高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）本章導(dǎo)學(xué)第5章定積分及應(yīng)用它也是在解決各種實(shí)際問題中逐漸形成并發(fā)展起來的，2第5章定積分及應(yīng)用

定積分的有關(guān)知識(shí)是從17世紀(jì)出現(xiàn)和發(fā)展起來的，主要是解決動(dòng)態(tài)的、變化的和式的極限問題.定積分是積分學(xué)的另一個(gè)重要的基本概念，和導(dǎo)數(shù)概念一樣，現(xiàn)已成為解決許多實(shí)際問題的有力工具.本章主要內(nèi)容包括：廣義積分.定積分的概念；微積分基本定理、公式；定積分的計(jì)算方法；定積分的應(yīng)用；01定積分的概念02微積分基本公式03定積分的應(yīng)用——微元法本講內(nèi)容1.曲邊梯形的面積計(jì)算問題定積分起源于兩個(gè)經(jīng)典問題01定積分的概念4y=f(x)yOxxn=ba=x0x1x2xi-1xi2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程01定積分的概念5

01定積分的概念6抽象定積分起源于兩個(gè)經(jīng)典問題01定積分的概念02微積分基本公式03定積分的應(yīng)用——微元法本講內(nèi)容02微積分基本公式81.微積分基本定理：則積分上限函數(shù)上連續(xù)，在上可導(dǎo)，并且2.微積分基本公式（牛頓-萊布尼茲公式）：是連續(xù)函數(shù)如果在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則，或.如果函數(shù)在區(qū)間01定積分的概念02微積分基本公式03定積分的應(yīng)用——微元法本講內(nèi)容（1）U是一個(gè)變量??的變化區(qū)間[??,??]有關(guān)的量；當(dāng)所求量U符合下列條件:03定積分的應(yīng)用——微元法10（2）U對(duì)于區(qū)間[??,??]具有可加性,如果把區(qū)間[??,??]分成許多部分區(qū)間，則U相應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分dU的值可表示為f(x)dx，則學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第1講定積分的概念第5章定積分及應(yīng)用01定積分的概念02定積分的幾何意義03定積分的性質(zhì)本講內(nèi)容01定積分的概念定義5.114設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，在內(nèi)任個(gè)分點(diǎn)分成個(gè)小區(qū)間每個(gè)小區(qū)間的長度記在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積再求和意插入將區(qū)間，，，為15取記時(shí)上述和式的極限如果該極限存在，則稱函數(shù)上可積，在區(qū)間上的定積分，記作

，此極限值為函數(shù)且極限值與的分法與點(diǎn)的選取，01定積分的概念16即其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為被稱為積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分稱為在上的積分和.1.定積分是一個(gè)數(shù)值，它只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量無關(guān)，即2.定積分存在，與區(qū)間的分法和每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的選積表達(dá)式，上限，取無關(guān).01定積分的概念定理5.117（1）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上可積；上除有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)按照定積分的定義，記號(hào)（2）函數(shù)在閉區(qū)間上可積.則函數(shù)在區(qū)間，中的應(yīng)滿為了研究的方便，我們可以合理地規(guī)定：（1）當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，外處處連續(xù)，足，01定積分的概念

1例

解18把極限用定積分此式可以看作是函數(shù)上的積分和，因?yàn)樵谠谏线B續(xù)，所以在可積，所以．表示.01定積分的概念

解19用定義求定積分．

因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)，

所以可積．

為計(jì)算方便，

我們將區(qū)間分成等份，

如圖所示，

并且取每一個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)的值為，

即，

則，

而．作乘積，

2例O12y=xyx01定積分的概念20

所以，

對(duì)上式取極限，得定積分為

于是積分和為.由于與是等價(jià)的，

．．01定積分的概念01定積分的概念02定積分的幾何意義03定積分的性質(zhì)本講內(nèi)容幾何意義22邊梯形的面積.（1）當(dāng)函數(shù)在非負(fù)時(shí)，定積分表示的定積分表示的（2）當(dāng)函數(shù)在非正時(shí)，定積分（3）當(dāng)函數(shù)在有正有負(fù)時(shí)，是由曲線，直線和軸所圍成的曲，直線和是由函數(shù)軸所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù).成的各部分面積的代數(shù)和.，直線和表示的是由函數(shù)軸所圍02定積分的幾何意義y=f(x)yOaxbA2A3A1幾何意義23如右圖所示，則有特別地，當(dāng)時(shí)，有02定積分的幾何意義243例

解利用定積分的幾何意義，求下列定積分

的值．

由定積分的幾何意義知，表示上底為1、下底為2、高為1的梯形的面積，因此，

.

