2025-2026學(xué)年山西省臨汾一中高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)*的虛部為（）

2424

A.——B.——C.7D.—

?JOOO

2.如圖所示，直線，I，12,。的斜率分別為自，k2,自，則下列結(jié)論正確的是（）

A.K]>々2>”3

B.k2>k3>k]

C.k2>kr>k3

D.K3>k?>k]

3.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的50個(gè)零件講行抽樣測(cè)試，先將50個(gè)零件講行編號(hào)，編號(hào)分別為01,02,

50.從中抽取6個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第1行到第2行:

6667403714640571110565099586687683203790

5716031163149084452175738805905223594310

若從表中第1行第6列開始向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是（）

A.57B.50C.40D.10

4.已知向量五=（n,l）,b=（2,n3）,則“n=2”是“益〃力的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.若/+y2一%+y-2m=0是一個(gè)圓的方程，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-8，V）B.g+8）C.（-CO,1）D.（-",+8）

6.如圖，空間四邊形0A8C中，OA=afOB=b^沆=3點(diǎn)M在。4上，且OM=2M/l,點(diǎn)N為8。中點(diǎn),

則而等于（）

A.1a+|S+i?

B.浦+/+

J4乙

C.--2a一+|-b|+I-Tc

J4乙

D.-1a+|K+|c

J44

7.如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸的塔高4B,選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測(cè)得

tan乙4c8=?CD=50m，COSNBCD=*OSMDC=3則塔高力8為（）

A.15V"57n

B.20，5m

C.15\T5mB

D.20/5m

8.己知三棱錐S—718。的各條棱均相等，P,Q分別為棱S48。的中點(diǎn)，則直線PQ和直線AC廳成角的大小

為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知事件A與事件B,A是事件4的對(duì)立事件，B是事件B的對(duì)立事件，若P(H)=(尸(8)二%則下列說法

正詢的是()

A.PW=lB.若事件A與事件8是互斥事件，則PQ4UB)=,

C.若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(ZB)=5D.若P(ZA)=J,則事件力與事件B相互獨(dú)立

JL/T

10.函數(shù)/⑺=Asin^x+@)5>0,3>o,\(p\<方的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.f(x)的最小正周期為江

B.f(%)在［-卜-中上單調(diào)遞減

C.直線％=-巖為f(x)的一條對(duì)稱軸

D.若/(%+。)為偶函數(shù)，則6工，kez

11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力就0-41%。1。1中，點(diǎn)o為線段B。的中點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足麗=

a阮+〃西(04人wLO工〃工1),則下列說法正確的是()

A.若DiP〃平面則於+必最小值為:

B.若P。_L平面&BO,則；1=；,/;=14

C.若;1=〃=：,則P到平面&BD的距離為攀

D.若；1=1,0W"l時(shí),直線DP與平面與3。所成角為仇則siriOWA

俘，陰

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知直線，1：%+(a-l)y+1=0,直線，2：ax+2y4-2=0,若A〃，2，則。=

13.在平面上有如下命題：“若。為直線4B外一點(diǎn)，則點(diǎn)P在直線上的

充要條件是：存在實(shí)數(shù);I、〃，滿足赤=4成十〃而，口4十〃二1.”將

該命題類比到空間中，并解決以卜問題：正四面體。A8C的棱長(zhǎng)為1,P為

底面"BC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足而=2而+力至+2元，其中人為實(shí)數(shù)，則而

OA=.

14.已知正四棱臺(tái)的高為，I,上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,其頂點(diǎn)都在同

一球面上，則該球的表面積為_____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某城市交通部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了1。0人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問

卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照［50,60),［60,70),…，［90,100］分成5

組，制成如圖所示頻率分直方圖.

(1)求圖中工的值；

(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)已知滿意度評(píng)分值在［50,60)內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為3：2,若在滿意度評(píng)分值為［50,60)的人中隨機(jī)

抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.

