2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（四）

一,選擇題（共5小題）

I.（2021?甲卷）在AABC中，已知B=120°,AC=V19,AB=2,則8C=（）

A.1B.A/2C.V5D.3

2.（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如

圖，點(diǎn)E,H,。在水平線AC上，DE和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表

高”，EG稱為“表距”，GC和都稱為“表目距”，GC與石”的差稱為"表目距的差”，則海島的高

AB=()

表高x表距

A.+表面

表目距的差

表高x表距

B.一表高

表H距的差

表高X表距

C.+表距

袤H距的差

蕓高x太的

D.-表距

表目距的差

3.（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：切）,

三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B,C三點(diǎn)，

且A,B,C在同一水平面上的投影/V,9，。滿足N/VC8=45°,ZA,B'C=60o.由C點(diǎn)測得3點(diǎn)

的仰角為15°,89與CC的差為100；由8點(diǎn)測得4點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A7TC

的高度差A(yù)W-CC約為（）（75^1.732）

A.346B.373C.446D.473

4.（2021?上海）在△48C中，。為8c中點(diǎn)，E為A。中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△48C,使得力B?CE=0；

②存在△A8C,使得&〃（CB+CA）；它們的成立情況是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

5.（2021?全國）已知向量。=（cos0,sin。），b=（3?-4）,則的最大值是（）

A.7B.5C.4D.1

二.填空題（共6小題）

6.（2022?上海）在△48C中，NA=90°,A8=AC=2,點(diǎn)M為邊48的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊8c上，則詁-

己的最小值為.

7.（2022?天津）在△ABC中，點(diǎn)。為4C的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足游=2靛.記&=ZCB=b,用工1表

示法二,ABIDE,則NACB的最大值為.

8.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形4A2…雨的力4A2上，則P112+PK2+…+P/^的取

值范圍是.

T—1TT—TT

9.（2022?甲卷）設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為7且|a|=l,g|=3,則（2a+b）?b=.

10.（2022?上海）若平面向量值|=|b|=|X|=入，且滿足＞匕=0,a*c=2,d?c=I,貝ijA

11.（2021?乙卷）已知向量1=（2,5）,b=（A,4）,若Z〃b,則入=.

三.解答題（共9小題）

12.（2022?浙江）在中，角A,B,。所對的邊分別為a〃，c.已知4a=逐c,cosC=

（I）求sinA的值；

（II）若8=11,求△ABC的面積.

COSAsin2B

13.（2022?新高考I）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知——=--------

1+sinA1+COS2B

（1）若C=竽，求8：

a2+b2

（2）求一丁的最小值.

c2

14.（2022?新高考U）記△A3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以小b,c為邊長的三個(gè)正

1

三角形的面積依次為Si,S2,S3.已知Si-S2+S3=5~,sinB=@.

(I)求AABC的面積；

(2)若sinAsinC=孝,求b.

I5.(2022?北京)在△ABC中，sin2C=V3sinC.

(I)求NC；

(II)若〃=6,且△ABC的面積為6百，求△A8C的周長.

16.(2022?天津)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知。=后，b=2c,cosA=-i

(l)求c的值；

(2)求sin8的值；

(3)求sin(24-B)的值.

I7.(2022?乙卷)記△48C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為〃，b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C

-A).

(I)證明：2-=從+洛

(2)若a=5,cosA=|y,求△ABC的周長.

18.(2022?乙卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A?B)=sinBsin(C

?A).

(I)若A=28,求C：

(2)證明:2/=廬+/.

I9.(2022?全國)記△ABC的內(nèi)角人，B,。的對邊分別為a,'c,已知sin人=3sinB,C=5,c-V7.

J

(I)求a；

(2)求sinA.

20.(2022?上海)如圖，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。為4B中點(diǎn)，曲線CZ)上任一點(diǎn)到。距

離相等，角/D4B=NABC=I2O°,P,。關(guān)于OM對稱，MO_LA&

(I)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求/尸。8的大??；

(2)戶在何位置，求五邊形MQA8P面積S的最大值.

