2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（五）

一,多選題（共1小題）

（多選）1.（2021?新高考I）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P\（cosa?sina）,Pi（cosp>-sinp）,尸3（cos（a+p）,

sin（a+p））,A（1,0）,則（）

A.|OPJ=I^2IB.|成il=|成2I

C.OA*OP3=0P^0P2D.&?威=OPOP3

二,填空題（共11小題）

2.（2021?乙卷）已知向量展=（1,3）,b=（3,4）,若（a-Ab）±b,則入=.

3.（2021?乙卷）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為6，B=60°,a2+c2=3ac,則

h=.

4.（2021?甲卷）已知向量a=（3,1）,b=（1,0）,c=a+kb.若1_Lc,則k=.

5.（2021?新高考II）已知向量3+力+2=0,|a|=1,|b|=|c|=2,則++

6.（2021?天津）在邊長為1的等邊三角形48c中，。為線段8C上的動(dòng)點(diǎn)，QE_LAB且交48于點(diǎn)E,DF

//AB且交AC于點(diǎn)F,貝IJ|2靛+而|的值為；（法+赤）?小的最小值

為_______________________

7.（2021?北京）已知向量2,b,2在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

TTTTT

（a+b）*c=；a*b=.

8.（2021?甲卷）若向量Z,b滿足|a|=3,\a-b\=5,a*b=1,貝帥|=.

9/2021?浙江）在448。中，/8=60°,48=2,“是8。的中點(diǎn),,4知=275,則/1。=

cosZMAC=.

10.（2021?浙江）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和

中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正

方形的面積為S,小正方形的面積為52,則".

II.（2021?上海）如圖正方形48co的邊長為3,求力5?2=

12.（2021?浙江）已知平面向量；，b,c（c*0）滿足向=1,\b\=2,a*b=0,（；-b）?"=0.記平面

向量d在a,b方向上的投影分別為x,y,d-％在展方向上的投影為z,則.r+>,2+z2的最小值

是.

三,解答題（共7小題）

13.（2021?新高考1）記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知臣=改，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

（I）證明：BD=b；

（2）若AO=2OC,求cosN/BC.

14.（2021?新高考11）在AABC中，角4,B,C所對(duì)的邊長為a,b,c,b=a+l,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積;

（2）是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出”的值；若不存在，說明理由.

15.（2021?天津）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且siM：sinB：sinC=2：1：V2,

b=V2.

⑴求a的值;

（2）求cosC的值;

(3)求sin(2C-^)的值.

1

I6,(2021?上海)已知小B、。為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，4=2,cosC=

(1)若sinA=2sinB,求力、c；

(2)若cos(人一Q=.求c.

17.(2021?北京)在△4AC中，c=2a/C=芋.

(I)求NB；

(H)在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求

8c邊上的中線的長.

條件①c=V2Z?；

條件②△ABC的周長為4+2V3；

條件③△ABC的面積為二一.

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第(0)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

18.(2021?全國)記△己3c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小△c.已知。=2e"=3,sin2(B+C)+V2sin2A

=0,求c及cosB.

19.(2021?上海)在△ABC中，已知a=3,b=2c.

(1)若A=冬,求SMBC.

(2)若2sinB-sinC=1,求C,M8C.

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識(shí)點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（五）

參考答案與試題解析

二.多選題（共1小題）

題號(hào)1

答案AC

一.多選題(共1小題)

(多選)1.(2021?新高考I)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P\(cosa,sina),Pi(cosp?-sinp),P3(cos(a+p),

sin(a+p)),A(1,0),則()

A.|。斗|=|。八1B.|R|=|42l

C.OA-OP3=OPrOP2D.OA-OPi=OP2-OP3

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】法一、由已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，然后逐一驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)得答案；

法二、由題意畫出圖形，利用向量的模及數(shù)量積運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】解：法一、VPi(cosa,sina),P2(cos0,-sinp)?P3(cos(a+p),sin(a+p))?A(1,0),