OKW

UII6

法府度得分心(分)

16.(本小題15分)

已知直線!經(jīng)過點(diǎn)P(-1,2).

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：急=瑞備=一"我

則復(fù)數(shù)的虛部為!.

故選：D.

利用復(fù)數(shù)的除法結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解即可.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由k=tana,設(shè)y=tanx,

當(dāng)xe[0,勺時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞增，旦ye[0,+oo）；

當(dāng)彳€6,兀）時(shí)，函數(shù)y單調(diào)遞增，且7￡（一8,0）,

直線。對(duì)應(yīng)的傾斜角為鈍角，則k]<0,

直線％與“都為銳角，且。的傾斜用大于％的傾斜角，

則>k3>0,故心>k3>kx.

故選:B.

應(yīng)用斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷.

本題考查直線的斜率的大小判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第6個(gè)數(shù)字開始向右每次連續(xù)讀取2個(gè)數(shù)字，刪除超出范圍及重復(fù)的編

號(hào)，

符合條件的編號(hào)有03,46,40,11,10,50,

所以得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是50.

故選：B.

利用隨機(jī)數(shù)法的定義，按照題意依次讀出前6個(gè)數(shù)即可.

本題主要考查了隨機(jī)數(shù)法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解:若五〃下,則九（九一3）=-2,即n2—3九+2=0,

解得〃=1或九=2,故"71=2”是“五//B”的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)，然后根據(jù)充分、必要性判斷即可.

本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)題意，由二元二次方程表示圓的條件可得(一1)2+#—4x(-2m)>0,解得m的取值范圍，即可得

答案.

本題考查二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：根據(jù)題意，若/+y2一%+了-27n=0是一個(gè)圓的方程，

必有(-1產(chǎn)+12-4X(-2m)>0,即1+4m>0,

解得：〃l>一即771的取值范圍為(一上,十8),

故選：0.

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)榭臻g四邊形04BC中，OA=a,OB=b,0?=自點(diǎn)M在。力上，且。點(diǎn)N為

BC中點(diǎn),

所以而=雨+0?+而

1_(_1_(_(

=-^OA+OC+^(OB-OC)

=4+4+》.

故選：D.

利用空間向量基本定理結(jié)合題意求解即可

本通考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解?析】解：在△BC。中，cosz_8C￡)=空,cosiBDC=[,

所以sinz^BCD=V1—cos2Z.BCD=sinZ-BDC=V1—cos2z.BDC=g

可得sin乙CBD=s\n(z.BCD+乙BDC)=sinz.BCDcosz.BDC+

cosz.BCDsinz.BDC=xg+?xg

ooooo

"50BC

由正弦定理一rn^=—4^，可得耳后=/，

sinzCBDs\nz.BDC-^-5

解得BC=20/5，

因?yàn)樵凇鰽BC中，tan乙4c8=費(fèi)=',可得5^%=去

解得AB=15/5.

故選:C.

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sin/BCO,sin/BDC的值，利用兩角和的正弦公式可求siMCBD的值，

利用正弦定理可解得8c的值，進(jìn)而在△48C中，即可解得力8的直.

本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了兩角和的正弦公式，正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：取力8中點(diǎn)M,連接MQ,則4C7/MQ,故NPQM為異面直線0Q和

4C所成角或其補(bǔ)角,

連接SQ,AQ,貝IJBC14Q,BC1SQ,

又4QCSQ=Q,

.?.8C1平面SAQ,ABC1PQ,

不妨設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2,則PB=C，BQ=1,PQ=/2,

又PM=gsB=1,MQ=\AC=1,

PM2+MQ2=PQ2,PMXMQ,

又PM=MQ,

々PQM=45°,

故選:B.

取48中點(diǎn)M,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2,求出APQM的邊長(zhǎng)，得出PW1MQ,進(jìn)而可得zPQM的值.

