高三數(shù)學(xué)三角函數(shù)復(fù)習(xí)試題三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，其概念、公式、圖像與性質(zhì)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并在后續(xù)的高等數(shù)學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用。在高考中，三角函數(shù)不僅是基礎(chǔ)題型的重要組成部分，也常常與函數(shù)、向量、解析幾何等知識(shí)綜合考查，其重要性不言而喻。高三復(fù)習(xí)階段，對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)性的梳理與強(qiáng)化訓(xùn)練，是提升數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)鍵一環(huán)。本文將結(jié)合典型試題，對(duì)三角函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧與應(yīng)用分析，希望能為同學(xué)們的復(fù)習(xí)提供有益的參考。一、核心知識(shí)體系回顧與要點(diǎn)提示在進(jìn)入試題演練之前，我們有必要對(duì)三角函數(shù)的核心知識(shí)進(jìn)行一次系統(tǒng)性的回顧，厘清脈絡(luò)，夯實(shí)基礎(chǔ)。1.三角函數(shù)的定義：無(wú)論是在直角坐標(biāo)系中（終邊定義法）還是在單位圓中，三角函數(shù)的定義都是理解其各種性質(zhì)的根源。務(wù)必明確正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域、值域，并能熟練運(yùn)用三角函數(shù)線解決相關(guān)問(wèn)題。2.同角三角函數(shù)基本關(guān)系：平方關(guān)系（sin2α+cos2α=1）、商數(shù)關(guān)系（tanα=sinα/cosα）是進(jìn)行三角恒等變換的基本工具。在應(yīng)用平方關(guān)系開(kāi)方時(shí)，要特別注意角所在的象限以確定符號(hào)。3.誘導(dǎo)公式：其核心是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。理解這一口訣的含義，并能熟練運(yùn)用公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，是簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵。4.三角恒等變換：這是三角函數(shù)的難點(diǎn)與重點(diǎn)。主要包括兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，以及由此推導(dǎo)出來(lái)的降冪公式、半角公式、輔助角公式（asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ)）等。掌握這些公式的推導(dǎo)過(guò)程，理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，并能靈活運(yùn)用進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，是提升解題能力的核心。5.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像是理解其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)的直觀載體。要能熟練繪制圖像，并利用圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，解決諸如求最值、解不等式、判斷方程解的個(gè)數(shù)等問(wèn)題。6.解三角形：正弦定理、余弦定理是解三角形的主要工具。它們揭示了三角形的邊與角之間的數(shù)量關(guān)系。運(yùn)用這兩個(gè)定理，可以解決已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊等不同條件下的三角形求解問(wèn)題，并能結(jié)合三角形面積公式解決相關(guān)面積計(jì)算。二、典型試題解析與方法指導(dǎo)（一）基礎(chǔ)概念與基本運(yùn)算例1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4)，求sinα、cosα、tanα的值。解析：本題考查三角函數(shù)的定義。首先，計(jì)算點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=√(32+(-4)2)=5。根據(jù)三角函數(shù)定義：sinα=y/r=-4/5，cosα=x/r=3/5，tanα=y/x=-4/3。點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確理解三角函數(shù)的定義是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，注意終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響。例2已知sinα=3/5，且α為第二象限角，求cosα和tanα的值。解析：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系。由平方關(guān)系sin2α+cos2α=1，可得cos2α=1-sin2α=1-(9/25)=16/25。因?yàn)棣翞榈诙笙藿?，所以cosα<0，故cosα=-4/5。進(jìn)而tanα=sinα/cosα=(3/5)/(-4/5)=-3/4。點(diǎn)評(píng)：應(yīng)用平方關(guān)系求三角函數(shù)值時(shí)，務(wù)必根據(jù)角所在的象限確定符號(hào)，這是易錯(cuò)點(diǎn)。（二）誘導(dǎo)公式與恒等變換例3化簡(jiǎn)：sin(π+α)cos(π/2-α)tan(-α+3π)。解析：本題考查誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用。逐步化簡(jiǎn)：sin(π+α)=-sinα；cos(π/2-α)=sinα；tan(-α+3π)=tan(π-α)=-tanα（因?yàn)閠an函數(shù)周期為π）。