2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講9.新高考背景下的切線問題研

究含答案9.26屆高三備考下的切線問題研究

一.基本原理

1.用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟：

①求出切點(diǎn)(%,/(/))的坐標(biāo)；

②求出函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)/U)

③得切線方程,y-fW=-xn)

2.求過點(diǎn)A處切線方程方法如下：

設(shè)切點(diǎn)為尸(%,凡)，則斜率攵=/'(%)，過切點(diǎn)的切線方程為：y一%=/'(%)(工一七))，

???過點(diǎn)4〃5)，???〃-%=/'(%)(〃?一工0)然后解出小的值，與有幾個(gè)值，就有幾條切線.

3.若函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)4%,凹)處的切線與函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)8(七,)：2)處

的切線相同(公切線)，則等價(jià)于"X)的圖象在點(diǎn)A處的切線：=

與g(x)的圖象在點(diǎn)B處的切線：y-§M=gCGXx-%)重合?進(jìn)一步等價(jià)于下列方程組

土2J/(X)=g*2)

[/(x1)-xlfXxi)=g(x2)-x2-gXx2)

4.若動點(diǎn)C為函數(shù)y=/(x)圖象上任一點(diǎn)，直線/與y=/(x)圖象相離，則。到/距離的

最小值為函數(shù))，=/W圖象在點(diǎn)C處的切線與/平行時(shí)產(chǎn)生，故此時(shí)最小距離即為切點(diǎn)到

直線/的距離.

5.與切線有關(guān)的新定義問題

(1)隔離曲線：一般來說，“隔離函數(shù)”通常有兩類：一類是函數(shù)y=/(x)與)，=g(x)的

圖像在集合M上有一個(gè)公共點(diǎn)，稱之為“接觸隔離”；另一類是函數(shù)y=/(x)與)，=g(x)

的圖像在集合M上沒有公共點(diǎn)，稱之為“非接觸隔離”.

二.典例分析

★1.與切線有關(guān)的新定義問題

例1.(浙江省杭州市25屆高三一模)若函數(shù)y=/(x)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互

相重合，則稱該切線為函數(shù)y=/G)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為困數(shù)y=/(為的圖

象的一對“同切點(diǎn)”.

(1)判斷函數(shù)/1a)=sinx與/2(、)=1.的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；

(2)若aeR,求證：函數(shù)g(x)=tanx-x+。在區(qū)間(一孑勺上有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不

存在“自公切線”；

(3)設(shè)nEN",函數(shù)/i(x)=tanx—％+nrr在(一S3)內(nèi)的零點(diǎn)為不幾，￡￡(一9)求證：“存

在s￡(2兀,+8),使得點(diǎn)(s,sins)與(t,sint)是函數(shù)y=sinx的圖象的一對“同切點(diǎn)”的充要

條件是“f是數(shù)列"高中的項(xiàng)”.

解析：(1)顯然直線y=1切、=sinx的圖象于點(diǎn)G，l),(y,l)>直線y=1是'=$也"的圖像

的一條“自公切線”，故函數(shù)丹陵)的圖象存在“自公切線”；對于/2(%)=lnx,12(%)=

}(%>0)是減函數(shù)，故%(%)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同，所以函數(shù)人。)的圖象不存在“自

公切線”.

2

(2)①g口)=含一1=翡=12?”0恒成立，故、=9(》)在(一舞)上單調(diào)遞增，可得

y=g(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)：令。1(工)=sinx-(x-a)cosx(xe［一為］),由y=處(%)的圖像

是連續(xù)的曲線，且小(一號以⑨=TV0,所以由(?在(-］勺上存在零點(diǎn),故在(TA)上

9。)=*存在零點(diǎn)，所以在區(qū)間(一段《)上有唯一零點(diǎn).

②假設(shè)g(x)的圖象存在“自公切線”，即存在修，乃口:-舞)且%10不，使得9(%)的圖象

在x=勺與％=%2處的切線重合，函數(shù)g(x)在％=處的切線方程為y-tan%】+xx-a=

22

tanXi(x-/)，函數(shù)g(%)在無=必處的切線方程為y-tanx2+x2-a=tanx2(x-x2)?

22

故tan2/=tanx2(*)>且一jqtaMxi+tanxj一%1+a=—x2tanx2+tanx2—x2+a(**),

由(*)可得%2=->1，不妨設(shè)不￡(0,今，將無2=-與代入(**)，

2

可得一/tan2Tl+tan%1—x,=xttan%1—tan%1+xx,即％式1+tan2%］)=tanx1，貝ij有％1=

sinXiCOSXj,即2%i=sin2.^,令樞。)-2.x-sin2x,xG(0,J),則“(x)=2-2cos2x>0,

可知*(x)在(0,9上單調(diào)遞增，所以當(dāng)勺G(0,弓)時(shí)，sQi)>@(0)=0,即2%1>sin2xi，

則方程2打=sin2%i在(0,勺上無解，故g(x)的圖象不存在“自公切線”.

