尺規(guī)作圖

一.選擇題（共5小題）

1.（2025?北京）如圖，NMON=10（T,點A在射線OM上，以點。為圓心，04長為半徑畫弧，交射線

0N于點注若分別以點A,3為圓心，A8長為半徑畫弧，兩弧在NW0N內(nèi)部交于點C,連接AC則

NO4C的大小為（）

1001C.110°D.)20°

2.（2025?吉林）如圖，在△ABC中，ZB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點B

為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊4A,BC于點、M,N；（2）以點C,為圓心，4N長為半徑畫弧,

交邊CB于點N'；再以點M為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形

內(nèi)部的點M'；（3）過點M'畫射線CM'交邊AB于點。.下列結(jié)論錯誤的為（）

A.NB=NDCBB.Z?DC=90°C.DB=DCD.AD+DC=BC

3.（2025?天津）如圖，C。是△ABC的角平分線.按以下步驟作匆：①以點4為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧,

與邊A8相交于點E,與邊AC?相交于點F；②以點8為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊8C相交于點G；

③以點G為圓心，E尸長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點〃；④作射線8",與C。相交于

點M,與邊AC相交于點N.則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.NABN=/AB.BNLACC.CM=ADD.BM=BD

4.（2025?湖北）如圖，ZkAbC內(nèi)接于。。，ZBAC=30°.分別以點A和點8為圓心，大于厘8的長為

半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN交AC于點Q,連接8。并延長交。。于點E,連接OA,

OE,則乙4?！甑亩葦?shù)是（）

C.60°D.75°

5.（2025?眉山）如圖，在四邊形/18CD中，AD//BC,人8=6,BC=IO.按下列步驟作圖：①以點人為圓

心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交于￡、尸兩點；②分別以點K、尸為圓心，大于的長為

半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線人尸交8C于點G,則CG的長為（）

二,填空題（共5小題）

1

6.（2025?齊齊哈爾）如圖，在OABCQ中，BC=2AB=8,連接AC,分別以點A,。為圓心，大于-AC的

2

長為半徑作弧，兩弧交于點￡,F,作直線環(huán)，交A。于點M,交8C于點M若點N恰為BC的中點，

則AC的長為.

7.（2025?天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點尸，A均在格點上.

（I）線段以的長為；

（II）直線PA與△46C的外接圓相切于點A,AB=BC.點、W在射線BC上，點N在線段BA的延長線

上，滿足CM=24N,且MN與射線垂直.請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M,N,

并簡要說明點M,N的位置是如何找到的（不要求證明）

8.（2025?湖南）如圖，在△A8C中，8C=6,點E是AC的中點，分別以點A,8為圓心，以大于1力8的

長為半徑畫弧，兩弧相交于點“，N,直線MN交AB于點D,連接DE,則。七的長是

A

9.（2025?蘇州）如圖，NMON=60°,以O(shè)為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM,ON于A,B兩點,再

分別以4,3為圓心，連為半徑畫弧，兩弧在NMON內(nèi)部相交于點C,作射線OC,連接AC,4C,則

tanNBCO=.（結(jié)果保留根號）

10.（2025?廣安）如圖，在△A8C中，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC

于點。；（2）分別以點C和點。為圓心，大于三CO的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F；（3）畫射線4尸

2

交8c于點E.若NC=2N8,8。=23,80=13,則AE的長為.

三,解答題（共14小題）

11.（2025?長沙）如圖，在△?13c中，AB=AC,ZB=72°,以點C為圓心，適當(dāng)長為半徑蚱弧，交C4

于點M,交CB于點N,再分別以點M,N為圓心，大于：MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P,作

射線CP交A8于點。.

（1）求N8CQ的度數(shù)；

（2）若8C=2.5,求AO的長.

12.（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

【初步嘗試】

如圖（1）,用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線。匕使扇形OWN的面積被直線平分.

【拓展探究】

如圖（2）,若扇形OMN的圓心角為30°,請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點。為圓心的弧CD,

交OM于點C,交ON于點。，使扇形OCO的面積與扇形0MN的面積比為1：4.