02定積分的幾何意義

4例

解Oxy111－x2y=25計(jì)算定積分由定積分的幾何意義，在數(shù)值上等于由函數(shù)成的圖形面積A.即單位圓面積的四知以及軸所圍四分之一，所以，如右圖示.即..02定積分的幾何意義01定積分的概念02定積分的幾何意義03定積分的性質(zhì)本講內(nèi)容27此性質(zhì)還可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)和與差的情況，即性質(zhì)5.2(k為常數(shù)).性質(zhì)5.1..03定積分的性質(zhì)28性質(zhì)5.3是三個(gè)任意的實(shí)數(shù)，則設(shè).Oyxacbxy=f()xcdfx()a∫dfx()bcx∫Oyacbx(y=fx)a()dcfxx∫()dbafxx∫03定積分的性質(zhì)29則，則則性質(zhì)5.4（保序性）若在區(qū)間上有，..推論1若在區(qū)間上有.則在區(qū)間推論2若在區(qū)間上可積，上可積，則.性質(zhì)5.5（估值定理）設(shè)和在區(qū)間分別是函數(shù)最大值和最小值，上的03定積分的性質(zhì)30設(shè)，問：取什么值時(shí)，

定積分取得最大值？

根據(jù)定積分的幾何意義，要使定積分取得最大值，需要使由曲線和直線,及軸所圍成的圖形的正面積達(dá)到最大.

再根據(jù)圖形的性質(zhì)可知，

當(dāng),時(shí)，可使面積達(dá)到最大.

5例

解03定積分的性質(zhì)31性質(zhì)5.6（定積分中值定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上.上至少存在一點(diǎn)，連續(xù)，則在區(qū)間證因?yàn)樵趨^(qū)間上連續(xù)，所以在區(qū)間上一定存在和最小值最大值，由性質(zhì)5.5，得，則.03定積分的性質(zhì)由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理，32在區(qū)間上至少即.使得，存在一點(diǎn)03定積分的性質(zhì)33不計(jì)算定積分的值，比較下列定積分的大小．（1）與；（2）與.

（1）在區(qū)間內(nèi)，，由性質(zhì)4得

．

（2）在區(qū)間內(nèi)，

，

因此，由性質(zhì)4的推論1知

．

6例

解03定積分的性質(zhì)34

7例

解估計(jì)定積分的值．

在區(qū)間上，，

所以，由性質(zhì)5定積分估值定理可知

．

03定積分的性質(zhì)

8例

解35比較的大小關(guān)系.由性質(zhì)5.4推論1可知.在區(qū)間內(nèi)，，設(shè)，03定積分的性質(zhì)

9例

解36證明03定積分的性質(zhì)1

10例

解37將極限化成定積分03定積分的性質(zhì)2

所以

11例

解38利用定積分的估值定理，估計(jì)下列定積分的值03定積分的性質(zhì)3先求函數(shù)

在區(qū)間

上的最大值

與最小值

.于是駐點(diǎn)為

.

其中所以

.于是即

12例

解40設(shè)

在

連續(xù)，證明03定積分的性質(zhì)4證記

，則由定積分性質(zhì)得即由此結(jié)論成立。學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第2講定積分基本公式第5章定積分及應(yīng)用01變上限積分函數(shù)02微積分基本公式本講內(nèi)容定義44設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，對(duì)任意，有在因此函數(shù)在上可積，積分上連續(xù)，存在，這里，變量.既表示定積分上限又表示積分為將積分變量由于定積分與積分變量的記法無關(guān)，可以把積分變量改用其他符號(hào)，與積分上限區(qū)分開，即定

01

變上限積分函數(shù)45則該積分可改寫為因此積分顯然，該定積分的值由積分上限上的函數(shù)，上的取值決定，在區(qū)間定義了一個(gè)稱為積分上限函數(shù)，記作.在區(qū)間.

