專(zhuān)題03軸對(duì)稱(chēng)圖形（培優(yōu)卷）

1.（2023秋?杭州期中）如圖鋼架中，NA=a,焊上等長(zhǎng)的鋼條為尸2,尸2P3,P3P4,RP5…

則a的取值范圍是（）

15°

C.18°WaV22.5°D.18°-2.5°

2.如圖，△ABC中，NCAB=NC8A=48°，點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZOAB=\2°,AOBC

)

C.200'D.210°

3.如圖：等腰△A8C的底邊8c長(zhǎng)為6,面積是18,腰AC的垂直平分線分別交AC,

A5邊于￡,小點(diǎn).若點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段￡尸上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的

8C.9D.10

4.如圖，在五邊形/WC7)石中，NBAE=152°,Z?=ZE=90°,AB=BC,AE=DE.在

BC,￡>E上分別找一點(diǎn)M,N,使得△4MN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則N4MN+N4VM的度數(shù)為

C.57°D.58°

5.如圖，點(diǎn)P是乙4。8內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5a〃，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線。8上

的動(dòng)點(diǎn)，△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,則NAOB的度數(shù)是

6.如圖，為△ABC中，NACB=90°,分別以直角三角形的三條邊為邊，在直線48同側(cè)

分別作正三角形，已知S甲=8,S乙=6,S丙=3,則△人AC的面積是.

HB

7.如圖，已知等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為3,過(guò)48邊上一點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,Q為BC

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取以=C。，連接PQ,交AC于M,則EM的長(zhǎng)為.

BC0

8.如圖，在四邊形44co中，A3=6,AO=4C=3,七為43邊中點(diǎn)，且NCE￡>=120°,

則邊QC長(zhǎng)度的最大值為.

9.如圖，在Rlz2\A4C中，乙4=90°,A4=4,AC=3.M、N、尸分別是邊A3、AC、BC

上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

1().(1)如圖1,Z\A8c中，作NA8C'、NAC8的角平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作《7,〃

8c分別交AB、AC于E、F.

①求證：OE=BE；

②若△48C的周長(zhǎng)是25,BC=9,試求出△4EF的局長(zhǎng)：

（2）如圖2,若N4/TC的平分線與NACB外角NACD的平分線相交于點(diǎn)P,連接AP,

試探求NBAC與/的數(shù)量關(guān)系式.

11.如圖①，ZXABC中，AB=AC,NB、NC的平分線交于。點(diǎn)，過(guò)0點(diǎn)作所〃8。交AB、

AC于E、F.

（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖②，若ABWAC,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出

它們.在第（1）問(wèn)中與BE、C”間的關(guān)系還存在嗎？

（3）如圖③，若△A/3C中N3的平分線8。與三角形外角平分線CO交于0,過(guò)。點(diǎn)作

OE〃BC交AB于E,交AC于尸.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、C尸關(guān)系又如

何？說(shuō)明你的理

12.（2024?遵義）如圖，△A3C是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向

。運(yùn)動(dòng)（與4、C不重合），Q是C8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)夕同時(shí)以相同的速度由4向

CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（。不與B重合），過(guò)夕作于E,連接PQ交于。.

（1）當(dāng)N8QO=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段EO的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段EO的長(zhǎng)；如果變

化請(qǐng)說(shuō)明理由.

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)沿射線4B移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BG移動(dòng)，點(diǎn)。、點(diǎn)E同

時(shí)出發(fā)并且運(yùn)動(dòng)速度相同.連接C。、DE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段人8的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE=DC.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，試探索與。C之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段A8的延長(zhǎng)線上，并且EO_LOC時(shí)，求NOEC度數(shù).

16.已知：如圖，人M。、△CDE都是等邊三角形，A。、8E相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M、N分別是

線段A。、8E的中點(diǎn).

(1)求證：AD=BE；

(2)求NQOE的度數(shù)；

(3)求證：△MNC是等邊三角形.

17.如圖，在等邊△ABC中，A8=9a〃，點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿C8邊向3點(diǎn)以的速度移

動(dòng)，點(diǎn)。從4點(diǎn)出發(fā)沿8A邊向A點(diǎn)以5ams速度移動(dòng).P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們移動(dòng)

的時(shí)間為/秒鐘.

(1)你能用/表示AP和BQ的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái).

(2)請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后，4PBQ為等邊三角形?

