二次盛數(shù)的新定義題型

22

1.定義:如果代數(shù)式A=a［x+b\X+Ci（QiH0,Qi，bi,a是常數(shù)）與B=a2x+b2x+c2（a20,電，匕2,。2是

常數(shù)），滿(mǎn)足5=。2,4+與=0,5=3,則稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)式4與B互為“同構(gòu)式”，下列四個(gè)結(jié)論:①代數(shù)

式2c2+c—3的“同構(gòu)式”為2/—x—3；②若代數(shù)式+nN+5與6nx2+3c+5互為“同構(gòu)式"，則

加+九=6；③若4、互為“同構(gòu)式”，且方程4+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則Q?>0；④若4》

互為“同構(gòu)式"，力=。2-24+8,函數(shù)u=|A—2B|的圖象與直線(xiàn)y=7幾有4個(gè)交點(diǎn)，則O&aWl.其

中，正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

2.新定義：［Q,b］為一次函數(shù)g=s+b（a函數(shù)a,b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”.若“關(guān)聯(lián)數(shù)”為⑶館一2］的一

次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(diǎn)（1-小,1+?。┰诘谙笙?

3.（2021秋?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）新定義：［o""］為二次函數(shù)1/=。/+就+0（。。0,0",。為實(shí)數(shù)）的“圖

象數(shù)"，如：沙=d一2/+3的“圖象數(shù)”為［1,一2,3］,若“圖象數(shù)”是［血2館+4,2明+4］的二次函數(shù)的

圖象與g軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則小的值為（）

A.-2B.4-C.-2或2D.2

4

4.如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1,則此二次函數(shù)可表示為：y=/+p0+q,我們稱(chēng)［p,q］為此函數(shù)的“特

化數(shù)”，如二次函數(shù)夕="+2c+3的特征數(shù)為［2,3］.

（1）若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為［-2,1］,該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）探究以下問(wèn)題：

①若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為［4,T］,將此函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求得到

的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的特征數(shù).

②若一個(gè)函數(shù)的特征數(shù)為［2,3］,將此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的怎樣平移，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的特征

數(shù)為［3,4］?

5.定義為函數(shù)g=a"i/+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為［砧一1,瓶+1,一2祇］的函數(shù)的一

些結(jié)論，其中不正確的是（）

A.當(dāng)zn=2時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一白，一孥）

B.當(dāng)砧>1時(shí)，函數(shù)圖象截％軸所得的線(xiàn)段長(zhǎng)大于3

C.當(dāng)aV0時(shí)，函數(shù)在①V。時(shí)，y隨c的增大而增大

D.不論館取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)

6.定義［Q,b,c］為函數(shù)2/=。/+be+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為［2m,1—m,—1—m］的函數(shù)的一

些結(jié)論，其中不正確的是（）

A.當(dāng)皿=一3時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是即號(hào))

B.當(dāng)館＞0時(shí)，函數(shù)圖象截2地所得的線(xiàn)段長(zhǎng)度大于?

C.當(dāng)aW0時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)

D.當(dāng)rnVO時(shí)，函數(shù)在工〉十時(shí)，y隨c的增大而減小

7.對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量①取。時(shí)，函數(shù)值9也等于Q,則稱(chēng)。是這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知二次函數(shù)沙="

+31+m.

(1)若2是此函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則他的值為.

(2)若此函數(shù)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)Q、L且aVIVb,則m的取值范圍為.

8.定義:兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1,對(duì)稱(chēng)軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函

數(shù).例如：9=2爐+42-5的友好同軸二次函數(shù)為g=—-2c—5.

(1)函數(shù)^=；砂—2①+3的友好同軸二次函數(shù)為

4

(2)當(dāng)一14I&4時(shí)，困數(shù)夕=[1-a)x2-2(1-a)x+3(aW0且aW1)的友好同釉二次函數(shù)有最大值為

5,求a的值.

(3)已知點(diǎn)(?n,q)分別在二次函數(shù)幼=a/2+4ai+c(a＞；且aW1)及其友好同軸二次函數(shù)仍

的圖象上，比較p,q的大小，并說(shuō)明理由.

........._________0

9.【閱讀理解】已知關(guān)于/、U的二次函數(shù)沙="一2。出+稼+2。=3-Q）2+2Q,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（見(jiàn)2。），故

不論。取何值時(shí),對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)都在直線(xiàn)夕=2c上,我們稱(chēng)頂點(diǎn)位于同一條直線(xiàn)上且形狀相同

的拋物線(xiàn)為同源二次函數(shù),該條直線(xiàn)為根函數(shù).

【問(wèn)題解決】（1）若二次函數(shù)夕=爐+2]—3和〃=一爐一4/-3是同源二次函數(shù)，求它們的根函數(shù)；

（2）已知關(guān)于c、y的二次函數(shù)C:y=x2—47nx+4m2—4m+1,完成下列問(wèn)題：

①求滿(mǎn)足二次函數(shù)。的所有二次函數(shù)的根函數(shù)；

②若二次函數(shù)。與直線(xiàn)啰二一3交于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸到I軸的最小距離，請(qǐng)求出此時(shí)TH為何值？并求出點(diǎn)

P到比軸的最小距離.