01

變上限積分函數(shù)定理5.2證46設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限在區(qū)間上可導(dǎo)，且..，且，則.由積分中值定理知，存在介于與之間，使得由于時(shí)，再由導(dǎo)數(shù)的定義及函數(shù)的連續(xù)性，得即設(shè)是區(qū)間上的任意一點(diǎn)，設(shè)在自變量處的改變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的改變量為，.，

01

變上限積分函數(shù)47求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）；

（2）．

（1）．

（2）．

解1例

01

變上限積分函數(shù)48

求極限

．當(dāng)時(shí)，

分子、分母同時(shí)趨于零，

是一個(gè)“”型不定式，

由洛必達(dá)法則，

得

.

解2例

01

變上限積分函數(shù)49

求積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

．

解3例

01

變上限積分函數(shù)50

解4例求極限．．

01

變上限積分函數(shù)01變上限積分函數(shù)02微積分基本公式本講內(nèi)容定理5.2證52設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則已知是連續(xù)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，又由定理5.2，可知，于是，由原函數(shù)性質(zhì)也是使得得，令再令，，得，所以．的一個(gè)原函數(shù)，知，存在常數(shù)

02微積分基本公式上式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓—萊布尼茲1253通常將簡記為．公式.定積分之間的關(guān)系，它揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定有效的方法：將求定積分轉(zhuǎn)化為求原函數(shù).因此，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)就可解決定積分的計(jì)算問題.同時(shí)給出了求定積分簡單而有

02微積分基本公式5354求定積分（1）；（2）．（1）．（2）．

解5例

02微積分基本公式55

解求定積分．

因?yàn)?/p>

，

所以

．6例

解

解

02微積分基本公式56

一輛汽車正以的速度勻速直線行駛，突然發(fā)現(xiàn)一障礙物，于是以的加速度減速.,求汽車完全停止前所行駛的路程．

設(shè)汽車的速度為，

則加速度，

兩邊積分，

有，

得.將

代入上式，

得，

所以．

解7例

02微積分基本公式57

當(dāng)汽車速度為零時(shí)汽車停下,解,得汽車的剎車時(shí)間為，

s

再由速度與路程之間的關(guān)系，得，

即汽車的完全停下所行駛的路程為．

02微積分基本公式58

解8例由定積分積分區(qū)間的可加性，得設(shè)求的值，使.即，因此，解得或.

02微積分基本公式59用定積分的定義求下列極限．

.

.

解9例

02微積分基本公式60求下列極限．

.

解10例

02微積分基本公式161求下列極限．

解11例

02微積分基本公式262求下列極限．

解12例

02微積分基本公式363求下列極限．

解13例

02微積分基本公式464求下列極限．

解14例

02微積分基本公式5.65求下列極限．

解15例

02微積分基本公式6.66求下列極限．

解16例

02微積分基本公式7.67

解17例

02微積分基本公式8

計(jì)算正弦函數(shù)y=sinx

在[0,

]

上與x

軸所圍成的平面圖形的面積.xyy=sinx

O68

解17例

02微積分基本公式9

汽車以每小時(shí)36

km速度行駛，到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度a=?

5m/s2

剎車，問從開始剎車到停車，汽車駛過了多少距離?

由題意，得

當(dāng)t=2時(shí)，v(t)

=0,即從開始剎車到停車用了2s.故從開始剎車到停車，汽車駛過了10m.學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第3講定積分的換元積分法第5章定積分及應(yīng)用

定積分的換元積分法本講內(nèi)容定理5.4如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：（1）當(dāng)（或）時(shí)，，（2）在區(qū)間（或）上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且（3）則有定積分換元公式：72采用換元法計(jì)算定積分時(shí)，如果換元，一定換注：321定理5.4中的公式從左往右相當(dāng)于不定積分的第二換元法，從右往左相當(dāng)于不定積分中的第一換元法（此時(shí)可以不換元，而直接湊微分）.與不定積分換元法不同，定積分在換元后不需要還原，只要把最終的數(shù)值計(jì)算出來即可.限；不換元就不換限.73

1例

解求定積分.

設(shè),當(dāng)時(shí),；

這類題目用第一換元法,也可以不寫出新的積分變量.

若不寫出新的積分變量,也就無須換限.本題可寫成：時(shí),.當(dāng)于是...74

求定積分．

（1）設(shè),則,．

.