13.（2025?吉林）圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.△A8C內(nèi)接于。0,

且點A,B,C,O均在格點.匕只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

（1）在圖①中找一個格點。（點。不與點。重合）；畫出NAO3,使NAQ5=NAC3.

（2）在圖②中找一個格點E,畫出NAEC,使NAEC+N48c=180°.

圖①圖②

14.（2025?陜西）如圖，已知乙408=50°,點。在邊QA上.請用尺規(guī)作圖法，在NAO8的內(nèi)部求作

點尸，使得NAOP=25°,且C尸〃08.（保留作圖痕跡，不寫作法）

15.（2025?河南）如圖，四邊形A8CD是平行四邊形，以8c為直徑的圓交4。于點￡

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若點E是的中點，連接04,CE.求證：四邊形AOCE是平行四邊形.

16.（2025?新疆）如圖，在四邊形48CQ中，AD//BC,8。是對角線.

（1）尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作線段8。的垂直平分線，垂足為點O,與邊AQ,BC分

別交于點E，尸（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；

（2）在（1）的條件下，連接8E,DF,求證：四邊形80E為菱形.

17.（2025?威海）問題提出

已知Na,N0都是銳角，tana=劣，lan0=求Na+N0的度數(shù).

問題解決

（1）如圖，小亮同學(xué)在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出NZMO和NCAO,請你按照這個思路求Na+NB

的度數(shù).（點A,B,C,。都在格點上）

9Q

（2）已知Na,N（3都是銳角，tana=于tan0=*則Na+/0=；

（3）已知Na,Zp,N6都是銳角，lana=tanp=y,Za+Zp=Z0,求tan。的值.

（提示：在正方形網(wǎng)格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案）

18.（2025?福建）如圖，矩形A8CQ中,AB<AD.

（1）求作正方形EFG”,使得點E,G分別落在邊人力，BC上，點、F,，落在8。上；（要求：尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB=2,AD=4,求（1）中所作的正方形的邊長.

19.（2025?威海）（1）如圖①，將平行四邊形紙片A8CD的四人角向內(nèi)折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重

疊的四邊形EFG”.判斷四邊形EFG”的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，己知5BCQ能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形MNPQ,其中，點

M在上，點N在A〃上，點〃在〃。上，點Q在C。上.請用直尺和圓規(guī)確定點M的位置.（不寫

作法，保留作圖痕跡）

圖①圖②

20.（2025?江西）如圖，在6X5的正方形網(wǎng)格中，點4,B,C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要

求完成作圖.（保留作圖痕跡）

（1）在圖1中作出8c的中點；

（2）在圖2中作出△ABC的重心.

圖1圖2

21.（2025?甘肅）如圖1,月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制

可追溯至漢代，但真正在美學(xué)與功能上成熟于宋代，北宋建筑學(xué)家李誡編撰的《營造法式》是中國古代

最完整的建筑技術(shù)典籍之一.如圖2是古人根據(jù)《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞口的設(shè)計圖,

月洞門呈圓弧形，用m表示，點。是:O所在圓的圓心，

AB是月洞門的橫跨，CD是月洞口的拱高.現(xiàn)在我們也可以用尺規(guī)作圖的方法作出月洞門的設(shè)計圖.如

圖3,已知月洞門的橫跨為46,拱高的長度為。.作法如下：

①作線段的垂直平分線MN,垂足為。；

②在射線DM上截取。。=“；

③連接4C，作線段AC的垂直平分線交C。于點。；

④以點o為圓心，。。的長為半徑作;O.

則g就是所要作的圓弧.

請你依據(jù)以上步驟，用尺規(guī)作圖的方法在圖3中作出月洞門的設(shè)計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

22.（2025?山東）在RiZXAbC中,ZA6c=90°,ZAC6=3（r,N6AC的平分線AD交AC丁點。，如

圖1.

（1）求NAOC的度數(shù);

（2）已知A8=3,分別以C,。為圓心，以大于色拉的長為半徑作弧，兩弧相交于點M,N,作直線

MN交BC于點、E,交4。的延長線于點F.如圖2,求。尸的長.