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之平面向量及其應(yīng)用（四）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號12345

答案DABBB

一.選擇題（共5小題）

I.（2021?甲卷）在△ABC中，已知8=120°,AC=V19,AB=2,則8C=（）

A.1B.V2C.V5D.3

【考點(diǎn)】余弦定理.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；定義法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】設(shè)角A，B,。所對的邊分別為a,b,c,利用余弦定理得到關(guān)于a的方程，解方程即可求

得〃的值，從而得到8c的長度.

【解答】解：設(shè)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,

結(jié)合余弦定理，可得19=/+4-2XaX2Xcosl20°,

UPa2+2a-15=0,解得4=3（a=-5舍去），

所以8C=3.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理，考查了方程思想，屬基礎(chǔ)題.

2.（2021?乙卷）魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中笫一題是測量海島的高.如

圖，點(diǎn)￡H,G在水平線AC上，OE和政;是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表

高”，EG稱為“表距”，GC和￡7/都稱為“表目距”，GC與的差稱為“表目距的差”，則海島的高

AB=（）

關(guān)高x表第

A.+表高

表目距的差

表表距

B.一表同

表日距的差

表高x走的

C.+表距

表日距的差

表高X表距

D.-表距

表目距的差

t考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求辭.

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出.

DEEHFGCG,,EHCGEHCG

【解答】解：=,—=—,故=—,即

ABAHBACAAHCAAE+EH-AE+EG+GC9

解得AE=i，AH=AE+EH,

C用G-堂Bri

DEAH_DEQ4E+EH)_DEAEDEEH_DEEG表高X表監(jiān)

故AB=+EH=CG-EH+DE=z1+表高?

EHEHEH表目距的差

另解：如圖所示，連接并延長交AB于點(diǎn)M,

表目距的差GCEHACAHCH

表高~FG~DEAB~AB~AB'

表高文表距表距ECDFBDBM

=—xAB=第xAB=器xAB=BM,

表目距的差友,讖的空~CH

表高AB

表高x表詼'

+表同.

表目距的差

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算

能力,屬于小檔題.

3.（2021?甲卷）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：〃/

三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B,C三點(diǎn)，

且A,B,C在同一水平面上的投影A',夕，C滿足NAC9=45",NAbC=60°.由C點(diǎn)測得8點(diǎn)

的仰角為15°,與CC的差為100：由8點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面AEC

的高度差/W-CC約為（）（四句.732）

A.346B.373C.446D.473

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形；數(shù)學(xué)建模.

【答案】B

【分析】本題要注意各個(gè)三角形不共面，在每個(gè)三角形中利用正弦定理求邊長，進(jìn)而找到高度差.

【解答】解：過C作于"，過8作8M_LA4'于M,

則/8C”=15°,BH=100,ZABM=45°,CH=CB',A'B'=BM=AM,BB'=M4'，ZCf

A'B'=75°

AtanZBC/7=tan150=tan(450?30°)=；;喘黑黑：=2-?,sin750=sin(45°+30°)=

T(T+I)

則在中，

RdBCHCH=Lan^DCn口=100(2+8),:CB'=100(2+75)

「nf

在△?!'B'C'中，由正弦定理知，A'B'=.r>A'n',sinLA'CB1=100(73+1),rMA/=100(754-1),

SIHZ7.CAD

：.AA'-CC'=AM+BH=\^)(V3+I)+100^373,

故選：B.

M

B

H

B1

【點(diǎn)評】理解仰角的概念，各個(gè)三角形不共面，因此做好輔劭線是關(guān)鍵.

