第一章溫度

?本章學(xué)習(xí)目標

1、深刻理解熱力學(xué)第零定律。

2、理解氣體的平衡狀態(tài)、狀態(tài)參量等概念。

3、掌握測溫原理及經(jīng)驗溫標、理想氣體溫標，理解溫度的物理意義。

4、掌握理想氣體物態(tài)方程及其應(yīng)用。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、平衡狀態(tài)

2、溫度

3、氣體的物態(tài)方程

?本章重點

理想氣體物態(tài)方程

?本章教學(xué)學(xué)時

計劃：6學(xué)時實際：7學(xué)時（含1學(xué)時習(xí)題）

§1.平衡態(tài)狀態(tài)參量

一、平衡態(tài)

1、系統(tǒng)與外界

熱力學(xué)系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）一一由大量分子原子組成的物體或物體系。

注意：主要研究氣體系統(tǒng)，固體和液體系統(tǒng)的熱力學(xué)問題不在這里研究。

外界一一一個熱力學(xué)系統(tǒng)所處的外部環(huán)境。

2、系統(tǒng)分類

孤立系統(tǒng)：與外界既不交換能量又不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

開放系統(tǒng)：與外界既交換能量又交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

封閉系統(tǒng)：與外界交換能量而不交換物質(zhì)的系統(tǒng)。

均勻系（單相系）：系統(tǒng)的各部分完全一樣。

非均勻系（復(fù)相系）：系統(tǒng)的各部分不同且有界面。

3、平衡態(tài)

定義：在不受外界影響（外界對系統(tǒng)既不做功又不傳熱）的條件下的熱力學(xué)系統(tǒng)，宏觀性

質(zhì)不隨時間變化的狀態(tài)。

熱力學(xué)平衡態(tài)包括力學(xué)平衡、化學(xué)平衡、熱平衡和相平衡。

這四種平衡都達到才稱熱力學(xué)平衡態(tài)。

注意：熱力學(xué)平衡態(tài)與熱平衡的區(qū)別

熱力學(xué)平衡

無熱流：熱學(xué)平衡條件，系統(tǒng)內(nèi)部溫度處處相等。

無粒子流：力學(xué)平衡條件，系統(tǒng)內(nèi)部各部分之間、系統(tǒng)與外界之間應(yīng)達到力學(xué)

平衡，通常情況下反映為壓強處處相等。

化學(xué)平衡：化學(xué)平衡條件，即在無外場下系統(tǒng)各部分的化學(xué)組成應(yīng)是處處相等。

可以用P、V、T圖來表示。只要上述三個條件一個得不到滿足，就是非平衡態(tài)，不能用P、V、

T圖來表示。

4、討論

1）事實上，并不存在完全不受外界影響，從而使得宏觀性質(zhì)絕對保持不變的系統(tǒng)，所以平

衡態(tài)只是一種理想模型，它是在一定條件下對實際情況的抽象和近似。

2）由于永不停息的熱運動，各粒子的微觀量和系統(tǒng)的微觀態(tài)都會不斷地發(fā)生變化。但只要

粒子熱運動的平均效果不隨時間改變，系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)性質(zhì)就不會隨時間變化。因此，確

切地說平衡態(tài)應(yīng)該是一種熱動平衡的狀態(tài)。

3）在平衡狀態(tài)下，系統(tǒng)的宏觀物理量仍會發(fā)生微小的變化，稱為漲落。組成系統(tǒng)的微觀粒

子數(shù)量極大時，這種漲落很小從而可以忽略。在熱力學(xué)中可以認為平衡狀態(tài)下系統(tǒng)的宏觀

物理量具有確定的數(shù)值。

5、平衡態(tài)的特點

1）單一性（0,D處處相等；

2）物態(tài)的穩(wěn)定性---與時間無關(guān)；

3）自發(fā)過程的終點；

4）熱動平衡，有別于力平衡。

6、非平衡態(tài)

