上海南匯中學2024學年第二學期期末考試

高一數(shù)學

滿分：100分完成時間：90分鐘

一，填空題：（本大題共12小題,每小題3分，滿分36分）

1.復(fù)數(shù)2二（其中i是虛數(shù)單位）的實部是.

2.已知sina=-；,且。是第四象限角，那么tana的值是.

3.已知向量4=（2,1）出=（3,刈,若口//（2—5）,則1的值為.

4.己知函數(shù)/（x）=2sinxcosx,則其最小正周期是.

5.已知|@=6,工為單位向量，它們的夾角為與，則Z在工上的數(shù)量投影為.

6.已知直線&人和平面1,若a/必達〃a,則。與。的位置關(guān)系是.

7.如圖,v"c斜二測畫法的直觀圖是“nrcMVA'c的面積為6&,那么VA8C的面積為.

8.如果復(fù)數(shù)Z滿足|z-2|+|z+"=3,那么|z-3+i|的最大值是.

uimumni?

9.在矩形八8C。中,A8=l,3C=2，點E為4c的中點，點尸在邊。。上，若4B4/則AE8/的值是.

10.如圖,正方體ABC。-ABCIR的棱長為1,點E是線段?？诘闹悬c，點M是正方形BMa所在平面為一動點，若R"〃

平面\BE，則M點軌跡在正方形B聲CG內(nèi)的長度為.

11.從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是.

12.己知平面向量4g吉也,LR（左為正整數(shù)）是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量,4-同=1,且對任意的，=1，2及

，=1,2「“,自一用右{1,2,3},則左的最大值為.

二,選擇題：（本大題共4小題,每小題3分，滿分12分）

13.已知復(fù)數(shù)z,則“z+W=O”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.在楂長為1的正方體ABC。-中，。為々G的中點，那么直線CP與片。所成角的余弦值為（）

A.立B.叵

210

C.BD.巫

55

15.已知平面滿足=若異面直線〃滿足。ua功u/7則/與的位置關(guān)系是（）

A./至多與中的一條相交B./至少與。功中的一條相交

C./至少與。力中的一條異面D./至少與中的一條平行

16.已知函數(shù)/"）=2sin（5+^j（3>0）,有下列結(jié)論：①若。=2,則/（幻在（0?）上單調(diào)遞增，②若

則正整數(shù)①的最小值為2,③若3=1,函數(shù)>=/（》）的圖像向右平移?個單位長度得到），=g（x）的

1773

圖像.則g（x）為奇函數(shù)，④若/"）在（0,兀）上有且僅有3個零點.則—<^<-^.其中正確的個數(shù)為（）

OO

A.1B.2C.3D.4

三，解答題：（第17題8分，第18題8分，第19題10分，第20題12分，第21題14分洪52分）

17.已知向量〃=（一1,6）,〃

（1）若。與5的夾角為土求實數(shù)〃?值.

（2）若實數(shù)m=2,向量2+義方與a所成的角是銳角,求實數(shù)2的取值范圍.

18.己知方程f+“X+q=0有兩個根.%8,p,q￡R.

（1）若1+2i是此方程的一個虛根，分別求實數(shù)p，q的值.

（2）若〃=1且歸-引=3,求實數(shù)q的值.

19.如圖,在空間幾何體P-A48中，底面"CQ是正方形,。,￡尸分別是8DPA,8C的中點.

（1）證明：律〃平面POC.

（2）若平面a經(jīng)過點F\D,E,且馬梭尸8交于點兒請作圖畫出H在棱心上的位置，并求出P黑H的值.

20.設(shè)向量a=(Gcosx,cosx),〃=(sinx,cosx),函數(shù)/(力=①6.

(1)求y=/("的單調(diào)減區(qū)間.

⑵在V4BC中，若角A滿足/圖=|上邊BC=26,求VAAC周長的取值范圍.