（3）若P、。兩點(diǎn)分別從C、8兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓亍鰽8C三邊運(yùn)動(dòng),

請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△A8C的哪條邊上相遇？

18.等腰RI44BC中，NBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)A、點(diǎn)8分別是），軸、x軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

直角邊AC交x軸于點(diǎn)。，斜邊8C交），軸于點(diǎn)￡

（1）如圖（1）,已知C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖（2）,當(dāng)?shù)妊黂tZXABC運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)。恰為AC中點(diǎn)時(shí)，連接。E,求證：Z

ADB=ZCDE；

（3）如圖（3）,若點(diǎn)A在x軸上，且A（-4,0）,點(diǎn)8在），軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

分別以O(shè)B、為直角邊在第一、二象限作等腰直角也〃。。和等腰直角△4BC,連接CD

交y軸于點(diǎn)P,問(wèn)當(dāng)點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化請(qǐng)說(shuō)明

理由，若不變化，請(qǐng)求出8尸的長(zhǎng)度.

%

圖（1）圖（2）圖（3）

專(zhuān)題03軸對(duì)稱(chēng)圖形（培優(yōu)卷）

1.（2023秋?杭州期中）如圖鋼架中,NA=a,焊上等長(zhǎng)的鋼條P1P2,P2P3,P3P4,2P5…

來(lái)加固鋼架.若PA=PIP2，且恰好用了4根鋼條，則a的取值范圍是（）

C.18°W“V22.5°D.18°VaW22.5°

【答案】C

【解答】解：?.?AP1=P1P2，P|P2=P2P3,P3P4=P2P3,P3P4=P4P5,

???N4=NP1P2A，NP2Plp3=/P2P3P1，NP3P224=/P3P4P2，/P4P3P5=/P4P5P3,

???/03戶(hù)5P4=4NA=4a0,

???要使得這樣的鋼條只能焊上4根，

???/尸5心8=5。°,

+明+f4a<90

由題意4、，

l5Cl>90

/.18°WaV22.5°.

故選：C,

2.如圖，Z\A3c中，ZCAB=ZCBA=^°，點(diǎn)。為△48C內(nèi)一點(diǎn)，NOA8=12°,NOBC

=18°,則NACO+NAOB=()

AZ^XB

A.190°B.195°C.200,D.210°

【答案】D

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作COJ_AB,垂足為力,延長(zhǎng)B。交C。與點(diǎn)P,連接AP,

???/O8C=18°,NCBA=48°,

???NA8P=NC84-N。8c=30°,

???NCA8=NC84=48°,

：.CA=CB,

：CO_LA4,

???C。是48的垂直平分線，

：,PA=PB,

：.APAB=ZPBA=W,

：.ZCAP=ZCAB-Z?4?=18°,

,:ZAOP是△AOB的一個(gè)外角，

：.ZAOP=ZOAB+ZOBA=42°,

VZCDA=90°,

AZACD=90°-ZCAD=42°,

JZAOP=ZACD,

VZE4B=3O°,ZOAB=\20,

：.ZPAO=ZPAB-AOAB=W,

：,ZCAP=ZOAP,

，：AP=AP,

???△ACPgZXAOP(/US),

?*?AC=AOt

?：ZCAO=ZCAP+ZOAP=36°,

/.ZACO=ZAOC=72°,

?.?/AO〃=180°-NOA“-NORA=138°,

???/ACO+N4O8=210°,

故選：O.

3.如圖：等腰△ABC的底邊8C長(zhǎng)為6,面積是18,腰4c的垂直平分線EF分別交4C,

AB邊于E,尸點(diǎn).若點(diǎn)。為8C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CQM周長(zhǎng)的

最小值為（）

C

【答案】C

【解答】解：連接4。，MA.

??.△ABC是等腰三角形，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn),

：.ADLBC,

ASAABC=-^C*AD=1X()XAD=18,解得人。=6,

22

???石戶(hù)是線段AC的垂直平分線，

???點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,MA=MC,

：.MC+DM=MA+DM^AD,

???A。的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，

???△CQM的周長(zhǎng)最短=CCM+MD)+CD=AD+1BC=6+Ax6=6+3=9.

22

故選：C.