TT

?'?OPi=(cosa?sina),0P2=(cosp?-sinp),

0P3=(cos(a+p),sin(a+p)),OA=(1,0),

TT

APX=(cosa-1,sina)，AP2=(cos/?-1,-sinp),

2222

則|OPJ=>/cosa+sina=1,\0P2\=yjcos^+(—sin/?)=1,則=故A正確；

一

4Pi|=y/(cosa—l)2+sin2a=>Jcos2a4-sin2a—2cosa+1=V2—2cosa,

2222

\AP2\=yj{cosp-l)+(-sin/?)=yjcosp+sin/?-2cosp4-1=J2-2cos0,

\AP^\AP2\,故8錯(cuò)誤：

OA?0P3=1Xcos(a+p)+0Xsin(a+P)=cos(a+p),

OPi?0P2=cosacosp-sinasinp=cos(a+p),

：.OA*OP3=OP^OP2,故C正確；

TT

OA-OPi=1Xcosa+OXsina=cosa,

TT

OP2,OP3=cospcos(a+p)-sinpsin(a+p)=cos[p+(a+p)j=cos(a+20),

：.OA^OPX*OP2*OP3,故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，

使角a的始邊與04重合，終邊交圓。于點(diǎn)P,角0的始邊為OPi,終邊交圓。于P3,

角-0的始邊為0A,交圓0于P2,

于是Pi(cosa,sina),尸3(cos(a+p)?sin(a+p)),P2(cosp?-sinp),

由向量的模與數(shù)量積可知，A、C正確；B、。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及兩角和的三角函數(shù),

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

二.填空題(共11小題)

TTTTT3

2.(2021?乙卷)已知向量。=(I,3),b=(3,4),若(a-M)1b,則入=‘.

51

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得a—入b=(1-3入，3-4人)，再由(a—Ab).Lb,可得(a—入b)*b=0>

即可求解入的值.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縜=（1,3）,b=（3,4）＞

則［一入1=（1?3入,3?4入）,

又（Z一入b）_Lb,

所以々一入bXb=3（1-3入）+4（3-4A）=15-25入=0,

解得人=

故答案為：|.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

3.（2021?乙卷）記△2BC的內(nèi)角4,B,3的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為V5,8=60°,a2+c2=3ac,則

b=2V2.

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】整體思想；綜合法；解三角形：運(yùn)算求解.

【答案】2V2.

【分析】由題意和三角形的面積公式以及余弦定理得關(guān)于〃的方程，解方程可得.

【解答】解：?.?△44C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為mb,c,面積為6，4=60°,a2+c2=3ac,

,\-acsinB=V5=-4cx岸=V3^?c=4^?2+c2=12,

222

又cosB==＞：=128b=＞〃=2/,（負(fù)值舍）

故答案為：2e.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

4.（2021?甲卷）已知向量a=（,3,1）,b=（\,0）.c=a+kb.若aJLc,則k=-學(xué).

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于k的方程，求解即可.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縜=（3,1）,b=（1?0）,c=a+kb,

由；_L",WJa?(a+kb)=\a\z+ka-b=32+lM?(3X1+1XO)=10+3女=0,

解得仁一孚

故答案為：一學(xué).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，平面向量垂直的坐標(biāo)表

示，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

_9

5.(2021?新高考H)已知向量a+b+c=O,|a|=l,|b|=|c|=2,則a?b+b?c+c?a

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】M+b+"=0<=>a+b=一"或之+c=-b或匕+c=-a,三等式兩邊平方可解決此題.

TTTT—

【解答】解：方法1：由a+力+c=0得a+b=-c或a+c=-b或b+c=-a,

(a+b)2=(-c)2或(；+")2=(-b)2或(b+"；2=(-a)2,

又|b|=|c|=2,???5+2。?匕=4,5+2a-c=4,又2b?c=l,

=-ya*c=~?fb?c=一于?\a*b+a*c+b*c=-

9

故答案為:

2-

方法：［工+。"+加;=@±±支承應(yīng)但="與9

21=-

2

9

故答案為:

2-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?天津）在邊長為1的等邊三角形A4C中，。為線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，QE_LA3且交48于點(diǎn)E,DF

TTTT—11

〃然且交AC于點(diǎn)P,則I2BE+DFI的值為］；（DE+。/）的最小值為二?

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)表示出8D=2r,DE=y［3x,DC=\-It,利用數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可求出.