(3)將y=/(x)圖像向右平移專個單位，向下平移;個單位，再將所得圖像的上各點的橫坐標縮短到原來的倍

得到尸g(x)的圖像若y=g(x)在區(qū)間［-1』］上至少有30個最大值，求實數(shù)〃的取值范圍.

21.已知定義域為R的函數(shù)/(可滿足:對于任意的xtR,都有/(x+2冗)=/(工)+/(2兀)，則稱函數(shù)具有性質(zhì)/).

⑴判斷函數(shù)ga)=xM(x)=8Sx是否具有性質(zhì)p,(直接寫出結(jié)論)

⑵已知函數(shù)/(%)=$而卜"+#),瞑＜@＜乃,|同〈9具有性質(zhì)兒且在區(qū)間［0,7］上有且僅有2個零點.求出/的取值范圍.

⑶設(shè)函數(shù)/")具有性質(zhì)P,且在區(qū)間［。，2句上的值域為［〃0),/(2幻］(/(2］函數(shù)g(x)=sin(/(x)),滿足

雇%+2乃)=g(x)，且在區(qū)間(0,2乃)上有且只有一個零點.求證：/(24)=2乃.

1.-##0.5

2

【分析】先化簡復(fù)數(shù)2再確定復(fù)數(shù)z的實部.

1+1

【詳解】由題得2=下i=島i（l尚-i）=萬l+i=15+1/

所以復(fù)數(shù)z的實部為g.

故答案為：

2.一叵胖-工上

33

（分析】根據(jù)題意，求得cosa=2，結(jié)合tana=三吧，即可求解.

2cosa

【詳解】由sina=-4,且。是第四象限角，可得cosa=V1-sin2a=.

22

所以tana=包區(qū)=一直.

cosa3

故答案為：一中.

3

3-1

【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算先計算2〃+隨最后根據(jù)共線向顯的坐標運算即可求解.

【詳解】由題意有市+1=2（2>1）+（3,刈=（7,2+力,由二〃（2萬+萬）有2（2+4）=7乂1=>%=，

3

故答案為：

4.兀

【分析】利用二倍角公式化簡已知條件，再求得函數(shù)的最小正周期.

【詳解】由于/（x）=2sinxcosx=sin2x.

所以/（同的最小正周期『=年=九

故答案為：兀

5.-3

【分析】由題意可得Z在工上的數(shù)量投影為同cos（小e），計算即可.

【詳解】因為2在工上的數(shù)量投影為|d|cos〈d㈤，且同=6.

所以同cos（值冉=6cos-^=-3.

故答案為：-3

6.a//a或aua

【分析】由線面的位置關(guān)系判斷求解即可.

【詳解】若。〃b,6〃a,如圖:

故答案為：alia或aua

7.24

【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】由直觀圖和原圖的面積關(guān)系式青”-坐，可得等邛

3AAsc4?&,ABWC

?W-?4

故答案為：24

8.V17

【分析】首先將|z-2|+|z+l|=3看作是點（乂），）到A（2,0）,8（-l,0）兩點距離之和為3,然后判斷點（X,），）的軌跡然后將

|z-3+i|看作是點（x,y）到點C（3,-l）的距離，最后根據(jù)圖象即可計算|z-3+i|的最大值.

【詳解】復(fù)數(shù)z滿足|z-2|+|z+l|=3.

將其可以看作是點（K），）到A（2,O）I（T,。）兩點距離之和為3.

因為|4用=2+1=3,所以點（X,），）的軌跡為線段力反

而|z-3+i|表示的是點（x,y）到點的距離.

要求其距離的最大值，則根據(jù)圖象可知點“到點的距離最大.

|BC\=^(3+l)*2+(-l-O)2=布.

故答案為：＞/17.

B04、

9.之

2

【分析】建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量的數(shù)量積,求出點F,在計算結(jié)果即可.