圖1圖2

23.（2025?重慶）學(xué)習(xí)了角平分線和尺規(guī)作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)了角平分線的另一種作

法，并與她的同伴進行交流.現(xiàn)在你作為她的同伴，請根據(jù)她的想法與思路，完成以卜作圖和填空：

第一步：構(gòu)造角平分線.

小紅在NAOB的邊。4上任取一點E,并過點E作了04的垂線（如圖）.請你利用尺規(guī)作圖，在OB

邊上截取OF=OE,過點尸作08的垂線與小紅所作的垂線交于點P,作射線。尸，。尸即為NA08的平

分線（不寫作法，保留作圖痕跡）.

第二步：利用三角形全等證明她的猜想.

證明：*：PELOA,PFLOB,

??.NOEP=/OFP=90°.

在RtAOEP和RtAOFP中,

俾)

、②()

/.RtAOEP^RtAOFP(HL).

工③_________________

平分NA08.

24.開啟作角平分線的智慧之窗

問題：作NA03的平分線OP

作法：甲同學(xué)用尺規(guī)作出了角平分線；乙同學(xué)用圓規(guī)和直角三角板作出了角平分線：丙同學(xué)也用尺規(guī)作

出了角平分線：工人師傅用帶刻度的直角彎尺，通過移動彎尺使上下相同刻度在角的兩邊上，即得0P

為NA08的平分線；

討論：大家對甲同學(xué)和工人師傅的作法都深信不疑，認為判斷角平分線的依據(jù)是利用三角形全等，其判

定全等的方法是;

時乙同學(xué)作法半信半疑，通過討論最終確定的判定依據(jù)：①三角形全等，A4S,A5人或，L,②

對丙同學(xué)的作法陷入了沉思.

任務(wù)：（1）請你將上述討論得出的依據(jù)補充完整；

（2）完成對丙同學(xué)作法的驗證.

已知NAEO=NAO8,EP=EO,求證：?！钙椒?AO8.

尺規(guī)作圖

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號12345

答案BDDCA

一,選擇題（共5小題）

1.（2025?北京）如圖，NMON=100°,點4在射線0M上，以點。為圓心，長為半徑畫弧，交射線

ON于點、B.若分別以點4,/，為圓心，人8長為半徑畫弧，兩弧在NMQV內(nèi)部交于點C,連接AC,則

/O4C的大小為（）

【考點】作圖一基本作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】B

【分析】連接AB,AC,BC,由作圖可得。4=08,AC=BC=AB,則△ABC為等邊三角形，可得NAC8

=60°.證明△QICg/XOBC,可得乙4co=NBCO="4CB=3；0。，/AOC=ZB0C=^LAOB=50°,

則可得NOAC=1800-ZAOC-ZACO=lOOQ.

【解答】解：連接A8,AC,BC,

o

由作圖可得，OA=OB,AC=BC=AB,

???△A8C為等邊三角形，

AZACB=60°.

?：OC=OC,

???△0ACH08C（SSS）,

/.ZACO=ZBCO=^ACB=30°,ZAOC=^BOC=^AOB=50°，

AZOAC=1800-ZAOC-ZACO=\SO°-30°-50°=100°.

故選：艮

【點評】本題考查作圖一基本作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

2.（2025?吉林）如圖，在AABC中，NB=45°,ZA>ZACB>ZB,尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點8

為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊84,BC于點M,N；（2）以點C為圓心，8N長為半徑畫弧，

交邊CB于點N'；再以點N'為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點。為圓心的弧相交于三角形

內(nèi)部的點；（3）過點M'畫射線CM'交邊A4于點。.下列結(jié)論錯誤的為（）

A.ZB=ZDCBB.NBDC=90°C.DB=DCD.AD+DC=BC

【考點】作圖一基本作圖：等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】判斷出選項A,B，C正確可得結(jié)論.

【解答】解：由作圖可知NB=NOCB=45°,

；,DB=DC,N8OC=90°,

故選項4,B,C正確.

故選：D.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是

理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

3.（2025?天津）如圖，CO是△ABC的角平分線.按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，

與邊A8相交于點E,與邊AC相交于點F；②以點8為圓心，4E長為半徑畫弧，與邊BC楣交于點G；

③以點G為圓心，所長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點H；④作射線8",與CD相交于

點M,與邊AC相交于點N.則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZABN=ZAB.BNLACC.CM=ADD.BM=BD

【考點】作圖一基本作圖：角平分線的定義.