時(shí),；當(dāng)．時(shí),當(dāng)于是

2例

解75

對(duì)等式左邊

中的變量作替換,則.當(dāng)時(shí),；.

左邊

原式成立．

時(shí),當(dāng)于是

3例

證明證明．=右邊.76

4例

解法一

解法二求定積分令,77

5例

解求定積分因?yàn)樵谏?

;在上,于是,78

6例設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),試證：是奇函數(shù),,是偶函數(shù).79（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù),所以存在,由定積分關(guān)于積分區(qū)間可加性得：于是所以

證明對(duì)上式中得設(shè)x=t,則dx=dt,且當(dāng)x=a時(shí),t=a;當(dāng)x=0時(shí),t=0.80（2）特別的，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則有，于是當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，則有，原式成立.于是81y=f(x)yyOxOxay=f（x）+-a-a-a（a）（b）注：上題(2)中的結(jié)論,我們可從定積分的幾何意義上加以理解如圖所示,同時(shí),本題的結(jié)論也可當(dāng)作公式來用,以簡化定積分計(jì)算.82計(jì)算下列定積分．

（1）．（2）．

（1）（奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分等于零）.（2）

7例

解83

求定積分．

根據(jù)教材例5.16（1）的結(jié)論,有

8例

解.84

9例

解求定積分其中前者是上得偶函數(shù).85

10例

解求定積分861

11例

解求定積分872當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)

，則或

12例

解求定積分883

令則,

且

當(dāng)

時(shí)，

當(dāng)

時(shí)，

13例

解求定積分894

14例

解求定積分905

15例

解求定積分916學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第4講定積分的分部積分法第5章定積分及應(yīng)用01定積分的分部積分法本講內(nèi)容01定積分的分部積分法95定理5.4設(shè)u(x)，v(x)在[a,b]上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)﹐則簡記為這就是定積分的分部積分公式.961例

解求定積分

01定積分的分部積分法97計(jì)算定積分．

.

2例

解01定積分的分部積分法983例

解求定積分01定積分的分部積分法994例

解求定積分01定積分的分部積分法100某工廠排出大量廢氣,造成了嚴(yán)重污染,于是工廠通過減產(chǎn)來控制廢氣的排放量,若第年廢氣排出的廢氣總量．

該廠在到年間排出的廢氣總量為

5例

解的排放量為,求該廠在到年間01定積分的分部積分法101求定積分（為非負(fù)整數(shù)）,并用所求結(jié)果計(jì)算.

(1)對(duì)于定積分,當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),；利用分部積分公式,得

時(shí),

當(dāng)6例

證明01定積分的分部積分法102即,

所以.

利用上面的遞推公式,并重復(fù)應(yīng)用它,可得到

,,

,01定積分的分部積分法103這樣一直下去,后一項(xiàng)比前一項(xiàng)少2,當(dāng)是奇數(shù)時(shí),最后一項(xiàng)是；最后一項(xiàng)是,

于是

是偶數(shù)時(shí),當(dāng)01定積分的分部積分法104（2）.