【詳解】建立平面直角坐標系如圖所示:

yi

由題意可知,A（O,1）,5（0,0）,C（2,0）,0（2,1）,E（1,O）.

設(shè)尸（2,y）,則荏=（0,-1）,#=（2/一1）.

由戶=g,可得0x2_l.（y_l）=Jny=g.

所以尸（2,；）,又A百=（1,一1）,麗=（21；

所以AEB產(chǎn)=lx2+（-l）x2=

v722

3

故答案為：

io.叵神工小

22

【分析】利用面面平行的判定及性質(zhì)得出結(jié)果.

【詳解】如圖，取的中點產(chǎn)，連結(jié)DC,C￡A尸.

因為AR//8C4。尸BC,所以四邊形RABC為平行四邊形.

所以人加,QC,又ABu平面AJ3E,RCQ平面A.BE.

所以平面A]E.

因為點E是線段的中點,F為BB、的中點.

所以QE='DQ,BF=LB】B,又口盧//2,DQ=B出

22

所以AEf/BF,JE=BF，所以四邊形尸為平行四邊形.

所以FD.UBE,區(qū)Eu又平面\BE,FD、a平面\BE.

所以產(chǎn)R〃平面A%.

又DCCFR=D,，又DCFRu平面FD}C.

所以平面A/￡〃平面/〃C.

當點M在線段。/上時,2Mu平面FD.C,

所以"胡〃平面ABE.

又點M軌跡在正方形4BCG內(nèi)，所以點用在線段C尸上.

故答案為：與

。，拈李東引

11.

【分析】將所有直線分為正方體的棱，面對角線，體對角線三類,然后討論不同情況的時候的直線的夾角的余弦值即可.

【詳解】

，故其余弦值范圍為［()』,可以分為以下幾類:

兩條直線都取兩條棱所在的直線的時候，有4及￡尸與A8,兩種情況.

所成角的度數(shù)分別是?；蜃谄溆嘞抑禐?或0.

兩條直線一條取面對角線與一條取棱所在的直線時，有產(chǎn)心正與產(chǎn)CFB兩種情況.

所成角的度數(shù)分別句吟其余弦值為。或日

兩條直線都取面對角線時，有尸。，￡。與FCC”兩種情況.

由△FCH為等邊三角形，得/FCH=1.

所成角的度數(shù)分別是0或%其余弦值為0或1

兩條直線一條取體對角線與一條取棱所在的直線時，有EC/E這一種情況.

設(shè)正方體的邊長為1，在Rt^FCE中FE=1,FC=HFE=6

可得cos/FEC=」=@.

x/33

故EC,在所成角的余弦值為正

3

兩條直線一條取體對角線與一條取面對角線時，有EC,"/與EC,R7兩種情況.

由FH_1面EGC,可得FH±EC,可得ECFH夾角得余弦值為0.

RMCE中FE=l,FC=x/2,FE=x/3，可得cosNFCE=松=叁

V33

故EC,“夾角的余弦值為理，故其余弦值分別是0或好

33

兩條直線都取體對角線時，有產(chǎn)DEC這一種情況.

33,

-+——1.

222

在"△八。任+中‘。石=。尸=苧V3'痔=OE+OF-EF44=1

2x——x——

22

故故反夾角的余弦為g.

所以從正方體八個頂點的兩兩連線中任取兩條直線.

則所成角的余弦值的所有可能取值構(gòu)成的集合是」■.

3乙乙DD

故答案為:

32233

12.10

【分析】本題可通過設(shè)向量坐標，根據(jù)向量模長的條件列出方程，發(fā)現(xiàn)其為圓的方程，然后利用數(shù)形結(jié)合，通過分析交點個

數(shù)來確定最值.

【詳解】設(shè)4=(0⑼，%=(0,1帥：=(占了),其中/=1，23,仙

已知對任意的i=L2及，=1,2,…，攵，忖-7k{123}.

當i=1吐忖-4=^(x-0)2+(y-0)2=7-v2+y2.

