202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編之一、二次函數(shù)及方程、不等

式

一.選擇題（共7小題）

4%—3y—3>0,

x-2y-2<0,則z=x-5y的最小值為（）

（+6y-9<0,

17

A.5B.-C.-2D.-4

22

2.（2024?北京）已知M={（%,y）\y=x+fKW2,1}是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)

"是M中兩點(diǎn)間的距離的最大值，S是M表示的圖形的面積，則（）

A.d=3,SV1B.d=3,S>1C.d=VTO,SV1D.d=V10,S>1

（4x—3y—3>0,

3.（2024?甲卷）若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件jx—2y-2WO,則N=x-5y的最小值為（）

\2x+6y-9<0,

17

A.5B.-C.-2D.T

2

1（x+y>2,

4.（2022?乙卷）若x,），滿(mǎn)足約束條件《產(chǎn)+2yW4,則z=2x-y的最大值是（）

ly>0，

A.-2B.4C.8D.12

fx-2>0,

5.（2022?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件12無(wú)+、一7W0,則z=3x+4），的最大值是（

\x-y—2<0,

A.20B.18C.13D.6

（x+y>4,

6.（2021?乙卷）若x,y滿(mǎn)足約束條件］

r-y<2,則z=3x+y的最小侑為（）

ly<3,

A.18B.10C.6D.4

（%+1>0

7.（2021?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件卜7工0，則Z=.L分的最小值是（）

（2x+3y-1<0

311

A?-2B.—C.-5D.—

210

填空題（共6小題）

8.（2024?上海）已知大ER,則不等式2.3〈。的解集為.

-2x4-3y<3

9.（2023?甲卷）設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件3%-2y43,設(shè)z=3%+2），，則z的最大值為

x+y>l

x-3y<—1

10.（2023?乙卷）若尤y滿(mǎn)足約束條件x+2yW9，則Z=2Ly的最大值為.

3x+y>7

3x—2y<3,

-2x+3y<3,則z=3x+2y的最大值為

x+y>1,

12.（2022?上海）x?yW0,x+y-120,!求z=x+2），的最小值

[x<3

13.（2021?上海）已知-2工0,z=x-y,則z的最大值為_(kāi)______.

（3x+y-8>0

202L2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)匯編之一、二次函數(shù)及方程、不等

式

參考答案與試題解析

一,選擇題(共7小題)

題號(hào)1234567

答案DCDCBCB

一.選擇題(共7小題)

4x—3y—3>0,

x-2y-2<0,則z=x-5y的最小值為()

(2x+6y-9<0,

17

A.5B.-C.-2D.-4

22

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線(xiàn)與圓；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】先求出平面區(qū)域的邊界點(diǎn)，結(jié)合z的幾何意義檢驗(yàn)取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求解.

4x—3y—3>0>

A-2y-2<0,所表示的平面區(qū)域，如圖所示：

{2x+6y-9<0,

將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個(gè)交點(diǎn)：C(0,7),火|,1),B(3,1),

由z=x-5y得產(chǎn)lx-則一看z可看作直線(xiàn)尸-izfdy軸上的截距，

經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,I)時(shí)，z最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：zmin=-

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查如何將函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象中的理解，涉及了二次函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于

中檔題.

4x-3y-3>0/

x-2y-2<Q,則z=x-5y的最小值為()

12x+6y—9<0,

17

A.5B.-C.-2D.—g

22

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線(xiàn)與圓；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】先求出平面區(qū)域的邊界點(diǎn)，結(jié)合z的幾何意義檢驗(yàn)取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求解.

4x—3y—3>0,

>-2y-2<0,所表示的平面區(qū)域，如圖所示：

!2%+6y-9<0,

將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個(gè)交點(diǎn)：C(0,-1),A?,1),8(3,1),

由z=x-5y得,v=則一"可看作直線(xiàn)尸-卜在y軸上的截距,

37

經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(：;，1)時(shí)，z最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：zmin=-4，

24

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，理解z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

x+y>2,

%+2yW4,則z=2x-y的最大值是（）

（yN0，

A.-2B.4C.8D.12

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【答案】C

【分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.