?

(3)對給定的neN1由(2)知九(無)有唯一零點(diǎn)，所以小唯一確定?函數(shù)/=sinx在點(diǎn)(C,si")處

的切線方程為y-sint=cost(x-￡),即y=xcost+sint-tcost,函數(shù)y=sin》在點(diǎn)(s,sins)

處的切線方程為y=xcos￡+sins-scoss,

①若存在se(2兀,+8),使得點(diǎn)(s,sins)與(亡,sint)是函數(shù)y=sinx圖象的一對“同切點(diǎn)”，

則『OSS=COSC(S羊D,又tG(_果勺，故cost>o,所以『OSS=cost(s羊t),

可得coss=cost且tans=Tant,從而存在nGN*,使得s=2nn-t,代入tans-s=tant-

t,

可得tant—t+TUT=0,故f=3所以/是數(shù)列｛f｝中的項(xiàng).

②若/是數(shù)列｛y｝中的項(xiàng)，則存在TIEN*,使得f=3即tant-t+TUT=0,

由(2)中的g(x)在(招[)上單調(diào)遞增，可知/i(x)在(一與二)上單調(diào)遞增，

又h(0)=幾萬>0且無?)=0,可知￡V0,令s=2mr—3則se(2區(qū)+8)且coss=cos￡,

tans-s—(tant-t)=2(t-tant—nn')=0,即tans-s=tant—t,可得sins—scoss=

sint—tcost,

所以存在sG(2/r,4-oo),使得點(diǎn)(s,sins)與(t,sint)是函數(shù)y=sinx的圖象的一對“同切點(diǎn)”.

綜上可知：“存在s€(2乃,+8),使得點(diǎn)(s,sins)與(t,sint)是函數(shù)y=sinx圖像的一對‘同

切點(diǎn)”的充要條件是“/是數(shù)列口〃｝中的項(xiàng)”.

例2.若函數(shù)/(x),g(X)與力(X)在區(qū)間Z)上恒有〃力之/?(力之8(力，則稱函數(shù)〃(力為f(x)

和g(x)在區(qū)間。上的隔離函數(shù).

(I)若/(文)=?4,&(司=一2"乂力(工)=2』+3,。=[1,2],判斷力(力是否為/(可和g(x)在區(qū)

間。上的隔離函數(shù)，并說明理由；

⑵若/(x)=e*-l,/?(x)=去，且在R上恒成立，求A的值：

(3)若/+,證明：b=k-l是h(x)為

“X)和g(x)在(0,+8)上的隔離函數(shù)的必要條件.

解析:(1)h(x)是“X)和g(x)在區(qū)間。上的隔離函數(shù).因?yàn)?/p>

/(6=日工送(幻=一2向,/7(外=2/+3,所以

/(X)-h(X)=yX-(2x2+3)=-2^-yJ+^,/(“一刈犬)在hj上單調(diào)遞增，在

2,2"|上單調(diào)遞減”又/(I)j⑴=4J(2)-/?(2)=(),

_oJ2

當(dāng)x=2時(shí),〃力-〃(力在。上取到最小值0,故Dxe[l,2]j(x)之/?(“.

乂以力―8(%)=2/+3+2迷犬=2，+彳>0,所以力(x)2g(x).綜上，h(x)是/(x)和

3

例4.(2022年全國新高考2卷)曲線)，=h11x1過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,

■

解析：因?yàn)閥=ln|M，當(dāng)工>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(天，的%)，由.y'=L所以川工=廝=,，

xX。

所以切線方程為='(.17。)，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-In%=’(一%),解得％=e,

所以切線方程為即)，二L；

ec

當(dāng)x<()時(shí)y=ln(T),設(shè)切點(diǎn)為(x/n(-xj),由)所以)，1』=：,所以切線方程為

y-ln(-x1)=y(x-x1),又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一卜】(-%)=；(-3),解得X=-e,所以

A1人I

切線方程為y-i='(x+e),即y='x；故答案為：y=L；y=--x

-eeee

例5.(2022新高考1卷)若曲線y=(x+〃)e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范圍是

*

解析：易得曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(％,*°+a)e與)，則切線斜率為：

/'(.%)=(.%+a+1)e”.可得切線方程為y-(Xo+a)e"=(.y+4+1把"。-/)，又切線過原點(diǎn)，

可得-(玉+〃)e*=-/*0+，+De”，化簡得天：+⑥)一〃=0,又切線有兩條，即方程有兩

不等實(shí)根，由判別式△=C『+44>0,得a<T,或a>0.