4.(2021?上海)在△居(：中，。為8C中點(diǎn)，E為人。中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①存在△A8C,使得6?=0；

②存在△ABC,使得后〃(Cfi+Ol)；它們的成立情況是()

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專?題】存在型；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)A(21-,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y),由向量數(shù)量的坐標(biāo)運(yùn)算即可

判斷①；/為A8中點(diǎn)，可得(a+2)=2CF,由。為8C中點(diǎn)，可得Cb與A。的交點(diǎn)即為重心G,

從而可判斷②

【解答】解：不妨設(shè)A(2x,2y),3(-1,0),C(1,0),D(0,0),ECx,)，)，

①=(-1-2J?-2y)?CE=(x-1,y),

若疝？則?(l+2r)5?l)?2尸=0,BP-(l+2r)(x-1)=2y2,

滿足條件的(x,y)存在，例如(0,y),滿足上式，所以①成立；

②尸為AB中點(diǎn)，(后+&)=2CF,C”與A。的交點(diǎn)即為重心G,

因?yàn)镚為A。的三等分點(diǎn)，E為4。中點(diǎn)，

所以&與B不共線，即②不成立.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，共線向量的判斷，屬于中檔題.

5.（2021?全國）已知向量。=（cosG,sin9）,b=（3,-4）,則的最大值是（）

A.7B.5C.4D.1

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用向量的數(shù)量積，結(jié)合輔助角公式，利用三角函數(shù)的有界性求解最值即可.

【解答】解：向量a=（cos0,sin0）,b=（3,-4）,

4

則=3cos0-4sin0=5cos（0+（p）,其中tan（p=彳.

V5cos（0+（p）W5,?房勺最大值是5.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，輔助角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

二,填空題（共6小題）

6.（2022?上海）在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=2,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊BC上，則而?

己的最小值為.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】-招

O

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出MP?CP=27-3%,再利用二次函數(shù)求最值

即可.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，

則B(2,0),C(0,2),M(1,0),

XV

直線BC的方程為I+—=1?即x+y=2,

點(diǎn)尸在直線上，設(shè)F(A,2-.1),

=(x-1,2-x),CP=(x,-x),

99

2->--

：.MP*CP=v(x-1)-x(2-x)=2^-3x=2(x-^)-8-8

TTQ

???MP?CP的最小值為一*

故答案為：—色.

o

【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)量枳的坐標(biāo)運(yùn)算，考杳了二次函數(shù)求最值，屬于中檔題.

7.(2022?天津)在△相€:中，點(diǎn)/)為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足港=2薪.記a=/CB=b,用：，力表

T1

t3b-a7T

示DE=—,若ABJ_.DE則NAC8的最大值為一.

2-6~

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想：數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由題意，利用兩個(gè)向量加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式，求出cosC

的最小值，可得N4CB的最大值.

【解答】解：:△ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點(diǎn)，CB=2BE,如圖：

:,而=CE-CD=CB-￥BE-^CA=芯+-齊嗎W

'：AB=CB-CA=b-a,ABIDE,

TT

TT-?3b~a1，TT_?_?TTT

.\AB*DE=(b-a)9--------=-(3b2—4a-b+a2)=0,即4a?b=小+3匕2,

22

即4?a?/?,cosC=a2+3b2,即cosC==苧，

當(dāng)且僅當(dāng)a=\/3b時(shí)，等號成立，故cosC的最小值為g,故C的最大值為

26

即NACB的最大值為［

6

【點(diǎn)評】本題主要考查兩個(gè)向最加減法及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬

于中檔題.

8.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形442…陽的2MM2上，則/12+產(chǎn)京2+…+P%2的取

值范圍是II2+2VL⑹.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；二倍角的三角函數(shù).

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：運(yùn)算求解.

【答案】［12+2V2,16］.

【分析】以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，454所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出正

八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P（x,），），進(jìn)而得到戶入2+戶京2+…+戶】82=8（?+『）+8,根據(jù)點(diǎn)P的位

置可求出了+『的范圍，從而得到P/lJ+PAzA…+PA/的取值范圍.

【解答】解：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為X軸，所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖所示，

則4|（0,1）?力2（竽，竽），A3（1>0）,力式孝，一竽），&（①-1）,4（一孝，—A，（~1?

