§2.1函數(shù)的概念及其表示

【考試要求】1.了解函數(shù)的含義.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象

法、列表法、解析法）表示函數(shù)3了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單的應(yīng)用.

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)工，按照某種確定的對

應(yīng)關(guān)系/，在集合8中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱/：為從集合A到集合8

的一個函數(shù)，記作y=/U）,x^A.

2.函數(shù)的三要素

（I）函數(shù)的三要素?：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

⑵如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解近法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函

數(shù)稱為分段函數(shù).

【常用結(jié)論】

1.直線工=。與函數(shù)）=火工）的圖象至多有1個交點.

2.在函數(shù)的定義中，亦空數(shù)集A,B,A即為函數(shù)的定義域，值域為6的了?集.

3.分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的

定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

【思考辨析】

判斷下.列結(jié)論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（I）若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).（X）

⑵函數(shù)），=兒丫）的圖象可以是一條封閉曲線.（X）

（3）y=x°與是同一個函數(shù).（X）

⑷函數(shù)/）=,’1'的定義域為R.（V）

A",X<0

【教材改編題】

1.（多選）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是（）

答案CD

解析A中，當x>0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；B中，當

x=沏時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；CD中，每一個X的值對應(yīng)唯一的)，值，因此

是函數(shù)圖象.

2.下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是()

.A2-1

A.尸L1與尸石

B.產(chǎn)尸與尸一:

C.y-2dp與y-2x

、2-2

D.y=;與v=~~~r

'x—1t—1

答案D

/一1

解析y=x-\的定義域為R,y=E?的定義域為口廿:-1},定義域不同，不是同一個函

數(shù)，故選項A不正確；

y—xI—:與y——《的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)，故選項B不正確；

人人

y=24？=2kl與)，=2i?的對應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個函數(shù)，故選項C不正確；

22

y=U7與。的定義域都是(一8,1)U(1,+8),對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是同一個函數(shù),

故選項D正確.

Inx,A>0,

3.已知函數(shù)危尸…wo,則函數(shù)等于()

A.3B.—3C.eqD.一；

答案C

解析由題意可知，/(9=尾=—In3,所以—In3)=”3=/

題型一函數(shù)的定義域

例1(1)函數(shù)1=^1工］?+4的定義域為()

A.(—4,—1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+l>0,

解析由題意得解得一1々<1,故定義域為

F-3x+4>0,

(2)已知函數(shù)貢處的定義域為(-4,-2),則函數(shù)式￥)=/5—1)+“書的定義域為

答案f-2,-1)

解析:/U)的定義域為(一4,—2),

要使g(x)=fix—\)+山+2有意義，

—4<x~1<—2,

則，八解得一24<—1,

[x+220,

???函數(shù)g(x)的定義域為[-2,-1).

思維升華(1)無論抽象函裝的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值

集合：(2)若已知函數(shù)大丫)的定義域為[〃，h],則梵合函數(shù)/g(x))的定義域由不等式〃與以丫)與〃

求出；(3)若復(fù)合函數(shù)/(g?)的定義域為必，h\,則函數(shù)/U)的定義域為g。)在m，句上的值域.

跟蹤訓練1⑴函數(shù)yu)=]n(：_1)+產(chǎn)G的定義域為()

A.(1,3JB.(1,2)52,引

C.(1,3)U(3,+8)D.(一8,3)

答案B

fr-l>0,

解析由題意知

.3—x20,

所以14V2或2<vW3,

所以函數(shù)的定義域為(1,2)U(2,3].

(2)(2023-南陽檢測)已知函數(shù)外)=1g鬲，則函數(shù)g(x)=/5-1)+弋2.丫-1的定義域是()

A.{巾>2或戈<0}B.eq

C.{AU>2}D.eq

答案B

1-r

解析要使K1)=lg宙窄意義，

則靜°,

即(一x)(l+x)>0,解得一l<xvl,

所以函數(shù)九0的定義域為(一1,1).

要使fi(x)=flx—1)+yj2x—l有意義，

則|—zr\-<1X2—0,1<1,

解得

所以函數(shù)g(x)的定義域為卜注62).

1

X1

解析<x)=7=且xWl).

i——x~1

x

(3)已知函數(shù)人r)滿足/U)+"(一5)=3x,則負2)等于()

A.一3B.3C.-ID.I

答案A

解析fix)+4(―g=3x,①

則/(一：)+賀”)=_*②

22

聯(lián)立①②解得,氏一；一羽則人

0=人2)=—5乙—2=-3.