【解答】解：作出可行域如圖陰影部分所示，

由圖可知，當(dāng)（工，），）取點(diǎn)C（4,0）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x-_y取得最大值，且最大為8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022?浙江）若實(shí)數(shù)》y滿(mǎn)足約束條件（2x+y—7W0,則z=3/4），的最大值是（

\x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可.

x-2>0,

2x+y-7<0,

（x—y—2<0,

則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，

由已知可得A（2,3）,

由圖可知:當(dāng)直線(xiàn)3x+4y-z=0過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最大值,

則z=3戈+4），的最大值是3X2+4X3=18,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.

x+y>4,

%-y&2,則z=3x+y的最小值為（）

（"3，

A.18B.10C.6D.4

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解?.

【答案】C

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的

坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立=解得A（1，3）,

由z=3x+y,得y=-3x+z,|±圖可知，當(dāng)直線(xiàn)），=-3x+z過(guò)A時(shí),

直線(xiàn)在），軸上的截距最小，z有最小值為3義1+3=6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

（X4-1>0

7.（2021?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件"一"0，則z=x-%，的最小值是（）

2x+3y-1<0

311

A.-2B.-5C.-4D.——

22io

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)黨求解.

【答案】B

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的

坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立gx?3yl1=0，解得A（-1,1）,

化目標(biāo)函數(shù)z=x->為y=2x-2z,由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y=Zr-2z過(guò)A時(shí)，

直線(xiàn)在），軸上的截距最大，Z有最小值為-l—Jxl=-,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

二,填空題（共6小題）

8.（2024?上海）已知x￡R,則不等式2.3〈。的解集為卜卜1<工<31.

【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求辭.

【答案】3-1VXV3}.

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可.

【解答】解：?-2x-3V0可化為（工-3）（x+1）<0,

解得-1VX<3,

故不等式的解集為：{M?lVxV3}.

故答案為：{x|?lVxV3}.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.

-2x4-3y<3

9.（2023?甲卷）設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件3x—2yW3,設(shè)z=3x+2），，則z的最大值為15.

x+y>1

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】15.

【分析】畫(huà)出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形確定出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入，即可求解.

（—2x+3y<3

【解答】解：由題意，作出r），滿(mǎn)足約束條件3x-2yW3表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,

（x+y>1

目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,可化為直線(xiàn)+方

叫浮瀉3,可得{那，

即A（3,3）,

當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最大，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值,

代入可得Z"iax=3X3+2X3=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.

（X—3y<—1

10.（2023?乙卷）若x,滿(mǎn)足約束條件卜+2yW9,則z=2r-），的最大值為3_

（.3%4-y>7

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線(xiàn)與圓；運(yùn)算求解.

【答案】8.

【分析】作出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)，平移直線(xiàn)），=2x,由截距的幾何意義可得.

【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：

由z=2x-y可得y=2x-z,

則-z表示直線(xiàn)），=2x-z在y軸上的截距，截距越小，z越大，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)y=2x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，Z最大，

由匕二黑：；1可得尸2,x=5,即A（5.2）,

（,X十Ly—v

此時(shí)Z取得最大值8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃，準(zhǔn)確作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

3工一2”3,

-2x+3y<3,則z=3x+2y的最大值為15.

{x+y>1,

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；直線(xiàn)與圓；運(yùn)算求解.

【答案】15.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，結(jié)合z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

3x—2y<3,

【解答】解：作出不等式組（-2%+3yW3表示的平面區(qū)域.如圖所示:

j+yN1,

由z=3x+2y得y=-1A+.，

則|表示直線(xiàn)在），軸截距，截距越大，z越大，

結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線(xiàn)）=一,X+5經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z最大，

聯(lián)立可得A（3：3）,此時(shí)z取得最大值15.

（一乙xTjy-J

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

12.（2022?上海）x-yWO,x+y-120,求z=x+2y的最小值；.

*"-2~

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解..

【答案】|.

【分析】根據(jù)已知條件作出可行域，再求目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.

【解答】解；如圖所示;

由x-)W0,x+v-I20,可知行域?yàn)橹本€(xiàn)X-y=0的左上方和x+廠1=0的右上方的公共部分,

/1

-

XyOlX-11

一-2

得

可u--

X+y-1=0,122

xy-

-2

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x+2y沿著與正方向向量Z=(1,2)的相反向量平移時(shí)，離開(kāi)區(qū)間時(shí)取最小值,

1111Q

即目標(biāo)函數(shù)z=x+2y過(guò)點(diǎn)A(-,-)時(shí)，取最小值：-+2x4=7-

故答案為：|.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，難點(diǎn)在于找到目標(biāo)函數(shù)雙最小值的位置，屬于中檔題.

x<3

13.(2021?_L海)己知2x-y-2N0,z=x-y,則z的最大值為4.