在自然界中，平衡態(tài)是相對的、特殊的、局部的與暫時的，不平衡才是絕對的、普遍的、

全局的和經(jīng)常的。

課后P28思考題1

二、狀態(tài)參量

一一用確定的物理量作為描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量。

兒何參量：體積

力學(xué)參量：壓強

化學(xué)參量：質(zhì)量或物質(zhì)的量

電磁參量：電場強度、電極化強度：磁感應(yīng)強度，磁化強度

熱力學(xué)量可分成：廣延量和強度量

廣延量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量成正比的量。（體積、面積等）

強度量：與系統(tǒng)的總質(zhì)量無關(guān)的量。（壓強、電場強度等）

§2.溫度

引進一個新的物理量一一溫度來表示系統(tǒng)的冷熱程度。

氣體的溫度，宏觀上表現(xiàn)為氣體的冷熱程度，而微觀上看它表示的是分子熱運動的劇烈程

度。

一、熱力學(xué)第零定律

熱接觸：系統(tǒng)間能發(fā)生傳熱的接觸。

熱平衡：兩個系統(tǒng)在發(fā)生傳熱的條件下達到的一個共同的平衡態(tài)。

熱平衡定律（熱力學(xué)第零定律）：如果兩個熱力學(xué)系統(tǒng)的每一個都與第三個熱力學(xué)系統(tǒng)處

于熱平衡，則它們彼此也必定處于熱平衡。

熱平衡定律為建立溫度概念提供了實驗基礎(chǔ)。

注意：決定系統(tǒng)熱平衡的宏觀性質(zhì)為溫度，即溫度是決定一系統(tǒng)是否與其他系統(tǒng)處于熱平

衡的宏觀性質(zhì)，特征就在于一切互為熱平衡的系統(tǒng)都具有相同的溫度。

熱力學(xué)第零定律的物理意義

?互為熱平衡的物體之間必存在一個相同的特征，即它們的溫度是相同的。

?熱力學(xué)第零定律不僅給出了溫度的概念，而且指出了判別溫度是否相同的方法。

課后P28思考題2,3

二、溫標

一一溫度的數(shù)值表示法

1經(jīng)驗溫標

一一在經(jīng)驗上以某一物質(zhì)屬性隨溫度的變化為依據(jù)并用經(jīng)驗公式進行分度的溫標。

以液體溫度計一攝氏溫標為例

原理：利用液體的體積隨溫度改變的性質(zhì)制成的。即用液體的體積來標志溫度。

選擇測溫物質(zhì)，確定測溫參量（屬性）

經(jīng)驗溫標的三要素選定固定點

進行分度，即規(guī)定測溫參量隨溫度的變化關(guān)系

例：水銀溫度計

（1）水銀一測溫物質(zhì)體積隨溫度變化一測溫屬性

（2）冰點一0攝氏度汽點一100攝氏度

（3）確定測溫屬性（體積）隨溫度的變化關(guān)系：線性變化

課本P10表1T兒種常用的溫度計

缺點：采用同一種溫標，選取不同的測溫物質(zhì)（或同--種物質(zhì)的不同測溫屬性）來測量同

一對象的溫度時，所得的結(jié)果也并不嚴格一致。

課后P29思考題4

例題:課后習(xí)題P31

4、的電阻溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，鉗電阻的阻值為90.35Q,當溫度計的測

溫泡與待測物體接觸時,伯電阻的阻值為90.28Q,試求待測物體的溫度,假設(shè)溫度與粕

電阻的阻值成正比,并規(guī)定水的三相點為273.16K。

解:依題給條件可得則

故

5、在歷史上，對攝氏溫標是這樣規(guī)定的:假設(shè)測溫屬性獺溫度［作線性變化，即，并規(guī)定冰

點為t=0V,汽點為t=100Uo設(shè)用和品分別表示在冰點和汽點時X的值，試求上式中的常

數(shù)a和6。

解：：由題給條件可知

①

②

由②一①得

，③

將③式代入①式得

2、理想氣體溫標

一一標準溫標（為了使溫度的測量統(tǒng)一）

氣體溫度計：

（1）定容氣體溫度計（氣體的體積保持不變，壓強隨溫度改變）

（2）定壓氣體溫度計（氣體的壓強保持不變，體積隨溫度改變）

理想氣體溫標：

以氣體為測溫物質(zhì)，利用理想氣體狀態(tài)方程中體積（壓強）不變時壓強（體積）與溫度成

正比關(guān)系所確定的溫標稱為理想氣體溫標。

?定容氣體溫度計

一一定容氣體溫度計與待測系統(tǒng)達到熱平衡時的溫度值

P一一用溫度計測得并經(jīng)修正的氣體壓強

a一—比例系數(shù)，根據(jù)選定的固定點來確定

固定點：水的三相點（純冰、純水和水蒸氣平衡共存的狀態(tài)）273.16K

一一氣體在三相點時的壓強

?定壓氣體溫度計

一一氣體在三相點時的體積

共同特點：用不同氣體建立的溫標只有微小的差別，隨著氣體壓強的降低這種差別逐漸消

失，而且在壓強趨于零時不同的溫標趨于一個共同的極限值。

這個極限溫標叫做理想氣體溫標（氣體溫標）。

定義式：（體積呸變）

或（壓強夕不變）

缺點：對極低的溫度（氣體的液化點以下）和高溫（100（TC是上限）就不適用。

理想氣體溫標的最低溫度：1K

課后P29思考題7

3熱力學(xué)溫標

一一完全不依賴于任何測溫物質(zhì)及其物理屬性。

熱力學(xué)溫度T：單位開爾文K

熱力學(xué)溫標是無法實現(xiàn)的理論溫標，是通過理想氣體溫標來實現(xiàn)。

攝氏溫標與熱力學(xué)溫標的關(guān)系：

攝氏溫標和華氏溫標的換算關(guān)系：

課本P15圖1-7熱力學(xué)溫度、攝氏溫度和華氏溫度的對應(yīng)關(guān)系

溫度單位符號固定點的溫度值與熱力學(xué)溫度的關(guān)通用情況

系

絕對零度冰點三相點汽點

熱力學(xué)溫度KT0.00273.15273.16373.15國際通用

攝氏溫標℃t-273.150.000.01100.00國際通用

華氏溫標Ftr-459.6732.0032.02212.00英美等國

蘭氏溫標RTK0.00491.67491.69671.67英美等國

4國際實用溫標ITS-90

國際溫標的三要素：

1定義固定點；

2規(guī)定在不同的待測溫度區(qū)內(nèi)使用的標準測溫儀器；

3給定在不同的固定點之間標準測溫儀器讀數(shù)與國際溫標值之間關(guān)系的內(nèi)插求值公式。

ITS-90的優(yōu)點：

1更接近于熱力學(xué)溫度

2將最低溫度擴展到0.65K

3在整個溫度范圍內(nèi)，改進了連續(xù)性、精度和再現(xiàn)性

4在某些溫度范圍內(nèi)，對分區(qū)重復(fù)定義的處理方便了使用

5消除了大多數(shù)以沸點定義的固定點。

膨脹測溫法：玻璃液體溫度計、雙金屬溫度計

壓力測溫法：壓力表式溫度計、蒸汽壓溫度計

實用溫度計簡介電磁學(xué)測溫法：電阻溫度計、溫差熱電偶溫度計、半導(dǎo)體溫度計、頻率

溫度計

聲學(xué)測溫法：聲學(xué)溫度計、噪聲溫度計

輻射測溫法：光學(xué)高溫計、比色高溫計、輻射高溫計

自我閱讀部分：

附錄熱力學(xué)第零定律與溫度

附錄1-2水的三相點管

?課后作業(yè)題：P311,6

§3.氣體的狀態(tài)方程

或函數(shù)關(guān)系叫做氣體的物態(tài)方程

把處于平衡態(tài)的某種物質(zhì)的熱力學(xué)參量（如壓強、體積、溫度）之間所滿足的函數(shù)關(guān)系稱

為該物質(zhì)的物態(tài)方程或稱狀態(tài)方程。

一、理想氣體的狀態(tài)方程

1、玻意耳定律

一一一定質(zhì)量氣體的溫度保持不變時，它的壓強和體積的乘積是一個常量：

注意：

(1)溫度不變，。吶一常數(shù)；溫度改變，常數(shù)也要改變

(2)夕不太大，座不太低時適用；。越低，遵守得越好。

2、理想氣體狀態(tài)方程

根據(jù)玻意耳定律和理想氣體溫標的定義來確定嗚溫度刑關(guān)系。

設(shè)Q為常數(shù)餡水的三相點時的數(shù)值。

得

在氣體壓強趨于零的極限情形下：

由，得

阿伏伽德羅定律：在氣體壓強趨于零的極限情形下，在相同的溫度和壓強下，1摩爾的任何

氣體所占的體積都相同。

令普適氣體常數(shù)

物態(tài)方程：

理想氣體物態(tài)方程是根據(jù)玻意耳定律、理想氣體溫標的定義和阿伏伽德羅定律求得的，這

三者所反映的都是氣體在壓強趨于零時的極限性質(zhì)。

注意：壓強越低，物態(tài)方程近似程度越高；在壓強趨于零的極限情形下，一切氣體都嚴格

地遵從它。

3、普適氣體常數(shù)R

一般由4701理想氣體在冰點()及一個大氣壓()下的體積來推算:

算出:

課后P29思考題9,10,11,13

課本P19

［例題1］由物態(tài)方程求相對分子質(zhì)量

［例題2］由物態(tài)方程求容器體積和漏氣質(zhì)量

［例題3］低溫測量的氣體溫度計原理（了解）

4、混合理想氣體的狀態(tài)方程

道爾頓分壓定律：混合氣體的壓強等于各組分的分壓強之和。

某組分的分壓強：是指這個組分單獨存在時（即在與混合氣體的溫度和體積相同，并且與

混合氣體中所包含的這個組分的物質(zhì)的量相等的條件下，以化學(xué)純的狀態(tài)存在時）的壓強。

注意：道爾頓分壓定律只適用于理想氣體（混合氣體的壓強較低）

道爾頓分壓定律的公式表示：

令，得

一一混合理想氣體的物態(tài)方程

平均摩爾質(zhì)量胭

二、非理想氣體的狀態(tài)方程（了解）

1.范德瓦耳斯方程

范德瓦耳斯氣體：考慮分子間吸力和斥力的作用。

范德瓦耳斯方程：

---Imol氣體

——任意質(zhì)量的氣體

a,b--常量，可由實驗測定

［例題5］用范德瓦爾斯方程計算，和理想氣體的物態(tài)方程計算結(jié)果比較。

2、昂尼斯方程

或

或都是溫度的函數(shù)，并與氣體的性質(zhì)有關(guān)，分別叫做第一、第二、第三、第四、……位力

系數(shù)。

當壓強趨于零時，上式變?yōu)槔硐霘怏w物態(tài)方程，且/天7

?課后作業(yè)題：

P3112,13,26,27

第一章小結(jié)

一、平衡態(tài)

1、系統(tǒng)的定義和分類

2、平衡態(tài)的定義和特點

二、溫度

熱力學(xué)第零定律溫度的概念溫標經(jīng)驗溫標

理想氣體溫標熱力學(xué)溫標國際實用溫標

三、氣體的物態(tài)方程

1、理想氣體的物體方程

①單一成分的理想氣體

②混合理想氣體

2、非理想氣體的物態(tài)方程

①范德瓦耳斯方程

②昂內(nèi)斯方程

習(xí)題解答

1、定容氣體溫度計的測溫泡浸在水的三相點槽內(nèi)時，其中氣體的壓強為50mmHg。

(1)用溫度計測量300K的溫度時，氣體的壓強是多少？

(2)當氣體的壓強為68mmHg時，待測溫度是多少？

解：對于定容氣體溫度計可知：

(1)

(2)

6、水銀溫度計浸在冰水中時，水銀柱的長度為4.0cm;溫度計浸在沸水中時，水銀柱的長

度為24.0cm.

