2024?2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，貝I摸到紅球的

概率為（）

A.1B.|C.^7D名

2.已知平面向量N=(2,3),b=(-3,4),則2五一方=()

A.[1,2)B.(1,-2)C.(7,2)D.(7,-2)

3.已知數(shù)據(jù)%i，x2,…，%io的平均數(shù)為5,數(shù)據(jù)加，、2,…，丫8的平均數(shù)為6，則數(shù)據(jù)%1，????410,71，

為，…，%的平均數(shù)為()

1149

A.yB.5C.6

4.已知事件A與B相互獨(dú)立，HPG1)=0.7,P⑻=0.8,則JB)=()

A.0.8B.0.5C.0.56D.0.94

5.在空間中，直線，1J■直線，2,直線b，5滿足:5-Lk，h1%，4-L小〃-L%，則直線，3,，4位置關(guān)系為（）

A.垂直B.平行C.相交D.異面

6.在棱長(zhǎng)均相等的正四棱錐S—48CD中，E是棱SC的中點(diǎn)，則力E與BS所成角的余弦值為（）

'739「口n門

A?而B(niǎo)-WC-VD-

7.已知虛數(shù)的，Z2是方程爐+%—2=0的兩個(gè)不同的根，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.Zj=1B.區(qū)|=>J~2C.Zj+z2=0D.z】+z2=1

8.已知正方體力的邊長(zhǎng)為1,P為Tig上的動(dòng)點(diǎn)，S,T分別是面A8CD和面BCgBi上的動(dòng)點(diǎn)，

則PS+PT+ST的最小值為（）

A.1+WB.1+4C.V2D.73

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.復(fù)數(shù)Zi，Z2,Z]+Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,Q,S,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.OS=OP+OQB.%+z2\<|zil+\z2\

C.|ziz2|=|zil|z2lD.若麗1的，則Z]Z2=0

10.在對(duì)某高中學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣

本數(shù)據(jù)，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分別為15,10,12,則此樣本的方差不

可能為（）

第1頁(yè)，共15頁(yè)

A.11B.12C.13D.14

11.已知在△ZBC中，BC的長(zhǎng)為2,的面積為2,則下列命題正確的是（）

A.△48。外接圓面積的最小值為幾

B噂的最大值為粵

C△48C內(nèi)切圓的半徑的最大值為要

D.若△A8C的內(nèi)角滿足貝1]￡即。=一等■

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，各射擊一次，且兩個(gè)人的射擊結(jié)果互不影響，若甲中靶的概率為

乙中靶的概率為官則兩人都中靶的概率為_(kāi)__.

13.已知平面向量同=麗=1,且五與方的夾角為:若aER,則同+湎的最小值為_(kāi)____.

14.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,內(nèi)切球的表面積為g7T,則圓錐的底面半徑為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知平面向量同二1，|^|=72,益與石的夾角為器

（1）求（2五+石）?0—2萬(wàn)）的值；

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，0+2了）1（而一E）.

16.（本小題15分）

從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的月電量都在50?350々卬?/1之間，進(jìn)行恰當(dāng)

分組后（最后一組為閉區(qū)間，其余各組為左閉右開(kāi)的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求直方圖中無(wú)的值；

（2）試估計(jì)該小區(qū)用戶月用電量的平均數(shù).

第2頁(yè)，共15頁(yè)

17.(本小題15分)

已知△48。的內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為Q,b,c.給出如下三個(gè)條件:

sin2C

2sinB-sinC'

^.sinC-sinB_cosB-cosA

cosB+cosA-sinC'

=cosC+V3sinC：

a

從這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為△/18C滿足的條件，完成以下問(wèn)題：

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若△48。的面積為角力的內(nèi)角平分線交邊BC于D,且/。二門，試判斷△/18C的形狀并證明.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐A-BCD中，點(diǎn)A在平面BCD的射影為。,801CD,AD1BC,乙BCD=60°,二面角4-BC-D,

4一。。一/?的大小分別為60。,45°.且FC=2+C.

(1)證明：ABLCD：

(2)求/W與平面BCD所成角的正弦值；

(3)求三棱錐A-BCD的體積.