3x+y-8>0

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】計(jì)算題：數(shù)形結(jié)合；演繹法；不等式；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.

【解答】解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)即：)，=X-Z,其中Z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在)，軸上的截距的相反數(shù),

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)6處取得最大值，

聯(lián)立直線(xiàn)方程：9二ft_n，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：B(3,-I),

(ox+y—o=u

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：z〃心=3-(-1)=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用線(xiàn)性規(guī)劃求最值的方法等知識(shí)，屬于中等題.

考點(diǎn)卡片

1.一元二次不等式及其應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>0

或ax2+bx+c<0(。不等于0)其中ax^+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式.

特征

當(dāng)△=從-4">0時(shí)，

一元二次方程蘇+云+^二。有兩個(gè)實(shí)根，那么&1+法+。可寫(xiě)成4(X-A-l)(X-X2)

當(dāng)△=-4〃c'=0時(shí)，

一元二次方程ax1+bx+c=0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ajr+bx+c可寫(xiě)成a(x-,vi)2.

當(dāng)△=啟-4"<0時(shí).

一元二次方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)根，那么a^+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

【解題方法點(diǎn)撥】

例1：一元二次不等式fVx+6的解集為.

解：原不等式可變形為(x-3)(x+2)<0

所以，-2<x<3

故答案為：(-2,3).

這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫(xiě)成aF+^+cVO的形式；然后應(yīng)用了特征

當(dāng)中的第一條，把它寫(xiě)成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘枳，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解.

【命題方向】

①一元二次不等式恒成立問(wèn)題：

一元二次不等式cvr+bx+c>0的解集是R的等價(jià)條件是：。>0_Q△<()；一無(wú)二次不等式o?+/u+c<0的

解集是R的等價(jià)條件是：。<0且△<().

②分式不等式問(wèn)題：

X)<=5/(x)?g(x)>0；

g(x)

里<o?/(x)?g(x)<0；

g"）"o^

ZW<n_（/WgW<o

gw-IgMWo^

2.二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

I、二元一次不等式表示的平面區(qū)域

一般地，直線(xiàn)/：奴+力+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：

①直線(xiàn)/上的點(diǎn)（X,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足ax+by+c=0；

②直線(xiàn)/一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足辦+Z"+c>0；

③直線(xiàn)/另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,），）的坐標(biāo)滿(mǎn)足at+〃y+cV0.

所以，只需在直線(xiàn)/的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)（劉，泗），從ow+b^+c?值的正負(fù)，即可判斷

不等式表示的平面區(qū)域.

2、線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱(chēng)意義

目標(biāo)函數(shù)欲求最大數(shù)或最小值的函數(shù)

約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿(mǎn)足的不等式組

可行解滿(mǎn)足約束條件的解（x,y）

可行域由所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域

的頂點(diǎn)處取得

二元線(xiàn)性規(guī)如果兩個(gè)變量滿(mǎn)足一組一次不等式，求這兩個(gè)變黃的一次

劃問(wèn)題函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題叫作二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

3、線(xiàn)性規(guī)劃

（I）不等式組是?組對(duì)變量人、了的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于?。?的?次不等式，所以乂可

稱(chēng)其為線(xiàn)性約束條件.z=Ar+8.v是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、），的解析式，我們把它稱(chēng)為且

標(biāo)函數(shù).由于z=Ar+8.v又是關(guān)于4、），的一次解析式，所以又可叫做線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù).

另外注意：線(xiàn)性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

（2）一般地，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

（3）那么，滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解（x,y）叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問(wèn)

題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（K，）“）和（X2,），2）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最

大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問(wèn)題的最優(yōu)解.線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值常在可行域的頂點(diǎn)處取得；而求最優(yōu)

整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行.

4、用圖解法解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟：

①首先，要根據(jù)線(xiàn)性約束條件畫(huà)出可行域（即畫(huà)出不等式組所表示的公共區(qū)域）.