(1)在室溫22.0℃時，水銀柱的長度為多少？

(2)溫度計浸在某種沸騰的化學(xué)溶液中時，水銀柱的長度為25.4cm,試求溶液的溫度。

解：設(shè)水銀柱長/與溫度械線性關(guān)系：

L=at+b當t=Ot時則X。必

.,.b=l代入上式L=at+1

當力乙時貝

??3=(Li~~Lg)/ti

(1)L===8.4(cm)

(2)/=(C-Lo)/a==107V

12、一定質(zhì)量的氣體在壓強保持不變的情況下，溫度由50C升到100C時，其體積將改變百

分之幾？

解：根據(jù)方程

則體積改變的百分比為15.5%

13、-氧氣瓶的容積是32￡,其中氧氣的壓強是/3%防，規(guī)定瓶內(nèi)氧氣壓強降到,施加時就

得充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶，今有?玻璃室，每天需用，詼勿氧氣4。?！?問一瓶

氧氣能用幾天。

解：先作兩點假設(shè)：

（1）氧氣可視為理想氣體（2）在使用氧氣過程中溫度T不變，則：

由可有

每天用掉的氧氣質(zhì)量為

瓶中剩余氧氣的質(zhì)量為

???（天）

19、求氧氣在壓強為的切、溫度為27c時的密度。

解：已知氧的俯：3題?

14、水銀氣壓計中混進了一個空氣泡，因此它的讀數(shù)比實際的氣壓小，當精確的氣壓計的

讀數(shù)為7M他時，它的讀數(shù)只有74物吸。此時管內(nèi)水銀面到管頂?shù)木嚯x為偏問當此

氣壓計的讀數(shù)為734加加％時，實際氣壓應(yīng)是多少。設(shè)空氣的溫度保持不變。

解：設(shè)管子橫截面為S,在氣壓計讀數(shù)為九二74刎％和力=73為哪時，管內(nèi)空氣壓強分別為

0,和R，根據(jù)靜力平衡條件可知，，且p=768mmHg,l=80nim

由于7、m不變

根據(jù)方程

有，而

21、一打氣筒，每打一次可將原來壓強為，溫度為，體積的空氣壓縮到容器內(nèi)。設(shè)容器的

容積為，問需要打兒次氣，才能使容器內(nèi)的空氣溫度為，壓強為。

解：打氣后壓強為：，題上未說原來容器中的氣體情況，可設(shè)原來容器中沒有空氣，設(shè)所

需打氣次數(shù)為，則，

(1)

(2)

將得：次

26、按重量計，空氣是由的氮，的氧，約的就組成的(其余成分很少，可以忽略)，計

算空氣的平均分子量及在標準狀態(tài)下的密度。

解：設(shè)總質(zhì)量為勿的空氣中，氧、氮、晁的質(zhì)量分別為例，m氟、氮、氮的分子量分別

為M"總%

空氣的摩爾數(shù)

則空氣的平均摩爾質(zhì)量為

即空氣的平均分子量為28.9

空氣在標準狀態(tài)下的密度

27、把的氮氣壓入?容積為的容器，容器中原來已充滿同溫同壓的氧氣。試求混合氣體

的壓強和各種氣體的分壓強，假定容器中的溫度保持不變。

解：根據(jù)道爾頓分壓定律可知又由狀態(tài)方程且溫度、質(zhì)量不變。

第二章氣體分子運動論的基本概念

?本章學(xué)習(xí)目標

1、深刻理解物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和理想氣體的微觀模型。

2、理解理想氣體的壓強與溫度的微觀本質(zhì)。

3、了解常用的分子簡化模型，應(yīng)用勢能曲線研究分子碰撞過程。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、物質(zhì)的微觀模型

2、理想氣體的壓強

3、溫度的微觀解釋

4、分子力

5、范德瓦耳斯氣體的壓強

?本章重點

1、壓強公式和溫度公式

2、理想氣體的微觀模型，范德瓦耳斯氣體的壓強

?本章教學(xué)學(xué)時

計劃：8學(xué)時實際：7學(xué)時（含1學(xué)時習(xí)題）

§1.物質(zhì)的微觀模型

分子動理論是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)來闡明熱現(xiàn)象的規(guī)律。

1宏觀物體是由大量微粒-分子（或原子）組成的

物質(zhì)由大量分子所組成的論點是指宏觀物體是不連續(xù)的，它由大量分子或原子（離子）所組成的。

物。/物質(zhì)中的分子數(shù)，即阿伏伽德羅常量

二、物體內(nèi)的分子在不停地運動著，這種運動是無規(guī)則地，其劇烈程度

與物體的溫度有關(guān)

擴散現(xiàn)象說明：一切物體（氣體、液體、固體）的分子都在不停地運動著。

實驗觀察：擴散現(xiàn)象，布朗運動

布朗運動并非分子的運動，但它能間接反映出液體（或氣體）內(nèi)分子運動的無規(guī)則性。

無規(guī)則：由于分子之間的相互碰撞，每個分子的運動方向和速率都在不斷地改變；任何時刻，在液體或氣體

內(nèi)部，沿各個方向運動的分子都有，而且分子運動的速率有大有小。

分子的熱運動：分子的無規(guī)則運動。（與物體的溫度有關(guān)）

漲落現(xiàn)象：偏離統(tǒng)計平均值的現(xiàn)象。

例：某隨機變量的平均值，則在附近的偏差為，，均方偏差不等于零，其相對均方根偏差稱為漲落。

一個由大量子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，其可測的宏觀量是眾多子系統(tǒng)的統(tǒng)計平均效應(yīng)的反映。但系統(tǒng)在每一時刻的

實際測度并不都精確地處于這些平均值上，而是或多或少有些偏差，這些偏差就叫漲落，漲落是偶然的、雜

亂無章的、隨機的。

三、分子之間有相互作用力

1吸引力和排斥力

很多物質(zhì)的分子引力作用半徑約為直徑的兩倍作用，超過這?距離，分子間相互作用力已很少。

排斥力作用半徑就是兩分子剛好“接觸”時兩質(zhì)心間的距離。

排斥力發(fā)生作用的距離比吸引力發(fā)生作用的距離還要小。

2、分子力與分子熱運動

分子力是一種電磁相互作用力，故它是一種保守力，它應(yīng)該有勢能，稱為分子作用力勢能。（分子力是由一

個分子中所有的電子和核與另一個分子中所有的電子和核之間復(fù)雜因素所產(chǎn)生的相互作用的總和。）

總結(jié):一切宏觀物體都是由大量分子（或原子）組成的；所有的分子都處在不停的、無規(guī)則熱運動中；分子

之間有相互作用力。

分廣力的作用將使分廣聚集在?起，在空間形成某種規(guī)則的分布（有序排列），而分子的無規(guī)則運動將破壞

這種有序的排列，使分子分散開。

溫度升高溫度升高

固體狀態(tài)液體狀態(tài)氣體狀態(tài)