4.如圖，在五邊形A3C7)E中，ZBAE=\52°,NB=NE=90°,AB=BC,AE=DE.在

BC,￡>E上分別找一點(diǎn)M,N,使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則/4MN+/ANM的度數(shù)為

()

B

A.55°B.56°C.57°D.58°

【答案】B

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)A8至A',使A'B=AB,

延長(zhǎng)AE至A”,使A〃E=AE,

則BC垂直平分AA,DE垂直平分AA”,

：,AM=A'M,AN=A"N,

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，

當(dāng)A',M,N,A”四點(diǎn)在一條直線時(shí)，A'M+MN+NA"最小，

則AM+MN+AN的值最小，

即△AMN的周長(zhǎng)最小，

'：AM=A,M,AN=Af,N,

???可設(shè)/MA4'=ZMA'A=x,4NAA"=NNA〃A=），,

在△AA'A"中，4+），=180°-ZBAE=\S0°752°=28°,

VZAMN=ZMAA'+ZMA'A=2x,ZANM=2y,

???NAMN+/ANM=2r+2y=56°,

故選：B.

5.如圖，點(diǎn)尸是NAOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5c/〃，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線。8上

的動(dòng)點(diǎn)，△尸MN周長(zhǎng)的最小值是5a〃，則NAO8的度數(shù)是.

【答案】300

【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。、C,連接C。，

分別交OA、OB于點(diǎn)M、N,連接。C、OD、PM、PN、MN,如圖所示:

???點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,

:?PM=DM,OP=OD,ZDOA=ZPOA；

???點(diǎn)P關(guān)于（陽(yáng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,

:,PN=CN,OP=OC,4C0B=/P0B,

：?OC=OP=OD,ZAOB=1.ZCOD,

2

???周長(zhǎng)的最小值是5cm,

???PM+PN+MN=5,

:?DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：,OC=OD=CD,

即△OC。是等邊三角形，

AZCOD=60°,

???N4O8=30°；

故答案為30°.

6.如圖，RtZXABC中，NACB=90°,分別以直角三角形的三條邊為邊，在直線A8同側(cè)

分別作正三角形，已知S甲=8,S乙=6,S內(nèi)=3,則△A8C的面積是,

【答案】11

【解答】解：由圖可知，SMBC=SABD-S西-（SAACE-S甲）-（SNBCF-S乙），

設(shè)46=c,AC=h>BC=a,則

V^ACE,△4BD,△BCr是等邊三角形，

2

則SGACE=^~/，，5AXBD=^<-,SABCFMNAO1，

444

故答案為：11.

7.如圖，已知等邊三角形48c的邊長(zhǎng)為3,過(guò)AB邊上一點(diǎn)P作PE_LAC于點(diǎn)E,Q為BC

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，取%=CQ,連接PQ,交AC于M,則EM的長(zhǎng)為.

.w

BCQ

【答案】3

2

【解答】解：過(guò)P作尸尸〃BC交AC于F,如圖所示：

\'PF//BC,ZVIBC是等邊三角形，

；?NPFM=NQCM,NAP尸=N8=60°,ZAFP=ZACB=60°,NA=60°,

???△AP/；是等邊三角形，

:?AP=PF=AF,

*：PELAC,

：,AE=EF,

\,AP=PF,AP=CQ,

：.PF=CQ,

在△PBW和△QCM中，

rZPFM=ZQCM

<ZPMF=ZCMQ.

PF=CQ

:ZFMWXQCM(AAS),

：.FM=CM,

":AE=EF,

：.EF+FM=AE+CM,

：.AE+CM=ME=X\C,

2

*：AC=3,

2

故答案為：1.

2

BCQ

8.如圖，在四邊形A8CZ）中，A8=6,AD=BC=3,E為A8邊中點(diǎn)，且/CEO=120°,

則邊。。長(zhǎng)度的最大值為.

【解答】解：如圖，將△AOE沿。E翻折得到△MQE,將△8CE沿￡C翻折得到△可”,

連接MN.

由翻折的性質(zhì)可知,AO=QM=3.4E=E5=EM=EN=3,C8=CN=3,NAED=/MEB,

NEBC=NNEC,

VZDEC=120°,

???NAED+NBEC=18(T-120°=60°,

：?/DEM+/NEC=60',

???NMEN=60°,

???△EMN是等邊三角形，

:.MN=EM=EN=3,

,/CDWDM+MN+CN,

???C/)W9,

???C。的最大值為9,

故答案為：9.