【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】D

【分析】由作圖過程可知，4CBN=/BAC,由角平分線的定義可得NACO=NBCO.根據(jù)NC4D+N

ACO+NAOC=180°,ZCBM+ZBCM+ZBMC=180°,可得NAOC=N8MC,進而可得NBZ）M=N

BMD,則8M=8。，即可得出答案.

【解答】解：由作圖過程可■知，ZCBN=ZBAC.

,:CD是△ABC的角平分線，

，/ACD=NBCD.

VZCAD+ZACD+ZADC=\^O°,/aM+/ACM+/BMC=180°,

???ZADC=/BMC,

/.4BDM=/BMD,

：?BM=BD,

故。選項一定正確.

故選：D.

【點評】本題考查作圖一基本作圖、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決

問題.

4.（2025?湖北）如圖，△ABC內(nèi)接于。。，NBAC=30°.分別以點A和點B為圓心，大于，B的長為

半徑作弧，兩弧交于M,N兩點，作直線MN交4C于點D,連接BO并延長交。。于點E,連接OA,

OE,則NAOE的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.60。D.75°

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理：三角形的外

接圓與外心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】C

【分析】由MN是A8的垂直平分線，可得OA=O8,可得NBAD=NABD=30°,再進一步求解即可.

【解答】解：由作圖可得：

???MN是/W的垂直平分線，

:,DA=DB,而N8AC=30°,

，NB4O=NABO=30°,

???NAOE=2/ABO=60°,

故選：C.

【點評】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對等角，圓周角定理的應(yīng)用，掌握以上性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

5.（2025?眉山）如圖，在四邊形A3C。中，AD//BC,48=6,4c=10.按下列步驟作圖：①以點A為圓

1

心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB、A。于￡尸兩點；②分別以點以廠為圓心，大于5石尸的長為

半徑畫弧，兩弧相交于點P；③作射線AP交BC于點G,則CG的長為（）

A\

BG\C

A.4B.5C.6D.8

【考點】作圖一基本作圖；角平分線的定義；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖：幾何直觀.

【答案】A

【分析】由作圖過程可知，AG為N84。的平分線，可得N，AG=ND4G.由平行線的性質(zhì)可得NAG4

=ZDAG,則NZMG=NAG8,可得8G=43=6,則可得CG=BC-4G=4.

【解答】解：由作圖過程可知，4G為N84O的平分線，

：.ZBAG=ZDAG.

'：AD//BC,

/.NAGB=NDAG,

：.ZBAG=ZAGB,

：?BG=AB=6,

，CG=BC-BG=10-6=4.

故選：A.

【點評】本題考查作圖一基本作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、平行

線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

二,填空題（共5小題）

6.（2025?齊齊哈爾）如圖，在OABCO中，8C=2A8=8,連接AC,分別以點A,。為圓心，大于士4C的

2

長為半徑作弧，兩弧交于點E，F(xiàn),作直線E凡交A。于點M,交BC于點N,若點N恰為3c的中點，

則4c的長為4a..

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理.

【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】4V3.

【分析】設(shè)交AC于點。，由作圖過程可知，直線為線段AC的垂直平分線，可得點。為AC

的中點，NCON=90°,進而可得。N為△A4C的中位線，可得。N〃A8,則NC44=/CON=90°,

再根據(jù)勾股定理可得AC=7BC2-AB2=V82-42=4遍.

【解答】解：設(shè)A/N交AC于點0,

E

AD

由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，

，點。為AC的中點，ZCOA=90°.

???點N為BC的中點，

.'ON為△A8C的中位線，

：.ON//AB,

???NC/W=NCON=90°.

'：BC=2AB=S,

???AB=4,

：,AC=\/BC2-AB2=V82-42=4技

故答案為：4

【點評】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理，解題的關(guān)

鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

7.(2025?天津)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點P,A均在格點上.