②設(shè)z=0,畫(huà)出直線(xiàn)/o.

③觀察、分析，平移直線(xiàn)/。，從而找到最優(yōu)解.

④最后求得FI標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.

5、利用線(xiàn)性規(guī)劃研究實(shí)際問(wèn)題的解題思路：

首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù).

然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫(huà)出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解.

最后，還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解.

【辯題方法點(diǎn)撥】

1.畫(huà)出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

2.在通過(guò)求直線(xiàn)的截距［的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)>>0時(shí)，截距］取最大值時(shí)，z也取最

bb

大值；截距J取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)〃<0時(shí)，，截距:取最大值時(shí)，z取最小值；截距；取最小值時(shí)，

bbb

z取最大值.

【命題方向】

題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)），=依+得分為面積相等的兩部分，則大的值是（）

44

分析：畫(huà)出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)(。，-)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)<0,”結(jié)合圖形尋找直線(xiàn)

平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

由于直線(xiàn)尸去+守4過(guò)定點(diǎn)(04,因此只有直線(xiàn)過(guò)四中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)尸去+罪4平分平面區(qū)域.

15

因?yàn)锳(1,1),B(0,4),所以A8中點(diǎn)。(一，一).

22

當(dāng)尸h+g過(guò)點(diǎn)除|)時(shí)，|，+,所以仁1

答案：A.

點(diǎn)評(píng)：二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線(xiàn)定界，測(cè)試點(diǎn)定域.

注意不等式中不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn).測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也

可以選多個(gè)，若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，則測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn).

題型二：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

3

<3x+5yW25

典例2：設(shè)X,y滿(mǎn)足約束條件：1x21,求z=x+y的最大值與最小值.

分析：作可行域后，通過(guò)平移直線(xiàn)/o：.r+y=0來(lái)尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解答：先作可行域，如圖所示中也人鳥(niǎo)。的區(qū)域，且求得A(5,2)、8(1,1)、C(1,),作出直線(xiàn)/o：x+y

=0,再將直線(xiàn)/o平移，當(dāng)/0的平行線(xiàn)人過(guò)點(diǎn)B時(shí)，可使z=x+)：達(dá)到最小值；當(dāng)/o的平行線(xiàn)/2過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

可使Z=x+y達(dá)到最大值.故Zmin=2?Znuix=7.

\/ou:+y=O

點(diǎn)評(píng)：（1）線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得.

（2）求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線(xiàn)的縱截距的關(guān)

系,

題型三：實(shí)際生活中的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

典例3：某農(nóng)戶(hù)計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過(guò)50畝，投入資金不超過(guò)54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和

韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)

黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元

生菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元

為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售收入-總種植成木）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位:

畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，

轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.

x+y<50

1.2x+0.9y<54

(x,yeN+

求目標(biāo)函數(shù)z=x+0.9y的最大值,

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線(xiàn)/向右平移，移至點(diǎn)A（30,20）處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種

植20畝時(shí)，種植總利潤(rùn)最大.故答案為：B

點(diǎn)評(píng)：線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，需要通過(guò)審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出

線(xiàn)性約束條件，寫(xiě)出所研究的H標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，再按如下步驟完成：

（I）作圖?■畫(huà)出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線(xiàn)系中過(guò)原點(diǎn)的那?條/：

（2）平移--將/平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的位置；

（3）求值■■解方程組求出A點(diǎn)坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

題型四：求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

x—y—2^Qf

x+2y—420,

（2y-3W0,,則的最大值為.

（x+y^2,

（2）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,0）,若點(diǎn)），）為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M\OA+OM\

的最小值是—.

分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題的求解一般要結(jié)合給定

代數(shù)式的幾何意義來(lái)完成.

解答：（1）上表示點(diǎn)（x,），）與原點(diǎn)（0,0）連線(xiàn)的斜率，在點(diǎn)（1,1）處取到最大值.

x2

（2）依題意得，。4+OM=（x+1,y）,|04+OM|=J（x++*可視為點(diǎn)（工，）,）與點(diǎn)1?1,0）間

的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由

點(diǎn)（?1,0）向直線(xiàn)x+y=2引垂線(xiàn)的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(diǎn)（?1,0）的距離最小，因比|&+。務(wù)|

的最小值是弓段=苧.

V22

故答案為：（1）：（2）畔.

