§9.10圓錐曲線中求值與證明問題

題型一求值問題

例1(12分)(2021.新高考全國I)在平面直角坐標(biāo)系上。)，中，己知點(diǎn)為(一折，0),22(行,

0),點(diǎn)M滿足|MB|一|MF2l=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；［切入點(diǎn)：雙曲線定義］

(2)設(shè)點(diǎn)r在直線上，過7的兩條直線分別交C于A,3兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，K\TA\\TB\

=\TP\\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.［關(guān)鍵點(diǎn)：利用等式列式］

【教師備選】

已知橢圓C：的長軸長是短軸長的2倍，尸是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0,2)

且晰=標(biāo)

(1)求橢圓C的方程；

⑵若過點(diǎn)M的直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn),線段4B的中點(diǎn)為N,且滿足=求

/的方程.

a=2b,

解(。由題意，可得飛2+4=10,

力2+/=后，

解得。=2吸，力=，5,

故橢圓C的方程為5+9=1.

(2)根據(jù)題意可得，點(diǎn)A必在點(diǎn)B的上方，

才有

當(dāng)/的斜率不存在時(shí)，|AM=2—，5,

|BN］=巾，|AM|W|8N|,不合題意，故/的斜率必定存在.

設(shè)/的方程為y=6+2,

)=丘+2,

得(1+43)/+16息+8=0,

/=(16%尸一32(1+4公尸128爐一32>0,

即

設(shè)A(即，Jl)?8(X2,>'2)?

r”I16k8

則汨+&=-7：前，汨也=12不田

設(shè)N(xo,yo)>

則xo=1-=一"記

由HM=|BN1可得，|A8|=|MN],

所以3+F|xi—X2\=小1+幺|_的一0|,

則y(Xl+x2)2-4xiX2=M,

nrg/4J8K

'、1+43-1+4R'

整理得

故k=4,/的方程為)，=*x+2.

思維升華求值問題即是根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的方程，通迂解方程求解.

跟蹤訓(xùn)練1(2021?天津)已知橢圓/+*=1(〃>〃>0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為B,離心率為

且|8月=小.

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M,與y軸的正半軸交于點(diǎn)N,過N與BF垂直的直線交x

軸于點(diǎn)P.若MP〃BF,求直線/的方程.

解(1)易知點(diǎn)知(c,0),8(0,b),

故14pl==a=小,

因?yàn)闄E圓的離心率為6=5=竽，

所以c=2,b=y/a2—c2=l,

因此，橢圓的方程為卷+)，=1.

(2)設(shè)點(diǎn)M(xo,加)為橢圓5?+)?=1上一點(diǎn)，

先證明直線MN的方程為手+)可=1,

--^y（）y=i，

聯(lián)立消去)，并整理得.V2—2mx+焉=0,/=4"-4x3=0,

5廠+_L產(chǎn)2

因此，橢圓令+產(chǎn)=1在點(diǎn)欣孫擾)處的切線方程為管+如=1.

JJ

在直線MN的方程中，令工=0,可得y=《，由題意可知yo>。，即點(diǎn){0,*),

直線BF的斜率為kBF=--=一；，所以直線取的方程為)=2丫+},

在直線PN的方程中，令『=0,可得工=一土，

即點(diǎn)H?女'”

因?yàn)镸尸〃BF,則公評(píng)=火跖，

加w2y8_1

''1,_L_2xoyo+1-2'

刈2y0

整理可得(xo+5yo)2=(),

2

所以AO=—5用，所以g+)a=6y*=1,

因?yàn)?vo>O,故并=乎，刈=一邛^，

所以直線/的方程為一哈+骼=1,

即x—y+加=0.

題型二證明問題

例2(2021?新高考全國考)已知橢圓C的方程為5+分=13協(xié)>0),右焦點(diǎn)為尸(色,0),且

離心率為坐.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)A/,N是橢圓。上的兩點(diǎn)，直線AW與曲線/+爐一層(K>0)相切.證明；N,F三

點(diǎn)共線的充要條件是1VM=巾.

(1)解由題意得，

橢圓半焦距c=r且e=5邛,

所以。=小，

又護(hù)="2-/=1,所以橢圓方程為1"+)?=I.

所以直線MN過點(diǎn)尸(色，0),M,N,/三點(diǎn)共線，充分性成立，所以M,M尸三點(diǎn)共線的

充要條件是|MN|=小.

【高考改編】

在平面直角坐標(biāo)系g中，已知橢圓c：，+方=1(。>/?0)的右焦點(diǎn)為產(chǎn)(i,o),離心率為

⑴求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)尸的直線/交C于4,8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為M,分別過A,B作C的切線小

勿且/i與6交于點(diǎn)尸，證明：O,P,用三點(diǎn)共線.

