12.3.1角的平分線的性質(zhì)

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如右，則說(shuō)明NCA止ND48的依據(jù)是（）

C.ASAD.AAS

2.如圖，在&ABC中，ZC=90°,AD是ZCAB的角平分線，DEA.AB于

點(diǎn)E,若BC=6cm,BD=4cm.則DE的長(zhǎng)是（）

C.3cmD.2cm

3.如圖所示，在AABC中，NAC8=9（）。，8E平分NA8cDELAB于點(diǎn)D,如果AC=3cm,

3cmC.4cmD.5cm

4.如圖，直線人從c表示互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條

公路的距離相等，則可供選擇的站址有（）

B.二處C.三處D.四處

5.如圖，在AABC中，AC=5,8c=12,A8=13,AQ是角平分線，DELAB,垂足為

E,則aBOE的周長(zhǎng)為（）

D

B

A.17B.18C.20D.25

6.如圖，AD是MBC的角平分線,DELAC，DFYAB,E,F分

別是垂足，若BD=2CD,AB=6，則AC的長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.9D.12

7.如圖，在A4BC中，BD平分ZABC，與AC交于點(diǎn)D,DELAB于點(diǎn)

E,若BC=5,ABCD的面積為5,則ED的長(zhǎng)為（）

1

A.-B.1C.2D.5

2

二、填空題:

8.如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的

距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位

置應(yīng)在

9.如圖，在“尤中，是NB4C的平分線，DELAB于點(diǎn)E,SMBC=7,DE=2,

AB=4,貝ljAC的長(zhǎng)是

10.如圖,BD是NABC的角平分線,￡>E_L43于E,△的如的面積是15cm2,AB=9cm,

BC=6cm,則DE=cm.

11.如圖，在RdABC中，ZC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC,

AB于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)仞、N為圓心，大于-MN的長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,

2

作射線AP,交邊8c于點(diǎn)。，若CO=4,AB=15,則AABO的面積是.

12.如圖，在MBC中，BD是邊AC上的高，CE平分ZACB，交BD于

13.如圖，已知在"BC中，NA=90。,A8=AC,C。平分乙4。4OE_L于E,若8C=20cm,

則AOEB的周長(zhǎng)為cm.

14.如圖，在8c中/ABC和NACA平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作。。_L5C于點(diǎn)。,A48C

的周長(zhǎng)為18,00=4,則AABC的面積是

B

A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5

2.如圖AD是AABC的角平分線，DEI.AB于E,點(diǎn)尸,G分別是AB，AC

上的點(diǎn)，且"'=QG,AADG與ADEF的面積分別是1（）和3,則△4￡＞尸的

面積是（）

3.如圖所示，在ZUBC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,DE_LAB于點(diǎn)E,

則下列結(jié)論:①4。平分/COE;?ZBAC=NBDE；③DE平分N4O8；④若AC=48E,

則S△八8c=8s△3.其中正確的有（）

二、填空題：

4.如圖所示，“8。的外角/人。。的平分線CP與內(nèi)角N/WC平分線8P交于點(diǎn)P,若

5.如圖，在NAO8的邊。4、08上取點(diǎn)M、N,連接MN,P是△MON外角平分線

的交點(diǎn)，若M22,S〉PMN=2,S〉OMN=L則△MON的周長(zhǎng)是；

A

6.如圖，△48c中，/ABC、NE4c的角平分線8P、AP交于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)氏4、BC,

PM1BE,PN工BF,則不列結(jié)論中正確的是.

①C戶(hù)平分/AC/；②ZA3C+2/APC=180°；③Z：ACB=2/AP8；?S^PAC=S^MAP

三、解答題：

7.在AABC中,4。是NZMC的平分線,石、尸分別為A3、AC上的點(diǎn)，且NEOF+/E4產(chǎn)=180。,

8.已知：如圖，。為△ABC外角ZACP平分線上一點(diǎn)，且DA=DB,DM±BP

于點(diǎn)M.