01定積分的分部積分法1057例

解已知函數(shù)，求01定積分的分部積分法106,證明:．令,則,所以

,,.即8例

證明01定積分的分部積分法1079例

證明01定積分的分部積分法1求定積分10810例

證明01定積分的分部積分法2求定積分10901定積分的分部積分法所以11011例

證明01定積分的分部積分法3求定積分11112例

證明01定積分的分部積分法4利用函數(shù)奇偶性計(jì)算定積分所以

為奇函數(shù)，所以11213例

證明01定積分的分部積分法5利用函數(shù)奇偶性計(jì)算定積分所以

為奇函數(shù)，所以學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第5講廣義積分第5章定積分及應(yīng)用01無窮區(qū)間上的廣義積分02無界函數(shù)的廣義積分本講內(nèi)容116定義5.3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),任取如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間的廣義積分,記作,即此時(shí),也稱廣義積分收斂;若極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散.類似地,我們可以定義函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,即若右端極限存在,則稱廣義積分收斂;否則,稱廣義積分發(fā)散.01無窮區(qū)間上的廣義積分117最后,我們可以定義函數(shù)在上的廣義積分,即其中c是任意的常數(shù),a是小于c的任意數(shù),b是大于c的任此廣義積分只有當(dāng)上述等式中兩極限意數(shù).同時(shí)存在時(shí)才是收斂的,如果一個(gè)極限不存在,廣義積分是發(fā)散的.上述積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分.則稱該01無窮區(qū)間上的廣義積分118注:在計(jì)算無窮區(qū)間的廣義積分時(shí),為了書寫方便,實(shí)際運(yùn)算中常常略去極限的符號(hào),式的格式(只是形式上的).例如,設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),記形式上接近于牛頓-萊布尼茲公01無窮區(qū)間上的廣義積分119注:則上述無窮區(qū)間的廣義積分就可以表示成如下的形式這時(shí)無窮區(qū)間的廣義積分的收斂與發(fā)散就取決于極限是否存在.01無窮區(qū)間上的廣義積分120求由軸,軸以及曲線所圍的,延伸

到無窮遠(yuǎn)處的圖形的面積A.

由題意得,

解1例01無窮區(qū)間上的廣義積分121討論廣義積分的斂散性,k為常數(shù).因此,當(dāng)時(shí),廣義積分發(fā)散,時(shí),廣義積分收斂,且此時(shí)2例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分122討論廣義積分()的斂散性．

積分發(fā)散;

發(fā)散;

(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)廣義(2)當(dāng)時(shí),,此時(shí)廣義積分3例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分123

(3)當(dāng)時(shí),此時(shí)廣義積分收斂.

因此,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),該廣義積分發(fā)散.

收斂,其值為;廣義積分接前

01無窮區(qū)間上的廣義積分124

計(jì)算廣義積分4例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分125

在電力需求的電涌時(shí)間,

消耗電能的速度r可以

近似地表示為求當(dāng)時(shí)的總電量E.當(dāng)時(shí)的總電量E為

5例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分126求廣義積分6例

解01無窮區(qū)間上的廣義積分01無窮區(qū)間上的廣義積分02無界函數(shù)的廣義積分本講內(nèi)容128定義5.4如果函數(shù)在點(diǎn)a的任一領(lǐng)域內(nèi)都無界,則稱點(diǎn)a為函數(shù)的瑕點(diǎn).設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),點(diǎn)a為的瑕點(diǎn).取,如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,記作若上述極限不存在,稱為這時(shí)稱廣義積分收斂;廣義積分發(fā)散.定義5.502無界函數(shù)的廣義積分129類似地,設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),點(diǎn)b為的瑕點(diǎn).取,如果極限存在,則稱該極限值為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,記作若上述極限不存在,稱為這時(shí)稱廣義積分收斂;廣義積分發(fā)散.02無界函數(shù)的廣義積分130設(shè)函數(shù)在區(qū)間上除點(diǎn)c

外連續(xù),點(diǎn)c為的瑕點(diǎn).如果兩個(gè)廣義積分

和都收斂,則定義否則,就稱廣義積分這時(shí)稱廣義積分收斂;發(fā)散.無界函數(shù)的廣義積分又稱為瑕積分.02無界函數(shù)的廣義積分131的瑕點(diǎn),于是

為被積函數(shù)所以計(jì)算廣義積分因?yàn)?例

解02無界函數(shù)的廣義積分132注:如果是在上的原函數(shù),是瑕點(diǎn),則有類似地,若是瑕點(diǎn),則有02無界函數(shù)的廣義積分133

因?yàn)槭潜环e函數(shù)的瑕點(diǎn),于是有

(1)當(dāng)時(shí),

此時(shí)廣義積分是收斂的;

證明廣義積分時(shí)是收斂;當(dāng)當(dāng)時(shí)發(fā)散.8例

解02無界函數(shù)的廣義積分134此時(shí)廣義積分是發(fā)散的;

此時(shí)廣義積分是發(fā)散的.時(shí)收斂,

當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),

(3)當(dāng)時(shí),

綜上所述,

廣義積分其值為;時(shí)發(fā)散.

