專題18勾股定理與翻折、動點(diǎn)、最值問題

考點(diǎn)概覽

考點(diǎn)1勾股定理的有關(guān)計(jì)算

考點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用

考點(diǎn)3勾股定理的逆定理

考點(diǎn)4勾股數(shù)問題

考點(diǎn)5勾股樹問題

考點(diǎn)6弦圖計(jì)算問題

考點(diǎn)7翻折問題

考點(diǎn)8最值問題

考點(diǎn)9幾何變化規(guī)律問題

考點(diǎn)10動點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)問題

考點(diǎn)1勾股定理的有關(guān)計(jì)算

1.（2025?安徽?中考真題）如圖，在VA8C中，ZA=120°,AB=AC,邊AC的中點(diǎn)為。，邊8C上的點(diǎn)E

滿足EO_LAC.若DE=C，則AC的長是（）

2.（2025?黑龍江綏化?中考真題）一個(gè)矩形的一條對角線長為1C,兩條對角線的一個(gè)交角為8。，則這個(gè)矩

形的面積是（）

A.25B.25GC.25>/5D.50G

3.12025?上海?中考真題）在銳角三角形ABC中，AB=AC,BC=8,V4BC的外接圓為O。，且半徑為5,

邊8c中點(diǎn)為。，如果以。為圓心的圓與0。相交，那么。。的半徑可以為（）

A.2B.5C.8D.9

4.（2025?陜西?中考真題）如圖，正方形A4c。的邊長為4,點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在上，EF1EC,

則△CM的面積為（）

5.（2025?遼寧?中考真題）如圖，在矩形/WCO中，點(diǎn)￡在邊AO上，BE=BC,連接CE,若A8=3,AE=4,

則CE的長為（）

A.1B.5C.272D.VH）

6.（2025?天津?中考真題）如圖，在V/WC中，N4C4=90。，將VA3c繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,點(diǎn)

從。的對應(yīng)點(diǎn)分別為從C'I'C'的延長線與邊8C相交于點(diǎn)。，連接CC'.若AC=4,CO=3,則線段CC的

7.（2025?廣西?中考真題）如圖，點(diǎn)A。在8c同側(cè)，AB=BC=CA=21BD=CD=?,則AQ=

8.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，A8是。。的弦.半徑如，人K于點(diǎn)O,且A3=8,OC=5.則0c的

長是.

9.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，在VA8C中，按以下步驟作圖：（1）以點(diǎn)4為圓心，AC的長為半徑

畫弧，交4c于點(diǎn)。；（2）分別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于gcD的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)B（3）

畫射線AF交4c于點(diǎn)￡若NC=2N5,BC=23,BD=13,則HE的長為.

10.（2025?北京?中考真題）如圖，在正方形同BC。中，點(diǎn)石在邊CD上，CF1.BE,垂足為尸.若A4=l,

ZEBC=30°,則AAM的面積為.

11.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A4CD的邊A8在x軸上，點(diǎn)4的坐標(biāo)

為（1,0）.點(diǎn)E在邊。。上.將VADE沿AE折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)尸處.若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（。,3）.則點(diǎn)￡的坐標(biāo)

12.（2025?遼寧?中考真題）如圖，在菱形A8CO中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)。AC=8,BD=12,點(diǎn)、E在

線段Q4上，A￡=2,點(diǎn)尸在線段OC上，OF=\,連接跖，點(diǎn)G為座的中點(diǎn)，連接FG,則尸G的長

為.

3

17.（2025?山東東營?中考真題）《九章算術(shù)》是我國占代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧

田面積所用公式為：弧田面積=；（弦X矢+矢2）,弧出（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中"弦〃

指圓弧所對弦長44,"矢"等于半徑長與圓心。到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8,"矢”為2,

18.（2025?山東東營?中考真題）如圖，小麗在公園里蕩秋千，在起始位置4處擺繩04與地面垂直，擺繩長

2m,向前蕩起到最高點(diǎn)4處時(shí)距地面高度L3m,擺動水平距離8。為1.6m,然后向后擺到最高點(diǎn)C處.若

前后擺動過程中繩始終拉直，且。8與OC成90。角，則小麗在。處時(shí)距離地面的高度是（）.