題型三分段函數(shù)

"-1),x>0,

例3⑴已知函數(shù)yu)=(一,…則42024)的值為()

一山(八十C)十2,47。，

A.-1B.0C.1D.2

答案C

伏

解析因為危)=(X一—1工),Q—0,

〔一ln(x+e)+2,xWO,

所以人2024)=/2023)=/(2()22)=…=/(I),

又川)=川一1)=J0)=—ln(0+e)+2=一1+2=1,所以《2024)=1.

(2)已知函數(shù)/U)=LT\:‘若兒。=4,則實數(shù)。的值是________；若/)22,

2*',x3一1,

則實數(shù)。的取值范圍是.

答案一2或5[—3,-1)U[4,+8)

解析若14)=4,

a<-1,[a^—\,

則《成，

口―/—3々+2=4雙2〃-3=4,

解得a=—2或。=5.

若人”)22,

\a<—1,\a^—\,

則|一屆一3〃+222或匕“、》？，

解得一3Wa<—1或a24,

???。的取值范圍是[-3,-1)U[4,+8).

思維升華分段的藪求值問題的解題思路

（1）求函數(shù)值：當出現(xiàn)AA。）的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

（2）求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量均值,

切記要代入檢臉.

x+2,xWO,

跟蹤訓練3（］）已知函數(shù)yu）=jQO,若歡g,則〃等于（）

A.()或1B.一I或1

C.0或一2D.一2或一1

答案D

解析令人。）=/,則人/）=2,可得/=0或/=1,

當f=O時，即J（a）=O,顯然

因此a+2=0=a=—2,

當f=l時，即顯然〃WO,

因此“+2=1=4=—I,

綜上所述，a=-2或一I.

IOg2X,X>\,

（2）（2023?重慶質(zhì)檢）已知函數(shù)於）=彳，，則以）勺5+1）的解集為________

Xr19xW19

答案（一］+8）

解析當工W0時，x+lWl,

Kr）勺（x+I）等價于*一1V（x+1）2-1,

解得一g<xWO；

當0aW1時，A+1>1,

此時人x）=W-lWO,/（x+l）=log2（x+l）>0,

???當0aWI時,恒有yw勺（x+1）；

當A>1時,x+l>2,

fix）<fix+1）等價于Iog2.r<log2（x+1），此時也恒成立.

綜上，不等式/）極+1）的解集為（一；,+8）

課時精練

q基礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)yu）=ig（x-2）+±的定義域是（）

A.(2,+8)B.(2,3)

C.(3,+8)D.(2,3)U(3,+叼

答案D

解析???/U）=lg（x—2）+士，

人J

x—2>0,

j解得x>2,且x#3,

x—3K0,

，函數(shù)人外的定義域為（232（3,4-oo）.

2.（2023?三明模擬）已知集合4={川-2。<1},B={x|O0<4},則下列對應(yīng)關(guān)系中是從集合

A到集合8的函數(shù)是（）

A.f：x-*y=x+lB./：x->^=er

C.f：尸A2D.f：.Ly=k|

答案B

解析對于A,當x=-1時，由/：x-*y=x+1得y=0,但064,故A錯誤；

對于B,因為從A={x[—2<xW1}中任取一個元素，通過/：X-y=8在8=30yW4}中都有

唯一的元素與之對應(yīng)，故B正確；

對于C,當x=0時，由/：得丁=0,但0￡8,故C錯誤；

對于D,當x=0時，由/：八一了=國得y=0,但（MB,故D錯誤.

3.已知人/）=館右則人1。）的值為（）

A.1B.eqC.eqD.eq

答案C

￡

解析令丁=10,則工=1。3,

1）

/.y（I0）=lg10'=y

4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、

紋理分明，展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術(shù).科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其

內(nèi)注水，恰好用時30秒注滿，設(shè)注水過程中，壺中水面高度為小注水時間為/,則下面選

項中最符合h關(guān)于/的函數(shù)圖象的是（）

答案A

解析水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細、中間粗,

所以在注水恒定的情況下，開始水的高度增加的快，中間增加的慢，最后又變快,

由圖可知選項A符合.

5.函數(shù)y=1+x71一上的值域為()

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案B

I----1^戶1—戶］I

解析設(shè)71_2v=f,則，＞0,x=——,所以y=1+F--，=5(—戶―2f+3)=—1尸+

3

-

2,因為彥0,所以戶/所以函數(shù))，=I+L4T五的值域為(一2

'一12+2^+3,XW2,

6.已知函數(shù)m>o且。六1),若函數(shù)/U)的值域是(一8,4],則

6十logd，x>2

實數(shù)。的取值范圍是()

A.eqB.eq

C.(1,y[2]D.(1,巾)

答案B

解析當x<2時，<X)=—『+2J+3

=—(X—1)2+4,

當x=l時，氏￥)=—/+2工+3取得最大值4,

所以當xW2時，函數(shù)/U)的值域是(-8,4],

所以當工>2時，函數(shù)7U)=6+log仙的值域為(-8,4]的子集，

當。>1時，Kr)=6+lo劭x在(2,+8)上單調(diào)遞增，

此時7U)>：/(2)=6+1O妝,2>6,不符合題意，

當0〈.<1時，，*x)=6+logj在(2,+8)上單調(diào)遞減，

此時人幻勺12)=6+1。&2W4,即log〃2W-2,

所以可得修1,

所以實數(shù)。的取值范圍是[乎，1).