當(dāng)接前02無界函數(shù)的廣義積分由于是被積函數(shù)的瑕點(diǎn),所以135論的斂散性.廣義積分是發(fā)散的,因此廣義積分是發(fā)散的.9例

解02無界函數(shù)的廣義積分討論的斂散性.13610例

解02無界函數(shù)的廣義積分1所以收斂.計(jì)算

13711例

解02無界函數(shù)的廣義積分2論的斂散性.13812例

解02無界函數(shù)的廣義積分3所以發(fā)散.論的斂散性.13913例

解02無界函數(shù)的廣義積分4所以收斂.論的斂散性.14014例

解02無界函數(shù)的廣義積分5所以發(fā)散.論的斂散性.14115例

解02無界函數(shù)的廣義積分6所以收斂.論的斂散性.14216例

解02無界函數(shù)的廣義積分7所以收斂.論的斂散性.14317例

解02無界函數(shù)的廣義積分8其中14402無界函數(shù)的廣義積分所以

收斂.學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第6講定積分的幾何應(yīng)用第5章定積分及應(yīng)用01微元法02平面圖形的面積03體積04平面曲線的弧長本講內(nèi)容（1）148（2）

是一個(gè)與變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量，且對(duì)于區(qū)間一般地，當(dāng)實(shí)際問題中的所求量滿足以下要求：量，而等于所有即如果將[a,b]分成若干小區(qū)間，則相應(yīng)的分成許多部分量，而等于所有部分量的和；部分量的近似值可表示為，其中是上任意取定的一點(diǎn)，是的長度.則量就能用定積分表示.01微元法量表示成定積分的具體方法步驟是：149（例如x）作為積分變量，并確定它的變化區(qū)間；與相差一個(gè)比高階的無窮??；在區(qū)間內(nèi)任取代表小區(qū)間，（2）根據(jù)實(shí)際問題建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，（1）部分量的近似表示為上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)區(qū)間的記作，稱為量的微元在x處的值與的乘積，選取一個(gè)變量將相應(yīng)于小，即01微元法150（3）以所求量的積分元素為積分表達(dá)式在區(qū)間上作定積分，即這種簡化了的求定積分的方法稱為微元法或元素法.01微元法01微元法02平面圖形的面積03體積04平面曲線的弧長本講內(nèi)容1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積152在平面直角坐標(biāo)系中求由曲線其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，如圖所示.在區(qū)間上任取代表區(qū)間，線，由于非常小，這樣介于兩條直線，圍成圖形的面積A，y=g(x)x+dxy=f(x)yabxOx在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處做垂直于x軸的直直線之間的圖形可以近似看成矩形，因此面積微元可表示為所求面積A為和02平面圖形的面積

解1531例求由拋物線與直線所圍成圖形的面積A．

解方程組得到拋物線與直線的交點(diǎn)為圍成的圖形如圖所示拋物線與直線(2,2)和(8,4).

4x-=yx2=2y（2，-2）（48，）Oxy02平面圖形的面積154從圖形可以看，

若選x為積分變量，

x的取值范圍是[a,b]，

但在直線x=0與

x=8之間有三條曲線，

因此需要用直線x=2將圖形分成兩部分，

所求面積是兩部分面積的和，

進(jìn)而求兩個(gè)定積分的和，

顯然比較麻煩．因此，

選

y作為積分變量，

所以所求面積A為02平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)系中的平面圖形的面積155若，則有綜合以上兩種情況，和直線圍成圖形的面積為：由曲線y=g(x)x+dxy=f(x)yabxOx02平面圖形的面積ydcOx156同樣地，由曲線和直線圍成圖形（如圖所示）的面積為：02平面圖形的面積yOxy=x21xy=157

解2例解方程組得到兩拋物線的交點(diǎn)為兩拋物線圍成的圖形如圖所示.則所求面積A為本題也可以選y作積分變量，所求面積為注：求由兩拋物線與所圍成圖形的面積A.02平面圖形的面積ydAxx+dxxO158

解3例求橢圓所圍成圖形的面積.因圖形是一中心對(duì)稱圖形，所以所求面積A為且時(shí)，得到半徑為R的圓的面積特別的，當(dāng)時(shí)，將代入于是，時(shí)，，02平面圖形的面積2.極坐標(biāo)系中的平面圖形的面積dAρOαβ159設(shè)曲線由表示，求由曲線及射線面積記為，在上任取一子區(qū)間，似看作扇形，得積分得所圍圖形的面積，此類圖形稱為曲邊扇形.此區(qū)間上的02平面圖形的面積160

解4例02平面圖形的面積對(duì)應(yīng)

從0變

計(jì)算阿基米德螺線到2

所圍圖形面積.1161面積.

心形線所圍成的圖形如圖所示，

這個(gè)圖形對(duì)稱于極軸，

因此所求圖形的面積是極軸以上部分圖形面積的兩倍.