(I)線段外的長為_戊_；

(II)直線用與AABC的外接圓相切于點A,AB=BC.點M在射線BC上，點N在線段B4的延長線

上，滿足CM=24M且與射線84垂直.請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點M,N,

并簡要說明點M,N的位置是如何找到的(不要求證明)直線力與射線8C的交點為M：取圓與網(wǎng)

格線的交點Q和E,連接QE；取格點尸，連接AP,與DE相交于點。連接BO并延長，與AC相交

于點G,與直線%相交于點心連接CH并延長，.與網(wǎng)格線相交了點/,連接A/,與網(wǎng)格線用交手點/；

連接GL與線段BA的延長線相交「點N,則點M,N即為所求.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】作圖題；三角形.

【答案】（1）&；（2）直線處與射線4c的交點為M：取圓與網(wǎng)格線的交點。和￡連接。石；取格

點F,連接4F,與。5相交于點O；連接80并延長，與AC相交于點G,與直線附相交于點心連

接C”并延長，與網(wǎng)格線相交于點/，連接4/，與網(wǎng)格線相交于點/：連接GJ,與線段84的延長線相

交于點N,則點M,N即為所求.

【分析】（1）利用勾股定理進行求解即可；

（2）利用圓周角定理的推論，正方形的性質(zhì)確定圓心，再根據(jù)全等三角形和等腰三角形的三線合一確

定線段4C的中點G,利用網(wǎng)格確定點J為線段4的中點，則G,1為三角形的中位線，利用一組平行

線確定點N為線段AQ的中點，證明和得出AQ=CM,即CM=2AN,

最后利用切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，得出△AMQ為等腰三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出

MN_LAQ.

【解答】解：（I）由勾股定理得PA=VTTT=&，

故答案為：V2；

（2）如圖所示，點M,N即為所求，

作法：直線用與射線BC的交點為M；取圓與網(wǎng)格線的交點。和E,連接DE；取格點F，連接A片

與。E相交于點。：連接30并延長，與AC相交于點G,與直線布相交于點〃；連接C”并延長，與

網(wǎng)格線相交于點/，連接4/，與網(wǎng)格線相交于點/：連接G./,與線段8A的延長線相交于點N,則點M,

N即為所求.

理由：VZDAE=90°,

為圓的直徑，

〈A/為正方形的對角線，

.,.ZDAF=ZEAF=45°,

???A尸垂直平分線段DE,

???點。為圓的圓心，

???OA=OC,

又*；AB=BC,OB=OB,

???△AO噲△COBCSSS),

，NABO=NCBO,

:?BG平分/ABC,

，點G為線段AC的中點，

由網(wǎng)格可知點./為線段A/的中點，

為△AC7的中位線，

:,GJ〃CL

???點N為線段4Q的中點，

：.AQ=2AN,

'：AB=BC,BH=BH,ZABH=ZCBH,

:.△ABH/ACBH(SAS),

:?AH=CH,ZBAH=ZBCH,

：.ZQAH=NMCH,

又，:NAHQ=/CHM,

：.AAHQ^ACHM(ASA),

：,AQ=CM,即CM=2AN,

延長BH交QM于點T,

VAB=BC,AQ=CM,

:?BQ=BM,

*：NQBH=NMBH,

：.DTLQM,

?「AM為圓的切線，

：.ZOAH=90°,

，NOA8+NQAM=90°,

*：OA=OB,

，N0ZM=/0A4,

即NQ4W+NO84=90°,

?.?NOZM+NAQM=90°,

:?NQAM=NAQM,

???△AMQ為等腰三角形，

???MN_LAQ,

；?點、M,N即為所求.

【點評】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理的推論，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形中

位線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)并靈活應(yīng)用.

1

8.（2025?湖南）如圖，在△A8C中，3。=6,點七是4c的中點，分別以點A,4為圓心，以大于5AB的

長為半徑畫弧，兩弧相交于點M,N,直線MN交A8于點。，連接。E,則。E的長是.

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】3.

【分析】由作圖過程可知，直線為線段A8的垂直平分線，可得點。為A/3的中點，進而可得

為aABC的中位線，則DE=在=3.

【解答】解：由作圖過程可知，直線MN為線段A8的垂直平分線，

???點。為的中點.