19.(本小題17分)

已知集合Sn={X\X=(M，M,…,％J}(n>2).對(duì)于A=…,冊(cè))，B=血也，…，％)6Sn,給出如下定義:

(DA與B之間的第一距離心(4B)=心I4-九|；

②4與8之間的第二距離8)=］工3(囚-加)2.

(1)當(dāng)n=2時(shí)，4(0,0),若由(4,8)=d2(A,B)=1,求8；

(2)當(dāng)九=2時(shí),若由(48)=1,求)2(48)的取值范圍;

(3)若A,B,CWS”，問(wèn)：“di(4C)=di(48)+di(B,C)”是“d2(4C)=d2(AB)+d2(B，G”的什么條

件，并證明.

第3頁(yè)，共15頁(yè)

故選:B.

根據(jù)線面垂直的判定定理，即可求解.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：取的中點(diǎn)凡連接力F,AE,如圖所示:

因?yàn)镋是棱SC的中點(diǎn)，所以EF/ISB，且=氏

所以AE與8S所成的角為4A"?（或其補(bǔ)角），

設(shè)正四棱錐S-4BCD的棱長(zhǎng)為2,

則4尸=V22+了=AC=V22+22=2，^，EF=1,SE=1,

因?yàn)镾A=2,SC=2,AC=2/2?

所以S/2+sc2=/。2,所以S4J.SC,

所以HE=SA2+SE2=C，

在△?1￡（尸中，AE=AF=V-5，EF=1,

所以cosZ-AEF==-1-=1

AEv510

故選:A.

取BC的中點(diǎn)F,連接4/，AE,則EF//SB，且EF=gsB,所以?IE與8s所成角的為乙4EF（或其補(bǔ)角），ffiAAEF

中求解即可.

本題主要考查了異面直線所成的角，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意，x3+x-2=（%-l）（x2+x4-2）=0?

令好+%+2=0,化簡(jiǎn)得（％+J）2+；=o,即（％+；）2=一］,解得％=一）土?工

第5頁(yè)，共15頁(yè)

才/亡、小-1+V"7i-1-

不妨設(shè)21=-5—避2=---

則憶11=J^=

Z]+Z2=-1，

M.I2?,—\+>T7i、2.—1—V~7i

則城+Z2=(---￥+--—=-2-/7i,

故只有4正確.

故選:B.

先因式分解得爐+工一2=(%-1)(/+%+2)=0,即Zi，Z?為必+%+2=0的兩個(gè)根，從而依次判斷選

項(xiàng).

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意，分別作Ng關(guān)于面力BCD和面6c6/對(duì)稱的直線力M,AN,

PS+PT+ST=PrS+ST+P2T>P1P2,

vPP02是異面山乩CiP上的點(diǎn),

PS+PT+ST的最小值為異面直線4M,C]N的距離，

4(1,0,0),M(0,l,-l),g(0,1,1)，N(l,2,0),

麗=(-1,1,-1),C^N=(1,1,-1)，宿=(-1,1,1)，

設(shè)與直線AM,%N都垂直的一個(gè)向量為五=(%y,z),

則E%=_+y-z=0,取『],雨=(o,i,i),

(n?C1N=x+y—z=0

PS+PT+ST的最小值即異面直線AM,GN的距離為：

第6頁(yè)，共15頁(yè)

d_\ACyn[_2__

a-|n|-/2-VZ-

故選：c.

根據(jù)題意，分別作4cl關(guān)于面ABCD和面BCQB1對(duì)稱的直線力M,4N,點(diǎn)P對(duì)稱后為P2,以D為原點(diǎn)建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、異面直線間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：力選項(xiàng)：根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，Z-Z2對(duì)應(yīng)的向量而就是麗+而，

因此赤=而+的，力正確；

8選項(xiàng)：由復(fù)數(shù)模的三角不等式，|Z1+Z2|W|Z]|+|Z2|，當(dāng)且僅當(dāng)與，Z2同向時(shí)取等號(hào)，8正確；

C選項(xiàng)：復(fù)數(shù)模的乘法性質(zhì)為|Z[Z2|=|Z]||Z2|，這是復(fù)數(shù)模的基本性質(zhì)，C正確；

D選項(xiàng)：舉反例，若Z[=l,z2=i,則方1而，但Z]Z2=ixO,說(shuō)明垂直時(shí)2E2不一定為0,。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，復(fù)數(shù)模的乘法性質(zhì)即可求解.