任取

解5例計(jì)算心形線（）所圍圖形的一子區(qū)間，

則

02平面圖形的面積162，

所以

.

02平面圖形的面積01微元法02平面圖形的面積03體積04平面曲線的弧長本講內(nèi)容1.旋轉(zhuǎn)體的體積yaOxby=f(x)xx+dx164由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，柱、圓錐、圓臺(tái)、球體都是旋轉(zhuǎn)體.設(shè)一旋轉(zhuǎn)體由連續(xù)曲線，直線邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成（如圖所示），這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.如圓及x軸所圍成的曲下面求它的體積03體積1651.旋轉(zhuǎn)體的體積取x為積分變量，任取小區(qū)間，間上的旋轉(zhuǎn)體薄片的體積可近似的看作以為底面半徑，柱體的體積，將體積微元作為被積表達(dá)式，可以得到所求旋轉(zhuǎn)體的體積公式變化區(qū)間為相應(yīng)于小區(qū)為高的扁圓就yaOxby=f(x)xx+dx即體積微元03體積166如圖所示，

連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)

直線

x=h及x軸圍成一個(gè)直角三角形．周構(gòu)成一個(gè)底半徑為r，

高為h的圓錐體．6例，

的直線軸旋轉(zhuǎn)一將它繞x計(jì)算這個(gè)圓錐體的體積．=hyxrPhxOy03體積167變化區(qū)間柱體的體積，

即體積微元為

為積分變量，

取x相應(yīng)于該小區(qū)間上的，任取小區(qū)間

解過OP的直線方程為．為．旋轉(zhuǎn)體薄片的體積近似于底半徑為，

高為的圓，故所求體積為．

03體積168軸、

x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體（叫做旋轉(zhuǎn)橢球體）的體積．

當(dāng)繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，

如圖所示，

旋轉(zhuǎn)橢球體可以看作上半的．根據(jù)公式，

得為積分變量，

取x7例

解計(jì)算由橢圓所圍成的圖形分別繞x橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成=?ayaxb22xxOy03體積169

同理,當(dāng)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，

可得半徑為R的球體的體積得根據(jù)公式，

特別地,當(dāng)時(shí)，

．

03體積xOcdx=φ(y)y170類似地，如圖所示，由連續(xù)曲線，直線其體積公式為及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體，03體積1718例

解求由曲線與所圍圖形分別繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.繞x軸旋轉(zhuǎn)的體積繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積03體積1729例

解03體積

求由擺線

的一拱與

x

軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.該圖形繞

y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy

為

a2aABCxyO2

a2.平行截面面積為已知的立體體積ybxax+dxA(x)Ox173如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，軸的各個(gè)截面面積，來計(jì)算.如圖所示，取上述定軸為x軸，行平面之間，的截面面積為，是連續(xù)函數(shù)，且垂直于x軸的兩個(gè)平但卻知道該立體垂直于一定那么這個(gè)立體的體積也可用定積分并設(shè)該立體在過點(diǎn)并設(shè)過任意一點(diǎn)x這里求該立體的體積.03體積1742.平行截面面積為已知的立體體積取x為積分變量，變化區(qū)間為，任取，相應(yīng)于小區(qū)間的薄片近似的看作一個(gè)扁柱體，為，高為，則體積微元為從而，在閉區(qū)間上作定積分便得到所求立體的體積為其底面積ybxax+dxA(x)Ox03體積yOxx2+y2=R2R-Rαx1758例

解一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心并與底面交成角，計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則底圓方程為取x為積分變量，變化區(qū)間為，邊的長分別為及所以截面面積于是所求立體體積為任一點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)直角三角形.過區(qū)間上兩條直角03體積01微元法02平面圖形的面積03體積04平面曲線的弧長本講內(nèi)容1.直角坐標(biāo)方程情形2.參數(shù)方程情形3.極坐標(biāo)方程情形177設(shè)曲線的方程為具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，若曲線為參數(shù)方程其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在則弧長公式為則弧長公式為其中則弧長公式為04平面曲線的弧長178到一段的弧長.

弧微分為

.