★4.求公切線

例6.(2024年新課標(biāo)全國I卷)若曲線y=e'+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線

)，=]n(x+l)+〃的切線,則。=..

解析：由y=e'+x得)，，=c'+i,yu=c°+i=2,故曲線y=e，+x在(0,1)處的切線方程為

y=2x+\-由y=ln(x+l：|+a得y'=白，設(shè)切線與曲線>=ln(x+1)+。相切的切點(diǎn)為

(如卜(%+1)+4),由兩曲線有公切線得V=T'=2,解得/=-4，則切點(diǎn)為

玉)十12

(一：間+瓜:)，切線方程為y=2(x+g)+a+ln：=2x+l+a—ln2,根據(jù)兩切線重合，所以

a-In2=0,解得〃=In2.故答案為：In2

vJ.1

例7,(2019全國2卷理20)已知函數(shù)/(x)=lnx-」.

x-l

(1)討論/0)的單調(diào)性，并證明了(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)/是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明：曲線y=lnx在點(diǎn)A(x()[nx())處的切線也是曲線

)，=短的切線.

解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?OJ)D。,+8),

5

Xr*4-1

/(x)=InX--=>/(%)=-一”，因?yàn)楹瘮?shù)/(/)的定義域?yàn)?04)D(l,+8),所以

x-1x(x-l)~

f\x)>0,因此函數(shù)“0在(0,1)和(1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)X￡(O,1),時(shí)，

11，+12

X-(),),-而f(_)=in-—J=-->0,顯然當(dāng)X￡(O/)，函數(shù)/3)有零點(diǎn)，

ee1_je-\

e

而函數(shù)〃幻在XE(O,1)上單調(diào)遞增，故當(dāng)xw(OJ)時(shí)，函數(shù)/'(2有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)

2

人c(1,-HX>)H'J>/(e)=hie一1=——<0,f{e)=In+1=二-->0,因?yàn)?/p>

e-1e-\-1-1

/(e)-/(e2)<0,所以函數(shù)/'(x)在(e,/)必有一零點(diǎn)，而函數(shù)/5)在(1,口)上是單調(diào)遞

增，故當(dāng)工￡(1,+8)時(shí)，函數(shù)“X)有唯一的零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)/'(%)的定義域

(0,1)。(1,內(nèi))內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)；

(2)因?yàn)?是/(X)的一個(gè)零點(diǎn)，所以/(%)二巾％-"|=。=11]%="1

-v0-l"

y=lnxny'=L所以曲線y=Inx在處的切線/的斜率2=',故曲線

x%

)，=In戈在In%)處的切線I的方程為：y-In/=一(工一/)而In/=，所以

x0%一]

X22

/的方程為)'=一十-它在縱軸的截距為-

設(shè)曲線y=，的切點(diǎn)為8?！薄?，過切點(diǎn)為8(06”切線幾)，=/=>)/=",所以在

玖凡,泊)處的切線，的斜率為△,因此切線/的方程為y=e"x+e"(1-X),

當(dāng)切線，的斜率匕=△等于直線/的斜率2=’時(shí)，即e"=，=%=-(ln%),

/乙

切線/.在縱軸的截距為伍=e*(17j=cM”(l+lnXo)='(l+ln/),而皿%=叱?，

飛%一1

.1.4_12.

所以4二—(1+'J)=一直線/,/的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線

X。%)Tx°T

/,/重合，故曲線y=In1在A*o,In%)處的切線也是曲線y="的切線.

★5.切線問題的綜合應(yīng)用

例8.(2021年新高考2卷)已知函數(shù)/*)=卜-也<0,公>0,函數(shù)小)的圖象在點(diǎn)

6

4(%，/(2)和點(diǎn)8(天,/(々))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M,N兩點(diǎn)，則扁

取值范圍是__________.

解析：由題意，小)=『-||二[="<：，則所以點(diǎn)心,1一巧和

(e-0[e,x>0

點(diǎn)8(巧，*-1)，kAM=-e""，所以-人?*=-I,%+占二°，

所以AM:y—1+-=—e”(X7j,〃(0,/X—e“+l),所以卜刈=舊而了=7177^1訃

同理|BN|=VILh|,所以瑞==后吞=/I套=de(0,1).故答案

為：(0,1)

例9.已知函數(shù)/("=次

(1)若VxeR,不等式〃?/.(》)-、>0恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的4又值范圍；

(2)過點(diǎn)了(川)可以作曲線產(chǎn)/(幻的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,,e")I(Ae").

①求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

②證明：若a>b,則|AT|>|3T].