7.(多選)下列四個函數(shù)，定義域和值域相同的是()

2x~1

c.y=ln|MD.

答案ABD

解析對A,函數(shù)的定義域和值域都是R；

對B,根據(jù)分段函數(shù)和累函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的定義域和值域都是R；

對C,函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,4-00),值域為R；

2v—13

對D,因為函數(shù))，=，=3=2+士，所以函數(shù)的定義域為(-8,2)U(2,+oo),值域為

(一8,2)U(2,+8).

所以ABD是定義域和值域相同的函數(shù).

8.(多選)函數(shù)概念最早是在17世紀由德國數(shù)學家萊布尼茨提出的，后乂經(jīng)歷了貝努利、歐

拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學家柯西給出了這樣的定義：在某此變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當

一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他

的變數(shù)叫做函數(shù).德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴謹.后人在此基礎(chǔ)上

構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：”一般地，設(shè)A,B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法

則/，對于集合A中的每一個元素x,在集合4中都有唯一的元素)，和它對應(yīng)，那么這樣的對

應(yīng)叫做從人到8的一個函數(shù)”，則下列對應(yīng)法則/滿足函數(shù)定義的有()

A.火『)=國B.

C.ficosx)=xD.ficx)=x

答案AD

解析令/=/(/，())，M=I±V)I=3，故A符合函數(shù)定義；

令020),次/)=±\〃，設(shè)f=4,4。=±2,一個自變量對應(yīng)兩個函數(shù)值，故B不符合函數(shù)

定義；

設(shè)/MCOSX,當時，X可以取等無數(shù)多個值，故C不符合函數(shù)定義；

令r=el(/>0),/(z)=ln/,故D符合函數(shù)定義.

L辦x<Q0,O,則I/i亍\TT1\——

答案I

解析由已知得/")=/管)=/管)=/(當)=/(T)=COS(-%；.

10.己知,*G)=x—l,則氏t)=.

答案X2-1(x^0)

解析令t=y[x,則/20,1=匕

所以/，)=/_1(￡20),即貝x)=1一1(x20).

11.已知函數(shù)人丫)的定義域為[-2,2],則函數(shù)g(x)=/(2r)+dl—2'的定義域為.

答案[-1,01

[-2—,

解析由條件可知，函數(shù)的定義域需滿足八

1一2'20,

解得一IWXWO,

所以函數(shù)g（x）的定義域是

*+3,00,

12.已知人的=L若J（a）=5,則實數(shù)。的值是___________；若火/3））W5,則實

X749xWO,

數(shù)。的取值范圍是.

答案1或一3［一小，—1J

解析①當〃>0時，2“+3=5,解得4=1；

當時./一4=5.解得。=-3或。=3（舍）.

綜上，a=\或一3.

②設(shè)尸兒。，由川）W5得一3W/W1.

由一3《/（q）W1,解得一小W“W-1.

應(yīng)綜合提升練

13.（2022?廣州模擬）已知定義在R上的函數(shù)41）滿足,人1一.X）+紈幻=/+1,則_/（1）等于（）

A.-1B.1C.D.eq

答案B

解析???定義在R上的函數(shù)人工）滿足，貝1一幻+4幻=/+1,

???當x=0時，y（i）+2/（0）=i,①

當x=l時，大0）+（1）=2,②

②X2一①，得3川）=3,解得川）=1.

（\+3,xWO,

14.（2023.南昌模擬）已知函數(shù)於）=j4其若加-3）=加+2）,則加）等于（）

A.2B.cqC.1D.0

答案B

解析作出函數(shù)./U）的圖象，如圖所示.

因為五〃-3）=流。+2）,且3<。+2,

a—3W0,

所以即一2<aW3,

。+2>0,

此時7（〃-3）=〃-3+3=a,yCa+2）=q〃+2,

所以a=、a+2,即，=。+2,

解得a=2或a=-1（不滿足”=、a+2,舍去）,

則直0=啦.

應(yīng)拓展沖刺練

15.VxGR,用M(x)表示/),g(x)中最大者,A/(x)={M-M-^)>若M(〃)vl,則實數(shù)〃

的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-2,2]D.(一也，也)

答案B

解析