(I)若AC=3,DM=l,求△ACD的面積;

(2)求證：AC=BM+CM.

12.3.1角的平分線的性質(zhì)

夯實(shí)基礎(chǔ)篇

一、單選題：

1.用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如右，則說(shuō)明NC4Z>ND48的依據(jù)是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定（SSS）；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：從角平分線的作法得出，

△AFD與AAED的三邊全部相等，

則絲AAED.

故選A.

【分析】利用三角形全等的判定證明.

2.如圖，在中，ZC=90°,AD是ZCAB的角平分線，DE1AB于

點(diǎn)、E,若BC=6cm，BD=4cm.則DE的長(zhǎng)是（）

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???/C=90°,AO是aABC中NC4B的角平分線，于E,

：,DE=DC,

BD=4cm,BC=6cm,

DC=BC-BD=6-4=2cm,

DE=2cm.

故答案為：D.

【分析】由角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等''可得由線

段的構(gòu)成得DC=BC-BD,把已知條件代入計(jì)算即可求解.

3.如圖所示，在中，ZACB=90°,BE平分NA8CDELAB于點(diǎn)D,如果AC=3cm,

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???AA8C中，Z4CT=90°,BE平分NABC,DE上AB于點(diǎn)D,

工EC=DEf

.\AE+DE=AE+EC=3cm.

故答案為：B.

【分析】直接利用角平分線的性質(zhì)得出EC,進(jìn)而得出答案.

4.如圖，直線.、〃、c表示互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條

公路的距離相等，則可供選擇的站址有（）

a

A

A.一處B.二處C,三處D.四處

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】???△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，

???△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿(mǎn)足條件；

如圖：點(diǎn)尸是AABC兩條外角平分線的交點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)尸作PEJ_A8,PD1BC,PFLAC,

:?PE=PF,PF=PD,

：.PE=PF=PD,

???點(diǎn)P到的三邊的距離相等，

???△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿(mǎn)足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；

綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，

???可供選擇的地址有4個(gè).

故答案為：D.

【分析】根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可知三個(gè)內(nèi)角的平分線交點(diǎn)、

任意兩外用的平分線交點(diǎn)均可，共四處。

5.如圖，在AA8C中，4c=5,8C=12,AB=13,4。是角平分線，DELAB,垂足為

E,則△BOE的周長(zhǎng)為（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HD；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：二"。是NB4C的平分線，ZC=90°,DELAB,

:?ED=CD,

在R仙ADE和AMADC中，

CD=ED

AD=AD'

；?RIAADE卸化ADC（HL）,

：,AC=AE,

???△BOE的周長(zhǎng)=8E+?ED=W+8C=（13-5）+12=20.

故答案為：C.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)得到用力二C力，從而="?+AD=I2,即可求得

△8DE的周長(zhǎng).

6.如圖，AD是AA^C的角平分線，DELAC,DF±AB，七，尸分

別是垂足，若BD=2CD,AB=6,則AC的長(zhǎng)為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：???80=28,

^^ABD=2SAAC0

：.-ABDF=2x-ACDE

22

又???A。是AA8c的角平分線，DE1.AB,DF1.AC,

:?DE=DF,

：.-AB=2x-AC

22

即AC=1AB=3.

2

故選：A.

【分析】由A。是△ABC的角平分線，DE_LAB,DF1AC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得

凡又由BD=2CD,△AB。的面積是AACO的2倍，所以可得

-ABDF=2x-ACDE,即可求得答案.

22

7.如圖，在AABC中，BD平分ZABC,與AC交于點(diǎn)O,DEA.AB于點(diǎn)

E,若BC=5,ABCD的面積為5,則ED的長(zhǎng)為（）

A.-B.1C.2D.5

2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。尸_L8C,交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R如圖，

.?，8。。八5,

VBC=5,

；?DF=2,

*/BD平分/ABC,DE1.AB

：.DE=DF=2

故答案為：C.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，根據(jù)三角形面積公式求出。尸的

長(zhǎng)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出。上的長(zhǎng).