所以乒了=1或々^=2或后了=3.

當i=2時，屋-引=加―01+(),_］『=次+(?，-1)2.

所以〃+()，_］『=］或次+(、,_］)2=2或+(),一］『二3

分析上述方程，分別表示以原點(o,o)為圓心，半徑為123的圓，以及(0,1)為圓心，半徑為123的圓.

畫出圖形，如圖所示.

因為黑瓦，…瓦兩兩不同，且滿足辰-乙卜1,所以A的最大值為這6個圓的交點個數(shù)總和，通過觀察圖像可知共有10個交

點.

所以女的最大值為：10.

13.B

【分析】由題知"z+W=0",則。=0,而復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則。=0,且〃*0燃后根據(jù)邏輯命題條件的判定即可.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=〃+加，則5-加.

z+z=2。=0na=0?

而復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則a=0,且。。0.

所以“z+W=0”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

14.D

【分析】取BC的中點M，連接.0M.易證四邊形B、MCP為平行四邊形，所以||CP,所以NgM或其補角即為異面

直線CP與所成角.在△/叫M中,根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】如圖所示，取灰?的中點M,連接A/%?！?

???點尸為媯G的中點，點”為BC的中點,???8尸=CM,4PlicM.

???四邊形加WCP為平行四邊形,，4MlicP.

??.N。4M或其補角即為異面直線。與4。所成角.

中,B、M=CP瀉,B,D=6DMT

5_5

,,,,,B?+B42-DM?4~43小

由余弦定理可知：cosZD^=2bdbm=_=_

.2

???異面直線CP與優(yōu)。所成角的余弦值為姮

5

故選：D.

【分析】根據(jù)異面直線的定義直接判斷.

【詳解】異面直線。,。滿足aua,〃u〃,an/y=/.

則。與/平行或相交涉與/平行或相交.

但直線/與〃不能同時平行.

若直線/與。同時平行，則〃與b平行,與兩直線異面矛盾.

所以/至少與“"中的一條相交.

故選：B.

16.A

【分析】①計算2.展的范圍，即可判斷，②根據(jù)函數(shù)的對稱軸，即可判斷，③根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)電即可判斷，④計算

+$的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的零點，即可求解.

O

【詳解】①當@=2時J(x)=2sin(2x+￡],因為工｛0看),則2x+安信

此時不是單調(diào)遞增函數(shù)，故①不正確.

則函數(shù)/*)關(guān)于X對稱.

②若花++GT

則。工+2=2+依水￡2,得@=1+3太太￡2,且3>0.

362

則正整數(shù)的最小值為I,故②不正確.

③若2,產(chǎn)了⑴的圖象向右平吃個單位長度后,得到蚣)=2sin卜-狄=2sinx.

所以以W是奇函數(shù)，故③止確.

④X￡(0,兀)時，公1+=C+二.

6\o6)

/(刈在(0,71)上有且僅有3個零點，則3兀Vs+2工4兀，得?<gK§,故④不正確.

666

綜上，正確的是③，個數(shù)為1個.

故選：A

17.(1)1

(2)T0)U(0,E)

【分析】(1)根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標公式來求解機的值.

（2）先求出〃+45的坐標，再根據(jù)向量夾角為銳角時數(shù)量積大于。且兩向量不共線來確定2的取值范圍.

【詳解】（1）因為不=（一1,6）石=仙,1）,所以同=2酒卜J病+3.

rr,

所以。?％=-m+3=2->/〃/+3cos-j=J/+3，解得m=\.

（2）由條件,（"宓）吃>0且Z+只與）不平行.

當m=2時匕+〃=（2/1—1,6+6）.

（24-1）.（-1）+而百/1+6）>0,解得,/1>4

若。+%?，則（22-l）x>/5-（5/5%+G卜（-1）=0,則2=0.

所以義的取值范圍是（T,0）11（。，+8）.