本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)對(duì)立事件定義可得P(B)=1-P(B)=I，故4正確；

因?yàn)槭录?與事件B是互斥事件，所以PQ4U8)=P(4)+P(B)=!|,故8錯(cuò)誤；

若事件力與事件B相互獨(dú)立，則事件7與事件8相互獨(dú)立，所以?8)=。而?P(8)=?,故C正確；

因?yàn)镻(7)=1-PG4)=2,所以戶向P(5)=m=P(茄)，所以事件「與事件5相互獨(dú)立，

OOil

所以事件A與事件8相互獨(dú)立，故。正確.

故選:ACD.

根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算知識(shí)可逐一判斷.

本題考查對(duì)立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由題意可得，4=3,7=%—")=川A正確；

所以3=2,/(x)=3sin(2x+(/>)?

又2x卷+9=9則9=%f(x)=3sin(2x+勺,

當(dāng)一七-制，一半W2x+左一？此時(shí)函數(shù)不單調(diào)，B錯(cuò)誤；

24336

因?yàn)?x(-譽(yù))+白一〈此時(shí)函數(shù)取得最大值，C正確；

若/(%+。)=3$譏(2%+28+勺為偶函數(shù)，則28+^=弓+而，kEZ,

JJN

所以"卷+?，kez,o正確.

故選：ACD.

由最值求力，由周期求W，結(jié)合五點(diǎn)作圖求仍進(jìn)而可求/(%),然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可求

解.

本題主要考查了由部分函數(shù)性質(zhì)求y=Asin?x+?)的解析式，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔

題.

11.【答案】ACD

【解析】解：如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。力、DC、所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則有0(0,0,0),4(200),8(2,2,0),C(0,2,0),5(0,0,2),當(dāng)(2,2,2),4(2,0,2),G(0,2,2),0(1,1,0),

則就=(-2,0,0)，西二(0,0,2)，麗+〃西二(一2九0,2〃)，

對(duì)于選項(xiàng)A：A^§=(0,2,-2)，西=(2,0,2)，D^B=(2,2,-2).

設(shè)平面為8。的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),

則［手眄貝膽?迪=。，則｛”了=：，

(沅1DAtI沅?。&=012%+2z=0

令x=1,則y=z=—1,故沅=(1,—1,—1).

因?yàn)橛?近石+前=(2-2/1,2,2〃-2)，￡\P〃平面48D,

所以沅用=2-24-2-2〃+2=0，得；1+〃=1,又因?yàn)椤?人^<1,

所以"+〃22歿￡=5

當(dāng)且僅當(dāng)2=〃=：時(shí)，等號(hào)成立，所以乃+〃2的最小值為看故選項(xiàng)A正確：

對(duì)干選項(xiàng)8：BO=(-1,-1,0)，則而=可一前=(24-1,-1,一2〃)，

若POJ■平面&BD,則有^二融1+?2，

即《1二十等，

解得4=1，〃=；，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若2=p=i.則前=(—1,0,1).

則P到平面4BD的距離為卑襄=與/=故選項(xiàng)C正確；

|m|V33

對(duì)干選項(xiàng)￡>：麗=(-2,-2,0)，

當(dāng);I=1,0<n<1時(shí)，DP=BP-BD=(0,2,2〃)，

,,K7；—?\DP-rn\|2//+2|

則印<"歷>1=而向=干薪

_0|〃+1|_丑(〃+1)2_0八，2〃

當(dāng)4=0時(shí)，\cos(DP,m)\

當(dāng)0V441時(shí)，|cos＜而，沅＞I=?J1+品

當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)，等號(hào)成立，

故Icosv而，五＞|€］苧，爭(zhēng),即爭(zhēng),故選項(xiàng)D正確.

故選:ACD.

根據(jù)空間向量法計(jì)算線面平行結(jié)合基本不等式計(jì)算判斷力，應(yīng)用線面垂直的向量表示計(jì)算判斷8,根據(jù)點(diǎn)到

平面距離公式計(jì)算求解判斷C,附用線面角公式計(jì)算判斷D.

本題考查向量法的應(yīng)用，屬于難題.