于是所求弧長

.9例

解求阿基米德螺線（）相應(yīng)于從04平面曲線的弧長17910例

解計(jì)算曲線當(dāng)t從0到1時(shí)的弧長.由弧長公式得04平面曲線的弧長18011例

解04平面曲線的弧長1計(jì)算曲線與直線圍成的圖形的面積由可得或04平面曲線的弧長

曲線

及直線

的交點(diǎn)為

，由此可得兩個(gè)圖象圍成的面18212例

解04平面曲線的弧長2由可得求由圓

與雙紐線

圍成的圖形的公共部分的面積.所以

或

，由對(duì)稱性04平面曲線的弧長18413例

解04平面曲線的弧長3由可得所以

求星形線

的全長.18514例

解04平面曲線的弧長4由可得所以

求曲線

從

到

的一段曲線弧的弧長.學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）第7講定積分的物理應(yīng)用第5章定積分及應(yīng)用01變力做功02引力03平均值本講內(nèi)容189189設(shè)一物體在變力的作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，方向始終保持不變且與路程x的連續(xù)函數(shù)，物體的位移方向相同，求物體由點(diǎn)a移到點(diǎn)b時(shí)，變力所做的功.在區(qū)間上任取代表區(qū)間，由于dx非常小，在該區(qū)間上可以近似看成是恒力做功，該區(qū)間上的功微元dw為從而得到在上變力所做的功是變力F是于是01變力做功190190

1例設(shè)在軸上的原點(diǎn)處放置了一個(gè)電量為的點(diǎn)電荷，

將另一帶電量為的點(diǎn)電荷放入由形成的電場中，

求電場力將從排斥到時(shí)所做的功．

在區(qū)間上取一代表區(qū)間，

在該區(qū)間上看作是恒力做功，

由庫侖定律知，

與點(diǎn)相距為的單位正電荷所受電場力的大小是，

解01變力做功191191則功的微元是

，

從而得,電場力對(duì)所做的功是

01變力做功

2例

解

則這薄層水的重力為192

01變力做功193

01變力做功

01變力做功02引力03平均值本講內(nèi)容195

其中G為萬有引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線.02引力O196

3例

解棒，

細(xì)直棒最近端點(diǎn)的距離為r.求細(xì)直棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小.如圖所示，取x為積分變量，其變化區(qū)間為在中任取小區(qū)間，

即引力大小的微元為在其延長線上放置一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)距02引力

01變力做功02引力03平均值本講內(nèi)容198

對(duì)于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在上的平均值

03平均值

199

4例

解

(E0是峰值).

03平均值200灑水車上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體，底面橢圓的長、短軸分別為和，

水箱長.當(dāng)水箱裝滿水時(shí)，計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力.

以底面橢圓的長軸為軸、短軸為軸建立直角坐標(biāo)系，

則橢圓的方程為.

解03平均值201取為積分變量，

對(duì)該區(qū)間內(nèi)任一小區(qū)間，

該小區(qū)間相應(yīng)的水深為，

相應(yīng)的面積為，

得到該小區(qū)間上相應(yīng)的壓力為

，于是所求的壓力為C

.

則的變化范圍為，

03平均值202

5例半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要做多少功.

解

03平均值1剩余03平均值則204

6例

解圓的方程為03平均值2有一個(gè)圓形閘門，半徑為3cm,水的密度為

，求當(dāng)水面與閘門直徑相齊時(shí)閘門所受的水壓力.

由相同深度的靜壓強(qiáng)等于水的比重(v)與深度(x)的乘積,當(dāng)

很小時(shí),閘門上從深度

到

的狹條

所受的靜壓力為:閘門上所受的總壓力為學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）高等數(shù)學(xué)（上冊）（慕課版）本章小結(jié)第5章定積分及應(yīng)用01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要求和學(xué)習(xí)建議本講內(nèi)容

01

知識(shí)點(diǎn)歸納208定積分及其應(yīng)用定積分的概念定積分的定義牛頓-萊布尼茲公式換元積分法分部積分法定積分的計(jì)算定積分的性質(zhì)(8個(gè))微積分基本定理積分上限函數(shù)的定義積分上限函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性及求導(dǎo)方法和式的極限微積分基本公式定積分的應(yīng)用微元法幾何應(yīng)用物理應(yīng)用其他應(yīng)用廣義積分無窮限上的廣義積分無界函數(shù)的廣義積分01知識(shí)點(diǎn)歸納02教學(xué)要