二、填空題：

8.如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的

距離相等，并且到河流與公路交叉4處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位

置應(yīng)在.

【答案】NBAC的平分線上，與4相距1cm的地方

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】工廠的位置應(yīng)在/84C的平分線上，與A相距1cm的地方；

理由：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得出工廠的位置應(yīng)在N3AC的平

分線上，且到4相距1cm的地方。

9.如圖，在AABC中，A。是N8AC的平分線，DELXB于點(diǎn)、E,=7,DE=2,

AB=4,則4c的長(zhǎng)是.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，過(guò)點(diǎn)D作。F_L4C于凡

???AD是N84C的平分線，DELAB,DFA.AC

DF=DE=2

又,?*A8=7

SAARC=S4ABD+SA

：.-ABDE+-ACDF=-x2（AB+AC}=7

222''

：.AB+AC=7

又,.?A8=4

：,AC=3.

［分析】過(guò)點(diǎn)。作。AC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得=。斤2,然后用S：=S”皿

+S'co列出方程求解即可。

10.如圖,BD是NABC的角平分線,DELABfE,△ABC的面積是15cm2,AB=9cm,

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面枳；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：作D/_L8C于F,

設(shè)DE為x,

?.?80是NA8C的角平分線，DF±BC,

；?DE=DF=x,

：.-xABxDE+-xBCxDF=15,即4.5x+3x=15,

22

解得,x=2cm,

故答案為2.

【分析】作OFJ_BC于廣，設(shè)OE為羽根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OF=x,根據(jù)三角

形的面積公式列出方程，解方程即可.

11.加圖，在R/A44C中，ZC=90°,以頂點(diǎn)人為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交八C

AB于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于?MN的長(zhǎng)半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P,

2

若CZ>4,AB=\5,則AA8。的面積是

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：由題意得：4P是N8AC的平分線，過(guò)點(diǎn)。作QE1./W于E.

又???NC=90°,：.DE=CD,的面積=-AB*DE=-x15x4=30.

22

故答案為：30.

【分析】過(guò)點(diǎn)。作于E,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出DE

=CD=4,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法算出答案.

12.如圖，在MBC中，BD是邊AC上的高，CE平分ZACB，交BD于

點(diǎn)、E,DE=2,BC=5,則MCE的面積為.

【答案】5

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】作EF1BC于F,

TCE平分N4C8,BD±AC,EF工BC,

：.EF=DE=2t

:-BC*EF=-x5x2=5.

22

故答案為：5.

【分析】作于心根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得瑁三。a2,然后根據(jù)三角形面積

公式求得即可.

13.如圖，已知在中，NA=901A8=4。,。。平分/4。8,。6_18。于￡：,若8020511,

則△QE8的周長(zhǎng)為cm.

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：?.?8平分/AC3

???NACD:NECD

?：DE上BC于E,

：.ZDEC=ZA=90Q,

SAACD-^AECD中，

NACD=NECD

???{CD=CD,

/DEC=NA

，AACD^AECD(ASA),

；.AC=EC,AD=ED,

VZA=90°,AB=AC,

：.ZB=45°,

：?BE=DE,

：,LDEB的周長(zhǎng)為：DE-^BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=20cm,

故答案為：20.

【分析】根據(jù)平分線性質(zhì)結(jié)合三角形全等判斷易證△ACOg4ES(ASA),從而得到

AC=EC,AD=ED,根據(jù)題意可得N8=45。，從而得到再對(duì)線段進(jìn)行等量替換

可求出答案。

14.如圖，在AABC中NABC和N4C8平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作。。J_3C于點(diǎn)O,AA8C

的周長(zhǎng)為18,00=4,則△A8C的面積是

A

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：作于K,O〃_LAC于〃.連接QA,

YOB是NA8C的平分線，0D_L8C,0E1AB,

????！?。。=4,

同理0F=0D=4,

△ABC的面積=—xA8x4+-xACx4+—xBCx4=36.