10.若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開(kāi)口方向都相同，則稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù).

222

⑵已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=2x—4mx+2m+1和y2=ax+be+土，其中"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F（l,

1），仍與劭為“同簇二次函數(shù)”,

①求m的值及函數(shù)的的表達(dá)式.

②如圖點(diǎn)4和點(diǎn)。是函數(shù)功上的點(diǎn)，點(diǎn)6和點(diǎn)。是函數(shù)的上的點(diǎn)，且都在對(duì)稱(chēng)軸右根h若只8〃CD〃4

軸，BC_LAB,求器的值（只需直接答案）.

13.九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

22

定義:如果二次函數(shù)g=aiX+b\X+。"5W0,為，仇，是常數(shù)）與y=a2x+b2x+C2（O2^0,a2,62?c2

是常數(shù)）滿(mǎn)足5+g=。，d=65+。2=0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.求函數(shù)夕=2婷一3出+1的

“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

小組同學(xué)是這樣思考的，由函數(shù)g=2x2—3x+1可知，。尸2,瓦=-3,Q=1,根據(jù)%+。2=0,仇=心,

C：+C2=0,求出出，與，。2就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)"

請(qǐng)參照小組同學(xué)的方法解決下面問(wèn)題：

（1）函數(shù)沙=爐一4。+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”是;

（2）若函數(shù)^=522+（772—1）±-幾與y=—5%2—九%一3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求（771+71產(chǎn)22的值；

（3）已知函數(shù)y=23—1）3+3）的圖象與c軸交于A，6兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)交，點(diǎn)A,關(guān)于原點(diǎn)的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是4,耳，G，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,8,G的二次函數(shù)與y=2（。-1）廿+3）互為“旋轉(zhuǎn)函

數(shù)”.

14.如果一個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為常數(shù)，那么我們把這樣的點(diǎn)稱(chēng)為確定的點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)定點(diǎn).比如點(diǎn)（1,2）就是一

個(gè)定點(diǎn).在一次函數(shù)g=-k+2（k是常數(shù)）的圖象中，由于y=kc-k+2=k（c-1）+2,當(dāng)c-1=

。即①=1時(shí)，無(wú)論k為何值，9一定等于2,我們就說(shuō)直線(xiàn)v=k+2一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（1,2）.

（1）已知拋物線(xiàn)g=Q〃-1（。是常數(shù)），無(wú)論。取何值，該拋物線(xiàn)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)4.直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）一知拋物線(xiàn)y=771〃+（2—2TTI）①+m—2（TTI是常數(shù)）.

①無(wú)論m取何值,該拋物線(xiàn)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)D.直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo).

②若在0&4&1的范圍內(nèi)，至少存在一個(gè)出的值，使沙＞0,求m的取值范圍.

15.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興起小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)，"=。/+阮+

HaWO)圖象上的點(diǎn)4為少)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)?點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)

43，z+g).他們把這個(gè)點(diǎn)4定義為點(diǎn)A的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn).他們發(fā)現(xiàn):二次函數(shù)?/=。/+辰+0(。工0)所

有簡(jiǎn)樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線(xiàn)，于是把這條拋物線(xiàn)定義為y=。d+bc+c(QWO)的“簡(jiǎn)樸曲線(xiàn)”.

例如，二次函數(shù)"="+力+1的“簡(jiǎn)樸曲線(xiàn)”就是+請(qǐng)按照定義完成：

⑴點(diǎn)P(l,2)的“簡(jiǎn)樸”點(diǎn)是：

(2)如果拋物線(xiàn)y=Q.爐一7%+3(Q豐0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(l,-3)，求該拋物線(xiàn)的“簡(jiǎn)樸曲線(xiàn)”；

⑶已知拋物線(xiàn)g=〃+法+。圖象上的點(diǎn)639的“簡(jiǎn)樸點(diǎn)”是見(jiàn)一1,1),若該拋物線(xiàn)的“簡(jiǎn)樸曲線(xiàn)”的

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)，當(dāng)0&C&3時(shí)，求"的取值范圍.

16.已知拋物線(xiàn)L&=a/2+五一3與工軸交于點(diǎn)4(—3,0),3(1,0).

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)若兩個(gè)拋物線(xiàn)的交點(diǎn)在I軸上,且頂點(diǎn)關(guān)于。軸對(duì)稱(chēng),則稱(chēng)這兩個(gè)拋物線(xiàn)為“對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”,求拋物線(xiàn)

Li對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)〃的解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)M是x軸上方的拋物線(xiàn)L,上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN±2軸于點(diǎn)N,設(shè)M的橫坐

標(biāo)為M,記W=MN—2ON,求IM的最大值.