【解答】解：如圖，設(shè)BE=x,

D

「△ABC是邊長為1等邊三角形，DELAB,

，N8DE=30°,BD=2x,DE=V3x,DC=I-2x,

,JDF//AB.???△OFC是邊長為1-2A-等邊三角形，DEIDF,

工C2BE+DF)2=4薪2+40.而+赤2=4/+標(biāo)(1-2x)XcosO°+(1-2v)2=1,

則|2薪+麗=1,

:(而+而)?力=(DE+DFXDE+EA)=DE2+DF*EA

=(V3x)2+(1-2x)X(1-x)=5/-3x+\

=5(%-命之+笄,(0,-),

:.(而1+而)?小的最小值為二.

20

故答案為：I,—.

20

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的定義，向量的運(yùn)算法則，二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

7.(2021?北京)已知向量Zb,K在止方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小止方形的邊長為1,則

TTTTT

(a+b)*c—0；a*b—3.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】0；3.

【分析】按照平面向量坐標(biāo)運(yùn)算可解決此題.

【解答】解：以正方形網(wǎng)格左下角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以橫向線段所在直線為1軸，向右為正方向，以縱向線

段所在直線為），軸，向上為正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.

則之=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),:.(a+b)-c=(4,0)-(0,1)=4X0+0Xl=0,

a*b=2X2+1X(-1)=3.

故答案為：0；3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2021?甲卷）若向量3,，滿足而=3,\a-b\=5,a*b=1,則Bl=3由.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】3V2.

【分析】由題意首先計(jì)算G-1）2,然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可.

【解答】解：由題意，可得自一6）2二滔一2石工+京=25,

因?yàn)橄?3,a*b=1,所以9-2x1+/=25,

所以力2=18,\b\==3V2.

故答案為：3V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算和向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2021?浙江）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,M是BC的中點(diǎn)，AM=2V5,則42=27n；cos

【考點(diǎn)】余弦定理；三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】計(jì)算題：方程思想；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】2/13；

2^39

13

【分析】在△八8M、△人8c和中用余弦定理即可解決此題.

【解答】解：在中：AM2=BA2+BM2-25A-BMcos60°,:.(273)2=22+fiM2-2X

2

???8M2-28M-8=O,解得：8M=4或-2(舍去).

:點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，???MC=4,8C=8,在△48c中：AdnZZ+gZ-ZXZXgcosGO。=52,?，lC=2g；

222

(2V3)4-(2/l3)-4=2/39

在△4MC中:cosZ/WAC=2x2后x2由—-13

故答案為：2\/13；———.

JLJ

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

10.（2021?浙江）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和

中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正

方形的面積為Si,小正方形的面積為S2,則名=25.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；運(yùn)算求解；新文化類.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】利用勾股定理求出直角三角形斜邊長，即大正方形的邊長,由S2=SLS陰影,求出S2,再求出

Si

Sf

【解答】解：???直角三角形直角邊的長分別為3,4,

???直角三角形斜邊的長為停1彳=5,

即大正方形的邊長為5,???SI=52=25,

則小正方形的面積S2=S|-S用影=25-4x/x3X4=l,

A—=25.

S2

故答案為：25.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中的幾何計(jì)算和勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

II.（2021?上海）如圖正方形A8CQ的邊長為3,^AB*AC=9.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)筋?成=6x公XCOS4ZMC,直接求解即可.

【解答】解：由數(shù)量積的定義，可得筋?成=/x^xcos4區(qū)4C,

因?yàn)闋N=ACxcosZ.BAC,所以AB-AC=AB2=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2021?浙江)已知平面向量a,b,c(c*0)滿足|a|=l,|b|=2,a*b=0,Ca-b)*c=0.記平面

TTTT,,2

向量d在a,b方向上的投影分別為x,y,d-a在c方向上的投影為z,則f+jl+z?的最小值是1.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：整體思想；演繹法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維：直觀想象；運(yùn)算求解.

【答案】:

【分析】首先由所給的關(guān)系式得到X，)，，Z之間的關(guān)系，然后求解其最小值即可.

【解答】解：令a=(1/0),b-(0,2),c-(m,n),

因?yàn)?a—b),c=0,故(1,-2)*(/M,n)=0,.*.///-2/:=0?令c=(2幾，n),

平面向量;在工Z方向上的投影分別為x,y,設(shè)7=(，y),

則：d—a=(x—1/y),(d-a)-c=2n(x-1)4-ny,|c|=V5|n|?