222

【分析】作OEJ?48于E,0F1ACF,連接。4,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出0E=0D=4

和0F=0D=4,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

三、解答題：

15.如圖，在4c中，NC=90。，4。平分NC48,于點(diǎn)￡點(diǎn)戶(hù)在4C上，

BE=FC,求證：BD=DF.

【答案】解：VZC=90°,AO平分NCAB,DELAB于點(diǎn)E,AO平分NC48,:.CD

CF=BE

=DE,ZFCD=ZDEB=90t),在△CT)尸和△EOB中?/FCANOEB,:.kCDF空X

CD=DE

EDB(SAS),:?BD=DF

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出CD=DE,然后利用SAS

判斷出△CDFgAEOB,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出結(jié)論。

16.如圖所示，已知點(diǎn)P是△八國(guó)?三條角平分線的交點(diǎn)，PDYAB,若&)=5,的

周長(zhǎng)為20,求AABC的面積.

【答案】解：過(guò)「做。七_(dá)13。于七/凡1_4。于/???陶是N8AC的角平分線：,PD=PF=5

|H]J0?PE=PD=5：?S&AHGS&ABP+SABCP+SAACP=—x(ABxDP+BC<EP+ACxFP)=—

22

x5x(A8+BC+A。=50

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析X分析】過(guò)戶(hù)做PELBC于E,PF1ACTF,由角平分線的性質(zhì)，可得PE=PD=PF=5,

然后，將使用三角形面積公式求出三角形AP8,三角形CPB,三角形4PC的面積，然后

求和即可發(fā)現(xiàn)做的思路.

17.如圖，在^ABC中，ZC=90°,ZCAD=ZBAD,DELABTE,點(diǎn)/在邊AC上，

連接DF.

(1)求證：AC=AE；

(2)若AC=8,AB=\0,求。E的長(zhǎng)；

(3)若C尸=8七，直接寫(xiě)出線段AB,AF,瓦?的數(shù)量關(guān)系.

【答案】解：(1)VZC=90°,DELAB,

???ZC=ZAED=90°,

在△AC。和△4EDlP,

/CAD=/BAD

<ZC=NAED

AD=AD

：.^ACD^/\AED(AAS),

：.AC=AE.

(2)VZC=90°,AC=8,A￡?=IO,

:,BC=6,

???△ABC的面積等于24,

由(1)得：△ACQ咨△AED,

；?DC=DE,

***SA/1CB=SAACD+SAADB>

S^ACD=-AC*CD-i—AR*DE,

22

XVAC=8,AB=\O,

11

.??24=-x8xCD+-A8?DE

22

8

：.DE=-x

3

(3)?；AB=AE+EB,AC=AE,

：.AB=AC+EB,

9：AC=AF+CF,CF=BE

：,AB=AF+2E^.

故答案為：A8=A尸+2EB.

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先過(guò)點(diǎn)。作。EJ_/W于E,由于力￡1_48,那么NAED=90。，則有

NACB=NAED,聯(lián)合NCA力=N8A。，AD=AD,利用AAS可證.

(2)由△ACDgZUED,證得。C=D￡,然后根據(jù)Sw=5小°+5~皿即可求得。E.

(3)由AC=4E,CF二BE,根據(jù)A8=AE+E8,4C=A/+C/即可證得.