解析：(1)易知"Q7>。=機(jī)>W，令g(x)=W,則/(x)=,顯然X<1時(shí)，g'(x)>o,

eee

x>l時(shí)，g'(x)<o,即g(x)=士在(-0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+co)上單調(diào)遞減，則

e

g(x)g=g⑴='〃'即TFT：

(2)①設(shè)切點(diǎn)(如鏟),易知X-/,r(x)=e\則有三l=e",即Z=3+",

令〃(x)=e'+x-l,則)，=/,)，=力(力有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)即分別為〃泊，易知〃(力=1-『，

顯然x>0時(shí)，//(x)>0,x<0時(shí),/Z(x)<0,則力⑺在(-co,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上

單調(diào)遞增，月.XTY°時(shí)有〃(x)fr,XT+°°時(shí)也有〃(x)f田，/?(x)>/7(0)=0,

則要滿足題意需1>0,即，?0,一)；

②由上可知：\b,~(b<0<a)t作差可得e-“—e"+a—b=0,即"。+4=/+方，

e+b-\=t

由①知：MM在(YO,O)上單調(diào)遞減，在(o,+力)上單調(diào)遞增，令

H(X)=//(x)-/7(-x)=e-x-ev+2x=>(X)=2-(e'x+e')<0,則”(x)始終單調(diào)遞減，所

以“(〃)=〃(々)一人(一4)<//(0)=0,即力(a)=〃(〃)<力(一a),所以b>-a,所以〃>一〃>0,

7

不難發(fā)現(xiàn)e-"+〃-l=，n〃=f+l-e'>/,>所以由弦長公式可知

IAr=eh

<------,沖以<------,設(shè)

\BT\=Vl+e2*(t-b)[|BT|=《-1)

〃?(x)=Vl+e2v(l-e_x)(A>0)=>W(x)=尸?Vl+e2v+j匚>0

所以由a>—〃>OnJc2“+i(]-c-“)>Je-2，+l(l—e，)=+=Je2"+l(e"+l),即

c

\A7]>\BT\t證畢.

三.習(xí)題演練

1.(25屆泉州市高三開學(xué)考試)若曲線y=ku?在X=2處的切線與直線or-y+1=0垂直,

貝ija=.

解析：由題意得函數(shù))，=12的導(dǎo)函數(shù)為爐二,，故在x=2處切線的斜率為!，直線

x2

at-），+I=O的斜率存在為。，根據(jù)題意得，解得。=-2.故答案為：—2.

2.（浙江省A9協(xié)作體25屆高三返?？荚嚕┣€），=，在x=0處的切線恰好是曲線

y=ln（x+〃）的切線，則實(shí)數(shù)〃=.

解析：曲線y=e'在x=0處的切線為y=工+1,屋（九）=」一，設(shè)切點(diǎn)（玉）［"/+〃）），

入十a(chǎn)

由1與+1，得.

［ln（x0+rz）=x0+1

3.（25屆廣東省八校高三聯(lián)考）.若曲線y=lnx-V+2/在刀=］處的切線恰好與曲線

y=e*+a也相切，貝心=.

解析：對于：v=hu—V+2x,可得y，=,_2x+2,當(dāng)x=l,貝!）y=l?=l,可知曲線

x

y=IILV-X2+2x在.t=1處的切線是>=工；對于：y=e'+a,可得=e，,令y'=e，=1得x=0,

由切點(diǎn)（0,0）在曲線y=上得a=-1.故答案為：-1.

4.（25屆湖北省高三圓創(chuàng)聯(lián)考卷）已知函數(shù)f（x）=a\g（x）=，log“（x+l）,其中?！?,

a

當(dāng)兩函數(shù)圖象對應(yīng)曲線存在2條公切線時(shí)則4的取值范圍是.

解析：令優(yōu)=fog.（x+l）,則優(yōu)*=log〃（x+l）,令x+l=f,貝lj"=log/,由于函數(shù)

8

）,=",〉=log/,互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于），=X對稱，因此只需要考慮

/"）二優(yōu)，g（x）=5og,（x+l）,兩曲線相切時(shí)的臨界情況，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為幾,

淖o(hù)g“(x()+l)

,f1

由(叫=4'lna,(log“x+l))二,故v°j，即

I人?1III1Ct

a'0Intz=------------.

alna[x0+1)

=logu(x0+l)]

1,所以ln(x0+l)=*設(shè)/+1=，，則1。。二丁

In磯工0+1)

故有湍“Mr，兩邊取對并移項(xiàng)也+21n（h"）—J=O,記函數(shù)

c11InZ

（p（t）=Inr4-21n（inr）--p-,易知夕。）在（l,+8）上單調(diào)遞增,因?yàn)殒）=（）,所以/=e,

此時(shí)〃U-一v短，所以。的取值范圍是e，，+8.