從而：2=立薩=空箭空故2x+y士信=2,

方法一：由柯西不等式可得2x+y—yfSz=2<J22+l2+(—x/5)2-yJx2+y2+z2,

化簡得x2+y2+z2>^=|,當(dāng)且僅當(dāng)|==^,即無=|,y=，z=V時(shí)取等號(hào),

2

故W+V+r2的最小值為

方法二：則/+V+Z2表示空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到平面2*+y±bz-2=0上的點(diǎn)的距離的平方，

由平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線距離公式推廣得到的空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面距離公式可得：

(212I2x_(2x0+lx0±y^X0-2y__4__?

(xx+yv+z)min-(J4+1+5)-10-5,

故答案為：|.

【點(diǎn)評(píng)】本題主:要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的投影，類

比推理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于難題.

三,解答題（共7小題）

13.（2021?新高考I）記△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知必=w,點(diǎn)。在邊AC上,

?DsinZABC=usinC.

（1）證明：BD=b；

（2）若AO=2OC,求cos/ABC.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】數(shù)形結(jié)合：綜合法；解三角形：邏輯思維.

【答案】（1）證明詳見解答；

7

（2）cosN48C=誦.

【分析】（1）利用正弦定理求解;

（2）要能找到隱含條件：N6OA和N/3QC互補(bǔ)，從而列出等式關(guān)系求解.

b

【解答】解：（1）證明：由正弦定理知,------------=--------------=2R,

sinZ-ABCsinZ.ACB

：,b=2RsinZABC,c=2RsinZACB,

VZ>2=ac,：.A?2&sinZABC=a-2RsinZACB,

即bsinZABC=asinC,

,：BDs\nZABC=as\nC.

:.BD=b；

（2）法一：由（1）知BD=b,

21

?：AD=2DCt：.AD=^b,DC=^b,

BD?+AD2-AB2廬+（勁）2-C213戶一9c2

在AAB。中，由余弦定理知，cosZBDA=^

2BDAD012b2

由余弦定理知,綸"心嗎篇㈣=

在△C4Q中,

VZBDA+ZBDC=TT,

cosZBDA+cosZBDC=0,

13匕2-9c210b2-9a2

即=0,

12b2+-加-

得1lb2=3c2+6a2,

，3。2-llac+6/=0,

，c=3a或c=w。，

在aABC中，由余弦定理知，cosZABC=^nr=

當(dāng)c=3a時(shí)，cosZABC=\>1（舍）；

o

27

當(dāng)c=gQ時(shí)，cosN人8C=正；

7

綜上所述，cos/A8C=m.

法二：???點(diǎn)。在邊AC上且AD=2QC,

T1T2T

：.BD=^BA+^BC,

工而2北.而+|局?BD,

而由（1）知80=力，

12

?*.b2=五be?cos乙ABD+aab?cos乙CBD,

R|J3b=c*cos;XABD^-2a*cosXCBD,

b2+c2-ib2a2+Z）2-lb2

由余弦定理知：3b=c-----次#—+2a------加魯一,

LbcLab

.,.llZ?2=3?+6?2,

,"2=3

3c2-lldt?+6fl2=0,

、2

，c=3a或c=@Q,

n2_Lr2_^2

在△ABC中，由余弦定理知，cosZAfiC=―=

7

當(dāng)c=3〃時(shí)，cosZABC=zo>l（舍）；

27

當(dāng)°=可。時(shí)，cosZABC=j2;

綜上所述，cosZABC=^.

法三：在△68中，由正弦定理可知〃sinC=3DsinN60C=OsinN8OC,

而由題意可知ac=b2=>as\nC=bs\nZ.ABC,

于是sinNBOC=sinNABC,從而NBOC=NABC或/8OC+/A8C=TT.

h2

若NBDC=NABC,則于是C82=CQ?CA=/=多=白：佚c=）.73：3.

無法構(gòu)成三角形，不合題意.

若N3OC+N44C=TI,則NA08=N43C=Z\44QS/\AC4,

7.2

于是482=4。?。=/=一丁=4：b：c=3：V6：2,滿足題意，

O

2A.2_i^7

因此由余弦定理可得cosZABC=an+；rb=/

乙（XvJL/

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的內(nèi)容，是一道好題.

