計算方法可以

驗證的公式為（）

圖一圖二

A.（a+力）（a-Z?）=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.（〃-6）三層?D.(?-b)2=(a+b)2-4ab

【答案】C

【知識點】完全平方公式的幾何背景

2222

【解析】【解答】解：由陰影部分的面積可得：a-ab-ab+b=a-2ab+bf

如圖，把4個小正方形平移到組成1個邊長為a-b的正方形，

陰影部分的面積為：

所以（a-bj=a1-2ab+b2,

故答案為：C.

【分析】由陰影部分的面積可得層“淅出計/=42_2必+按，把4個小正方形平移可組成1個邊長為

的正方形，根據(jù)正方形的面積公式可得陰影部分的面積，據(jù)此解答.

4.對于任整數(shù)〃，多項式（4/215）:-9都能（）

A.被6整除B.被7整除C.被8整除D.被6或8整除

【答案】C

【知識點】完全平方公式及運用；提公因式法因式分解；因式分解的應(yīng)用

【解析】解答:(4H+5)?-9=16〃*+40〃+25-9=+40〃+16=8(2〃：+5〃+2)因為n是整

數(shù)所以2M+5/1+2也是整數(shù)所以8(2?-+5〃+2)一定能被8整除，所以(4〃+5)；-9一定能

被B整除.

分折：此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

故選C.

5.若〃?+〃=7,〃?〃=12,貝|J的值是()

A.11B.13C.37D.61

【答案】B

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：原式=〃?2+2/〃〃+〃2-3"?〃=(〃?+〃)2-3〃〃7=49-36=13.

故答案為：Bo

【分析】將原式進(jìn)行變形，構(gòu)造完全平方公式，將〃?+〃的值以及加〃的值代入求值即可

6.如果V+(mT)x+9是一個完全平方式，那么小的值是()

A.7B.-7C.-5或7D.-5或5

【答案】C

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：???x2+(m-1)戶9是一個完全平方式，

/.(m-1)x=±2?x?3,

**.m-1=±6,

in=-5或7,

故答案為：C.

【分析】根據(jù)完全平方式的含義，即可得到〃?的值。

7.已知ab=5,貝的值為()

A.95B.110C.90D.105

【答案】B

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：???〃-/k10,出尸5,

/.c2+b2=(a-b)2+2?Z?=102+2x5=l10,

故選B.

【分析】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再代入求出即可.

8.若a-b=3,a2+b2=5，則"的值為()

A.1B.-IC.2D.-2.

【答案】D

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】???。2+加=5,。一匕=3,

/.(?—/?)2=a2-\-h2—2ab,即9=5—2ab,

解得：M=?2.

故答案為：D.

【分析】解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握公式的特征及整體代入的數(shù)學(xué)思想.

把q-b=3,a2+h2=5代入(〃-〃產(chǎn)=標(biāo)+力2-2時，得9=5-2a力，即可求出時的值.

二、填空題：

9.計算(-X-J)2=?

【答案】『十2個十/

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：(―x—y)2=(x+y)2=f+2q，+),2

故答案為：x2+2xy+y2.

【分析】根據(jù)完全平方公式“(。+力2=岸+2而=戶，計算即可求解.

10.計算：(x+2)2-(x-1)(x+1)=.

【答案】4x+5

【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】原式=X2+4X+4-(X2-1)

=x2+4JV+4-X2+1

4x+5.

故答案為：4x+5.

【分析】先用“完全平方公式和平方差公式”進(jìn)行計算，再合并同類項即可.

11.若。2+2〃=1,則(々+1)2=.

【答案】2

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】(。+1)2=犀+2什]=]+1=2.故填：2

【分析】利用完全平方公式計算得出.

12.a2-^-ab+b2+M=(a-b)2,刃R么M二.

【答案】-3ab

【知識點】完全平方公式及運用

【解?析】【解答】解：〃2+ab+〃+M=(?-Z?)2=a2-2ab+b2,

??M=-3ab.

故答案為：-3ab.

【分析】直接利用完全平方公式將原式展開進(jìn)而求出M的值.

13.已知4y2-,2+9是完全平方式，則機的值為.

【答案】±12

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：???4y2_,股+9是完全平方式，

-w=±2x2x3=±12,

m=±12.