\7

5.（浙江名校協(xié)作體高三開學(xué)考試）己知函數(shù)/（x）=f+2x+4,g（x）=21nx+2x+5.

（1）判斷函數(shù)g（.E）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由;

（2）求曲線y=/（x）與），=g（x）的所有公切線方程.

2

解析：（1）g'（x）=-42>0,.*（力在（0,+。）單調(diào)遞增

又g（"3）=彳一1<0*（1）=7>0,/.8（工）存在唯零點(diǎn)，在卜-3』）之間.

（2）,?"'（x）=2x+2,.?.以/⑴上的點(diǎn)（%"（玉））為切點(diǎn)的切線方程為

y-（x；+2$+4）=（2玉+2）（工一項(xiàng)）.以g（x）上的點(diǎn)（馬,且（蒼））為切點(diǎn)的切線方程為

y-(21ri￥2+lx2+5)=—+2(x-x2).

X27

2^+2=—+2

x,1

令，則內(nèi)二一，代入（2）,得

2+2

x；+2%+4—(2%+2)%—21nA+2x+5—

2X2

工2

l=x；-2I*，即1=工；_］叫2.設(shè)函數(shù)/??）=—1m,則/?'（，）=1一！.

當(dāng)Ovzvl時(shí)，"（，）<（）,力（，）單調(diào)遞減，當(dāng)z>1時(shí)，單調(diào)遞增，/2（1）=1,

-1鬲的解為內(nèi)=±1,又占「?/（柒）和g（另存在唯---條

公切線為y=4x+3.

9

6.(2021年全國甲卷)曲線丫=生二在點(diǎn)(-1，-3)處的切線方程為_________.

x+2

,2(.r+2)-(2x-l)5

解析；由題，當(dāng)k-1時(shí)，廠-3,故點(diǎn)在曲線上.求導(dǎo)得：/=7―-T,

(x+2)(x+2)

所以川i=5?故切線方程為5x-y+2=0.

7.(2021新高考1卷)若過點(diǎn)(4〃)可以作曲線y=/的兩條切線，則()

A.ch<aB.ca<b

C.0<a<e')D.0</?<ea

解析：在曲線,y=，上任取一點(diǎn)。”,一)，對函數(shù)y=c'求導(dǎo)得y'=e"

所以，曲線)，=/在點(diǎn)尸處的切線方程為)，——=/(x—r),即y=dx+(l—f)d,

由題意可知，點(diǎn)(。,〃)在直線y=dx+(lT)d上，可得6==(a+lT)d,

令/(f)=(〃+l—f)d，則/'(。=(。一。一,當(dāng)時(shí)，r(z)>0?此時(shí)函數(shù)/?)單調(diào)

遞增，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，/〃)皿x=/(〃)=""，

由題意可知，直線y=b與曲線y=/(1)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則人</(0s=e"，

當(dāng)/<。+1時(shí)，/(z)>0,當(dāng)，>。+1時(shí)，/(r)<0,作出函數(shù)/。)的圖象如下圖所示:

X--

..I\

rr?

-

由圖可知，當(dāng)Ovhve"時(shí)，直線)，二〃與曲線y=/("的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.

8.(2015年新課標(biāo)卷)已知曲線)，=x+lnx在點(diǎn)(1』)處的切線與曲線

y=公2+(〃+2)x+1柜切，則〃=

解析：>=1+-,所以N1.1=2,切線方程為>一1=2(五-l)->y=2x-l,聯(lián)立方程

X

y=2x-\

<2/c、I=>以’+以+2=0,從而由相切可得：△=/-84=0=4=8

),="+(〃+2)x+l

9.若函數(shù)y=f(x)的圖象上的若干個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)y=f[x)的

圖象的“自公切線”，稱這若干個(gè)點(diǎn)為函數(shù)y=f(x)的圖象的一組“同切點(diǎn)”例如，如圖，直線/

為函數(shù)y=f(x)的圖象的“自公切線”，A,8為函數(shù)y=f(x)的圖象的一組“同切點(diǎn)”.

10

B

A

⑴已知函數(shù)〃司=打。就在x=0處的切線為它的一條“白公切線”，求該自公切線方程；

(2)若aeR,求證：函數(shù)矣)=x-tanr+a,有唯一零點(diǎn)，且該函數(shù)的圖象不存

在“自公切線”;

(3)設(shè)〃eN"，函數(shù)4(x)=±7aiu-7r,人[一個(gè)十〃九涓一〃兀)的零點(diǎn)為夕”，求證：

4(%“，/(%”))為函數(shù)/(X)=ACOSCT的一組同切點(diǎn).