。），力8（-芋，芋）,

設(shè)P（X,），），

2

則P%2+P^22+…+2京2』必||2+|辦2『+|必3『+|以4『+|必5|2+%6/+|以7,+|必8|2=8(.Ay)+8,

l+cos45°22

Vcos22.5°W|OP|WI,<x+y<1,

2

.?.^<%2+y2<l,

A12+2V2<8(?+y2)+8W16,

即的取值范圍是，

P4J+P&2+…+PAQ2[12+2/16],

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面句量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于

中檔題.

TT1TTT—

9.（2022?甲卷）設(shè)向量Q,b的夾角的余弦值為『且同=1,|b|=3,則（2a+b>b=11

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用：邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先計(jì)算之工，〃的值，然后結(jié)合向量的運(yùn)算法則可得所給式子的值.

【解答】解：由題意可得；工=1X3X￡=L涓=9,

?

則（2a+b）'b=2a-h+h2=2+9=11.

故答案為：11.

【點(diǎn)評】本題主要考查平面向顯的數(shù)量積的定義，平面向量的運(yùn)算法則等知識，屬于中等題.

10.（2022?上海）若平面向量而=>|=|W|=入,且滿足；?b=0,a9c=2,b*c=1,fillA=_V5_.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】V5

【分析】利用平面向量的數(shù)量積進(jìn)行分析，即可得出結(jié)果.

【解答】解：由題意，有之?b=0,則Z_Lb,設(shè)V展，c>=0,

a.c=2(l?Hdcos0=2,①

-b,c=1||b||c|cosg—。)=1,②

②i

則京得，tanO=5，

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：8$。=革，

則％-c=|a||c|cos9=A-A?=2,

A2=V5,

貝以=V5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

TTTT8

II.(2021?乙卷)已知向量。=(2,5),b=(入，4),若a〃b,則入=1.

【考點(diǎn)】平面向量的相等與共線.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意，由可得關(guān)于人的方程，再求出入即可.

【解答】解：因?yàn)椋?(2,5),b=(入，4),a//b,

所以8-5入=0,解得人=%

故答案為：I

【點(diǎn)評】本題考查向鼠平行的坐標(biāo)表示，涉及向晨的坐標(biāo)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題(共9小題)

12.(2022?浙江)在△/WC中，角A,B,C所對的邊分別為a，〃，c.已知4〃二遍c,cosC=

(I)求sinA的值；

(II)若b=ll,求△4BC的面積.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理；余弦定理.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（I）根據(jù)cosC=5，確定C的范圍，再求出sinC,由正弦定理可求得siivb

（II）根據(jù)A,C的正、余弦值，求出sin8,再由正弦定理求出。，代入面積公式計(jì)算即大.

471.________4

【解答】解：(I)因?yàn)閏osC=^>0,所以CW(0,―),且sinC=71-cos2c=己,

525

由正弦定理可得：一三=三，

sinAsinC

B|J^sinA=^^=-sinC=店店

ccTX5=T;

(II)因?yàn)?a=>JSc=>a=*<c,

TC

所以AVC,故AC(0,-),

2

又因?yàn)閟i【3=造，所以CUSA=4^,

所以sin8=sin[TT?(A+C)]=sin(A+C)=sin4cosC+cosAsinC=

acb

由正弦定理可得:

sinAsinCsinB

所以?=5V5sin4=5,

iiA

所以S”灰?=yabs\nC=x5XIlxF=22.

乙乙J

【點(diǎn)評】本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

cosAsin2B

13.（2022?新高考I）記△4BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知——：—=--------

1+sinA1+COS2B

（1）若C=冬，求B；

a2+b2

（2）求7-的最小值.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】方程思想：轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理卻可得出從

（2）利用誘導(dǎo)公式把人用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論.

.hmr,、cosAsin2B、

【解答】解：（1）*/——：—=------------,1+COS2Z^=2COS2B^0,COSB^O.