考點(diǎn)3勾股定理的逆定理

19.（2025?湖南?中考真題）已知，〃，b,c是VA8C的三條邊長，記⑶;其中4為整數(shù).

（1）若三角形為等邊三角形，則/二;

（2）下列結(jié)論正確的是（寫出所有正確的結(jié)論）

①若％=2,1=1,則VA8C為直用三角形

②若k=l,a=；b+2,c=\,則

③若攵=1,a,b,。為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，且avOvc,則滿足條件的VA3C的個(gè)數(shù)為7

考點(diǎn)4勾股數(shù)問題

20.（2025?江蘇揚(yáng)州?中考真題）清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士

琳法則法則的提出，不僅簡化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法

則寫出了下列幾組勾股數(shù)：①3,4,5：②5,12,13：③7,24,25：④9,40,41；......根據(jù)上述規(guī)律,

寫出第⑤組勾股數(shù)為.

21.（2025?廣東?中考真題）《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對

研究直角三角形具有重要意義.若直角三角形的三邊長〃，。都是正整數(shù)，則。，力，。為一組"勾股數(shù)”.下

表中的每?組數(shù)都是勾股數(shù).

3,4,57,24,2511,60,6115,112,11319,180,181

4,3,58,15,1712,35,3716,63,6520,21,29

5,12,139,12,1513,84,8517,144,14521,28,35

6,8,1010,_,2614,48,5018,80,8222,120,122

⑴請補(bǔ)全上表中的勾股數(shù).

⑵根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示b,使該組代數(shù)式能表示上表

中所有的勾股數(shù)，并證明.

⑶某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個(gè)全等的直角三角形組成.種花

要求：僅在三角形邊上種花，每個(gè)三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為1m.如果

每個(gè)三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？

考點(diǎn)5勾股樹問題

22.（2025?山東東營?中考真題）如圖所示，正方形4KC。的邊長為2,其面積標(biāo)記為，，以CO為斜邊作等

腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2,L按照此規(guī)律繼

續(xù)下去，則S2025的值為一.

A-----------B

23.（2025?山東東營?中考真題）如圖所示，正方形A4CO的邊長為2,其面積標(biāo)記為S，以CD為斜邊作等

腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面枳標(biāo)記為邑，......按照此規(guī)律繼

考點(diǎn)6弦圖計(jì)算問題

24.（2025?山東威海?中考真題）如圖，小明同學(xué)將正方形硬紙板沿實(shí)線剪開，得到一個(gè)立方體的表面展開

圖.若正方形硬紙板的邊長為120%則折成立方體的棱長為cm.

25.（2025?山東威海?中考真題）把一張矩形紙片按照如圖①所示的方式剪成四個(gè)全等的直角三角形，四個(gè)

直角三角形可拼成如圖②或圖③所示的正方形.若矩形紙片的長為〃?，寬為〃，四邊形EFGH的面積等于

考點(diǎn)7翻折問題

26.（2025?重慶?中考真題）如圖，正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)石是邊的中點(diǎn)，連接OE,將△OCE沿

直線DE翻折到正方形A8CO所在的平面內(nèi)，得ADFE,延長。尸交A8于點(diǎn)G.NA0G和NQAG的平分線

DH,A”相交于點(diǎn)〃，連接G”,則的面積為（）

r5后D.遇

A.-BL?------

8-i84

27.（2025?河南?中考真題）如圖，在菱形A8CO中，/8=45。/8=6,點(diǎn)￡在邊8C上，連接AE,將

沿AE折疊，若點(diǎn)〃落在8C延長線上的點(diǎn)尸處，則的長為（）

A.2B.6-30C.2及D.6及-6

28.（2025?江蘇蘇州?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，f為邊4。的中點(diǎn)，連接跖，將△△跳:沿的翻