故答案為：±12

【分析】利用完全平方式求出-〃尸±2x2x3二±12,再求出，〃的值即可。

14.已知：(x+y)2=17,(工一I。？=1，則x2+y2=,冷，=_

【答案】9；4

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】???(x+?=17，a-?=l,

x2+y2+2xy=17,x2+y2-2xy=1

x2+y2=9,xy=4

故答案為：9,4

【分析】利用完全平方公式將已知等式化為f+)3+2肛=17①,Y+y2_2肛=1②，利用①.②可求

出工2+),2的值，利用①+②可求出外的值.

15.已知〃+b=5,帥=4,則2a2+2b2=。

【答案】34

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】丁a+b=5,ab=4?

**.(a+b)2=25，

Afl2+b2+2ab=25.

+h2+2X4=25，

Afl2+h2=17,

A2a2+2b:=2(a2+〃)=2x17二34.

故答案為：34

【分析】首先利用+b=5,而二4，得出(a+b)2=2E，進(jìn)而得出峭由呼，進(jìn)而得出答案.

16.a-b=3,ab=3,則(。+〃了=。

【答案】21

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：(。+8)2=a2+2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab=(a-b)2+4ab,

將a-b=3,ab=3代入得

原式=32+12=21.

【分析】先根據(jù)完全平方公式先將原式展開，再結(jié)合完全平方公式化成含有已知式子的形式為(。功)

2+加〃，然后將已知式子的值整體代入計算.

三、解答題：

17.計算：

(1)[m-n)(m+n)+{m+n)2-2m2(2)(X-3)(3+x)-(l-X)2+2(5-x)

【詳解】(1)解：(〃L〃)(，〃+〃)+(陽+”'一2小

=ftf-n2+nr+2mn+n2-2m2

=2mn

(2)解：原式=9-9-(1-2%+/)+10-2工

=x2-9-l+2x-x2+10-2x

=0

18.化簡：[(x-2y『+(x-2)，)(2y+x)]+2x.

【答案】2X2-4X)^2X

【分析】利用完全平方公式及平方差公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：原式:(f-4.9+4爐+/-4丁)+24

=2x2-4xy+2x.

【點睛】本題主要考查乘法公式，熟練掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵.

19.先化簡，再求值［⑵+4一("?(勿-2)-，卜(-5}其中4=-1力=；.

【答案】一①-lG,+2,-4

【分析】根據(jù)完全平方公式，多項式乘以多項式，合并同類項化簡括號內(nèi)的，然后根據(jù)多項式除以單項式

進(jìn)行化簡，最后將字母的值代入計算即可求解.

【詳解】解：原式=(公2毋力+/一勿2毋力—從一。卜(一夕'

=-2?-16/7+2,

當(dāng)〃=-1,時，原式=2—8+2=T

2

【點睛】本題考查了整式的混合運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

2

20.已知/+x-2022=0,將下式先化簡，再求值：(2x+3)(2A-3)-X(5X+4)-(,r-l)

【答案】-2(爐+幻-io,-4054

【分析】先將已知/+『2022=0變形為/+x=2022,然后根據(jù)整混合運算法則化簡整，最后整代入計算

即可.

【詳解】解：???12+4?2022=0,

:.?+x=2022,

:.(2x+3)(2x-3)-x(5x+4)-(x-1)2

=4x2-9-5x2-4x-x2+2x-1

2

=-2X-2x-10

Vx2+x-2022=0,

A?+x=2022,

，原式=-2(爐+工)-10

=-4054.

【點睛】本題考查整式化簡求值，熟練掌握整運算法則，平方差與完全平方公是解題的關(guān)鍵，注意整體思

想的運用.

21.已知a+Z?=6,ab=3,求下列各式的值.

⑴/+/

⑵…『

(3)(a-2)0-2).

【答案】(1)30

(2)24

(3)-5

【分析】(1)利用完全平方公式得到/+/=3+力2-2",然后整體代入即可；

(2)利用完全平方公式得到(a-力)2=3+4-4向，然后整體代入即可；

(3)根據(jù)多項式乘以多項式運算法則將原式進(jìn)行計算，代入即可.

(1)

解：原式=(a+"-2a〃

=6-2x3

=36-6

=30；

(2)

原式=(a+b)2-4ab

=6?-4x3

=36-12

=24；

(3)

原式=而-2a-2Z?+4

=ab-2(a+6)+4

=3-2x6+4

--5.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式以及多項式乘以多項式，熟練掌握完全平方公式以及相關(guān)變形，結(jié)

合整體代入的思想解題是解本題得關(guān)鍵.