解析：(1)由/(X)=ACOSX,則/(0)=0,/*(x)=cosx-xsinx,則/'⑼=1,所以函數(shù)

/(x)=no隊(duì)在工=0處的切線方程為)=工，即該自公視線方程為丁=二

(2)由g'(x)=l--二=-1±=Tan2x?0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)g'(x)=。，則y=g(x)

cos*Xcos*X

是(后,《上單調(diào)遞減，可得它至多有一個(gè)零點(diǎn)，令g](x)=-sinx+(x+a)cosx,?

由y=&(x)的圖象是連續(xù)曲線，且自(-/&弓)=-1<o,

因此&*)在[-筌]上存在零點(diǎn)，即在(-[馬上如上史△存在零點(diǎn)，所以g(x)有唯一

零點(diǎn)；設(shè)?；玫膱D象存在“自公切線”，則存在內(nèi),”(-卦)且XF，使得展幻的圖象在

x=Z與x=%處的切線重合，即-lan'i=-31?%,有馬=一王，不妨設(shè)內(nèi)￡(0e)，

22

切線4：y+tanXj-xi-a=-tan,Z2:y+tanx2-x2-?=-tanx2?(x-x2),

22

有相同截距，即X)tan%-lan*+芭+〃=x2tanx2-tanA2+x2+a,而占=一占，

2

貝！JX]tan?西-tan+斗+?=-X1tanx}+tanx}一%+a,即為(1+tan?*)=tan芭,

則有N=sin/]cos*,即2X[=sin2X],令奴x)=x-sinx,0vxv兀，w'(x)=I-cosx>0,

即函數(shù)以x)在(0,2上單調(diào)遞增，火工)>旗0)=0,因此當(dāng)xe。兀)時(shí)，x>sinx,

即2%=sin2玉在嗚)上無解，所以g(x)的圖象不存在咱公切線”.

(3)由二一taiir—兀=0,易知X=M是方程的根，

n

由4(x)=--taivc-n,貝!用'(x)=-----^―<0,則hn(x)在x■一弓+〃兀,J+〃兀]上單調(diào)遞

減，則才=〃兀是4(中在1/+〃兀,/+上唯一零點(diǎn)，所以%=〃兀，

由(1)可知/(X)在(題,先)處的切線為y-%8s/=(cos%sin%)(x-%),

11

化簡得y=（cos/一與sin%）x+片sin無，對于%“=2nn,cosqln-q2nsin%”=1,q；nsin儡=0,

則自公切線為)=1,所以為函數(shù)〃力=沈。SA.的一組同切點(diǎn).

10.牛頓切線法及應(yīng)用

一.基本原理

牛頓(1643/727)給出了牛頓切線法：用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，設(shè)廠是函

數(shù)戶”X)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取小作為「的初始近似值，過點(diǎn)(?0/(.%))作曲線的

切線4,設(shè)4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為M，并稱M為，?的1次近似值；過點(diǎn)(xj'(x))作曲線

丁=/(工)的切線4,設(shè)4與1軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為匕，稱工2為廣的2次近似值.一般地，過點(diǎn)

(%/(4))(〃CND作曲線)=/(”的切線心，記心與工軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為工…并稱J

.f(xn.)

為〃的〃+1次近似值，若/0,那么乙=%T一；1、.

二.典例分析

例1.牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)「是

函數(shù)產(chǎn)/⑺的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取與作為，?的初始近似值，過點(diǎn)(%/(%))作曲線

的切線4,設(shè)4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為王，并稱王為，?的1次近似值；過點(diǎn)(為/'(百))作曲線

的切線L設(shè)4與％軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為/，稱工2為「的2次近似值.一般地，過點(diǎn)

(4/(4))(〃cND作曲線)-=/("的切線好，記好與、軸文點(diǎn)的橫坐標(biāo)為演一并稱4+1

為，?的〃+1次近似值.對于方程丁-％+1=0,記方程的根為尸，取初始近似值為玉=-1,下

列說法正確的是()

A.re(-2,-l)B.切線上23x-4y+31=0

?I12x^-1

C.D?x“+i=_]

解析：由“X)=d—X+1,可得〃T)>0J(-2)<0,即/(_l)/(_2)<0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的

12

存在性定理，可得廠所以A正確;