???點七是AC的中點，

???。七為△A8C的中位線，

：.DE=^BC=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握線段垂直平

分線的性質(zhì)、三角形中位線定理是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2025?蘇州）如圖，NMON=60°,以。為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM,ON于A,3兩點，再

分別以A,B為圓心，石為半徑畫弧，兩弧在/MON內(nèi)部相交于點C,作射線0C,連接AC,BC,則

角平分線的性質(zhì).

【專題】作圖題：幾何直觀；推理能力.

【答案】￡

【分析】過點B作BO_LO。于點。，由作圖過程得OC平分MON,得/BOD=g"K）N=30。，然后

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求MB。，根據(jù)勾股定理求出CD,然后利用銳角三角函數(shù)定義即可

解決問題.

AZBOD=^Z-MON=30<>,

:,BD=16>B=1x2=l,

VBC-V6,

???CD=>/BC2-BD2=V677!=V5,

../i）mBD175

.?tan/BC°F=赤=亨

故答案為：

【點評】本題考查作圖一基本作圖，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作圖方法是解答本題的關(guān)鍵.

10.（2025?廣安）如圖，在△48C中，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC

于點⑵分別以點C和點。為圓心，大于齊師長為半徑畫弧‘兩弧相交于點F；⑶畫射線AF

交8c于點E.若NC=2N8,8c=23,80=13,則AE的長為12.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖：等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】12.

【分析】連接AO,由作圖過程可知，AD=AC,AE1BC,可得/4OC=NC=2NE,NAED=90°,

DE=CE,進而可得NZMO=N/3,則40=80=13,CD=BC-BD=1。,DE=^CD=5,再由勾股定理

得y/AD2-DE2=12.

【解答】解：連接A。，

由作圖過程可知，AD=AC,AELBC,

AZADC=ZC=2ZB,N4￡O=90°,DE=CE.

*：NAOC=N4+N8AQ,

:?NBAD=NB,

：.AD=BD=\3）.

VBC=23,80=13,

：.CD=BC-BD=\0,

:?DE=3CD=5,

：,AE=>JAD2-DE2=V132-52=12.

故答案為：12.

【點評】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用

所學(xué)知識解決問題.

三,解答題（共14小題）

11.（2025?長沙）如圖，在△?13c中，AB=AC,NB=72°,以點。為圓心，適當(dāng)長為半徑咋弧，交C4

于點M,交CB于點、N,再分別以點M,N為圓心，大于：MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P,作

射線CP交A8于點。.

（1）求N8CQ的度數(shù)；

（2）若8C=2.5,求AO的長.

【考點】作圖一基本作圖：角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】作圖題：等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力.

【答案】（1）36°；

（2）2.5.

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義即可解決問題；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明NA=NACQ,得AO=CD進而可以解決問題.

【解答】解：（1）'：AB=ACtN8=72°,

AZACB=ZB=12a,

由作圖可知：CQ是NACB的角平分線，

???/BCD=ZACD=^ACB=36°；

（2）VZ^DC=1800-NB-NBCD=72°,4=72°,

/.ZBDC=NB,

：.CD=CB,

ZBDC=ZA+ZACD,NACZ）=36°,

：.ZA=ZBDC-ZACD=12°-36°=36°,

/.NA=NAC。，

：.AD=CD,

:?AD=BC=25.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作

圖方法.

12.（2025?綏化）尺規(guī)作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）

【初步嘗試】

如圖（1）,用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條經(jīng)過圓心的直線OP,使扇形OMN的面積被直線OP平分.

【拓展探究】

如圖（2）,若扇形OMN的圓心角為30°,請你用無刻度的直尺和圓規(guī)作一條以點。為圓心的弧CD,

交OM于點C,交ON于點。，使扇形OCQ的面積與扇形OMN的面積比為1：4.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；垂徑定理；相交兩圓的性質(zhì)；扇形面積的計算.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】（1）作OP平分NM0N即可；

（2）作線段ON的垂直平分線垂足為，以。為圓心，。。為半徑作弧交OM于點C,弧C。即為所

求.