本題考查了更數(shù)加法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：設(shè)總平均數(shù)為Q,高一的平均數(shù)為6高二的平均數(shù)為c,

高三的平均數(shù)為d,該樣本的方差為52,

則’=80+60+60t15+（“一°）2]+80+60+60t10+“一。尸】+80+60+603+?一。y]

-80+60+60X15+80+60+60X12+80+60+60X10=12*6,

??.此樣本的方差不可能為11，12,故44正確.

故選:AB.

先設(shè)出總平均數(shù)和樣本平均數(shù)，再表示出方差，進(jìn)而放縮得到范圍即可.

本題考查平均數(shù)、方差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【脩析】解:設(shè)邊BC,AC,力B分別為a,b,c,貝lja=2,

對(duì)于4選項(xiàng)：設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理就=飴=高=2幾

所以外接圓的面積為兀爐=高，

當(dāng)si兀4=1,4=1時(shí)，外接圓面積最小為7T;

第7頁(yè)，共15頁(yè)

又因?yàn)锳=卯寸，a2=b2+c2=4,

由△4BC面積為2,得到|bc=2,be=4：

而#+c2>2bc=S與上式矛盾，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：^besinA=2,則bcsim4=4；

由余弦定理=b2+c2-2bccosA,

得到按+c2-2bccosA=4=besinA,

兩邊同除以加，得到?+關(guān)=+2cosA,

令k=[,則k+：=V3sin(力+*),tan(p=2,

uK

當(dāng)且僅當(dāng)sin(4+0)=l時(shí)，〃+：=怖時(shí)，k最大,且為左二勇/，故8正確;

對(duì)于C選項(xiàng)；由內(nèi)切圓半徑r的公式；r=S=2,

PP

ea+b+c2+b+c

而「=F-=F-，

故丁最大時(shí)，p最??；當(dāng)b=c時(shí)，p最小，此時(shí)b=c=，5，

所以丁=熹=孥，故C正確；

對(duì)干0選項(xiàng)：由C=B+]和4+8+C=TT,

得到4+2B+>九，則4+28=1

1.2

S=2acsinB=2,c=—

由正弦定理得.J=夜

sin(]-28)sin(8+5)

即二一=--—,

cos2BsinBeosB

cos2^—sin2/?=sinBeosB,

兩邊除以cos2從

得到1—tan2S=tanB,

所以tanB=一半I

由B為銳角，所以似幾8=要，

c,,口,開(kāi)、sin(8+*)cosB12<54-1小八上必

tanC=tan(F+-)=-—4-=——=----=--=--=...-,故。正確.

'77cos(B+J)-icniRtanRV75-17.

第8頁(yè)，共15頁(yè)

故選：BCD.

利用正弦定理進(jìn)行判斷A選項(xiàng)與0選項(xiàng)，B選項(xiàng)利用余弦定理判斷，C選項(xiàng)利用內(nèi)切圓半徑與三角形面積公式

進(jìn)行判斷.

本題考查正余弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于難題.

12.【答案】1

【解析】解：根據(jù)題意，甲中靶的概率為全乙中靶的概率為且兩個(gè)人的射擊結(jié)果互不影響，

則兩人都中靶的概率P='X卷=2

?303

故答案為：

由獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】苧

【解析】解：根據(jù)題意可得：|a+Ab\=Ja2++2Xa-b=Jl+A2+2/lxlxlxi

=VA2+A+1=J(A+1)2+|>^,當(dāng)且僅當(dāng)A=-2時(shí)取等號(hào).

故答案為：噂.

根據(jù)模長(zhǎng)公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.

14.【答案】1或三浮

【解析】解:設(shè)內(nèi)切球半徑為R,底面圓半徑為r(0<r<2),圓錐高為山

如上圖可知球心為。，底面圓圓心為E,則△SOCs^sBE,可得繪=黑

第9頁(yè)，共15頁(yè)

即上爸=￡=厄_蟲丁=空30又層+i=4,=/1="^②，

2r*33

將②（弋入①VSrx/4—r2-r=2>所以V_5V4-N=丁+2，

所以3r2（4—八）=（2+?）2,

所以（r-l）（3r2-3r-2）=0,解得r=1或廠=組更或丁=匯更（舍）.