1+sinAl+cos2B

cosA2sinBcosBsinB

*1+sinA2COS2BCOSB'

化為：cosAcosB=siiL4sin8+sinB,

cos(B+A)=sin8,

-cosC=sinB,C=等

/.sinB=i,

V0<B<1,：.B=

(2)由(1)可得:-cosC=sinB>0,

可得C為鈍角，Asin(C-^)=sin8,

B=C-

在三角形中，sin4=sin(B+C)=sin(2C-?)=-cos2C,

M+b?_siMA+sinZB_cos22c+cos2c_(l-ZsinZcT+Q-siMc)_2+4sin4c-5siMc

c2sin2Csin2Csin2Csin2C

+4sin2C-522后M-5=4&-5,當(dāng)且僅當(dāng)sinC=白時(shí)取等號.

sin2C\[2

標(biāo)+非

???一7-的最小值為4V2-5.

c2

【點(diǎn)評】本題考查了倍角公式、和差公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、基本不等式、轉(zhuǎn)化方法，考

查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

I4.(2022?新高考II)記△4AC的內(nèi)角A,R,C的對邊分別為mb,c,分別以〃，b,。為邊長的三個(gè)正

三角形的面積依次為Si,S2,S3.已知Si-S2+S3=字，sin8=

(I)求△ABC的面積；

(2)若sin4sinC=冬求

【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理.

【專題】計(jì)算題；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解.

421

【答案】(1)—;(2)

82

【分析】(1)根據(jù)Si?S2+S3=苧，求得a2-Z?2+C2=2,由余弦定理求得ac的值，根據(jù)S=3csin8,求

△ABC面積.

(2)由正弦定理得??.。=號猾，。=嘿，，且加=乎，求解即可.

【解答】解：(1)Si=^a2sin600二*乩

52=^/rsin60°=乎從,

53=^c^sinbO"=*c2,

??3-S2+S3=等-約+裝=多

解得：a2-Z?2+C2=2,

VsinB=1,J-廬陷=2>O,即OO,

AcosB=竽,

^Z^2&

AcosB=lac丁'

解得：ac=

S△A8C=1?csinfi=

.二△ABC的面積為號.

bac

(2)由正弦定理得:

sinBsinAsine,

bsinA_bsinC

sinBc~sinB

由（1）得ac=4

.bsinAbsinC3\[2

..ac=-LFT，-----=----

smBsins4

已知，sin8=《，sinAsinC=冬

解得：b=5.

ac

方法二、由（2R）2

sinAsinC

即有2R=3，BPb=2RsinB=

【點(diǎn)評】本題考查利用正余弦定理解三角形，需靈活運(yùn)用正余弦定理公式.

15.（2022?北京）在△48C中，sin2C=V3sinC.

（I）求NC；

(II)若b=6,且△ABC的面積為6g,求△ABC的周長.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

7T

【答案】(I);；(H)6+6日

6

【分析】(I)根據(jù)二倍角公式化簡可得cosC,進(jìn)一步計(jì)算可得角C(II)根據(jù)三角形面積求得4,再

根據(jù)余弦定理求得C，相加可得三角形的周長.

【解答】解:(I)Vsin2C=x/3sinC,

/.2sinCcosC=V3sinC,

又sinCrO,2uosC=V3>

，cosC=孚，VO<C<TT,

??。=不

(II)?:△ABC的面積為66,

1廠

.\-?/>sinC=6v3?

2

又〃=6,C=京,

1i行

XflX6x5=6v3,

22

.V3_(46)2+62卜2

??2-2X4V3X6'

Ac=2V3,

AA+ZJ+C=6+6-73,

,△ABC的周長為6+6J1

【點(diǎn)評】本題考查了三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.(2022?天津)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為“，h,c.己知a=連，b=2c,cosA=

⑴求c的值;

(2)求sin8的值；

(3)求sin(24-B)的值.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理.

【專題】整體思想：綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】(1)c=l；

(2)sinB=邛;

VTo

(3)sin(2A-B)的值為---.

8

【分析】(1)由余弦定理及題中條件可得c邊的值;

(2)由正弦定理可得sinC的值，再由》=2c及正弦定理可得sinB的值;

(3)求出24及8角的正余弦值，由兩角差的正弦公式可得2A?8的正弦值.