【解答】解：（1）如圖，射線即為所求；

M

圖（2）

（2）如圖2中，弧CO即為所求.

【點評】本題考查作圖-更雜作圖，扇形的面積，線段的垂直平分線，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是

理解題意，正確作出圖形.

13.（2025?吉林）圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.內(nèi)接于。0,

且點A,B,C,O均在格點上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖.

（1）在圖①中找一個格點。（點。不與點。重合）；畫出NAD&使

（2）在圖②中找一個格點E,畫出NAEC,使/AEC+NA8C=180°.

圖①圖②

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；圓周角定理；三角形的外接圓與外心.

【專題】作圖題；兒何直觀.

【答案】見解析.

【分析】（1）利用圓周角定理作出圖形；

圖①圖②

（2）如圖②中，點E即為所求（答案不唯一）.

【點評】本題考查作圖-一一與設(shè)計作圖，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，解題的關(guān)鍵是理解題

意，正確作出圖形.

14.（2025?陜西）如圖，已知208=50°,點C在邊OA上.請用尺規(guī)作圖法，在NAO8的內(nèi)部求作一

點P,使得NAOP=25°,且CP〃。氏（保留作圖痕跡，不寫作法）

0B

【考點】作圖一堂雜作圖；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】見解答.

【分析】先作NAOB的平分線，再以點C為圓心，0C的長為半徑畫弧，交射線0。于點P,則點P即

為所求.

【解答】解.：如圖，先作NA08的平分線，再以點C為圓心，0c的長為半徑畫弧，交射線。。于點P,

1

,NCP0=/COP=/BOP="AOB=25°，

?'?NAO0=25°,CP//OB,

則點P即為所求.

【點評】本題考查作圖一復(fù)雜作圖、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問

題.

15.（2025?河南）如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，以8c為直徑的圓交4。于點6

（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出圓心0（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）若點？是A。的中點，連接04,CE.求證：四邊形AOCE是平行四邊形.

【考點】作圖一夏雜作圖：平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】（1）作線段BC的垂直平分線，垂足為。，點。即為所求;

（2）證明AE=CO,AE〃C。即可.

【解答】（1）解：如圖，點。即為所求;

（2）證明：???四邊形ABC都是平行四邊形，

，AQ=8C,AD//BC,

???￡是A。的中點，。是3c的中點，

?：AE=DE=OC=（）B,

\'AE//OC,

???四邊形AOCE是平行四邊形.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題.

16.（2025?新疆）如圖，在四邊形A8CQ中，AD//BC,8D是對角線.

（1）尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作線段8。的垂直平分線，垂足為點O,與邊AD,BC分

別交于點E，〃（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，并將作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）；

（2）在（1）的條件下，連接4E,DF,求證：四邊形/好QE為菱形.

【考點】作圖一基本作圖：平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線：矩形菱形正方形；尺規(guī)作圖：幾何直觀.

【答案】（1）見解答.

（2）見解答.

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可.

（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=DE,BF=DF,OB=OD,可證明△OOE之△OBF,得DE=

BF,則8E=OE=8/=?？缚傻盟倪呅?/7圮為菱形.

【解答】（1）解：如圖，直線EF即為所求.

（2）證明：???直線E尸是線段8。的垂直平分線，

：?BE=DE,BF=DF,OB=OD.

'CAD//BC,

工ZEDO=NFBO,ZDEO=ZBFO,

:.△0DE@40BF（A4S）,

；?DE=H卜,

:?BE=DE=BF=DF,

???四邊形B/RE為菱形.

【點評】本題考查作圖一基本作圖、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定，解題的關(guān)鍵

是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

17.（2025?威海）問題提出

已知Na,N0都是銳角，tana=,,tanp=i,求Na+N。的度數(shù).

問題解決

（1）如圖，小亮同學(xué)在邊長為1的正方形網(wǎng)格中畫出/BAD和NC4）,請你按照這個思路求/a+NB

的度數(shù).（點4,B,C,。都在格點上）

備用圖備用圖

策略遷移

23

-⑶-

(2)已知/a,Np都是銳角,3IP245

(3)已知Na,Zp,都是銳角，tana=tan0=亍Za+Zp=Z0,求tan。的值.