能力提升篇

一、單選題：

I.如圖，△A8C的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40,其三條角平分線將△ABC

分為三個(gè)三角形，則SAA8O:S&BCO：S^CAO等于()

B

A.1：1：1B,1：2：3C.2：3：4D,3：4：5

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD_LA5,OEA.BC,OF±AC,垂足分別是。，E,F,

TOA平分N8AC,OD1AB,OFVAC

：,OD=OF,同理OO=OE

:.OD=OE=OF

*：S^ABO=-ABOD,S^AOC=-ACOFSLBOC=-BCOE

22f2

.??SAARO：SABC。：SCAO=LABOD:-BCOE：-ACOF=AHzACAC=2：3：4

222

故答案為：Co

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得。/＞?！?。凡根據(jù)三角形的面

積計(jì)算方法分別表示出三個(gè)三角形的面積，則三個(gè)三角形的面積之比就等于底之比，即

AB：BC：AC=2：3：4。

2.如圖AD是AABC的角平分線，DEA.AB于七，點(diǎn)尸，G分別是AB,AC

上的點(diǎn)，且DF=DG,AADG與QEF的面積分別是10和3,則AADF的

面積是()

G

B

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；直角三角形全等的判定（"L）；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OH_LAC于"，

?.?A。是^ABC的角平分線，DFA.AB,DH1AC

:?DF=DH,

在RmDEF和RtdDGH中，

DE=DG

'DF=DH'

:.RmDEFWRmDGH（HL）,

S&ED產(chǎn)SAGDH=3,

同理RmADF/R小ADH,

??Sz\D產(chǎn)SAADF\ADG-SAGDH—10-3—7

??S^AF.r）=SJDF一SAEDF=7-3=4,

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)D作于H,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH,

然后利用證明RmDEF和RSDGH全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得

SAED產(chǎn)SAGDH,然后根據(jù)SMD產(chǎn)SZ\DH列出方程求解即可.

3.如圖所示，在A48C中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于點(diǎn)D,DELAB于點(diǎn)E,

則下列結(jié)論:①4。平分NCQE：②N8AC=NBDE；③OE平分N4O&④若AC=4BE,

則S^ABC=8s其中正確的有（）

B

D

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；三角形的面積；角平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定（4AS）；

角平分線的定義

【解析】【解答】解：???4。平分N解C,

：.ZDAC=ZDAE.

???NC=90°,DELAB,

：,ZC=ZE=90°.

'：AD=ADtZDAC=ZDAEfNC=NE=90。，

???△OAC絲△DAE,

：.ZCDA=ZEDA,

???①人。平分NCOE,正確.

無(wú)法證明N3QE=60。，

???③OE平分NAOB錯(cuò)誤.

VBE+AE=A/3,AE=AC,AC=4I3E,

：.AB=5BE,AE=4BE,

SZ\DB=5SABDE,SAADGAS^BDE,

:.S~\BU9sABDE,④錯(cuò)誤.

?；NBDE=9&-NB,ZBAC=90°-ZB,

：.ZBDE=ZBAC,

，②N84C=/8。七正確.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的概念以及性質(zhì)可得/D4GND4E，/C=/E=90。，然后可證ADAC

g△OAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可判斷①的正誤；無(wú)法推出/8?！?60。，進(jìn)而可判斷③的正誤；

由線段的和差關(guān)系可推出A8=58E,AE=4BE,利用三角形的面積公式不難判斷④的正

誤；根據(jù)同角的余角相等可判斷②的正誤.

二、填空題：

4.如圖所示，△ABC的外角NAC。的平分線CP與內(nèi)角N/WC平分線8P交于點(diǎn)P,若

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；直角三角形全等的判定（”/.）；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】延長(zhǎng)84,作PN1.BD,PFLBA,PM1AC,

設(shè)/尸CO=x0,

???CP平分NAC。，

:?NACP=NPCD=x。,PM=PN,

???8P平分/ABC,

:?NABP=/PBC,PF=PN,

：?PF=PM,

???N8PL40。，

???ZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40y,

???ZBAC=ZACD-ZA￡?C=2xo-(xo-40o)-(xo-40o)=80°,

：.ZCAF=\OO0,

在Rt^PFA和R3PM人中，

PA=PA

PM:PF,

???RsPFA^RtLPMA(HL),

：.ZFAP=ZPAC=50°.