§2.理想氣體的壓強

一、理想氣體的微觀模型

理想氣體的微觀模型具有以下特點：

（1）分子木身的線度比起分子之間的平均距離來可以忽略不計，即對分子可采用質(zhì)點模型。（氣體分子間距

大約是分子本身線度的io倍。）

（2）除碰撞的一瞬間外，分子之間以及分子與容器壁之間相互作用力可忽略不計。分子所受的重力也可以忽

略。分子在兩次碰撞之間做自由的勻速直線運動。

（3）分子與容器壁以及分子之間的碰撞屬于牛頓力學(xué)中的完全彈性碰撞，即氣體分子的動能不因碰撞而損失。

綜上所述，經(jīng)過抽象與簡化，理想氣體可以看成是一群彼此間無相互作用的無規(guī)運動的彈性質(zhì)點的集合,

這就是理想氣體的微觀模型。

在常溫下，壓強在數(shù)個大氣壓以下的氣體，一般都能很好地滿足理想氣體方程。

課本P53思考題1

二、理想氣體的壓強公式

1、關(guān)于氣體分子集體的統(tǒng)計假設(shè)

對于平衡態(tài)下的理想氣體系統(tǒng)中的大量分子，可作如下統(tǒng)計假設(shè)：

1無外場時，分子在各處出現(xiàn)的概率相同，即容器中單位體積內(nèi)的分子數(shù)處處相等。一分子數(shù)密度

2由于碰撞，分子可以有各種不同的速度，速度取向各方向等概率，分子速度在各個方向分量的各種

統(tǒng)計平均值相等。（；）

2、理想氣體壓強公式

（1）定性解釋

壓強：密閉容器（如氣缸）內(nèi)的氣體對容器的器壁有壓力作用，作用在單位面積器壁上的壓力。

從氣體動理論的觀點看來：氣體在宏觀上施于器壁的壓強，是大量分子對器壁不斷碰撞的結(jié)果。

最早使用力學(xué)規(guī)律來解釋氣體壓強的科學(xué)家是伯努利。他認為：氣體壓強是大量氣體分子單位時間內(nèi)給予器

壁單位面積上的平均沖量。

(2)定量推導(dǎo)

前提：平衡態(tài)、忽略重力、分子看成質(zhì)點(只考慮分子的平動)

設(shè)在任意形狀的容器中貯有?定量的理想氣體，體積為匕共含有八個分子，單位體積內(nèi)的分子數(shù)為〃力/匕每

個分子的質(zhì)量為儂分子具有各種可能的速度，把分子分成若干組，每組內(nèi)的分子具有大小相等、方向一致

的速度，并假設(shè)在單位體積內(nèi)各組的分子數(shù)分別為〃“"2,…，貝上

設(shè)某一分子以速度運動并與曲面碰撞，碰撞后速度變?yōu)椤?/p>

推導(dǎo)過程：

(1)計算單個分子速度為與器壁M面碰撞一次的過程中施于曲面的沖量：

(2)4時間內(nèi)速度為能與口面發(fā)生碰撞的分子總數(shù)：

(M為底，為高，為軸的斜形柱體的體積內(nèi)，的分子。)

34時間內(nèi)速度為能與曲面發(fā)生碰撞的分子對必面的沖量：

4八時間內(nèi)所有分子對力面的總沖量：

5器壁所受的宏觀壓強：

(6)為了使結(jié)果的物理意義更明確，對壓強表示式進行化簡。

根據(jù)統(tǒng)計假設(shè)，所以

應(yīng)用這一關(guān)系，得到理想氣體的壓強公式：

式中是氣體分子平均平動動能。

一一表征三個統(tǒng)計平均量之間相互聯(lián)系的一個統(tǒng)計規(guī)律，而不是一個力學(xué)規(guī)律。

氣體壓強是系統(tǒng)中所有分子對器壁碰撞的平均效果，是大量分子熱運動的集體表現(xiàn)。壓強是大量分子對時間、

對面積的統(tǒng)計平均結(jié)果。

壓強的物理意義:

注意的問題:一是容器的各個器壁上的壓強都是相等的。二是壓強公式與容器大小無關(guān)，還與容器的形狀無

關(guān)。

上述表明:氣體的壓強與分子數(shù)密度和平均平動動能都成正比。這個結(jié)論與實驗是高度致的，它說明了我

們對壓強的理論解釋以及理想氣體平衡態(tài)的統(tǒng)計假設(shè)都是合理的。

壓強的單位:

［例題］某理想氣體的壓強P=l.00X10-%切7,密度,=1.24X107kg/d,求氣體分子的方均根速率（即方均速

率的平方根）。若該氣體為雙原子理想氣體，且溫度為￡=。口問該氣體是何種氣體？

解：按壓強公式，方均根速率為：

氣體的密度與分子的數(shù)密度和分子的質(zhì)量/施關(guān)系為：

將其代入上式，即得

由理想氣體的物態(tài)方程，可得

故氣體的摩爾質(zhì)量

所以，該氣體是摩爾質(zhì)量的N或4

課本P54思考題6,7,8

§3.溫度的微觀解釋

2溫度的微觀解釋

1、理想氣體的溫度公式

理想氣體的壓強公式：

理想氣體的物態(tài)方程：

由,，一阿伏伽德羅常量（1摩爾氣體所含的分子數(shù)）

得：

令一一玻耳茲曼常量

得平衡態(tài)下理想氣體的溫度公式：或

溫度的微觀解釋：標志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的劇烈程度。溫度越高就表示平均說來物體內(nèi)部分子熱運

動越劇烈。溫度是由大量分子熱運動的集體表現(xiàn)，也是含有統(tǒng)計意義，對于少數(shù)或單個分子談溫度是沒有意

義的。

理想氣體的溫度公式表明:氣體分子的平均平動動能惟一決定于溫度，并與熱力學(xué)溫度成正比。在相同的溫

度下，氣體分子的平均平動動能相同而與氣體的種類無關(guān)。也就是說，如果有一團由不同種類的氣體混合而

成的氣體處于熱平衡狀態(tài)，不同的氣體分子的運動可能很不相同，但它們的平均平動動能卻是相同的。

課本P45

［例題1］求氣體分子的平均平動動能。

［例題2］在多高溫度下，氣體分子的平均平動動能等于一個電子伏特？

溫度7=3仇%的氣體分子的平均平動動能為多少個電子伏特？

解：按照溫度公式

2、方均根速率

由，，

得氣體分子的方均根速率：

［例題3］計算氫分子的方均根速率。

課本P54思考題11,13,14,15,16

二、對理想氣體定律的推證

由分子動理論的一般規(guī)律出發(fā)一一確定理想氣體的宏觀規(guī)律

（壓強公式，溫度公式）

1阿伏伽德羅定律

將代入壓強公式得：

可見：在相同的溫度和壓強下，各種氣體在相同的體積內(nèi)所含的分子數(shù)相等。

一一阿伏伽德羅定律。

例：在標準狀態(tài)下，，時，任何氣體在1層中含有的分子數(shù)都等于：

2、道爾頓分壓定律

設(shè)有幾種不同的氣體，混合地貯在同一容器中，它們的溫度相同，根據(jù)理想氣體的溫度公式，得:

設(shè)單位體積內(nèi)所含各種氣體的分子數(shù)分別為則單位體積內(nèi)混合氣體的總分子數(shù)為：

代入壓強公式，得到混合氣體的壓強為：

上式說明：混合氣體的壓強等于組成混合氣體的各成份的分壓強（單獨存在）之和。

―道爾頓分壓定律

［例題4］求每立方米內(nèi)的分子數(shù)。

?課后作業(yè)題：

P553,5,9,12

§4.分子力

分子熱運動和分門訶的相互作用是決定物質(zhì)各種熱學(xué)性質(zhì)的基本因素。

3分子之間存在相互作用力一一分子力

：斥力和引力互相抵消，合力為零（平衡位置）

：強大的斥力作用范圍，且r增加，/急劇增加

：強大的引力作用范圍，且工增加時，碗增加再減少

圖2-7（b）是分子勢能曲線

:,勢能有極小值

：勢能曲線有很陡的負斜率，很強的斥力

：勢能曲線的斜率是正的，引力

根據(jù)勢能曲線說明兩個分子的相互“碰撞”過程

二、簡化模型

(1)體積趨向于零的剛球模型

作為兩分子質(zhì)心間距離加函數(shù)的勢能滿足以下關(guān)系：

,當

,當

其勢能曲線如圖2-8(a)所示，對應(yīng)的物態(tài)方程是理想氣體方程。

(2)剛球模型

,當

,當

其勢能曲線如圖2-8(6)所示

(3)蘇則朗模型

,當

,當

即把分子看作相互有吸引力的剛球，其勢能曲線如圖2-8(c)所示

注意

(1)何視為分子力程；數(shù)量級在數(shù)量級，可看為分子直徑(有效直徑)。

(2)分子力是電性力，大于萬有引力

§5.范德瓦耳斯氣體的壓強

理想氣體：7較高，。較小時，滿足理想氣體的物態(tài)方程；

真實氣體：7較低，。較大時，不滿足理想氣體的物態(tài)方程。

找真實氣體物態(tài)方程的途徑：從實驗中總結(jié)出經(jīng)驗的或半經(jīng)驗的公式；修改理想氣體模型，在理論上導(dǎo)出物

態(tài)方程。1873年，范德瓦爾斯用簡潔的物理模型導(dǎo)出了真實氣體的物態(tài)方程--范德瓦爾斯方程。

問題：理想氣體模型忽略了分子的體積(分子間的斥力)和分子間的引力。理想氣體狀態(tài)方程在低溫高壓時

偏差很大，找真實氣體的狀態(tài)方程成為當時的熱門課題。

研究方法：

1實驗一規(guī)律（經(jīng)驗公式）一準確性高但應(yīng)用范圍狹窄

2建立模型一統(tǒng)計運算一統(tǒng)計規(guī)律一應(yīng)用范圍廣，但準確性與模型有關(guān)

3兩者結(jié)合，互相修正、補充

范德瓦耳斯的想法：

1、高壓下，分子線度不可忽略一一體積要修正

2、低溫、高壓下，分子間相互作用力不可忽略一一壓強要修正

范德瓦耳斯氣體的模型：

（1）分子是直徑為"的剛球；

（2）在d上的范圍內(nèi)，分子間有恒定引力。這就是有引力的剛球分子模型。

一、分子體積所引起的修正

加。/理想氣體的壓強為：

一一每個分子可以自由活動的空間的體積

如果把分子看作有一定體積的剛球，則每個分子能自由活動的空間不再等于容器的容積。

理想氣體的壓強修正為：

體積修正：

戾考慮到分子本身體積后而對氣體體積的修正量，理論上證明：

為/0。/氣體內(nèi)所有分子體積的總和

為加。/理想氣體內(nèi)所有分子體積的總和

氣體的諾貝爾方程：

vm/氣體的諾貝爾方程：

由于分子有一定的體積，分子與器壁的碰撞將比不計分子體積時的碰撞更頻繁，因而使壓強增大。

二、分子間引力所引起的修正

考慮分子間的引力，分子在靠近器壁區(qū)域中受到向內(nèi)的拉力，將使它在垂直于器壁方向上的動量減小，因而

器壁實際受到的壓強比經(jīng)過體積修正的值還要小一些。氣體施于器壁的壓強實際為

一一氣體的內(nèi)壓強

內(nèi)壓強：氣體表面層單位面積上所受內(nèi)部分子的引力。

=（單位時間內(nèi)與單位面積器壁相碰的分子數(shù)）

又

得

比例系數(shù)a：由氣體的性質(zhì)決定，反映氣體分子引力的一個常量。表示10。/氣體在占有單位體積時，由于分子

間相互吸引作用而引起的壓強減小量。

適用于10。/氣體的范德瓦耳斯方程：

范德瓦耳斯方程

①10。/氣體的范德瓦耳斯方程：

②V00/氣體的范德瓦耳斯方程：

③質(zhì)量為0的真實氣體的范德瓦耳斯方程：

課本P54思考題17,18,19

第二章小結(jié)

一、兩個微觀模型

1、物質(zhì)的微觀模型

2、理想氣體的微觀模型

二、兩個公式

1、理想氣體的壓強公式

2、理想氣體的溫度公式

三、真實氣體

1、微觀模型

分子力和分子勢能

2、真實氣體的物態(tài)方程一一范德瓦耳斯方程

習(xí)題解答

3、■-容積為11.2L的真空系統(tǒng)已被抽到1.0X10%mHg的真空。為了提高其真空度，將它放在300℃的烘

箱內(nèi)烘烤，使器壁釋放出吸附的氣體。若烘烤后壓強增為1.0X10%mHg,問器壁原來吸附了多少個氣

體分子。

解：設(shè)烘烤前容器內(nèi)分子數(shù)為/%,烘烤后的分子數(shù)為川。根據(jù)上題導(dǎo)出的公式則有：

因為3與0相比差數(shù)量，而烘烤前后溫度差與壓強差相比可以忽略，因此與相比可以忽略

個

5、一容器內(nèi)有氧氣，其壓強p=LOatm,溫度為t=27"C,求

(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：

(2)氧氣的密度；

(3)氧分子的質(zhì)量；

(4)分子間的平均距離；

(5)分子的平均平動能。

解：⑴

(2)

(3)

(4)設(shè)分子間的平均距離為

因每個分子平均分配到自由活動體積為

(5)分子的平均平動能為：

8、質(zhì)量為/四的氮氣，當壓強為體積為77。比/時，其分子的平均平動能是多少？

解：；而

9、質(zhì)量為520g,溫度為/&Of的氨氣裝在容積為/。.位的封閉容器內(nèi)，容器以卜=2%小的速率作勻

速直線運動。若容器突然靜止，定向運動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運動的動能，則平衡后氮氣的溫度

和壓強將各增大多少？

解：由于容器以速率M乍定向運動時，每一個分子都具有定向運動，其動能等于，當容器停止運動時,

分子定向運動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運動的能量，每個分子的平均熱運動能量則為

因為容器內(nèi)氮氣的體積一定，所以

故，又由

得：

11、試計算氫氣、氧氣和汞蒸氣分子的方均根速率，設(shè)氣體的溫度為300K,已知氫氣、氧氣和汞蒸氣

的分子量分別為2.02、32.0和201。

解

12、氣體的溫度為7=273K,壓強為p=l.00X102atm,密度為P=1.29X10%

(1)求氣體分子的方均根速率。

(2)求氣體的分子量，并確定它是什么氣體。

解：(1)——

該氣體為空氣

第三章氣體分子熱運動速率和

能量的統(tǒng)計分布律

?本章學(xué)習(xí)目標

1、理解麥克斯韋速率分布函數(shù)和速率分布曲線的物理意義；

2、掌握氣體分子熱運動的平均速率，方均根速率和最概然速率。

3、了解玻耳茲曼能量分布。

4、理解分子運動自由度的概念，掌握能量按自由度均分定理，明確氣體內(nèi)能的微觀意義。

掌握理想氣體的內(nèi)能公式。

5、通過理想氣體的定容摩爾熱容的理論值與實驗值的比較，明確經(jīng)典理論的困難以及對量

子論建立的作用。

?本章教學(xué)內(nèi)容

1、氣體分子的速率分布律

2、用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律

3、玻爾茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布

4、能量按自由度均分定理

?本章重點

麥克斯韋速率分布律和速度分布律

?本章教學(xué)學(xué)時

計劃：8學(xué)時實際：12學(xué)時（含1學(xué)時習(xí)題）

補充數(shù)學(xué)知識

一、概率的基本性質(zhì)