(c=1,

Ic1(4=2,

⑴解由產(chǎn)受，解得丁小，

Va2=b2-}-c2,

工橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)亨=1.

(2)證明由題意知直線/的斜率不為0.設(shè)直線/的方程為x=m)，+l.

A(xi,)，i),僅工2,以)，M(x),>-o),P(x3,然)，

x=wv+1,

由《。。

3r+4廣=]2,

整理得3{nry-+2my+1)+4V2=12,

即(3病+4))2+6my—9=0.

.yi+y2-3w

??刈一2-藐干，

4

X0=W+4*

._3

??kz)M——

直線人的方程為苧+苧=1,①

直線/2的方程為等+號(hào)=1，②

②一①一9)=水月-X2)

V3xi—X23

十一=F〃'

?*一3

??=-7m=kop,

人3，

??koM=kop>即。,P,M三點(diǎn)共線.

【教師備選】

（2022.湖南師大附中模擬）已知橢圓C：，+苴=13>">0）的離心率為坐橢圓的短軸頂點(diǎn)到

焦皮的距離為出.

⑴求該橢圓。的方程；

（2）若直線/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，^]OA+OB\=\OA-OB\,求證：直線/與某個(gè)定圓E

相切，并求出定圓E的方程.

解（1）???橢圓的短軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為加，

:.7bBe2=a=",

???橢圓的離心率e=?=￥，

222

:?c=木,?\b=a—c=3f

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為余q=1.

⑵?.?麗+麗=而一函

：.OA^OB,則屬.勵(lì)=0,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，設(shè)/：x=/,

代入橢圓方程得，v=

不妨令A(yù)/,

由后?仍=0得，

尸一3+]=0,解得，=玷，

此時(shí)/：與圓1+），=2相切;

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，

設(shè)/：），=代+/〃，A（xi,yi）,B（X2,力）,

X2+2V2=6,

聯(lián)立：得，

y=kx-rm

（1+2后）小+4加?X+2〃F—6=0,

則/=16后/*-4（1+29）（2加一6）>（）,

化簡(jiǎn)得病<6&2+3,①

_4hn_

由根與系數(shù)的關(guān)系得，即+*=

1+2M'

2/7?2—6

X1X2=7+2F,

則)D2=(依?+m)(kx2+m)

〃尸—6爐

=lrxiX2+krn(x]+xi)+nr=〔+“2，

由萬l&=0,

即xiX24-yo?2=0可得，

2m2-6m2-6Z?

1+2?+7+2?=0,

整理得,渥=2必+2,滿足①式,

，即原點(diǎn)到直線/的距離為也,

，直線/與圓/+)，2=2相切.

綜上所述，直線/與圓E：1+)2=2相切.

思維升華圓錐曲線證明間題的類型及求解策略

(1)圓錐曲線中的證明問題.主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，

如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線至行或垂直等：二是證明直線與圓錐

曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).

(2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過

相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.

跟蹤訓(xùn)練2(2022.漳州模擬)已知兔數(shù)z=x+_yi(x,)，￡R；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(x,j),且

z滿足|z+2|-|z-2|=2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求。的方程；

⑵設(shè)4—1,0),B(l,0),若過?(2,0)的直線與。交于P,。兩點(diǎn)，且直線AP與8。交于點(diǎn)R

證明：

(i)點(diǎn)R在定直線上；

(ii)若直線AQ與8P交于點(diǎn)S,貝UR/^LSF.

⑴解由題意可知，

^/(X+2)2+/-^(X-2)2+/=2,

所以點(diǎn)M到點(diǎn)Q(—2,0)與到點(diǎn)尸2(2,0)的距離之差為2,且2<歷尸21=4,

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以尸，乃為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

設(shè)其方程為才一次=1。2仇〃>0,b>0),

其中2。=2,2。=4,

所以A=1,c=2,

所以tr=(r—cr=3,

所以曲線C的方程為f一苧=1。21).

(2)證明(i)設(shè)直線。。的方程為x=/>，+2,P(xi,yi),2g九)，其中k>1,及>1.

x=(y+2,

聯(lián)立|f消去x,

戶『I,

可得(3~—1)產(chǎn)+12/)，+。一0,

由題意知3/2—1#0且/=144/2—36(3/一1)

=36(尸+1)>0,

9

所以》+>2=養(yǎng)與，3W=3/2_r

直線4P：),='](1+I),

直線RQ：y=7^h(x—1)，①

由于點(diǎn)P(xi,yi)在曲線C上,可知貢=3(——1),

所以口+1一戶'

所以直線AP:)，=歿[21+1).②

聯(lián)立①②，消去)，可得

3(X1-1)U\\a

y*十匕2-1(1)，

由題意知％Wl,

31+1))，i*

所以X-\一(XLlZ—l)'

所以3(.r+l)_”V2

X—1S，|+1)()2+1)

=_______^2_______

/2yiy?+/Cv'i+y2)+1'

奸PP(A+1)9

所以x-\一次2—I2P+3產(chǎn)一廠9,

所以x=；,

所以點(diǎn)R在定直線x=T上.