又由r(x)=3f—l,設(shè)切點(diǎn)P(x“，F(xiàn)-x“+l),則切線的斜率為攵=/'(怎)=3,7,所以切

線方程為y-d+z+i=(3片-l)(x-x〃)，令、=0,可得％=^^+/=|4二1，所

3%-13xn-\

以D正確；當(dāng)/=-1時(shí)，可得玉=一］3,則/(一］3)=—§7,/'(—；3)=?93,所以4的方程為

)'+：=々。+當(dāng),即23X-4)，+31=所以B正確；曰X二-3,可得電二|4二J=

842。,23x,-123

?r3-1717491

中右=而'此時(shí)丘小屋所以C錯(cuò)誤；故選：ABD

例2.英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天

中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列｛x,J滿足/仁）則稱數(shù)列｛4｝為牛頓數(shù)列.若/("=:,

數(shù)列上｝為牛頓數(shù)列，且再二1,七工。，數(shù)列0｝的前n項(xiàng)和為s“，則滿足S.42023的最

大正整數(shù)〃的值為

1

解析：因?yàn)?(x)=J所以r(x)=—5則Z+1=%一^4=<一號=2乙，又％=1,

為產(chǎn)。，所以｛七｝是首項(xiàng)為N=l，公比4=2的等比數(shù)列，則5“=三=2"-1,令

1-2

工-2”-1￡2023,則2Y2024,又因?yàn)閥=2、在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且

2,0=1024<2024,2"=2048>2024,所以〃410,所以最大正整數(shù)〃的值為10.故答案為:

例3.人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓(1643-1727)給出了牛頓法

——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程/(6=。的根就是函數(shù)/。)的零點(diǎn)r,取

初始值幾處的切線與x軸的交點(diǎn)為X，/*)在玉處的切線與x軸的交點(diǎn)為%2,一直這樣下去,

得至Ijx。,3,.，…人，它們越來越接近r.若/。)二/7+1，/=-1,則用牛頓法得到的r的近

似值七約為(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

解析：由/(%)=/7+1=/*)=332-1,/(Xo)=/'(-I)=2,/(x0)=/(-I)=1,所以在處

的切線方程為：y-l=2(^+1),令,，=0=%=-1.5,

可得：/(3)=/(-1.5)=5.75,/(/)=/(-1.5)=-0.875,所以在』處的切線方程為：

13

y+0.875=5.75(x+1.5),令)，=0=當(dāng)方-1.35,故答案為：-1.35

例4.英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天

/'(Z)則稱數(shù)列優(yōu)｝為牛頓數(shù)列.若/w=L

中應(yīng)用廣泛.若數(shù)列｛乙｝滿足匕向=與一

小)

數(shù)列｛凡｝為牛頓數(shù)列,且芭=1,X"。，數(shù)列包｝的前n項(xiàng)和為且,則滿足S.42023的最

大正整數(shù)n的值為.

1

解析：因?yàn)?(6=工，所以/'(月=一二，則加=/一方4=為「號=2%，又玉=1,

2

X,產(chǎn)。，所以｛當(dāng)｝是首項(xiàng)為內(nèi)=1,公比4=2的等比數(shù)列，貝I]S“=±2=2"—1,

1—2

令，=2〃-1K2023,貝！)2'W2024,又因?yàn)閥=2'在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且

2'°=1024<2024.2"=2048>2024,所以〃K10,所以最大正整數(shù)n的值為10.故答案為：

10.

例5.(2025屆廣東省深圻市高三二模)

已知函數(shù)/(x)=xlnx—1,函數(shù)/(幻圖象上的一點(diǎn)按照如下的方

式構(gòu)造切線在點(diǎn)(七1，/(工1))處作/。)的切線/“，記切線/〃與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)為

(1)寫出/與乙一的遞推關(guān)系式；

(2)記/(x)的零點(diǎn)為廠，且%>廠.

(i)證明：當(dāng)時(shí)，>r；

「1\

(ii)證明：對于任意的-,1,都有氏—耳<?！?—小

_//

(1)解：⑴r(x)=lnx+hxe(0,+oo),則函數(shù)、f(x)在點(diǎn)(％](怎-))處的切線方

程為y=(lnXi+l)(x—x,i)+(x,iln*|T)，令y=0,得

x=戈.iln.--]=玉+].

"Inx..+1Inx,.41

(2)(i)當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/(x)=xlnx-l<-l,當(dāng)xw(l,4<o)時(shí)，f\x)=Inx+1>0,/(x)

單調(diào)遞增，又因?yàn)?(l)=-l<0,/(2)=21n2—1>0,所以f(x)有唯一的零點(diǎn)x=>其

14

中廠￡(1,2)?令g(x)二r±」,xG(r,+8),g'(x)=^——"=一0)…

lnx+1(lnx+l)~x(lnx+l)"

當(dāng)工￡(廠,+8)時(shí)，/*)>0,g，(x)>0,故g0)在(幾+oo)上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

/(r)=rlnr-l=O,所以g(r)=='(廠+1)=?「+1)=)..因?yàn)間*)在(八笆)

Inr+lrlnr+r1+r

上單調(diào)遞增，所以當(dāng)廠時(shí)，g(當(dāng)_J>ge)，又因?yàn)槠?g(Ni),g(r)=，“，

所以天〉r,即證得：當(dāng)x”_]〉，.時(shí)，x〃〉廣.