所以原式=(-sinα)*sinα*(-tanα)=sin2α*tanα=sin2α*(sinα/cosα)=sin3α/cosα。點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式時(shí)，要準(zhǔn)確判斷函數(shù)名稱是否改變（“奇變偶不變”）以及三角函數(shù)值的符號(hào)（“符號(hào)看象限”，將α視為銳角）。例4求值：sin15°+cos15°。解析：本題可利用兩角和差公式或輔助角公式。方法一（輔助角公式）：sin15°+cos15°=√2sin(15°+45°)=√2sin60°=√2*(√3/2)=√6/2。方法二（兩角差公式）：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=√6/4-√2/4；cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=√6/4+√2/4；故sin15°+cos15°=(√6/4-√2/4)+(√6/4+√2/4)=√6/2。點(diǎn)評(píng)：輔助角公式asinx+bcosx=√(a2+b2)sin(x+φ)在化簡(jiǎn)和求最值時(shí)非常便捷，要熟練掌握其形式和φ的確定方法。（三）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例5函數(shù)f(x)=sin(2x-π/3)的最小正周期是______，單調(diào)遞增區(qū)間是______。解析：對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，其最小正周期T=2π/|ω|。這里ω=2，故T=2π/2=π。求單調(diào)遞增區(qū)間：令-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ，k∈Z。解得：-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ，k∈Z。所以單調(diào)遞增區(qū)間為[-π/12+kπ,5π/12+kπ]，k∈Z。點(diǎn)評(píng)：掌握正弦型函數(shù)的圖像變換和性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的基礎(chǔ)。求單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意ω的符號(hào)，并正確運(yùn)用整體代換的思想。例6函數(shù)f(x)=2sin2x+2cosx-3，x∈[0,π]的最大值是______。解析：先利用同角關(guān)系將函數(shù)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)。f(x)=2(1-cos2x)+2cosx-3=-2cos2x+2cosx-1。令t=cosx，因?yàn)閤∈[0,π]，所以t∈[-1,1]。則函數(shù)化為g(t)=-2t2+2t-1，t∈[-1,1]。這是一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為t=-b/(2a)=2/(4)=1/2。當(dāng)t=1/2時(shí)，g(t)取得最大值，g(1/2)=-2*(1/2)2+2*(1/2)-1=-2*(1/4)+1-1=-1/2。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)換元法將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是常用的解題策略。要注意新元的取值范圍。（四）解三角形例7在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，cosC=1/4，求邊c的長(zhǎng)及sinA的值。解析：第一問(wèn)求邊c，已知兩邊及其夾角，用余弦定理。c2=a2+b2-2abcosC=32+42-2*3*4*(1/4)=9+16-6=19，所以c=√19。第二問(wèn)求sinA，可先求sinC，再用正弦定理。sinC=√(1-cos2C)=√(1-1/16)=√15/4。由正弦定理a/sinA=c/sinC，得sinA=asinC/c=3*(√15/4)/√19=3√15/(4√19)=3√285/76（分母有理化）。點(diǎn)評(píng)：余弦定理適用于已知兩邊夾一角或已知三邊求角的情況；正弦定理適用于已知兩角一邊或已知兩邊及其中一邊的對(duì)角求其他邊和角的情況。在求三角函數(shù)值時(shí)，要注意角的范圍以確定符號(hào)。例8在△ABC中，已知a=2，b=√2，A=45°，求角B。解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，得sinB=bsinA/a=√2*sin45°/2=√2*(√2/2)/2=(2/2)/2=1/2。因?yàn)閍=2>b=√2，所以A>B，即B為銳角。故B=30°。點(diǎn)評(píng)：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角（SSA）解三角形時(shí)，可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，需要根據(jù)“大邊對(duì)大角”等原則進(jìn)行判斷，避免增解或漏解。三、復(fù)習(xí)建議與總結(jié)三角函數(shù)的復(fù)習(xí)，首先要回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)。對(duì)三角函數(shù)的定義、公式、圖像與性質(zhì)等基本知識(shí)點(diǎn)要爛熟于心，理解其來(lái)龍去脈，而不是死記硬背。其次，要強(qiáng)化運(yùn)算，注重技巧。三角恒等變換的公式較多，要通過(guò)適量練習(xí)熟練掌握公式的正用、逆用和變形用，體會(huì)其中的“拆角”、“湊角”等技巧，如α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)等。再次，要關(guān)注圖像，數(shù)形結(jié)合。三角函數(shù)的很多性質(zhì)，如周期性、單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等，都可以通過(guò)圖像直觀地反映出來(lái)。在解題時(shí)，要養(yǎng)成畫(huà)圖、用圖的習(xí)慣，利用數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)化問(wèn)題。此外，要重視綜合，提升能力。三角函數(shù)常常與函數(shù)、向量、不等式、