9.如圖，在RtZ\A8C中，ZA=90°,AB=4,AC=3,M、N、P分別是邊A3、AC.BC

上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

M

N

BPC

【答案】竺

5

【解答】解：如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于A/3,AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,連接產(chǎn)石，PF,M,EM,FN,

VZfiAC=90°,A8=4,AC=3,

???5C=VAB2+AC2=V42+32=^

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，AE=AP=AF,NBAP=NBAE,ZCAP=ZCAF,

VZPAB+ZPAC=ZBAC=90°,

AZEAF=180°,

:?E,4,尸共線,

?；ME=MP,NF=NP,

：.PM+MN+PN=EM+A1N+NF,

■:EM+MN+NF—EF,

???石/的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，

'：EF=2PA,

，當(dāng)B4JL8c時(shí)，附的值最小，此時(shí)用=22=12,

55

PM+MN+PN2線

5

??.PM+MN+PN的最小宜為2生

5

故答案為：24.

5

10.(1)如圖I,△ABC中，作NA8C、N4C8的角平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。作E尸〃

8C分另I］交A8、4c于E、F.

①求證：OE=BE；

②若△ABC的周長(zhǎng)是25,BC=9,試求出的周長(zhǎng)：

(2)如圖2,若N4/TC的平分線與NAC4外角NACD的平分線相交于點(diǎn)P,連接AP,

試探求NB/1C與的數(shù)量關(guān)系式.

【解答】解：(1)①'.方。平分乙48C,

:./EBO=/OBC,

YEF//BC,

:./EOB=NOBC,

:.NEOB=NEBO,

:.OE=BE；

?/^AEF^^=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；

(2)解：延長(zhǎng)84,做PNtBD,PFLBA,PM1AC,

〈CP平分NACQ,

AZACP=ZPCD,PM=PN,

???/3P平分N4/3C,

；?NABP=NPBC,PF=PN,

：,PF=PM,

：,ZFAP=ZPAC,

：,ZFAC=2ZPAC,

VZMC+ZBAC=180°,

/.2ZMC+Z^C=180°.

4、P

11.如圖①，△A/3C中，A8=AC,NB、NC的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作叱〃/3C交A/3、

AC于E、F.

（I）圖中有幾個(gè)等腰三角形？猜想：EF與BE、。尸之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）如圖②，若ABWAC,其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出

它們.在第（1）問(wèn)中E尸與BE、。尸間的關(guān)系還存在嗎？

（3）如圖③，若△ABC中N8的平分線80與三角形外角平分線CO交于O,過(guò)。點(diǎn)作

OE〃BC交AB十E,交4c十F.這時(shí)圖中還有等胺三角形嗎？EF與BE、O'關(guān)系乂如

何？說(shuō)明你的理

【解答】解?：（1）圖中有5個(gè)等腰三角形，

EF=BE+CF,

?:ABEO出ACFO,且這兩個(gè)三角形均為等腰三角形,

可得EF=EO+FO=BE+CFi

（2）還有兩個(gè)等腰三角形，為△BEO、△。50,

如下圖所示：???￡/〃BC,

???/2=/3,

又???/1=/2,

AZ1=Z3,

???△/3￡0為等腰三角形，在△C/0中，同理可證.

:,EF=BE+CF存在.

(3)有等腰三角形：△BEO、/XCFO,11WEF=BE-CF,

???如下圖所示:OE//BC,AZ5=Z6,

又N4=N5,/.Z4=Z6,

是等腰三角形，

在△CFO中，同理可證△。”＞是等腰三角形，

,:BE=EO,OF=FC,

：,BE=EF+FO=EF+CF,

：.EF=BE-CF

12.（2024?遵義）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向

。運(yùn)動(dòng)（與A、。不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)尸同時(shí)以相同的速度由8向

C4延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（。不與4重合），過(guò)。作于E,連接PQ交/W于。.

（I）當(dāng)N8Q/）=30°時(shí)，求八夕的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段E7）的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段￡7）的長(zhǎng)；圻果變

化請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）4P=2（2）不會(huì)變

【解答】解：（1）???△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,

???NACB=60°,

???/BQO=30°,

：.ZQPC=90°,

設(shè)則PC=6?x,QB=x,

:.QC=QB+BC=6+x,

???在Rt^QCP中，ZBQD=3()0,

??.PC=_1QC,即6-x=」(6+x),解得x=2,

22

：.AP=2；

(2)當(dāng)點(diǎn)P、。同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí)，線段。E的長(zhǎng)度不會(huì)改變.理由如下:

作。凡LA8,交直線AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,

又???PE_L48于E,

：.ZDFQ=ZAEP=9(}a,

??,點(diǎn)P、Q速度相同，

：.AP=B(),

???△ABC是等邊三角形，

???NA=NABC=NF82=60°,

在△APE和ABQ/中，

?：NAEP=NBFQ=90°,

???ZAPE=ZBQF,

(NAEP二NBFQ

ZA=ZFBQ，

IAP=BQ

A^APE^^BQF(AAS),

：.AE=BF,PE=QF旦PE〃QF,

???四邊形尸EQ”是平行四邊形，

??.QE=」E凡

2

■:EB+AE=BE+BF=AB,

.??DE=L\B,

2

乂???等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,

???OE=3,

???點(diǎn)P、。同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí)，線段。E的長(zhǎng)度不會(huì)改變.