1、概率的定義

隨機事件：在一定條件下，如果某一現(xiàn)象或某一事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件

稱為隨機事件。

若在相同條件下重復(fù)進行同一個試驗，在總次數(shù)促夠多的情況下（N-8）,計算所出現(xiàn)

某一事件的次數(shù)瓦，則這一事件出現(xiàn)的百分比就是該事件出現(xiàn)的概率：

分布函數(shù)的物理意義通常可以用兩種完全等價的方式來闡明。其一是，擲出數(shù)值的次數(shù)占

總投擲次數(shù)A的比率；其二是，任意投擲一次，擲出數(shù)值為的概率（可能性）。

2、等概率性

一一在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)概率更大些（或更小些）的情況下，每一事件出現(xiàn)的概

率都應(yīng)相等。

統(tǒng)計物理學(xué)實質(zhì)上只包含等概率原理這一個基本假定：如果對于系統(tǒng)的各種可能的狀態(tài)沒

有更多的知識，就可暫假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。

3、概率的基本法則

（1）概率相加法則

一一〃個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和。

（2）概率相乘法則

一一同時或依次發(fā)生的，互不相關(guān)（相互統(tǒng)計獨立）的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率

之乘積。

二、隨機變量的概率分布函數(shù)

一一如果一變量在一定條件下，能以確定的概率取各種不同的數(shù)值，則該變量稱為隨機變

量。（分為離散型和連續(xù)型）

隨機變量的概率分布：隨機變量的取值及其與相應(yīng)的概率之間的關(guān)系。

離散型：

為隨機變量x的概率分布，滿足條件：

①

②歸一化條件

連續(xù)型：隨機變量x可取某一區(qū)間內(nèi)的一切數(shù)值。

（）隨機變量X取值在xi+dx內(nèi)的概率少⑴為：

一一概率密度滿足條件：

①

②歸一化條件

對于取連續(xù)值的隨機變量，其概率隨隨機變量值的變化的分布規(guī)律不是由概率分布函數(shù)來

表述，而是由概率密度函數(shù)來表述，概率密度函數(shù)給出了隨機變量出現(xiàn)的概率分布，也稱

為隨機變量的分布函數(shù)。

離散量與連續(xù)量的分布函數(shù)

§1.氣體分子的速率分布律

研究平衡態(tài)下氣體分子速率的統(tǒng)計分布規(guī)律，闡明統(tǒng)計規(guī)律的一些性質(zhì)和特點。

1速率分布函數(shù)

1、速率分布函數(shù)的定義

在平衡態(tài)下，氣體分子速率的大小各不相同。由于分子的數(shù)目巨大，速率丫可以看作在

0~8之間連續(xù)分布的。此時分子的速率分布函數(shù)應(yīng)該這樣來定義：

1假設(shè)系統(tǒng)的總分子數(shù)為此

2在速率之間的分子數(shù)為成V；

3來表示在速率「?"ds之間的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率；或者對于任意一個分子來

說，這是它的速率處于/?"dv之間的概率。

4由于和速率區(qū)間力的大小成正比（即d礴大則越大），通常用來反映氣體分子的速率分

布，它與所取區(qū)間"?。┐笮o關(guān)而僅與速率帝關(guān)。我們把這個比值定義為平衡態(tài)下的

速率分布函數(shù)：

表示分布在速率-附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。對于處在一定溫度下的

氣體，它只是速率/的函數(shù)。

2、速率分布函數(shù)的物理意義

一一在速率印付近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)八的比率；或者說，對于任意

一個分子而言，它的速率剛好處于他附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率，故也稱為分子速率分布

的概率密度。

對于任意一個分子來說，它的速率是多大是偶然的，但卻具有一定的概率分布。只要

給出了速率分布函數(shù)，整個分子的速率分布就完全確定了。

3、速率分布函數(shù)的應(yīng)用

由速率分布函數(shù)可求出：

y?y+dK區(qū)間的分子數(shù)：

V?"dl/g間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比率，即一個分子的速率在“?K4岳間的概率：

在速率分布函數(shù)的曲線上，它表示曲線下一個微元矩形的面積。（此意義在速率分布曲線

部分講）

區(qū)間的分子數(shù)可以用積分表示為：

區(qū)間的分子數(shù)在總數(shù)中占的比例，即一個分子的速率在區(qū)間的概率：

在分布曲線上，它表示在間曲線下的面積。（此意義在速率分布曲線部分講）

令，則即為全部分子數(shù)/V；故有

此式稱為速率分布函數(shù)的歸一化條件，表示所有分子與分子總數(shù)的比率為1,即一個分

子速率在區(qū)間的概率為1。在分布曲線上，它表示在區(qū)間曲線下的面積為1。（此意義在速

率分布曲線部分講）

課本P82思考題2（1）、（2）、（3）、（4）

二、麥克斯韋速率分布律

1、麥克斯韋速率分布律

在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的分子的比率為:

即速率分布函數(shù)為：

這個函數(shù)表達的速率分布規(guī)律叫做麥克斯韋速率分布律。式中，物理想氣體平衡態(tài)的

熱力學(xué)溫度，如為每個氣體分子的質(zhì)量，A為玻耳茲曼常量。

2、速率分布曲線

從下面的曲線（速率分布曲線）觀察的氣體分子速率分布的特點。

曲線下矩形面積的物理意義：

1圖中任一區(qū)間內(nèi)曲線下的窄條面積表示速率分布在這區(qū)間內(nèi)分子的比率；

②圖中任一有限范圍內(nèi)曲線下的面積則表示在這個范圍內(nèi)分子的比率；

③由歸一化條件，在區(qū)間曲線下的面積為1。

3、最概然速率

最概然速率一一極大值對應(yīng)的速率

物理意義：在附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占系統(tǒng)總分子數(shù)的比率最大；或者說，對

于一個分子而言，它的速率剛好處于附近單位速率區(qū)間內(nèi)的概率最大。

要確定，令

解出：

即溫度越高，越大；分子的質(zhì)量越大，越小。

上式規(guī)律表明對于給定的氣體（即加一定），分布曲線的形狀隨溫度而變；在同一溫度下,

分布曲線的形狀因氣體的不同（即力不同）而異。如圖3-2（a）,不同溫度下的分布曲線。

同樣實線對應(yīng)分子質(zhì)量（或相對分子質(zhì)量）較大的氣體，虛線對應(yīng)于分子質(zhì)量（或相對分

子質(zhì)量）較小的氣體，則圖3-2表示，不同種類氣體的分布曲線。

3、漲落現(xiàn)象

假設(shè)分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的統(tǒng)計平均值為，則實際分子數(shù)對于這一統(tǒng)計平均值