(ii)由(i)知：因?yàn)榕c〉〃，從而％=g(7))>g(尸)=r，進(jìn)而占=g(%)>g(r)=尸，

由此遞推可知：當(dāng).%>廠時(shí)，

xInx—1「]、

令凡二卜”一八=五一一二七1一廠一若1—匕一，下面證明：對于任意的CE-,1,都

lnx”_1+l12J

有?！?lt;°《1(〃￡力)成立，即當(dāng)_]_，._1<二C(茗1一r)?因?yàn)?/p>

,nEl+1

lnv,+l>0,所以只需證明(C—l)(x“_|f)(ln七_(dá)1+1)+茗iln玉_「1>0,即

[Qi-(C-l)r]lnx,i+(C-1)>0,

☆〃?(x)=[C￥-(C-l)r]lnx+(C-l)(x-r)-l,其中xw(二+oo),貝11

mr(x)=Clnx--—―+2C-1,m,f(x)=0+￡—―,因?yàn)閤w(r,4-oo),

xx

所以cr+(c-i?>cy-(c-i?=(2c-i?..o,故以〃。)='+一-1"0,從而

廠

mf(x)在(r,+00)上單調(diào)遞增,可知m\x)>m'(r)=Clnr+C>0,故m(x)在(r,+a))上

單調(diào)遞增，因此〃z(x)>加⑺=rln-l=0,因?yàn)榘臝>r(〃eN"),故

m(V1)=[Cr/J_I-(C-l)r]lnv,+(C-l)(Vi-r)-l>0,即對于任意的Cc1,1|,

Lz/

都有/vCq-(〃￡N*)成立，由此可得：見=上。％…"4<CZ)=C"(%f)，

“”-1an-\4)

■1\

所以對于任意的Cc-J,都有氏一寸<。",0-r|(〃￡1<).

三.習(xí)題演練

1.牛頓法是17世紀(jì)牛頓在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)

值解法.具體步驟如下：設(shè)，是函數(shù)/(另的一個(gè)零點(diǎn)，任取與作為「的初始近似值，過點(diǎn)

15

（%/&））作曲線y=/W的切線4,設(shè)4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為音，并稱為為「的1次近

似值；過點(diǎn)（卬/（5））作曲線），=/"）的切線的設(shè)乙與A軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為聲，稱大為「的

2次近似值；一直繼續(xù)下去，得到％,々，芻，，凡.一般地，過點(diǎn)（zJ（x“））作曲線y=/（x）的

切線/，川，記心與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為乙…并稱與”為「的〃+i次近似值，稱數(shù)列｛七｝為牛

頓數(shù)列.

（1）若函數(shù)/（力=X+皿?的零點(diǎn)為八%=1.求，的2次近似值；

（2）設(shè)a,「（a＜6）是函數(shù)/（x）=￡+or+A（a,Z?wR）的兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列｛%｝為函數(shù)，（工）的

牛頓數(shù)列，數(shù)列￡｝滿足c*W^（〃eN）七

怎P

（i）求證：數(shù)列｛lnc“｝為等比數(shù)列；

（ii）證明：工―〈'J---.

MGInq

2.如圖，在求解一些函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，常用牛頓切線法進(jìn)行求解.牛頓切線法的計(jì)算

過程如下：設(shè)函數(shù)"X）的一個(gè)零點(diǎn)先取定一個(gè)初值陽，曲線＞，=/*）在x=N處的切線

為《，記4與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為/，曲線y=在八二再處的切線為L記人與x軸的交

點(diǎn)橫坐標(biāo)為七，以此類推，每進(jìn)行一次切線求解，我們就稱之為進(jìn)行了一次迭代，若進(jìn)行

足夠多的迭代次數(shù)，就可以得到?%的近似值七（〃￡川），設(shè)函數(shù)/（x）=F+x-l,令$=1.

2

（1）證明：/*）存在唯一零點(diǎn)%,且

（2）己知七）弓，證明：氏+|一面|＜區(qū)一Xof；

（3）經(jīng)過4次迭代后，判斷小的近似值/與司的差值小于10一?.

3.（24屆廣東省大灣區(qū)高三二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：

如果函數(shù)/（X）在閉區(qū)間［4句上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間（。泊）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為/'（X）,那

么在區(qū)間（。力）內(nèi)存在點(diǎn)。，使得/（。）一/（。）=成立.設(shè)/3=/+工一4,

其中