66

故答案為：1或2±咨.

求出外接球半徑，利用三角形相似即可求得結(jié)果.

本題考查圓錐的內(nèi)切球問(wèn)題的求解，屬中檔題.

15.【答案】-5；

.5

k=3-

【解析】（1）已知平面向量同=1,向=/2,方與石的夾角為%

則云?了=|a||b|cos^=1,

所以（23+石）?0-2刃）=2五2-3五4一2天=2-3-4=-5.

（2）由@+21）1（雇一分

則0+25）?（依-b）=而2+qk-l）a-b-2b\

=A+2k—1-4=0,

所以々=率

（1）根據(jù)向量數(shù)量積及運(yùn)算率計(jì)算即可；

（2）根據(jù)向量互相垂直數(shù)量積為零及運(yùn)算率計(jì)算即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】x=0.0044；

186.

【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，小長(zhǎng)方形面枳和為1，

故(0.0012+0.0024+0.0036+x+0.006+0.0024)X50=1,解得%=0.0044；

（2）根據(jù)題意可知，居民月用電量的平均數(shù)為型羅x0.0024X50+受型x0.0036x50+史等”x

0.0D6X50

2°()產(chǎn)°X0.0044x50+2*30。X0.0024x50+30O^350x0.0012x50=186.

第10頁(yè)，共15頁(yè)

(1)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)值即可.

(2)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解平均數(shù)即可.

本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】

等邊三角形，證明見(jiàn)解析.

csin2CZMsinC2sbiCcosC

【解析】(選①，根據(jù)題意可知,—=----------,伶----=----------,

1)a2sinB-sinC^sinA2sinB-sinC

即2sinAcosC=2sinB-sinC,故2si?h4cosc=2sin(A+C)-sinC,

則2sinAcosC=2(sinAcosC+cosAsinC')—sEC,

化簡(jiǎn)得2cos力=TT),???sinC。。，

故cosA=J,則解得A

4J

詵②,由已知得sin2c-sinBsinC=cos2B-cos2A=sin2A-siMB,

222

根據(jù)正弦定理可得c2-加=Q2一82,即加=b+c-a,

根據(jù)余弦定理得cosA=的薩=看解得力=*

選③，由已知得"黃=cosC+y/~3sinC,

s8i+n/：l"'

即sin8+sinC=sinAcosC4->/~3sinAsinC,

：,s:n(A+C)+sinC=sinAcosC+\/~3sinAsinC,

化簡(jiǎn)得cos力sinC+sinAcosC+sinC=sinAcosC+\[3sinAsinC,

則cos/lsinC+sinC=\T3sinAsinC,

C6(0,7i)，：.sinCW0,

化簡(jiǎn)得cosA+1=CsinA,即Csim4—cos/=1,得sin(4-￡)=〈，

o4

M冷€(Y片)，力弋嗎解得一嗎

⑵；S&ABC~|bcsinA=|bc-=>J~3,故解得be=4,

1A1A

又S^ABc=S4ACD+S^ABD=-b-AD?sin-+-c-AD-sin-

=1(b+c)dD=?(b+c)=C,故解得b+c=4,

解得b=c=2,.?.△H8C是等邊三角形.

(1)條件①利用正弦定理和二倍角公式化簡(jiǎn)得到翳=言瞿笠，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到

第11頁(yè)，共15頁(yè)

2cosAsinC=sinC,進(jìn)而求解角度，條件初4用正弦定理得到c2-加二層一乂，再利用余弦定理求解角度,

條件③利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到cos4+1=Cs出人再利用輔助角公式求解角度即可；

(2)利用三角形面積公式建立方程，求出be=4,b+c=4,再求出b=c=2,最后判斷三角形形狀即可.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

18.【答案】證明見(jiàn)解析;

g

【解析】(1)證明：因?yàn)榱Α?面BCD,

所以A。J.CO,又BO【CD,BOAO=0,

所以COJ■面/80,又48u面480,

所以C0J.4&

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A在平面BCD的射影為。，又BCu面BCD,所以4。1BC,