【解答】解(1)因?yàn)椤?遍，b=2c,cosA=—

62+c2-a24C2+C2-61

由余弦定理可得

cosA=2bcF

解得：c=l；

1

(2)cosA=―彳Ae(0,n),所以sin4=V1—cos2A=

由。=2c,可得sin8=2sinC,

a…在1

由正弦定理可得

sinAsine'“運(yùn)=新？

4

可得sinC=

o

所以sinB=2sinC=2x=國

O4，

(3)因?yàn)閏os4=—J,sinA=^4^,

4q

1.f1.17

所以sin2A=2sinAcosA=2X(--r)x/=——Q—,cos2A=2cos~A-1=2x—1=一6，

44Hiob

sin8=-^5,由A為鈍角，可得cos3=染

7f邈

(2A-B)=sin2AcosB-cos2Asi3一半x空1\X

一=

所以sin8z8

(2A-B)的值為出

所以sin

【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17,(2022?乙卷)記△A8C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為小b,c,已知sinCsin(A-B)=sin8sin(C

-A).

(I)證明:2O2=Z>2+C2；

(2)若a=5,cosA=窘，求△ABC的周長.

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】(1)見解析.

(2)14.

【分析】(I)利用兩角差與和的正弦公式，三角形內(nèi)角和公式，正弦和余弦定理，即可求得結(jié)論；

(2)利用(1)中結(jié)論求出bOc2和2A的值，即可求出△力8c的周長.

【解答】(1)證明：△4BC中，sinCsin(A-B)=sinfisin(C-A),

所以sinC(sinAcosS-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)?

所以sinAsin8cosc+sinAcos8sinC=2cos4sin8sinC,

即sinA(sinBcosC+cosBsinC)=2cosAsinBsinC,

所以sinAsin(B+C)=2cosAsinBsinC?

由正弦定理得“2=2/?ccosA,

由余弦定理得。2=廬降,2bccosAf

所以2<I2=/>2+C2；

(2)當(dāng)4=5,cosA=!1時(shí)，^2+?=2X52=50,2加=舄=蕓=31,

31

所以(力+c)2=/?2+C2+2/?C=50+31=81,解得〃+c=9,

所以AABC的周長為a+〃+c=5+9=14.

【點(diǎn)評】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理證明能力，是

中檔題.

18.(2022?乙卷)記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C

-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2a2=b2+J.

【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理.

【專題】方程思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解.

【答案】(1)即；(2)證明過程見解析.

【分析】(1)由sinCsin(A?B)=sinBsin(C-A),結(jié)合A=28,可得sinC=sin(C-A),BPC+C-A

再由三角形內(nèi)角和定理列式求解C：

(2)把已知等式展開兩角差的止弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結(jié)論.

【解答】解：(1)由sinCsin(A-B)=sin^sin(C-A),

又A=28,/.sinCsinfi=sinBsin(C-A),

???sinBWO,r.sinC=sin(C-A),即C=C?A(舍去)或C+C-A=TT,

,(^=2B5

聯(lián)立［2C-A=7r，解得C=五九;

Io

\A+B+C=n

證明:(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)?

得sinCsirt4cos8-sinCcosAsin5=sinfisinCcosA-sinficosCsirkA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

a2+c2-b2b2+c2-a2a2+b2-c2

由余弦定理可得:ac*---------=2bc------------ab?----------

2ac2bc2ab

整理可得：2/=82+02.

【點(diǎn)評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.（2022?全國）記△A8C的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知sin4=3sin3,C=%c=V7.

（1）求a；

（2）求sinA.

【考點(diǎn)】正弦定理：余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想;轉(zhuǎn)化法；解三角形;運(yùn)算求解.

【答案】（1）3.（2）坐

14

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及余弦定理,即可求解.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，以及正弦定理，即可求解.

