高一上學(xué)期發(fā)展與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語（一）知識(shí)要點(diǎn)集合是高一數(shù)學(xué)的起始內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在這一章節(jié)中，學(xué)生需要理解集合的概念、元素與集合的關(guān)系，掌握集合的表示方法，包括列舉法、描述法和圖示法。集合間的基本關(guān)系如子集、真子集、相等，以及集合的基本運(yùn)算如交集、并集、補(bǔ)集，都是必須熟練掌握的內(nèi)容。常用邏輯用語部分，要理解命題的概念，掌握四種命題（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）之間的關(guān)系，特別是互為逆否命題的等價(jià)性。充分條件、必要條件和充要條件的判斷是這部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要通過具體例子深入理解。（二）典型試題解析選擇題：已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|x^2-mx+m-1=0})，若(B\subseteqA)，則實(shí)數(shù)(m)的值為（）解析：首先求解集合(A)，解方程(x^2-3x+2=0)，可得((x-1)(x-2)=0)，則(A={1,2})。因?yàn)?B\subseteqA)，所以集合(B)可能為空集，或(B={1})，或(B={2})，或(B={1,2})。當(dāng)(B)為空集時(shí)，方程(x^2-mx+m-1=0)無實(shí)數(shù)解，即判別式(\Delta=m^2-4(m-1)=(m-2)^2<0)，此時(shí)無解。當(dāng)(B={1})時(shí)，將(x=1)代入方程可得(1-m+m-1=0)，恒成立，此時(shí)方程有兩個(gè)相等實(shí)根(1)，判別式(\Delta=(m-2)^2=0)，解得(m=2)。當(dāng)(B={2})時(shí)，將(x=2)代入方程得(4-2m+m-1=0)，解得(m=3)，此時(shí)方程為(x^2-3x+2=0)，根為(1)和(2)，與(B={2})矛盾，故舍去。當(dāng)(B={1,2})時(shí)，由韋達(dá)定理可得(m=1+2=3)，(m-1=1\times2=2)，解得(m=3)，符合題意。綜上，(m=2)或(m=3)。填空題：已知集合(A={x|x>1})，(B={x|x<3})，則(A\capB=)______。解析：(A\capB)表示既屬于集合(A)又屬于集合(B)的元素組成的集合，所以(A\capB={x|1<x<3})。解答題：判斷命題“若(a>b)，則(ac^2>bc^2)”的逆命題、否命題、逆否命題的真假，并說明理由。解析：原命題：若(a>b)，則(ac^2>bc^2)。當(dāng)(c=0)時(shí)，(ac^2=bc^2=0)，所以原命題為假命題。逆命題：若(ac^2>bc^2)，則(a>b)。因?yàn)?c^2>0)，所以不等式兩邊同時(shí)除以(c^2)不等號(hào)方向不變，可得(a>b)，逆命題為真命題。否命題：若(a\leqb)，則(ac^2\leqbc^2)。當(dāng)(c=0)時(shí)，(ac^2=bc^2=0)；當(dāng)(c\neq0)時(shí)，(c^2>0)，由(a\leqb)可得(ac^2\leqbc^2)，所以否命題為真命題。逆否命題：若(ac^2\leqbc^2)，則(a\leqb)。當(dāng)(c=0)時(shí)，(ac^2=bc^2)，但(a)和(b)的大小關(guān)系不確定，所以逆否命題為假命題。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（一）知識(shí)要點(diǎn)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，函數(shù)概念的理解需要從定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系三個(gè)方面入手。函數(shù)的表示方法有解析法、列表法和圖象法，要能夠根據(jù)不同的情境選擇合適的表示方法。函數(shù)的基本性質(zhì)包括單調(diào)性、奇偶性、周期性和最值，其中單調(diào)性和奇偶性是重點(diǎn)。單調(diào)性是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的增減性，判斷方法有定義法和導(dǎo)數(shù)法（高一上學(xué)期主要掌握定義法）；奇偶性是指函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)或(y)軸對(duì)稱的性質(zhì)，判斷時(shí)要先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?；境醯群瘮?shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，要掌握它們的定義、圖象和性質(zhì)，以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。（二）典型試題解析選擇題：函數(shù)(y=\sqrt{x-1})的定義域是（）A.((1,+\infty))B.([1,+\infty))C.((-\infty,1))D.((-\infty,1])解析：要使根式有意義，則根號(hào)下的數(shù)非負(fù)，即(x-1\geq0)，解得(x\geq1)，所以定義域?yàn)?[1,+\infty))，答案選B。填空題：已知函數(shù)(f(x)=2^x)，則(f(3)=)，(f(x))的反函數(shù)是。解析：(f(3)=2^3=8)。求反函數(shù)，令(y=2^x)，則(x=\log_2y)，所以反函數(shù)為(y=\log_2x)。解答題：已知函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)，求：（1）(f(2))的值；（2）函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,3])上的最大值和最小值。解析：（1）(f(2)=2^2-2\times2+3=4-4+3=3)。（2）函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為(x=-\frac{-2}{2\times1}=1)。在區(qū)間([0,1])上，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間([1,3])上，函數(shù)單調(diào)遞增。所以當(dāng)(x=1)時(shí)，函數(shù)取得最小值，(f(1)=1^2-2\times1+3=1-2+3=2)。計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)值，(f(0)=0^2-2\times0+3=3)，(f(3)=3^2-2\times3+3=9-6+3=6)，所以最大值為(6)。證明題：求證：函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})在((0,1))上是減函數(shù)。解析：設(shè)(0<x_1<x_2<1)，則(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2})。因?yàn)?0<x_1<x_2<1)，所以(x_2-x_1>0)，(x_1x_2>0)，則(f(x_1)-f(x_2)>0)，即(f(x_1)>f(x_2))，所以函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})在((0,1))上是減函數(shù)。三、函數(shù)的應(yīng)用（一）知識(shí)要點(diǎn)函數(shù)的應(yīng)用主要包括函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用。函數(shù)與方程部分，要理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，掌握判斷函數(shù)零點(diǎn)存在的方法，會(huì)用二分法求方程的近似解。函數(shù)模型是指運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，常見的函數(shù)模型有一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型等。