A

13.（2024?煙臺(tái)）如圖，在等邊三角形A8C中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)。是直線8c

上一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.

【問(wèn)題解決】

如圖I,若點(diǎn)。在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

【類(lèi)比探究】

如圖2,若點(diǎn)。在邊BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CE,CF與CO之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并說(shuō)明理由.

【答案】詳見(jiàn)解答

【解答】【問(wèn)題解決】證明；在C。上截取CH=C￡如圖I所示:

???ZSABC是等邊三角形，

/.ZEC//=60°,

???△CE”是等邊三角形，

:,EH=EC=CH,ZCEH=60°,

〃是等邊三角形，

:?DE-FE,NDE/一60°,

NDEH+NHEF=NFEC+NHEF=60°,

：.NDEH=/FEC,

在△￡）￡：”和△產(chǎn)EC中，

<DE=FE

<ZDEH=ZFEC.

EH=EC

(SAS),

:.DH=CF,

:.CD=CH+DH=CE+CF,

：,CE+CF=CD；

【類(lèi)比探究】解：線段CE,與CO之間的等量關(guān)系是尸C=CQ+CE；理由如下:

?；△ABC是等邊三角形，

ZA=ZB=60°,

過(guò)。作。G〃48,交47的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖2所示：

?：GD//AB,

???NGOC=N8=60°,ZDGC=ZA=60°,

：.ZGDC=ZDGC=6^,

???△GCO為等邊三角形，

:,DG=CD=CG./G7X?=6O°,

???△ED/為等邊三角形，

：,ED=DF,NEDF=/GDC=60°,

：.ZEDG=ZFDC,

在△EGO和△FCQ中，

(ED=DF

ZEDG=ZFDC-

IDG=CD

:?△EGD妾MCD(SAS),

:.EG=FC,

/.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

A

圖1

14.（2024?香洲區(qū)校級(jí)模擬）如圖1,點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4”?的等邊△A8C邊AB、BC

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為心，

（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)、M,則在產(chǎn)、。運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，NCMQ變化嗎？若變化，則

說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

（2）何時(shí)是直角三角形？

（3）如圖2,若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線4。、CP交

點(diǎn)為M,則NCMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

A

A

Q

BQC

圖1/圖2

【答案】⑴60。⑵9秒或第X:⑶120。

3W

【解答】解：(1)NCMQ=60'不變.

???等邊三角形中，AB=AC,/B二=ZCAP=60°

又由條件得AP=8Q,

:.△ABgXCAP(SAS),

NBAQ—NACP,

：,NCMQ=NACP+NG4M=N84Q+NC/W=N84C=60°.

(2)設(shè)時(shí)間為/,則AP=8Q=/,PB=4-t

①當(dāng)NPQB=90°時(shí)，

VZB=60c,

；?PB=2BQ,得4-/=2f,r=-l：

②當(dāng)N8PQ=90°時(shí),

VZB=60°，

：.BQ=2BP,得f=2(4-r),r=-|；

???當(dāng)?shù)谄c秒或第邑秒時(shí)，△PAQ為直角三角形.

33

(3)ZCMg=120°不變.

???在等邊三角形中，BC=AC,ZB=ZCAP=60°

：,ZPBC=ZACQ=\20(),

又由條件得8P=CQ,

.?.△PBCgZXQCA(SAS)

:?/BPC=/MQC

又,：/PCB=/MCQ,

???NCMQ=NPBC=18(r-60°=120°

15.(2024秋?湖南期末)如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別是射線4B、射線CB

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)沿射線48移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)沿4G移動(dòng)，點(diǎn)。、點(diǎn)E同

時(shí)出發(fā)并且運(yùn)動(dòng)速度相同.連接CD、DE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段48的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE=DC.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)￡＞在線段八8上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，試探索。石與QC之間的數(shù)量關(guān)

系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段A8的延長(zhǎng)線上，并且EOJ_。。時(shí)，求/OEC度數(shù).