22

點(diǎn)評(píng)：常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義有

（I）+y2表示點(diǎn)（x,）,）與原點(diǎn)（（）,0）的距離；

（2），（X—a）2+0—b）2表示點(diǎn)（心y）與點(diǎn)（小b）之間的距離；

（3）乙表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)（0,0）連線(xiàn)的斜率；

x

（4）T表示點(diǎn)（X,），）與點(diǎn)（4,b）連線(xiàn)的斜率.

x-a

3.簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

線(xiàn)性規(guī)劃主要用于展決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問(wèn)題，它是一種重要的毓笠模堇.簡(jiǎn)

單的線(xiàn)性規(guī)劃指的是一目標(biāo)函數(shù)含兩個(gè)自變量的線(xiàn)性規(guī)劃,其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出.我們高中階

段接觸的主要是由三個(gè)二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個(gè)可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜

率的最值.

【解題方法點(diǎn)撥】

I.畫(huà)出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是苜先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

在通過(guò)求直線(xiàn)的截距9的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)〃>0時(shí)，截距￡取最大值時(shí)，z也取最

bb

大值；截距;取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)〃V0時(shí)，截距：取最大值時(shí)，z取最小值；截距;取最小值時(shí)，

bbb

z取最大值.

【命題方向】

x+2y>8

例：若目標(biāo)函數(shù)z=x+y中變量x,y滿(mǎn)足約束條件04x44.

,0<y<3

(I)試確定可行域的面積；

(2)求出該線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中所有的最優(yōu)解.

解：(1)作出可行域如圖：對(duì)應(yīng)得區(qū)域?yàn)橹苯侨切?8C,

其中B(4,3),A(2,3),C(4,2),

則可行域的面積S=^BC/IF=1x1x2=1.

⑵由z=x+y,得)，=-x+z,則平移直線(xiàn)y=-x+z,

則由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)時(shí)，直線(xiàn)y=-x+z得截他最小,

此時(shí)z最小為z=2+3=5,

當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,3)時(shí)，直線(xiàn)y=-x+z得截距最大，

此時(shí)z最大為z=4+3=7,

故該線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題中所有的最優(yōu)解為（4,3）,（2,3）

這是高中階段接觸最多的關(guān)于線(xiàn)性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫(huà)圖，把每條直線(xiàn)在同一個(gè)坐標(biāo)系中表示

出來(lái)，然后確定所表示的可行域，也即范闈；最后通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的平移去找到它的最值.

題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn).y=h+分為面積相等的兩部分，則k的值是（）

7343

A.~B.~C.~D.~

3734

44

分析：畫(huà)出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)（0,-）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)（0,一），結(jié)合圖形尋找直線(xiàn)

33

平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

+^

3X\y/

4

B/

4X

-

3

/^

/Ku（u）

/

/^

I43\x+3y=4

-

3

由于直線(xiàn)產(chǎn)匕+：過(guò)定點(diǎn)（0,因此只有直線(xiàn)過(guò)/W中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)產(chǎn)匕+罪平分平面區(qū)域.

15

因?yàn)锳（I,I）,B（0,4）,所以/W中點(diǎn)。（-,-）.

當(dāng)產(chǎn)質(zhì)+點(diǎn)過(guò)點(diǎn)（：,三）時(shí)，：所以

3222233

答案：A.

點(diǎn)評(píng)：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線(xiàn)定界，測(cè)試點(diǎn)定域.

注意不等式中不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn).測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也

可以選多個(gè)，若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，則測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn).

題型二：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值

fx—4j,^—3

v3x+5><25

典例2：設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件：1x21,求z=x+），的最大值與最小值.

分析：作可行域后，通過(guò)平移直線(xiàn)如x+.v=0來(lái)尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解答：先作可行域，如圖所示中4人3。的區(qū)域，且求得A（5,2）、4（1,1）、C（1,）,作出直線(xiàn)/o：x+y

=0,再將直線(xiàn)/0平移，當(dāng)/o的平行線(xiàn)人過(guò)點(diǎn)B時(shí)，可使z=x+）達(dá)到最小值；當(dāng)A）的平行線(xiàn)/2過(guò)點(diǎn)A時(shí)，

可使Z=%+y達(dá)到最大值.故Z/n譏=2,Znuix=l