14.（2021?新高考II）在△44。中，角A,B,C所對(duì)的邊長為〃，〃，c,b=a+\,c=a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積;

（2）是否存在正整數(shù)小使得△A8C為鈍角三角形？若存在，求出〃的值；若不存在，說明理由.

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【專題】方程思想；分析法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)已知條件，以及正弦定理，可得〃=4,〃=5,c=6,再結(jié)合余弦定理、三角形面積

公式，即可求解，（2）由可推得△ABC為鈍角三角形時(shí)，角C必為鈍角，運(yùn)用余弦定理可推

得『?24?3<：0,再結(jié)合。,。，三角形的任意兩邊之和大于第三邊定理，即可求解.

【解答】解：⑴V2sinC=3sinA,

???根據(jù)正弦定理可得2c=3”，

Vb=（j+1>c="+2.

，a=4,b=5,c=6,

在△ABC中，運(yùn)用余弦定理可得cosC=°藝廣=1

Vsin2C+cos2C=l,

/.sinC=Vl—cos2C=Jl一(#=

?c_1八…3/_15/7

，cibsinC

?S&ABC="乙o=5乙xo4x5x1_5—=-j—.

(2),：c>b>a,

???△ABC為鈍角三角形時(shí)，角C必為鈍角,

。2+廬一42=Q2+（Q+i）2-（a+2）2

<0,

2ab~2a（a+1）

：.cr-2a-3<0,

V?>0,

AO<i7<3,

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊,

c?B[Ju+u+\>c/+2,RPa'>1?

：,\<a<3,

???〃為正整數(shù)，

???a=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

15.(2021?天津)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且siM：sinB：sinC=2：1：V2,

b=V2.

(1)求〃的值；

(2)求cosC的值；

(3)求sin(2C-^)的值.

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由題意利用正弦定理，求得。的值.

(2)由題意利用余弦定理計(jì)算求得結(jié)果.

(3)先來用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用兩角和的正弦公式求得sin(2C-看)的值.

【解答】解：(1):△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：1：近,：.a：b：c=2：1：V2,

,:b二四,：,u=2b=2>/2,y[2b=2.

(2)△A8C中，由余弦定理可得cosC=°噌「=8：、4='

LUUZXZv2XVZv

(3)由(2)可得sinC=(1-cos2c=%

/.sin2C=2sinCcosC=cos2C=2cos2C-1=^?

兀、TC713V21-1

sin(2C—-7)=sin2Ccos——cos2Csin-=----------.

66616

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式、兩角和的正弦公

式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.(2021?上海)已知A、B、。為△48C的三個(gè)內(nèi)角，八b、c是其三條邊，a=2,cosC=-i

(1)若sinA=2sinB,求5、c；

(2)若cos(A—第=￡求c.

【考點(diǎn)】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】(1)b=\,c=V6.

5同

(2)c=-2—.

【分析】(I)由己知利用正弦定理即可求解6的值；利用余弦定理即可求解。的值.

(2)根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得cosA,sinA,sinC的值，進(jìn)而

根據(jù)正弦定理可得c的值.

【解答】解：(1)因?yàn)閟inA=2sin8,可得。=24

又〃=2,可得6=1,

小工02+匕2一。222+12-c2177r殂rz

由于cosC=2ab=2x2x1=一甲可得。=歷.

(2)因?yàn)閏os(A-5)(cosA+sinA)=2，

可得cosA+sinA=42,

又cosJ+sin2A=I,

可解得cosA=sin/l=蓋，或sinA=cosA二/，

因?yàn)閏osC=—/,可得sinC=號(hào)^,tanC=可得C為鈍角，

若sinA=cosA=冬，可得tart4=7,可得tanB=-tan(A+C)=)J~7<0,

1010tanAtanC—i7x(—v'T5)—1

可得B為鈍角，這與。為鈍角矛盾，舍去，

所以sinA=奈，由正弦定理可得c=1界.

1UsinAsinC乙

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角

形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

17.(2021?北京)在△A8C中,c=2bcosB,ZC=^.

(I)求NB；

(H)在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使aABC存在且唯一確定，并求

3c邊上的中線的長.

條件①。=

條件②的周長為4+2V3：

條件③△八8。的面積為

4

注：如果選擇的條件不符合要求，第(H)問得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一

個(gè)解答計(jì)分.

【考點(diǎn)】正弦定理：余弦定理.