【解答】解：⑴VsinA=3sin5,

???由正弦定理可得，a=3b,

，由余弦定理可得，/=〃2+序-2abeosC,即7=9?+值-3次解得6=1,

=3?

（2）??Z=3,C=^,c=y/7,

...asinC3x竽3;21

..sinA=----=―#=.尸.

c7714

【點(diǎn)評】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

20.（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD=BC=6,A8=20,。為"中點(diǎn)，曲線C。上任一點(diǎn)到。距

離相等，角ND4B=NA8C=I2O0,P,。關(guān)于0M對稱，MO_L人&

（1）若點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，求/尸08的大??；

（2）P在何位置，求五邊形MQ4BP面積S的最大值.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯思維.

3>/3

【答案】（1）NPOB的大小為arcsin---；

14

（2）尸點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置時(shí)，S的最大值為28g.

【分析】（I）在△08C中，直接利用余弦定理求出0P,再結(jié)合正弦定理求解；

（2）利用五邊形CQQMP的對稱性，將所求的面積化為四邊形PMNC的面積計(jì)算問題，充分利用圓弧

的性質(zhì)，找到最大值點(diǎn)，從而解決問題.

【解答】解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，由題意可得。8=10,BC=6,N4BC=120°,

由余弦定理可得0產(chǎn)=0爐+靖-208“。8$乙鉆。=36+100-2義6><10義(-1)=196,

QpBp

所以O(shè)P=14,在△O8P中，由正弦定理得_丁=―—―,

sml20°sinz.POB

146Q/Q

所以F"——---TTT,解得$inNPOB=-T-T-，

在sin^POB14

2

373

所以NPO8的大小為arcsin---；

14

(2)如圖，連結(jié)。4,PB,OQ,OP,

???曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等，

???OP=OQ=OM=OC=14,

???/'，Q關(guān)于。也對稱，

:?P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，NQOM=NPOM=a,

則NAOQ=N3。尸=*一a,

則五邊形面積5=2(S^AOQ+S^QOM)

17rl

=2[--OQ-OA-sin夕-。）+之?OQ?OM?sina]

=196sina+140cosa

=28V74sin（a+（p）,其中tamp=p

當(dāng)sin（a+（p）=1時(shí)，S五邊形MQ,w取最大值28夕4,

J五邊形MQABP面積S的最大值為28g.

【點(diǎn)評】本題考查了扇形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生

的邏楫推理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題.

考點(diǎn)卡片

1.兩角和與差的三角函數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

(I)C(a-p)：cos(a-P)=cosacosB+sinasinB：

(2)C<a+p)：cos(a+p)=cosa，osB-sinasinB；

(3)S<a+p)：sin(a+p)—sinacnsG+ccsasinB；

(4)5<a-p)：sin(a-p)=sinacosB-cosasinB;

ta刀a+ta??/

tan(a+P)=

(5)T<a+p)：l—tanatan[i

tana-

(6)T(a-P):tan(a-p)=l+tanatan(i

2.二倍角的三角函數(shù)

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)卻差化積里面的一個(gè)特例，即a=0的一種特例，其公式為：sin2a=2sina

,cosa；其可拓展為l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)卻差化積里面的一個(gè)特例，即a=0的一種特例，其公式為：cos2a=cos2a

229

-sin-a=2cos-a-1=1-2sin-a.

二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即a=p的一種特例，其公式為：tan2a=

普堂.對于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化筒即

1-tan^a

【解題方法點(diǎn)撥】

例：y=sin2x+2siii￥cosx的周期是n

解：Vy=sin2x+2sin.rcos.r

l—cos2x

+sin2x

-2

1

=';in?r—yens?r+

2

=ysin⑵+(p)+1,

(tan%>=—

???其周期

故答案為：IT.

這個(gè)簡單的例題的第二個(gè)式子就是一個(gè)二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以

看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個(gè)公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式.

【命題方向】

本考點(diǎn)也是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式.

3.平面向量的相等與共線

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量.

共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.

規(guī)定：零向量與任一向量平行.

注意：相等向量一定是共線向量，但