的偏離范圍，即漲落幅度基本上是，而漲落的百分數(shù)就是。由此可知，分子數(shù)越大，漲落

的百分數(shù)就越小，即相對地說漲落現(xiàn)象越不顯著；反之，漲落的百分數(shù)就越大，統(tǒng)計規(guī)律

的結(jié)論就失去了意義。因此，麥克斯韋速率分布律只對大量分子組成的體系才成立。

麥克斯韋速率分布律只適用于氣體的平衡態(tài)。

課本P82思考題3、4、

補充數(shù)學(xué)知識

三、統(tǒng)計平均值一一數(shù)學(xué)期望

1、離散型隨機變量

一般來說，假定某量有心卜測量值，測量結(jié)果為?的有可個，為對的有也個，…為治的有

“個，按照求平均值的方法，該量測量的平均值應(yīng)該是

同理，該量測量的方均值（先平方后再求平均值）應(yīng)該是

實際上只要把上面的式中的用來代替就達到上式。

2、連續(xù)型隨機變量

統(tǒng)計平均值：

方均值：

四、方差（漲落）

——表示隨機變量X的取值在平均值附近分散的程度。

（或描述X在其統(tǒng)計平均值上下漲落的平均幅度。）

三、用麥克斯韋速率分布函數(shù)求平均值

1、分子的平均速率

一一大量分子的速率的算術(shù)平均值。

將速率分布函數(shù)代入上式積分，得：

補充提示：

任意區(qū)間內(nèi)的平均速率：

2、分子的方均根速率

分子速率平方的平均值：

分子的方均根速率：

補充提示：

任意區(qū)間內(nèi)的速率平方的平均值:

從上述三式可以清楚地看出，為了計算，或，實際上只要給定速率分布函數(shù)就可以了，

可見速率分布函數(shù)的重要性。

3、最概然速率

最概然速率、平均速率和方均根速率統(tǒng)稱為速率分布的特征速率。都與成正比，與或

成反比。三種速率中，最大，次之，最小。當氣體的溫度環(huán)口摩爾質(zhì)量廨目同時，：：=1.41:

1.60:1.73

課本P82思考題2(5)、(6),6,7,8

?課后作業(yè)題：

課本P831,2,5,6課本P8412,13(做課堂例題處理)

作業(yè)為例1和例2

［例1］對于給定的理想氣體，試分別求，和的速率附近與最概然速率的附近相比，在相同的

速率小區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比。

解：由，可得任意速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

當很小時，在該速率區(qū)間內(nèi)近似不變，可將上式簡化為

因而，當速率分別為r和%時，由相同，有

理想氣體的分子速率，遵守麥克斯韋速率分布。由可得

以最概然速率代入上式，又有

分別以，和代入上式，可以算出：

時，

時，

時，

顯然，速率越是偏離最概然速率，區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)越少。

［例2］一由N個粒子組成的系統(tǒng)，平衡態(tài)下粒子的速率分布曲線如下圖所示。試求:

(1)速率分布函數(shù)；

(2)速率在0?%/范圍內(nèi)的粒子數(shù)；

(3)粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。

解：(1)按上圖所示的速率分布曲線形狀，應(yīng)有

0

0

A為0?%之間直線段的斜率。由速率分布函數(shù)的歸一化條件，可得

故速率分布函數(shù)為()

0

(2)速率在范圍內(nèi)的分子數(shù)為：

(3)由和，可得粒子的平均速率

方均速率：

故方均根速率:

最概然速率是具有最大值，即速率分布曲線峰值所對應(yīng)的速率。由圖中的速率分布曲

線，可得

四、麥克斯韋速度分布律

以上討論的是氣體分子按速率分布的規(guī)律，對分子的速度的方向未作任何確定。下面進一

步介紹氣體分子按速度分布的規(guī)律。

1、速度空間

一一以為軸的直角坐標（或以為坐標的球坐標系）所確定的空間。

速度空間中一個點代表什么：從原點向某一點畫出一矢量，該矢量的大小和方向就是所對

應(yīng)的速度矢量。

速度空間中的一個微分體積元表示：速度矢量的取值范圍在，，范圍內(nèi)的所有那些速度矢

量的整體，而是該立方體微分元中最靠近原點的那一點的坐標。

2、麥克斯韋速度分布律

①麥克斯韋速度分布函數(shù)

分子速度在區(qū)間內(nèi)的概率：

分子速度在附近單位區(qū)間內(nèi)的概率：

在平衡狀態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時,速度分量在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi)，在

區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：

一一麥克斯韋速度分布律

則速度分量，，在附近單位區(qū)間內(nèi)的分子的比率為：（概率分布密度）

一一麥克斯韋速度分布函數(shù)

②速度分量的分布函數(shù)

由概率相乘法則：，同時相互獨立

則

即

速度分量的分布函數(shù):

速度分量的分布函數(shù)

同理有的分布函數(shù)

的分布函數(shù)

由速度分量的分布函數(shù)描繪出的速度分量的分布曲線如左圖，圖中曲線下的矩形陰影部分

面積為：

也可通過積分求解：

由積分表求出：

得到各速度分量的分布函數(shù)。

③注意點

適用范圍：麥克斯韋在導(dǎo)出速度分布律過程中沒有考慮到氣體分子間的相互作用，故這一

速度分布律只適用于處于平衡態(tài)的理想氣體。

歸一化條件：

最概然速度的概念：速度分布中概率取極大時的速度就是最概然速度。由麥克斯韋速度分

布律可得出，時，概率取極大。則最概然速度就是速率為零處的速度，或者說是速度矢量

等于零處的速度。與最概然速率是兩個完全不同的概念。

［思考題］分析以下各式的物理意義

①表示：速度空間中任何位置處的概率密度

②表示:速度空間中的分子數(shù)密度

③表示：三個速度分量在，，范圍內(nèi)的概率或速度矢量端點落在速度空間中體積元內(nèi)的

分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。

④表示：意義與相同。

⑤表示：三個速度分量在，，而范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點落在速度空間中截

面積為，其棱平行于軸的無窮長柱體中分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

⑥表示：三個速度分量在，而，范圍內(nèi)的概率；也表示速度矢量端點落在速度空間中垂直

于軸厚度為的無窮薄平板中的分子數(shù)與總分子數(shù)之比。

3、從麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出速率分布

速率分布律是速度分布律的特殊情形，是由速度分布律導(dǎo)出的。

在平衡狀態(tài)下，分布在任一速率區(qū)間內(nèi)的速度矢量端點都落在半徑為％厚度為"淵球殼層

內(nèi)。

球殼層的體積：，同時

代入麥克斯韋速度分布律：中

得到麥克斯韋速率分布律：

4、由麥克斯韋速度分布律導(dǎo)出氣體分子碰壁數(shù)及氣體壓強公式

①用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)（瀉流問題）

見課本P63的例題得出每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：

瀉流：從小孔跑出的氣體分子數(shù)對容器內(nèi)的氣體平衡狀態(tài)的影響可以忽略，則容器壁小孔

的漏氣現(xiàn)象稱為瀉流。通常小孔截面的線度不大于氣體分子的平均自由程，小孔的

漏氣就滿足瀉流條件。

2推導(dǎo)理想氣體的壓強公式

在九時間內(nèi)速度在，，范圍內(nèi)，碰撞在M面元上的分子數(shù)：

速度分量為的氣體分子對面元必的沖量：

考慮的分子才能碰上曲面，，則氣體分子對M面的總沖量為：

壓強為：

證明結(jié)果與第二章結(jié)果相同。

以上證明中并未使用麥克斯韋速度分布函數(shù)，說明壓強公式具有普適性。只要是非相對論

的()無相互作用的系統(tǒng)，上式總能適用。

如果從分子速率防離散量出發(fā)：

每秒碰到單位面積器壁上的氣體分子數(shù)：

壓強：()

?課后作業(yè)題：

課本P847,10

五、誤差函數(shù)(自我閱讀)