【專題】方程思想；分析法；解三角形；運(yùn)算求解；結(jié)構(gòu)不良題.

/yr

【答案】(I)8=看，(II)選①，AABC不存在，選②，V7,選③，

【分析】(I)根據(jù)已知條件，運(yùn)用正弦定理，即可求解，(II)選①不滿足正弦定理，AABC不存在，

選②周長為4+2V5,結(jié)合已知條件，運(yùn)用正弦定理可求三角形各邊長度，在△ACO中，運(yùn)用余弦定理，

即可求解，選③面積為竽，通過三角形面積公式，可求得。的值，再結(jié)合余弦定理，即可求

解.

【解答】解：(I)Vc=2/?cosB,

由正弦定理可得sinC=2sinBcos^,即sinC=sin2A.

??人27r

?0=亍

???當(dāng)C=28時(shí)，8=等即C+8=n,不符合題意，舍去，

???C+28=TT,

：.2B=

即B=幺

O

(II)選①c=>j2b,

由正弦定理可得

於

-=--=4=、3,與已知條件c=&>矛盾，故△ABC不存在，

bsinB-

2

選②周長為4+2VI

???C亨B=l，

.???!=春

abcab

由正弦定理可篁布=痂=嬴=2R,即7二工W=2R，

22

*.a=R,b=R,c=代R,

：.a+b+c=(2+V3)R=4+2V5,

，R=2,即。=2,〃=2,c=2V3,

??.△ABC存在且唯一確定，

設(shè)8c的中點(diǎn)為。，

：.CD=\,

在△AC。中，運(yùn)用余弦定理，AD2=AC2+CD1-2AC*CD*cosZC,

即/。2=4+l-2x2xlx(-1)=7,AD=近，

???8C邊上的中線的長度被.

選③面積為SAABC=

?力=B=￡

O

??(1=

2a=

*?S^ABC=iabsinC=^ax苧=壬^，解得8，

余弦定理可得

AI)1=AC2+CD2-2XACXCDxcos冬=3+,+V5x^=半

40=孥.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬

于中檔題.

18.(2021?全國)記△ABC的內(nèi)隹A,B,C的對(duì)邊分別為。，4c.已知。=2乃"=3,sin2(5+C)+V2sin2A

=0,求c及cos&

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理：余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】c=3,cosS二號(hào).

【分析】根據(jù)一知條件，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換公式和三角函數(shù)的同角公式，求出cos4=-1siM=

挈，再結(jié)合正弦定理，余弦定理，即可求解.

【解答】解：VA+B+C=n,sin2（8+C）+V2sin24=0,

.\sin2A+2>j2sinAcosA=0,

VsinA^O,

/.sinA=-2y[2cosA,

AcosA<0,4為鈍角，

又?.,sir|2A+cos2A=1,

??cosA=—于sinA=

ab2x/63、氣

由正弦定理可得，——=——?即號(hào)二~解得sinB=>，

sinAsinB處sinB3

3

又Vsin2B+cos2B=1，B為銳角,

._底

??cos/D?="2",

2

C2_L_224+C-9

:.cosB=——----,即-----p—=一，化簡整理可得，c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,

NGC4,6c3

ZA>ZC,

.*.a>c,

V5>2V6,

???c=3,

故c=3,cos8=

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.（2021?上海）在△4BC中,己知a=3,b=2c.

（1）若4=竽,求S&ABC.

（2）若2sin3-sinC=1,求CMBC.

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由余弦定理求得。2,從而求得△人BC面積；

(2)由正、余弦定理求得仄c值，從而求得AABC周長.

【解答】解：(1)由余弦定理得8sA=曦次=爭2

9

-

7

.1,..vo-2%'3

..ScA.ABC=2bcsinA=彳x2c"=

(2),:b=2c,J.由正弦定理得sinB=2sin理又>2sinB-sinC=l,

12

.\sinC=4，sinB=1,AsinC<sinB,：.C<Bt為銳角,

AcosC=Jl-(1)2=攀

由余弦定理得：c2=?2+Z>2-2abcosC,又,.,“=3,b=2c,

.,.?=9+4c2-8V2c,得：3c2-8V2c+9=0,解得：c=。書后.