能力提升篇

一、單選題：

1.關(guān)于刀、丁的多項式x2-4xy+5/+8y+15的最小值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【知識點】完全平方公式及運用；偶次幕的非負(fù)性

【解析】【解答】解：原式=/一4冷，+5），2+8），+15

2

=x-4xy+4y2+8丁+16-1

二(x-2?+()，+4)1

V(x-2y)2>0,(y+4)2>0，

，原式之一1，

???原式的最小值為一1,

故答案為：A.

【分析】利用完全平方公式對代數(shù)式變形，再運用非負(fù)性求解即可.

2.已知+—=3,則a24—-的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】???〃+—=3

即a2+2+—=9

故答案為：C.

【分析】根據(jù)完全平方公式的恒等變形，由，+—=a+—一2c.2即可算出答案.

craa

二、填空題：

3.已知a2+ab+b2=7,cr-ab+b1^，貝U(a+b)2=.

【答案】6

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】解：?.?。2+出?+〃=7①，出-球)+按=9②,

???①+②得：2(a2+h2)=16,&Pa2+b2=S,

①-②得：2ah=-2,即ab=-1,

則原式=標(biāo)+。2+24%=8-2=6,

故答案為：6.

22

【分析】由于。2+。8+左=7①，a-ab+b=9@f利用①+②求出〃2+5=8,利用①-②可求出而二-1,由于

(a+b)2=a2+b2+2ab,然后代入計算即可.

4.已知a，b,c為AABC的三邊長，且a2+b2=8r/+12Z?-52，其中c是MBC中

最短的邊長，且c為整數(shù)，則。=.

【答案】3或4

【知識點】完全平方公式及運用；三角形三邊關(guān)系；偶次暴的非負(fù)性

【解析】【解答】???。2+〃=8"⑵-52

姆-8。+16+b2-12/?+36=0

???(?-4)2+(〃-6)2=0

t?=4,b=6

A6-4<c<6+4

即2<c<10,

且日.

???整數(shù)c可取3或4.

故答案為：3或4.

【分析】由。2+加=8〃+12>52,得小8的值.進(jìn)一步根據(jù)三角形一邊邊長大于另兩邊之差，小于它們

之和,則加aVcVa+b,即可得到答案.

5./_3々+1=0,則/+」的值為

【答案】7

【知識點】完全平方公式及運用

【解析】【解答】???。2-3。+1=()

1今

/.a+—=3

a

：.(tz+-)2=9,即a2+-V=7.

acr

【分析】將已知等式兩邊除以。變形求值即可.

三、解答題：

6.試用兩種不同的方法表示圖1中陰影部分的面枳：

方法(_)：；

方法(二)：;

從中你有什么發(fā)現(xiàn)，請用等式表示出來：;

利用你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，解決卜.列問題：

如圖2,兩個正方形的邊長分別為a,b,且a+b=ab=9,求圖2中陰影部分的面枳.

【答案】a2+b2,(a+b)2-2ab；az+b2=(a+bf-2ab-27

【分析】方法1：兩個止方形面積和，方法2：大止方形面積一兩個小長方形面積；進(jìn)而由題意可直接得到；

然后由陰影部分面積=正方形邊長為〃的面積+正方形為b的面積-2個三角形的面積，可求陰影部分的面積.

【詳解】解：由題意可得：

方法16陰影部分的面枳5+從,

方法26陰影部分的面積=3+，-2ab,

故答案為：a1+b2,(a+b)2-2ah；

a'+1)1=(a+b)2-2ab,

故答案為：。2+從=3+力2-2"；

陰影部分的面積=/+〃一飆+3力

=—1a"2+—1b,'2———ab,

222

?：陰影部分的面積=引儂十4-3ab]

=192_

2-

=27

【點睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，解題關(guān)鍵是用代數(shù)式表示圖形的面積.

7.閱讀材料:-2mn+hr-8//+16=0?求〃?，〃的值.

解：*.*m2-2inn+2n~-8/z+16=0?

/.-2nm+/P)+(-8〃+16)=0.

/.("L-4『=0,

V(/H-/?)2>0,(?-4)2>0,

(m-ny=0,(4y=0

:.〃=4,/〃=4.

根據(jù)你的觀察，探究卜面的問題：

22

(1)已知：x+2xy+2y+2y+l=0t求21+)，的值；