12.【答案】-1

【解析】解：直線。：x+(a-l)y+l=0,直線5ox+2y+2=0,若，"/①

則1x2=a(a-1)且2(a-1)H1x2,解得a=-1.

故答案為：—1.

由兩條直線平行的充要條件列方程計(jì)算即可.

本題考查兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】3

JL4

【解析】解：由題意可得：2+1+1,

即；I=i,

6

則0戶.0A=(jOA+10B+OC)-OA

]——?21.?]一一

=0A+不。/4,。8+/AOC

763

1,1111

=_X12+_X1X1X_+_X1X1X.

7

=12,

故答案為：

先閱讀題意，求出而勺值，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題.

14.【答案】407r

【解析】解:如圖，

設(shè)正四楂臺(tái)上、下底面所在截面圓的半徑為r,R，

因?yàn)樯?、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,所以r=，2R=2，5,

設(shè)球心到上底面距離為d,球體半徑為m,則球心到下底面距離為-山，

所以席裝*="可得d=2履則m2=10,

所以球體的表面積為47rm2=40TT.

故答案為：407r.

根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)求出球的半徑，進(jìn)而可求出球的表面積.

本題主要考查幾何體的外接球，屬于中檔題.

15.【答案】解：(1)由(0.005+0.01+0.035+0.030+%)x10=1,解得x=0.02.

(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為55x0.05+65x0.24-75x0.35+85x0.34-95x0.1=77.

中位數(shù)設(shè)為m,則0.05+0.2+(m-70)x0.035=0.5,解得m=絆.

(3)滿意度評(píng)分值在［50,60)內(nèi)有100x0005x10=5人,其中男生3人,女生2人.記為A2,a,當(dāng),

記“滿意度評(píng)分值為［50,60)的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，恰有1名女生”為事件4

從5人中抽取2人有：i4j/129^1^39A1B2?力243，,A2B2,^3^19^3^29^1^2

所以總基本事件個(gè)數(shù)為10個(gè)，A包含的基本事件個(gè)數(shù)為3個(gè)，

所以P5)=擊

【解析】(1)由各組的頻率和為1,列方程可求出工的值;

(2)由平均數(shù)的公式直接求解，由組可得中位數(shù)在第3組，若設(shè)中位數(shù)設(shè)為m,則0.05+0.2+(血-70)x

0.035=0.5,從而可求得m的值:

(3)滿意度評(píng)分值在［50,60)內(nèi)有100x0.005x10=5人，其中男生3人，女生2人，從5人中選2人，用列舉

法列出所有情況，利用概率公式求解即可.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】x-y+3=0；

y=2x+4

【解析】(1)因?yàn)橹本€Z不過原點(diǎn),又過點(diǎn)P(—1,2),

可得I的斜率存在且不為0,

設(shè)斜率為匕則，的點(diǎn)斜式方程為y—2=k(x+1),

則它在兩坐標(biāo)軸上截距分別為-1-旅昧+2,

K

由題意可得一1一號(hào)+攵+2=0,解得k二-2(此時(shí)直線過原點(diǎn)，舍去)或k=l,

所以［的點(diǎn)斜式方程為y-2=x+l,

即x-y+3=0；

(2)由(1)知，設(shè)4(一：一1,0),8(0此+2),(/c>0),

K

所以△408的面積S=；|。川?|。用=：x|一-l|?|k+2|=。+介22陰+2=4,

/ZK乙KN乙K

當(dāng)且僅當(dāng)好軸心二2時(shí)，等號(hào)成立，

ZK

「的點(diǎn)斜式方程為y-2=2(x+1),

所以1的斜截式方程為y=2x+4.

(1)設(shè)2的點(diǎn)斜式方程為y—2=%a+l),k手0,求出兩坐標(biāo)軸上的截距，求出M即可得解；

(2)求出兩坐標(biāo)軸上的截距，再根據(jù)△力。8的面積結(jié)合基本不等式求出△力。8的面積最小時(shí)k的值，即可得

解.