(提示：在正方形網(wǎng)格中畫出求解過程的圖形，并直接寫出答案)

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；解直角三角形.

【專題】作圖題；幾何直觀.

1

【答案】⑴45°；(2)90：(3)

【分析】(1)連接BC,利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解；

(2)構(gòu)造等腰直角三角形A4C可.得結(jié)論，構(gòu)造直角三角形QG〃可得結(jié)論.

【解答】解：(I)如圖I中，連接8C,

*：AB=BC=yj5,BC=V10,

22

：.AI^+BC=ACf

，NABC=90°,

???N8AC=45°,

，Na+N0=45°；

由題意，a=N84。，p=Z/9z!C,

是等腰直角二角形，

Aa+p=90°.

故答案為：90；

(3)如圖2中，a=NCDH,0=NHDF,

在RlaOG〃中，tan(a+p)=褪二右

【點評】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會路數(shù)形結(jié)合的思想解決問

18.（2025?福建）如圖，矩形A8CQ中，AB<AD.

（1）求作正方形EFG，，使得點E,G分別落在邊A。，BC上，點、F,，落在上；（要求：尺規(guī)作

圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB=2,AD=4,求（1）中所作的正方形的邊長.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖：勾股定理.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】（1）見解析；（2）早.

【分析】（1）作線段8。的垂直平分線，垂足為O,交AD于點E,交8c于點G,以。為圓心，OE

為半徑作弧交3。于點凡H,連接EF,FG,GH,即可；

（2）利用勾股定理求出8。，再根據(jù)tanNAQ8=^=需，求出OE可得結(jié)論.

【解答】解：（1）正方形EFGH即為所求；

，NA=90°,

:,BD=\/AB2+AD2=y]22+42=2療

：.OB=OD=瓜

?tan/AOB=^=而'

：.OE=

丁四邊形EFG”是正方形，

：,OE=OH=冬EOLOH,

:?EH=&0E=耳,

，正方形EFGH的邊長為弓.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握

相關(guān)知識解決問題.

19.（2025?威海）（1）如圖①，將平行四邊形紙片A8CQ的四八角向內(nèi)折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重

疊的四邊形稗G”.判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由；

（2）如圖②，己知能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形MNPQ,其中，點

M在AO上，點N在A8上，點P在上，點。在CO上.請用直尺和圓規(guī)確定點M的位置.（不寫

作法，保留作圖痕跡）

圖①圖②

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】作圖題.

【答案】（1）四邊形EFG”是矩形，理由見解析；

（2）見解析.

【分析】（1）結(jié)論：四邊形EFG"是矩形，根據(jù)四個角是直角的四邊形是矩形證明即可；

（2）分別以點。、。為圓心，大于為半徑作弧，連接兩個交點，即為。C的垂直平分線，與DC

交于點Q，同理作出A3的垂直平分線交于點M連接NQ、AC,交于點。，以點。為中心，。。長為

半徑作弧交于點點M即為所作.連接交于點Z1,連接即為題目所求.

【解答】解：（1）結(jié)論：四邊形EFGH是矩形.

理由：通過折疊的性質(zhì)可知NAFE=NEFK,ZBFG=ZKFG,

VZAFB=180°,

：,2ZEFK+2ZKFG=\S0a,

：?NEFK+/KFG=90",即N￡/G=90°,

同法可證/FGH=N￡HG=90°,

???四邊形是矩形；

1

（2）如圖，分別以點。、C為圓心，大于3。。為半徑作弧，連接兩個交點，即為。。的垂直平分線，

與。C交于點Q,同理作出A6的垂直平分線交于點N,連接NQ、AC,交于點Q,以點。為中心，OQ

長為半徑作弧交AO于點M,點聞即為所作.連接MQ交于點P,連接MNPQ即為題目所求.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性

質(zhì).

20.（2025?江西）如圖，在6X5的正方形網(wǎng)格中，點A,B,C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要

求完成作圖.（保留作圖痕跡）

（1）在圖1中作出8c的中點；

（2）在圖2中作出△A8C的重心.

圖1圖2

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖；三角形的重心；線段垂直平分線的性質(zhì).