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出NBAC的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三

角形全等的判定，得出/C4P=N/^P,即可得出答案.

5.如圖，在NA08的邊。4、0B上取點(diǎn)M、N,連接MN,P是△MON外角平分線

的交點(diǎn)，若MN=2,S《PMN=2,SLOMN=1.則△MON的周長(zhǎng)是；

【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖：作PE_LO8,PGVOAfPFA_MN,連結(jié)OP,

〈PM、PN分別平分NAMMNBNM,

：.PF=PG=PE,

SNM2LMNPF=2,MN=2,

2

???PF=PG=PE=2,

由題易得：

△GMPSGFP,AFPN叁4EPN,AOPGWAOEP,

：?GM=GF,FN=NE,OG=OE,

S&OPG=SAOP"—x(2+2+7)——?

22

即S^OPG——OG-PG——,

22

??C/CJ—，

2

:.CAM。后OM+ON+MN,

=OM+ON+MF+FN,

=OM+ON+MG+NE,

=OG+OE,

=2OG,

=11.

故答案為：11.

【分析】作PE_L。"，PGLOA,PFIMN,連結(jié)OP,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得

PGPG=PE,再由三角形面積公式得PF=PG=PE=2,據(jù)條件易得：AGMPQAGFP,NPN

烏AEPN,AOPGWAOEP,由全等三角形性質(zhì)得GM=GF,FN=NE,OG=OE,S^OPG=

、。6/6=?得OG=?，由三角形周長(zhǎng)和等量代換可得答案.

222

6.如圖，△ABC中，ZABC.NEAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)、P,延長(zhǎng)84、BC,

PM1BE,PN上BF,則不列結(jié)論中正確的是.

①CP平分/AC”；②N48C+2/4PC=180°；③/4C8=2/AP8；?S^PAC=S^AP

+SANCP.

【答案】???@

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；角平分線

的判定

【解析】【解答】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD1AC于D,

?.?PB平分ZABC,PMA.BE,PN1BF,

PM=PN,

,/PA平分ZEAC,PM工BE,PDLAC,

:?PM=PD，

:.PN=PD,

又,：PNLBF,PDA.AC,

CP平分乙ACE,故①正確；

②;PM±BE，PDA.AC，

AZPM4=ZPZ^4=90°，

在Rt^PAM和RUPAD中，

PM=PD

"PA=PA

:.RsPAM/RsPAD(HL),

：.ZAPM=ZAPD,

同理：RUPCD^Rt^PCN(HL),

:"CPD=ZCPN,

ZMPN=ZAPM+ZAPD+ZCPD+ZCPN

=2(NAPD+NCPD)

=2ZAPC，

?/PMLAB，PN工BC,

.-.AABC+90°+ZMPN+90°=360°,

;.NABC+NMPN=180。,

.".ZABC+2ZAPC=180°,②正確；

③?；NC4E=ZABC+ZAC8，ZMAP=ZABP+ZAPB，

AZACB=ZCAE-ZABC，ZAPB=ZMAP-ZABP，

■:PA平分NCAE,BP平分ZABC，

ZCAE=2ZPAM,ZABC=2ZABP，

ZCAE-/ABC=2(ZPAM-ZABP),

即ZACB=2ZAPB,③正確；

④由②可知R〔APAM鄉(xiāng)Ri4PAD(HL),RsPCgRsPCN(HL),

???VJ△八叨-一v?！靼薖M，qLC尸。-一q，

?4'+SQN=Sspc，故④正確.

故答案為：①②?④.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作POJ_AC于。，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得PM=PM

PM二PD,推出P2P。，進(jìn)而根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上判斷出

CP平分/ACT7,據(jù)此判斷①；證△勿M咨△%。，&PCD2PCN,得至IJ/APM=/APO,

ZCPD=ZCP/V,推出NWPN=2/APC,利用四邊形內(nèi)角和為360。求出/ABC+NMPN

的度數(shù)，據(jù)