【答案】詳見(jiàn)解答

【解答】(1)證明：'.?△A4C是等邊三角形，4。=。3,

AZDCB=1ZACB=3O°,AD=DB,

2

由題怠得，AD=3E,

:.BD=BE,

:.ZBDE=ZBED,

VZBDE+ZBED=ZABC=60°,

???NBDE=NBED=30°,

:?/DCE=NBED,

：,DE=DC.

⑵解：DE=DC,

理由如下：作。尸〃AC交8c于立

則N8DF=NA=60°,ZDFB=ZACB=60a,

為等邊三角形，

:?DB=DF=BF,NDBF=NDFB=6U0,

:,FC=AD=RE.NDBE=NDFC、

在ADBE和△OR7中，

BE=FC

<NDBE=NDFC

DB=DF

:.△DBEW/\DFC(SAS),

：.DE=DC；

(3)解：在“E上截取OH=B/5,連接/)，，

VZDBH=ZABC=60°,

???△BO”為等邊三角形，

：.DH=DB,/BDH=/BHD=60°,

AZDHE=ZDBC=\20°,

?；AD=BE,BH=BD,AB=BC,

:?HE-BC,

在4DHE和△OBC中，

rHE=BC

<ZDHE=ZDBC-

DH=DB

：,4DHEm4DBC(SAS),

.??ZHDE=ZBDC,

VZhDC=9()°,/HD3=6U°,

???N”O(jiān)E+N8QC=3(T,

AZHDE=ZBDC=\50,

/.NDEC=ZDHC-NHDE=45°.

圖②羽）

16.已知：如圖，△ABC、△COE都是等邊三角形，AD.BE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M、N分別是

線段A。、8E的中點(diǎn).

（1）求證：AD=BE；

（2）求的度數(shù)：

（3）求證：△MNC是等邊三角形.

【解答】解：(1)???△ABC、△0￡)￡：都是等邊三角形,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Ga,

:.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

:./ACD=NBCE,

在△ACO和△8CE中

AC=BC

<ZACD=ZBCE?

CD=CE

???AACD^ABCE,

:?AD=BE.

(2)解：VAACD^ABCE,

/.ZADC=/BEC,

???等邊三角形OC￡,

：?NCED=NCDE=60°,

，ZADE+ZBED=ZADC+ZCDE+ZBED,

=ZADC+600+/BED,

=ZCED+60°,

=600+60°,

=120°,

AZDOE=180°-(NADE+NBED)=60°,

答：//X花的度數(shù)是60°.

(3)證明：VAACD^ABCE,

：./CAD=/CBE,AD=BE,AC=BC

又??,點(diǎn)M、N分別是線段A。、BE的中點(diǎn)，

:.AM=-LAD,BN=TBE,

22

:,AM=BN,

在△ACM和△8CN中

AC=BC

<ZCAM=ZCBN-

AM=BN

J△ACMeABCN,

:.CM=CN,

ZACM=N8CN,

又NACB=60°,

.??NACM+NMCB=60°,

???N4OV+NMC4=60。,

???NMCN=60°,

??.△MNC是等邊三角形.

17.如圖，在等邊△ABC中，4B=9cm,點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿C8邊向B點(diǎn)以2c〃心的速度移

動(dòng)，點(diǎn)Q從8點(diǎn)出發(fā)沿84邊向4點(diǎn)以5cm/s速度移動(dòng).尸、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它便移動(dòng)

的時(shí)間為，秒鐘.

（1）你能用，表示3。和4Q的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)你表示出來(lái).

（2）請(qǐng)問(wèn)幾秒鐘后，△P40為等邊三角形？

（3）若P、Q兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并且都按順時(shí)針?lè)较蜓亍?8C三邊運(yùn)動(dòng)，

請(qǐng)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘后點(diǎn)尸與點(diǎn)。第一次在AABC的哪釜邊上相遇？

【解答】解：（1）???△A/3C是等邊三角形,

：,BC=AB=9cnu

???點(diǎn)P的速度為lends,時(shí)間為ts,

:,CP=2i,

則PB=8C?CP=（9-2r）cm；

???點(diǎn)Q的速度為5cm/sf時(shí)間為is,

???"2=5/；

（2）若APBQ為等邊三角形,

則有BQ=8P,BP9-2t=5h

解得『旦

7

所以當(dāng)時(shí)，APBQ為等邊三角形;

（3）設(shè)時(shí)，Q與尸第一