又易知4D18C,且40八力。=4

所以BC1面4。。，又ODu面力。0,

所以0D18C,所以。是△8CD的垂心，

如圖，設(shè)BO1C0于點(diǎn)凡DO1BCTE,

則二面角力一8。一。，4一。0-8的平面角分別為4/1￡1。=60。，^AFO=45°,

設(shè)4。=0r=伉則。E=?/i，OF=h,則A/二心力，

?3

因?yàn)镹BC0=6O。，所以NCOE=30。，所以。0二2九，DF=

所以40=y/AO2+OD2=7n+4F=，^儲(chǔ)

又力。1面BCD,所以4。與面BCD所成角為N4D0,

所以sin乙4。。=黑=-7=r=￥：

ADyJ5h5

(3)因?yàn)?。￡+00=(2+￥)九，且乙BCO=60°,

第12頁(yè)，共15頁(yè)

所以CE二驛九二罕小

V35

所以CD=2。5=空券九，

所以Cr=C。一0F=空券八一6九二等儲(chǔ)

所以BC=2C尸=空警儲(chǔ)又8。=2+門，

所以呼%=2+宿，故解得h=看

所以三棱錐力-8C0的體積為V=卜404?DE?8C=告+

SLo

⑴利用線面垂直的性質(zhì)求出人。1CD,再結(jié)合題意并使用線面逗直的判定得到CD1面4B0,最后利用線面

垂直的性質(zhì)求解即可.

(2)利用線面垂直的判定得到BC_L面40。，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得到0018C,再合理作出輔助線，找到線

面角的平面角，再求出關(guān)錦功長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)的定義求能即可.

(3)分別求出底面邊長(zhǎng)和高，再求出三棱錐的高，結(jié)合三棱錐的體積公式求解即可.

本題考查線線垂直的證明，線面角的求解，三棱錐的體積的求解，屬中檔題.

19.【答案】8=(1,0),或(-1,0),或(0,1),或(0,-1)；

[苧,1]:

“d](4C)=di(4B)+dI(B,C)”是“d2(A,C)=d2(4B)+d2(B,C)”的必要不充分條件,證明如下：

先證明:當(dāng)(/2(46)=④2(48)+0(8，。)成立時(shí),則由(4。)=由(48)+%(8,0成立.

記々=yi=bi-cif

則d2(4B)+d2(BtC)=J%蠟+1XL/，d2(A,C)=J'-%)2,

由d2(4C)=電(48)+d2(B,C)，兩邊平方可得:

NL靖+EM*+=XL(必+必+)，

故=XN(無(wú)雙)，

兩邊平方可得E3蛭EMW=

由柯西不等式等號(hào)成立的條件可知%==1,2,…,71),

此時(shí)(*)可以化簡(jiǎn)為=%遇％=axM市

故4之0(否則上式左邊非負(fù)，右邊為負(fù)數(shù)，矛盾).

故對(duì)任意的1WiW%\Xi\+|yj=|x,|+|AxJ=(1+2)MI=|(1+A)xJ=\x(+yj,

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即di(4B)+d](B,C)=EL|如+2Ml對(duì)=E著?/?+Ml=4(40.

再說(shuō)明：當(dāng)出Q4,C)=?(AB)+B(B,C)成立時(shí),d2{A,C)=d2(AfB)+四(8,C)不一定成立.

設(shè)4(0,0,…,0),8(1,。，…，%-1個(gè)0i,C(l,l,0,…，%一2個(gè)0),

則d<4C)=2,di(48)=di(B,C)=1,d2(AC)=/2,d2(A5)=d2(F,C)=1,

所以由(4C)=由(4B)+期(8,C),但d2(4C)工d2(A,B)+d2(BtC).

【解析】⑴由定義可知{黑爛

瞰::/或鷹:

即8=(1,0),或(-1,0),或(0,1),或(0,-1%

(2)因?yàn)榫?2時(shí)，=1,

所以—瓦|+\a2-b2\=1.

令5=|%—瓦|,t=\a2-b2\,則t=l-s,

則6^(4B)=Vs2+t2=y/s24-(1-s')2=72s2—2s+1=/2(s—1)2+