當(dāng)門生等三時(shí)，g嗯延時(shí)CM8C=3+4四十通：

當(dāng)c=生穿舊時(shí)，b=8＞；2芯時(shí)CM5C=3+4V2-V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.兩角和與差的三角函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

(I)C(a-p)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB：

(2)C<a+p)：cos(a+p)=cosa，osB-sinasinB；

(3)S<a+p)：sin(a+p)—sinacnsG+ccsasinB；

(4)5<a-p)：sin(a-p)=sinacosB-cosasinB;

ta刀a+ta??/

(5)T<a+p)：)

tan(a+P=l—tanatan[i

tana-

(6)T(a-P):

tan(a-p)=l+tanatan(i

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì):

設(shè)Z，了都是非零向量，"是與1方向相同的單位向量，3與，和夾角為仇則：

—>—?TT-?

(I)a-e=e-a=|a|cos0；

(2)征工=0；(判定兩向量垂直的充要條件)

(3)當(dāng)乙,方向相同時(shí),a-b=|a||d|；當(dāng)Z,Z方向相反時(shí),a-b=-\a\\b\；

特別地：Q?Q=|32或@=Va-a(用于計(jì)算向量的模)

(4)cosG=~^=r(用于計(jì)算向品的夾角，以及判斷三角形的形狀)

3網(wǎng)

(5)\ab\^\a\\b\

2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(I)交換律：a-b=b'a；

(2)數(shù)乘向量的結(jié)合律：(入a)?b=入(a-b)=a*(Xb)；

(3)分配律：(2?匕)?"H,K)

平i（向量數(shù)量積的運(yùn)算

平面向量數(shù)量積運(yùn)算的?般定理為①（a±b）2=a2±2a*b4-b2.②（a—b）（a+b）=a2—b2.③

?）工（a-b）-c,從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣.

【蚱題方法點(diǎn)撥】

例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①類比得到"a?匕=b?a”

②“（〃?+〃）/=〃"+〃/"類比得到“（a+b）?c=a?c+b?c”；

③“iWO,〃?，=/”=m=〃"類比得到“cHO,a?c=b?cna=b"；

④“依?〃|=制?|川”類比得到“|￡1|=必?|加；

⑤“（〃??〃）『加（〃?》'類比得到“（Z工）?"=>??"）”；

TTT

⑥華=類比得到篝=1以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②.

bebbea

解：;向量的數(shù)量積滿足交換律，

???“〃〃?=〃〃?”類比得到心）

即①正確；

???句量的數(shù)量積滿足分配律，

:.“（〃?+〃）t=mt+nttf類比得到"（a+匕）??=a?c+b?c”,

即②正確；

???句量的數(shù)量積不滿足消元律，

“/KO,〃?/=〃/=/〃=〃"不能類比得到“cWO,a-c=b'c=>a=b”,

即③錯(cuò)誤；

???山上|W而?山，

，“制?川=網(wǎng)?同”不能類比得到“向?/?|=向?依”；

即④錯(cuò)誤；

二向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

???“（〃??〃），=〃?（〃?，）”不能類比得到“（a?b）?c=a?（b?c）”，

即⑤錯(cuò)誤；

???句量的數(shù)量積不滿足消元律，

TTT

acaacb

=工”不能類比得到h二=-?

beb匕七a

即@錯(cuò)誤.

故答案為：①②.

向量的數(shù)量積滿足交換律，由“〃〃?=〃〃?”類比得到“2工=晨1';向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（陽+〃）

￡=〃“+〃，”類比得到“（2+匕）?"=之?一+/??”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故"岸0,〃"=，"=，〃=〃"

不能類比得到“2HO，a'c=b-c=>a=c|a-b\^\a\*\b\,故""?川=依卜|〃|”不能類比得到“|Q?加

=鬲?荷”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故”（〃??〃）/=〃?（〃?/）”不能類比得到“G1）?"二>（鼠"）”；

TT7

向量的數(shù)量積不滿足消元律，故/=F不能類比得到鞭=>

bebbeQ

【命題方向】

本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來說也

不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握.

3.數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

向最是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交.當(dāng)兩

條句量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直.假如Z=（1，0,1）,b=（2,0,-2）,那么

日與君垂直，有Q?3=1X2+1X（-2）=0,即互相垂直的向量它們的乘積為0.

【解題方法點(diǎn)撥】

Q4

例：與向量（工）垂直的向量可能為（）

4：（3,-4）B：（-4,