18.（l）p=-2,f/=5

（2）“=-2或夕="|

【分析】（I）將l+2i代入方程，由復(fù)數(shù)相等列出等式求解即可.

（2）由韋達定理求解即可.

【詳解】（1）因為l+2i是方程的一個虛根.

所以（l+2i）2+〃（l+2i）+q=0.

（/?4-^-3）+（4+2/?）i=0.

/7+ty-3=0

所以

4+2/?=0

解得〃=-2"/=5.

（2）方程%2+%+4=O兩個根為x，再.

因為1%一9|=3.

所以|用一々『=9.

2

|（N-七）1=9,進而|區(qū)+X2）-4A|X2|=9.

所以|1一匐|=9.

解得：，/=-2或4=/

19.（1）證明見解析

（2）作圖見解析,2

【分析】（I）取叨中點M，連接CM，樣,結(jié)合己知可得四邊形EMCF為平行四邊形，可得進而可得線面

平行.

（2）根據(jù)平行線可得共面，即可根據(jù)相似求解.

【詳解】⑴取加中點“，連接由E是RA中點,￡M〃A￡＞且函二g肛

由A8CO是正方形，〃是BC中點，所以FC//AD且FC=gA。.

從而ME//bC且ME=EC,所以四邊形EMCF為平行四邊形，所以反〃MC.

又“Cu平面PDC,痔不在平面POC內(nèi),所以律〃平面PDC.

（2）如圖，過戶作直線/與BC平行.

則/〃4）,故/,A。共面.

延長OE與/交于點G,連接FG,FG與PB的交點即為點H.

因為底面43C。是正方形，尸是3c的中點.

所以AO//AC,且AD=2FB.

因為E是"4的中點，所以PG=AQ.

則PG=2EB,所以空=2.

GIP

AD

20.(1)|ATT+-,101+--]^GZ

63

⑵(46,6折

4

（3）。＜小荻

【分析】（1）由數(shù)最積的坐標表示及輔助角公式得到/@）=sin（2x+3+L再通過整體代入即可求解.

62

（2）由（1）求得再由余弦定理及基本不等式求得人+c范圍，即可求解.

2

（3）由伸縮平移變換得到g*）=sin—K,結(jié)合正弦函數(shù)丁軸右側(cè)及左側(cè)第15個最大值點構(gòu)造不等式求解即可.

a

【詳解】（I）/（.r）=\/5sinxcosx+cos2x=—sin2x+—cos2x+-=sin（2x+—）+—.

22262

IT7TSTT

itl2A,7C+—<2x+—<2E+—、keZ.

262

jr'TT

解得+”女cZ.

63

所以y=/(x)的單調(diào)減區(qū)間為|E+[，履+/],?wZ.

(2)由f(q)=m,sin(人+?)+；=白.

\272622

所以sin(4+勺=1,A+FC，萼].

oo\oo7

所以A+F=[.

62

所以A=*

根據(jù)余弦定理,12=6+-2ACOS二,12=/+/-反=9+c)2-3bc>(Z?+c)2-3-(―)2.

32

得〃+c44>/L又〃+。>2百,所以〃+ce(2G,4G].

從而A48C周長的取值范圍是（46,66].

（3）將y=/。）圖像向右平移盍個單位，向下平移g個單位.

可得：），=sin2x,再將其圖像的上各點的橫坐標縮短到原來的40＜。＜1）倍

2

可得：g（x）=sin,x.

2x'22

因為工€卜1』,二~6一

又），=/丫在丫軸的右側(cè)的第15個最大值點為3+14、2江=:葭

在，軸的右側(cè)的第15個最大值點為點…、2一等.

2、57

—>—兀

\259,又。<〃<].

所以

--<----71

62

4

解得：。＜aK---

59幾

21.(1)g(%)=x具有性質(zhì)P,〃(%)=cosx不具有性質(zhì)p.