折，得到“'8E，連接AGA。，則下列結(jié)論不?正??確的是（）

B.WC=&7)

C.△4CZ）的面積=aA'OE的面積D.四邊形ABED的面枳個(gè)43。的面枳

29.（2025?吉林?中考真題）【問題背景】在學(xué)習(xí)了平行四邊形后，某數(shù)學(xué)興趣小組研究了有一個(gè)內(nèi)角為60。的

圖①圖②

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，在平行四邊形A88中，ZA=600,E為邊A。的中點(diǎn)，點(diǎn)少在邊。。上，

且"=。石，連接叮，將△。所沿七廠翻折得到△GEF,點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G.小組成員發(fā)現(xiàn)四邊形?！闓b

是一個(gè)特殊的四邊形，請判斷該四邊形的形狀，不需要說明理由.

【探究證明】取圖①中的邊8c的中點(diǎn)點(diǎn)N在邊A8上，且BN=BM,連接MN,將aBM/V沿MN翻

折得到△HAW,點(diǎn)〃的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，.連接777,GN,如圖②.求證：四邊形G/7/N是平行四邊形.

【探究提升】在圖②中，四邊形G"/N能否成為軸對稱圖形.如果能，直接寫出空的值；如果不能，說

AB

明理由.

考點(diǎn)8最值問題

30.（2025?四川廣安?中考真題）如圖，在等腰RtZXABC中,NB4c=90。，AB=AC=4,。是BC邊上的一

個(gè)動點(diǎn)，連接4D,則4D的最小值為.

A

31.（2025嘿龍江?中考真題）如圖，在RIA48C中，？390?,點(diǎn)。、石分別在邊八8和8C上，且AD=4,

CE=3,連接。石，點(diǎn)M、N分別是AC、OE的中點(diǎn)，連接MN,則MN的長度為（）

32.（2025?黑龍江?中考真題）如圖，已知VA8C中，ZACB=90°,AC=7,BC=9,點(diǎn)M是VA8C內(nèi)部

一點(diǎn)，連接AM、BM、CM,若CM=3,則的最小值為.

33.（2025?江蘇連云港?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，AC=4,BD=2,七為線段人C上的動點(diǎn)，四

邊形〃4￡尸為平行四邊形，則8E+8尸的最小值為.

34.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在矩形ABC/）中，43=8,4。=6,點(diǎn)石、尸分別是邊AD、CZ）上的

動點(diǎn)，連接BE、EF,點(diǎn)、G為BE的中點(diǎn)、，點(diǎn)H為EF伯中點(diǎn),連接GH,則的最大值是.

35.（2025?黑龍江綏化?中考真題）如圖，在菱形八BCO中，A4=4,對角線BO=46,點(diǎn)P是邊的中

點(diǎn)，點(diǎn)M是對角線4。上的一個(gè)動點(diǎn)，連接夕例、CM.則PM+CM的最小值是.

36.（2025?四川自貢?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。＞，中，RtZXABC的頂點(diǎn)C,A分別在工軸，》軸

正半軸上，ZACB=90°,ZZMC=30°,BC=2.以為邊作等邊△48.連接03,則OO的最大值

考點(diǎn)9幾何變化規(guī)律問題

37.（2025?四川自貢?中考真題）如圖，在VA8c中，AC=BC,CDLAB于點(diǎn)D,AB=DC=2.以點(diǎn)B為

圓心，的長為半徑畫弧，交8C于點(diǎn)馬.以點(diǎn)C為圓心.。罵的長為半徑畫弧.交C。于點(diǎn)A，過點(diǎn)R作

。匹_LOC,交4c于點(diǎn)巴；再以點(diǎn)匕為圓心，匕〃的長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)馬，以的長為半徑畫

弧，交DC于點(diǎn)仇,過點(diǎn)。?作￡＞再_1。。，交8c于點(diǎn)￡；乂以點(diǎn)當(dāng)為圓心......重復(fù)以上操作.則。2025G25

的長為.

B

考點(diǎn)10動點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)問題

38.（2025?安徽?中考真題）