本題考查直線的點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用及三角形面積公式的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)因?yàn)?(1,0),口(一1,2)的中點(diǎn)為以0,1).且直線43的斜率匕5T，則線段4口

的垂直平分線所在直線的方程為y=x+l,

聯(lián)立方程或_。++\=°，解得C：)

r=\CA\=2,

所以圓C的方程為Q+I)2+y2=%

(2)圓C'的方程/+V-6y+5=0可化為/+(y-3)2=4,???圓C與圓。'的圓心距d=

J（i-0）2+（o-3）2=yiu,

因?yàn)閮蓤A半徑分別為2,2,

且0=2-2<dV2+2=4,〃

所以兩圓相交,

將兩圓方程相減，得：x+3y-4=0,.??兩圓公共弦所在直線方程為％+3y-4=0,

因?yàn)閳A心。（一1,0）到公共弦x+3y-4=0的距離d=旱"=言

卜+3’

所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為：2"2一#=2J22一島尸=g

即兩圓的公共弦長(zhǎng)為，豆

【蟀析】（1）先求線段88的垂直平分線所在直線的方程，進(jìn)而求得圓心和半徑，即可求得方程；

（2）求出圓C與圓。'的圓心距及兩圓半徑，從而得到兩圓相交，兩圓相減，求出兩圓公共弦所在直線方程為

%+3y-4=0,再求出圓心。（一1,0）到公共弦％—y=0的距離d,兩圓的公共弦長(zhǎng)為：2,N一，2,由此

能求出結(jié)果.

本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬中檔題.

18.【答案】

273+6；

(亨,2回.

【解析】(1)因?yàn)?匕—c=2acosC,

由正弦定理得2sinB-sinC=2sinAcosC,

在公力8c中，sinB=sin(7l+C),

即2sin(A4-C)-sinC=2sinAcosC>

所以2sin4cosC+2cosAsinC-sinC=2sinAcosC,

整理可得2cos4sMe-sinC=0,

因?yàn)镃W(0,7T),所以sECHO,

所以2cosA-1=0,得cos4=I，

由4€(O,TT),得4=?；

（2）因?yàn)?。為BC中點(diǎn)，

可得2而=彳5+近，AD=gb=2,

兩邊平方可得4而2=才鏟+尼2+2通.而=c2+/+2cbcosA,

即28=c2+4+2cx2xg,

即C2-2C-24=0,

解得c=-6(舍)或c=4,

由余弦定理得a?=/j24-c2-2bccosA=4+16-2x2x4x1=12,

所以Q=2g

所以△718C的周長(zhǎng)為a+b+c=2c+2+4=2/3+6；

(3)在△ABC中，由正弦定理得肅=焉，

gr-.,i_bsinC_2sin(B+J_sinB+2cosB_173

=

“,人'=sinB=_sinB-sinB二+tanB"

所以SMBC=IbcsinA=|-2(1+嘉)?苧=苧(1+焉)

(0<B

根據(jù)題意得1M…解得*<B<^

|OVC=*B462

所以taziBE(f,+8),所以：*E(0,3),

OVUllD

所以1+焉e(i，4)，

所以SMDC=?(1+e(芽,2，5)，

所以ZMBC的取值范圍是

(1)利用正弦定理將邊化角，再化笥即可得到角4

⑵由題意可得標(biāo)=4(而+無)，將兩邊平方結(jié)合向量的數(shù)量積可得c=4,再利用余弦定理得求得a,進(jìn)

而得到周長(zhǎng)；

(3)由正弦定理用后表示出。，再代入三角形的面積公式，八5c=g兒sim4,即可求得面枳的取值范

圍.

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，銳角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】證明：由于平面PHO_L平面力BCD,平面PAOn平面4BCD=4。，

y.-AB1AD,力Bu平面4BCD,

.??AB1平面PAD,

vPDu平面

AB1PD.