速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：

速度分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)：

令

則，即分子的最概然速率

定義誤差函數(shù)，則

由課本P81附錄3-2誤差函數(shù)簡表可查不同Mf對應(yīng)的近似值。

例題：計算速度x分量在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。

六、統(tǒng)計規(guī)律性和漲落現(xiàn)象

1、統(tǒng)計規(guī)律性

（1）什么是統(tǒng)計規(guī)律性？

統(tǒng)計規(guī)律性是對大量偶然事件整體起作用的規(guī)律，它表現(xiàn)了這些事物整體的本質(zhì)和必然的

聯(lián)系。對于由大量分子組成的熱力學(xué)系統(tǒng)從微觀上加以研究時，必須用統(tǒng)計的方法。

（2）統(tǒng)計規(guī)律的特點：

①只對大量偶然的事件才有意義。

②它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律（量變到質(zhì)變）。

③大數(shù)量現(xiàn)象在一定宏觀條件下的穩(wěn)定性。

④統(tǒng)計規(guī)律是以動力學(xué)規(guī)律為基礎(chǔ)的，統(tǒng)計規(guī)律不可能脫離由動力學(xué)規(guī)律所決定的個別事

件而單獨存在。

⑤統(tǒng)計規(guī)律永遠伴隨著漲落現(xiàn)象。

2、漲落現(xiàn)象

測量值與統(tǒng)計值之間總有偏差。處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強,,不隨時間改變,

但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，分子數(shù)越多，漲落就越小。布朗

運動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。

課本P83思考題14,15

§2.用分子射線實驗驗證麥克斯韋速度分布律

一、分子射線

實驗中氣體?般用金屬（如銀、被、針等）蒸氣。蒸氣壓由金屬材料的性質(zhì)和加熱溫度決

定。

二、葛正權(quán)實驗

此實驗的主要困難是：鈕蒸氣中同時含有單原子分子由、雙原子分子及和少量三原子分子

Bh,而這三種組分的含量卻是未知的。若加上這三種組分的含量（指每種組分的物質(zhì)的量

和總物質(zhì)的量的百分比）分別為44樂54%和2隊則實驗結(jié)果與麥克斯韋速率分布律很好地

符合。

三、密勒和庫士實驗

比較精確地驗證麥克斯韋速率分布定律的實驗是1955年進行的密勒一庫什實驗。實驗

裝置如圖。

密勒一庫什實驗裝置

整個裝置都放在抽成高真空的容器內(nèi)。實驗時，圓柱體以一定的角速度3旋轉(zhuǎn)，從加熱

的蒸氣源逸出后進入溝槽的分子中，只有那些沿軸向通過距離/所用時間恰好等于圓柱體轉(zhuǎn)

動角度9所需時間的分子，即速率滿足如下關(guān)系的分子才能沿著溝槽進入探測器：

或

而其它速率的分子都會先后沉積在溝槽的側(cè)壁上。事實上，由于溝槽有一定的寬度，相當

于張角S有一定的偏差范圍。實際進入探測器的分子的速率，將包含在的范圍內(nèi)。改變3的

大小，就能測出不同速率范圍的鉆分子射線強度，從而得到不同速率范圍的分子數(shù)比率。

實驗表明，如果根據(jù)實驗條件對實驗數(shù)據(jù)進行必要的擬合，那么實驗結(jié)果與麥克斯韋速率

分布是符合得相當好的。

（此部分由學(xué)生課后自我閱讀，查找相關(guān)資料，練習(xí)寫小論文，論述用實驗驗證麥克斯韋

速度分布律的實驗原理。）

§3.玻耳茲曼分布律重力場中微粒按高度的分布

授課思路：

麥克斯韋速度分布律一考慮分子按速度的分布（按動能分布）

在保守場中一考慮分子按空間分布（按勢能分布）

特殊化特殊化

-＞玻耳茲曼分布律f分子按勢能的分布律f重力場中氣體分子按高度

各種速度重力場

分布的規(guī)律一等溫氣壓公式一近似估算不同高度處的大氣壓強或判斷上升高度

一、玻耳茲曼分布律

以下討論玻耳茲曼把麥克斯韋分布律推廣到分子在保守場（如重力場）中運動的情形。

由麥克斯韋速度分布律得：

將式中，用分子的動能表示，則上式變?yōu)?

如果把氣體放在保守力場中，那么氣體分子不僅有動能，而且還有勢能。一般說來，

動能是速率的函數(shù)，即，而勢能則是分子在空間位置坐標的函數(shù)，即。

因此，在有力場的情況下，如果我們既要考慮分子按速率的分布（即按動能分布），

也要考慮分子按空間的分布（即按勢能分布），那么一個合理的考慮是，上式因子中的應(yīng)

當用粒子的總的能量來代替。玻耳茲曼從這個觀點出發(fā)，進一步運用統(tǒng)計物理學(xué)基本原理

得至I」，分子速度處于，，區(qū)間內(nèi)，坐標處于*?的空間體積元〃

內(nèi)的分子數(shù)為

一一玻耳茲曼能量分布律

式中，〃成示在勢能處單位體積內(nèi)所含各種速度的分子數(shù)。

從上式很容易地看出，當氣體的溫度給定時，在確定的速度區(qū)間和坐標區(qū)域內(nèi)，分子

數(shù)只取決于因子，稱為概率因子。分子的能量越大，概率因子越小，分子數(shù)就越少。從統(tǒng)

計意義上看，這說明氣體分子占據(jù)能量較低狀態(tài)的概率，比占據(jù)能量較高狀態(tài)的概率為大。

一般來說，氣體分子占據(jù)基態(tài)（最低能量狀態(tài)）的概率要比占據(jù)激發(fā)態(tài)（較高能量狀態(tài)）

的概率大得多。

考慮歸一化條件：

上式可寫作：

表示分布在坐標區(qū)間*?辦，y—y+dy,z~z+dz內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。

分布在坐標區(qū)間x?x+Moy?y+dy,z?內(nèi)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：

——分子按勢能的分布律（玻爾茲曼分布律的常用形式）

玻爾茲曼分布律對任何物質(zhì)的微粒（氣體、液體、固體的原子核分子、布朗粒子等）在任

何保守力場（重力場、電場）中運動的情形都成立。

二、重力場中微粒按高度的分布

氣體分子受到無規(guī)則熱運動和重力兩種互相對立的作用，兩種作用達到平衡時，氣體

分子在空間作非均勻分布，分子數(shù)隨高度減小。典型的例子就是地球周圍的大氣因受地球

重力場的作用，其分子數(shù)密度隨高度升高而減小。由于壓強，故壓強也隨高度減小。

根據(jù)玻耳茲曼能量分布律，可以推出氣體分子在重力場中按高度分布的規(guī)律。取坐標軸Z

鉛直向上，設(shè)z=0處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為％,則分布在高度為Z處體積元辦:力力內(nèi)的分子

數(shù)為：

而分布在高度/處單位體積內(nèi)的分子數(shù)為：

把氣體看作理想氣體，則在一定溫度下，其壓強與分子數(shù)密度〃成正比：

得出等溫過程中，壓強隨高度的變化關(guān)系：

一一等溫氣壓公式

上式可用于近似地估算不同高度處的大氣壓強,因為在地面附近大氣的溫度是隨高度變

化，只有在高差不大的范圍內(nèi)計算結(jié)果才與實際符合。

由上式可根據(jù)地面和高空處的壓強與溫度，來估算所在高空離地面的高度。

［課堂例題］P85課后作業(yè)

22、上升到什么高度處大氣壓強減為地面的75%?設(shè)空氣的溫度為0℃。

解：由題意知：，

23、設(shè)地球大氣是等溫的，溫度為￡=￡?！鉉,海平面上的氣壓為0產(chǎn)75如加能，令測得某山

頂?shù)臍鈮?=59施泌fe,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97。

解：

?課后作業(yè)題：

課本P8521

§4.能量按自由度均