_________F

17.設(shè)二次函數(shù)幼，紡的圖象的頂點(diǎn)分別為3,6)、(c,d),當(dāng)。=-2c,b=-2d,且開(kāi)口方向相同時(shí)，則稱(chēng)納是

仇的“反倍頂二次函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出二次函數(shù)2/=d+￡+1的一個(gè)“反倍頂二次函數(shù)”；

2

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=X+nx和二次函數(shù)92=2nx+1,若函數(shù)%恰是小+y2的“反倍頂

二次函數(shù)”，求九的值.

18.若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、萬(wàn)口方向都相同，則稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簌二次函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

222

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)%=2a;—4mx+2m+1和y2=ax+be+5,其中"的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,l),

若幼+"與幼為"同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)他的表達(dá)式，并求出當(dāng)時(shí)，"的最大值.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，貝J稱(chēng)點(diǎn)尸為平衡點(diǎn).例如：點(diǎn)(1,1),(一四,

—V2),...都是平衡點(diǎn).

(1)判斷函數(shù)沙=2。+1的圖象上是否存在平衡點(diǎn),若存在，求出其平衡點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵若二次函數(shù)g=a/+6i+c(awo)的圖象上有旦只有一個(gè)平衡點(diǎn)傳,得).

①求Q,C的值；

②若1<⑦<7九時(shí)，函數(shù)g=6z+C+[(Q#0)的最小值為—1,最大值為3,求實(shí)數(shù)TH的取值范

4

圍.

20.定義:在平面直角坐標(biāo)系cOg中，當(dāng)點(diǎn)N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相

等時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)N為圖形M的“夢(mèng)之點(diǎn)”.

⑴如圖①，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4—1⑵，6(—1,一1),。(3,-1),。(3,2),在點(diǎn)耳(1,1),^^2,

2),A4(3,3)中，是矩形ABCD”夢(mèng)之點(diǎn)”的是；

(2)點(diǎn)G(2,2)是反比例函數(shù)"二旦圖象上的一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)”，則該函數(shù)圖象.上的另一個(gè)“夢(mèng)之點(diǎn)””的坐

X

標(biāo)是，直線(xiàn)G"的解析式是y2=?%>加時(shí),下的取值范圍是；

⑶如圖②，已知點(diǎn)46是拋物線(xiàn)片一。砂+①+襄上的，，夢(mèng)之點(diǎn)，，，點(diǎn)。是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).連接力

/B,判斷△力的形狀，并說(shuō)明理由.

__________曰

21.數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究客觀物體的兩個(gè)方面，數(shù)(代數(shù))側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形(幾何)側(cè)重

研究物體形的方面,具有直觀性.數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來(lái)反映空間形式,也可用形來(lái)說(shuō)明數(shù)量關(guān)系.

數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題,充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢(shì)，數(shù)形互化，共同解決問(wèn)題.

同學(xué)們，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)解決下列問(wèn)題.

在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則稱(chēng)這樣的點(diǎn)為整點(diǎn).設(shè)函數(shù)V=(4a+2)/+

(9-6a)x-4Q+4(實(shí)數(shù)a為常數(shù))的圖象為圖象T.

(1)求證:無(wú)論Q取什么實(shí)數(shù)，怦象T與c軸總有公共點(diǎn)；

(2)是否存在整數(shù)用使圖象T與/軸的公共點(diǎn)中有整點(diǎn)？若存在，求所有整數(shù)。的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明

理由.

22.定義：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外），過(guò)點(diǎn)P分別作c軸、g

軸的垂線(xiàn),若由點(diǎn)P、原點(diǎn)O、兩個(gè)垂足A、B為頂點(diǎn)的矩形04PB的周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)

P是平面直角坐標(biāo)系中的“美好點(diǎn)”.

【嘗試初探】

⑴點(diǎn)。（2,3）“美好點(diǎn)”（填“是”或“不是”）;若點(diǎn)口4,6）是第一象限內(nèi)的一個(gè)“美好點(diǎn)”，則b=

【深入探究】

⑵①若“美好點(diǎn)”后（加6）（館>0）在雙曲線(xiàn)獷=在伏#0,且小為常數(shù)）上,則/0=；

X------------

②在①的條件下，R⑵刃在雙曲線(xiàn)?/=在上，求S'EOF的值；

X

【拓展延伸】

（3）我們可以從函數(shù)的角度研究“美好點(diǎn)”，已知點(diǎn)尸（i,y）是第一象限內(nèi)的“美好點(diǎn)”.

①求V關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式；

②在圖2的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)圖象的草圖，觀察圖象可知該圖象可由函數(shù)a>0）的圖

象平移得到；

③結(jié)合圖象研究性質(zhì)，下列結(jié)論正確的選項(xiàng)是;（多項(xiàng)選擇,全部選對(duì)的得2分，部分選對(duì)的得I

分，有選錯(cuò)的不得分）

A.圖象與經(jīng)過(guò)點(diǎn)⑵2）且平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)；

B.q隨著Z的增大而減小；

C."隨著I的增大而增大；

D.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10,弓）；

④對(duì)于圖象上任意一點(diǎn)（eg）,弋?dāng)?shù)式（2—c）?（g—2）是否為