(ii)由題意，與(i)同理可證點(diǎn)S也在定直線x=

設(shè)雄，，，S&s),

由于R在直線AP：丁=壬口+1)上,

人］I1

S在直線4Q：)，=47。+1)上，

X??I

3

所

以--

2

3n

5-二+1，

前I、/9V|V-

所以右一46+1)8+1)

_9\\yi

4(“1+3X(X2+3)

_￡______VIV2_______

『五)，2+3心+聞+9

=9_______9_______

一19尸一36尸+9(3戶一1)

9

=一不

又因?yàn)闃?

一f9

所以/R-FS=w+rs=。，所以R￡LSF.

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.已知拋物線C產(chǎn)=2〃/(〃>0)的準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為4一1.0).

(1)求C的方程；

(2)若過點(diǎn)M(20)的直線/與拋物線。交于P,Q兩點(diǎn).求證：值加+品3為定值?

⑴解由題意，可得一今=—1,即〃=2,

???拋物線C的方程為)2=4.工

(2)證明設(shè)直線/的方程為x=/可，+2,

尸(為，yi),OS，”),

x=/〃)，+2,

聯(lián)立24

iy=4x,

消去x得y2—4〃?.v—8=0,

則/=16（"尸+2）>0,

?*-y\+”=4〃?，yI”=-8,

又儼2M,

|QM=W+相河

?-U-L^-!—+—!—

??|PM2+IQM?=（1+屆）行十（1+62）貨

_京+京

（1+〃?2））彳）4

16/rr+16

=64（1+〃?2）

1+而1

=4（1+/=*

'IPMp+lQMp為定值?

2.設(shè)橢圓，+￡=13>/?0）的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為8.已知橢圓的短軸長為4,離心率為當(dāng).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)戶在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y

軸的負(fù)半軸上.若|02=1。8（。為原點(diǎn)），且OP_LMM求直線的斜率.

解（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,

依題意.25=4.：=乎.

又/=〃+/,可得。=小，b=2,c=\.

所以橢圓的方程為1+9=1.

（2）由題意，設(shè)Pg沖）（刈#0）,M（M0）.

設(shè)直線尸B的斜率為Z（kWO）,

又B（0,2）,則直線戶8的方程為），=h+2,

卜二履十2,

與橢圓方程聯(lián)立

匕+L

整理得(4+5F)f+20區(qū)=0,

20攵

可得x=—

P4+5爐'

8-10/7

代入y=kx+2得yp=4+5&2'

A—sF

所以直線OP的斜率充.

xp—10K

2

在)，=h+2中，令y=0,得入“=一后

由題意得MO,-1),

所以直線MN的斜率為一芻

乙

,,4—5/^(k\

由"_LMM/H得^5?(一引―一八

化簡(jiǎn)得標(biāo)=卷，從而％=』爭(zhēng).

所以直線PB的斜率為號(hào)或一？爭(zhēng).

空技能提升練

3.(2022?莆田質(zhì)檢)曲線C上任意一點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(2,0)的距離與它到直線x=4的距離之比等于

坐，過點(diǎn)M(4,0)且與工軸不重合的直線/與。交于不同的兩點(diǎn)A,B.

(1)求C的方程；

(2)求證：△AB廠內(nèi)切圓的圓心在定直線上.

(1)解設(shè)尸(x,J),由題意，

比人［2［七爐=當(dāng)y+2

\x-4\2，)

=2(x-4)2,

化簡(jiǎn)得［+9=1，

即C的方程為5+1=1.

O4

(2)證明設(shè)直線/：x=〃?.y+4,A(x\t_yi),

8(X2，丫2)，

將I代入。得(〃戶+2)產(chǎn)+8叫，+8=0,

=64m2—32(/2_|_2)>0=〃尸>2,

8/〃

??.<)"+>2=-亦，

8

l3，r>，2=^+2-

設(shè)直線A/與4尸的斜率分別為3，&2,

則h+右各+會(huì)

\1_卜V2

〃叩+2沖2+2

2Hm.V2+23+”）

（沖1+2）（吵+2）

8（8〃？、

2〃?.廬港+2（一不：

:,ki=-k?,則NBFM=TC-NA/M,

???直線x=2平分乙4/從而三角形內(nèi)心在NA尸3的角平分線上,

???XhBF內(nèi)切圓的圓心在定直線x=2上.

理拓展沖刺練