在解決實(shí)際問題時(shí)，需要經(jīng)歷分析問題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷炔襟E，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。（二）典型試題解析選擇題：方程(\log_2x+x=3)的解所在的區(qū)間是（）A.((0,1))B.((1,2))C.((2,3))D.((3,4))解析：令(f(x)=\log_2x+x-3)，函數(shù)(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增。(f(2)=\log_22+2-3=1+2-3=0)，(f(3)=\log_23+3-3=\log_23>0)，所以方程的解在區(qū)間((2,3))內(nèi)，答案選C。填空題：一臺(tái)機(jī)器的價(jià)值是25萬元，如果每年的折舊率是4.5%，那么約經(jīng)過______年，它的價(jià)值降為10萬元（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）。解析：設(shè)經(jīng)過(n)年，機(jī)器價(jià)值降為10萬元。根據(jù)題意可得(25(1-4.5%)^n=10)，即(0.955^n=0.4)。兩邊取對(duì)數(shù)，(n\log0.955=\log0.4)，(n=\frac{\log0.4}{\log0.955}\approx\frac{-0.3979}{-0.0199}\approx20)。解答題：某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格(p)（元）與時(shí)間(t)（天）的函數(shù)關(guān)系是(p=\begin{cases}t+20,&0<t<25,t\inN\-t+100,&25\leqt\leq30,t\inN\end{cases})，該商品的日銷售量(q)（件）與時(shí)間(t)（天）的函數(shù)關(guān)系是(q=-t+40)（(0<t\leq30)，(t\inN)）。求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天。解析：日銷售金額(y=p\timesq)。當(dāng)(0<t<25)，(t\inN)時(shí)，(y=(t+20)(-t+40)=-t^2+20t+800=-(t^2-20t)+800=-(t-10)^2+900)，當(dāng)(t=10)時(shí)，(y)取得最大值(900)元。當(dāng)(25\leqt\leq30)，(t\inN)時(shí)，(y=(-t+100)(-t+40)=t^2-140t+4000=(t-70)^2-900)，函數(shù)在區(qū)間([25,30])上單調(diào)遞減，當(dāng)(t=25)時(shí)，(y=25^2-140\times25+4000=625-3500+4000=1125)元。因?yàn)?1125>900)，所以日銷售金額的最大值為1125元，出現(xiàn)在第25天。四、數(shù)列（一）知識(shí)要點(diǎn)數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，主要包括等差數(shù)列和等比數(shù)列。等差數(shù)列的定義是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為(a_n=a_1+(n-1)d)，前(n)項(xiàng)和公式為(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)。等比數(shù)列的定義是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（公比不為0）。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為(a_n=a_1q^{n-1})，前(n)項(xiàng)和公式為(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},&q\neq1\end{cases})。數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率問題、存款利息問題等。（二）典型試題解析選擇題：已知等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_3=5)，則公差(d=)（），(a_5=)（）A.2，9B.3，10C.2，11D.3，13解析：(a_3=a_1+2d)，即(5=1+2d)，解得(d=2)。(a_5=a_1+4d=1+4\times2=9)，答案選A。填空題：已知等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_2=4)，則公比(q=)，(a_5=)。解析：(q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2)，(a_5=a_1q^4=2\times2^4=32)。解答題：已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，(a_3=5)，(S_5=25)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）求(S_7)的值。解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為(d)，由(a_3=5)可得(a_1+2d=5)，由(S_5=25)可得(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25)，即(a_1+2d=5)，(a_1+2d=5)，聯(lián)立方程組解得(a_1=1)，(d=2)，所以通項(xiàng)公式(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1)。（2）(S_7=7a_1+\frac{7\times6}{2}d=7\times1+21\times2=7+42=49)。五、三角函數(shù)（一）知識(shí)要點(diǎn)三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，它們的定義是在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角(\alpha)的終邊上任意一點(diǎn)(P(x,y))，(r=\sqrt{x^2+y^2})，則(\sin\alpha=\frac{y}{r})，(\cos\alpha=\frac{x}{r})，(\tan\alpha=\frac{y}{x})（(x\neq0)）。三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是重點(diǎn)，如定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期都是(2\pi)，正切函數(shù)的最小正周期是(\pi)。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)，(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})。誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。（二）典型試題解析選擇題：函數(shù)(y=\sinx)的最小正周期是（），在區(qū)間([0,\pi])上的單調(diào)性是（）A.(\pi)，單調(diào)遞增B.(2\pi)，單調(diào)遞減C.(\pi)，先增后減D.(2\pi)，先減后增解析：函數(shù)(y=\sinx)的最小正周期是(2\pi)，在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上單調(diào)遞增，在區(qū)間([\frac{\pi}{2},\pi])上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間([0,\pi])上先增后減，答案選C。填空題：已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)，(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=)。解析：(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)。(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=