2025年大學統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策案例解析題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某連鎖超市想要了解其顧客的年齡分布是否與整體市場人口結(jié)構(gòu)存在顯著差異，并希望根據(jù)這一分析結(jié)果調(diào)整其商品布局和營銷策略。為此，該超市進行了一項抽樣調(diào)查，隨機抽取了200名進店顧客，記錄了他們的年齡（單位：歲）。調(diào)查得到的樣本數(shù)據(jù)顯示，這些顧客的平均年齡為35.8歲，標準差為12.5歲。根據(jù)市場部的資料，該地區(qū)整體成年人口（18歲及以上）的平均年齡為33歲。超市管理層希望了解樣本數(shù)據(jù)是否提供了足夠證據(jù)表明其顧客的平均年齡顯著高于市場平均水平。請運用適當?shù)慕y(tǒng)計方法進行分析，并說明你的分析過程和結(jié)論。二、一家制造企業(yè)生產(chǎn)某種關(guān)鍵零件，關(guān)心零件的長度是否服從設(shè)計規(guī)格的正態(tài)分布。質(zhì)檢部門抽取了100個零件，測量了它們的長度。初步的探索性分析顯示，這100個零件長度的數(shù)據(jù)大致對稱，且無明顯異常值。為了檢驗這批零件長度的分布是否可以接受為正態(tài)分布，質(zhì)檢員決定進行正態(tài)性檢驗。請描述進行正態(tài)性檢驗的統(tǒng)計思路，并說明選擇哪種（或哪些）檢驗方法比較合適。假設(shè)你已經(jīng)獲得了檢驗的p值，當p值分別為0.05和0.1時，你將如何解釋這些結(jié)果，并對零件長度的分布狀態(tài)做出判斷？三、某公司的人力資源部門想要評估兩種不同的培訓(xùn)方法（方法A和方法B）對員工工作效率提升的效果是否存在差異。他們隨機選取了60名新員工，其中30人接受方法A的培訓(xùn)，另外30人接受方法B的培訓(xùn)。培訓(xùn)結(jié)束后一個月，通過統(tǒng)一的工作效率評估量表對這60名員工進行了測試，得到他們的得分數(shù)據(jù)（得分越高代表效率越高）。人力資源部門希望了解這兩種培訓(xùn)方法是否導(dǎo)致了不同的平均工作效率。請設(shè)計一個恰當?shù)慕y(tǒng)計檢驗方案來分析這個問題，說明你的檢驗假設(shè)、選擇的方法以及需要考慮的關(guān)鍵點。四、一家銀行想知道申請其信用卡的客戶是否存在性別差異。他們隨機抽取了500名信用卡申請人的樣本，記錄了他們的性別（男/女）以及申請是否被批準（批準/拒絕）。請說明如何利用卡方檢驗來分析性別與信用卡申請批準結(jié)果之間是否存在關(guān)聯(lián)。假設(shè)你計算得到卡方統(tǒng)計量的值為9.5，自由度為1，請解釋這個統(tǒng)計量的含義，并根據(jù)其p值（假設(shè)p=0.002）得出關(guān)于性別與信用卡申請批準結(jié)果之間關(guān)聯(lián)性的結(jié)論。五、一家電子商務(wù)公司想要分析其網(wǎng)站用戶的訪問時間（單位：分鐘）與購買金額（單位：元）之間的關(guān)系，以判斷用戶在網(wǎng)站上停留的時間是否會影響其消費。他們收集了100名用戶的樣本數(shù)據(jù)。通過初步分析，發(fā)現(xiàn)用戶的訪問時間和購買金額之間存在一定的線性趨勢。請說明如何運用簡單線性回歸分析來量化這種關(guān)系，并解釋回歸系數(shù)（斜率）的經(jīng)濟含義。如果回歸模型的判定系數(shù)（R2）為0.45，請解釋其含義，并評價該回歸模型對購買金額變差的解釋程度。六、某快餐連鎖店想要了解其核心產(chǎn)品（如漢堡）的需求量與其所處位置的交通便利程度（交通指數(shù)，數(shù)值越高代表越便利）以及附近競爭對手的數(shù)量（競爭者數(shù)量）之間是否存在關(guān)系。他們收集了全國30家分店過去一年的數(shù)據(jù)，包括每月的漢堡銷量、交通指數(shù)和附近的主要競爭對手數(shù)量。請說明如何運用多元線性回歸模型來分析交通便利程度和競爭者數(shù)量對漢堡銷量的聯(lián)合影響。在解釋回歸系數(shù)時，需要考慮哪些因素？如果模型結(jié)果顯示交通指數(shù)的系數(shù)顯著為正，而競爭者數(shù)量的系數(shù)不顯著，你將如何解釋這一發(fā)現(xiàn)，并為該快餐店提供基于數(shù)據(jù)分析的建議？試卷答案一、解析思路：1.明確問題：檢驗超市顧客平均年齡（樣本均值35.8歲）是否顯著高于市場平均水平（總體均值33歲）。2.選擇方法：由于總體標準差未知，且樣本量較大（n=200），應(yīng)使用單樣本t檢驗。3.提出假設(shè)：*H?：μ=33（超市顧客平均年齡等于市場平均水平）*H?：μ>33（超市顧客平均年齡大于市場平均水平）4.計算檢驗統(tǒng)計量：t=(樣本均值-總體均值)/(樣本標準差/sqrt(樣本量))=(35.8-33)/(12.5/sqrt(200))=2.8/(12.5/14.14)=2.8/0.884≈3.17。5.確定p值或臨界值：查t分布表（自由度df=n-1=199，或使用近似標準正態(tài)分布Z表），找到t=3.17對應(yīng)的p值。p值非常?。ㄍǔＰ∮?.001）。6.做出決策：若顯著性水平α=0.05，由于p值<α，拒絕H?。7.得出結(jié)論：樣本數(shù)據(jù)提供了充分證據(jù)表明該超市顧客的平均年齡顯著高于市場平均水平。二、解析思路：1.明確問題：檢驗100個零件長度的數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。2.選擇方法：由于樣本量較大（n=100），通常優(yōu)先考慮使用基于樣本偏度和峰度的Shapiro-Wilk檢驗（若數(shù)據(jù)為小樣本，常用Kolmogorov-Smirnov檢驗或Lilliefors檢驗）。對于正態(tài)性檢驗，也可以結(jié)合繪制直方圖（或Q-Q圖）進行直觀判斷。3.檢驗假設(shè)（以Shapiro-Wilk為例）：*H?：數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布*H?：數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布4.計算p值：假設(shè)通過軟件計算得到p值。5.結(jié)果解釋與判斷（示例）：*當p值=0.05時：若p值≥α（如0.05），不能拒絕H?。解釋：沒有足夠證據(jù)拒絕正態(tài)性假設(shè)。可以認為樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布總體（或其分布與正態(tài)分布無顯著差異）。結(jié)合對稱性和無異常值的描述，初步判斷零件長度分布可能接近正態(tài)。*當p值=0.1時：若p值<α（如0.05，假設(shè)檢驗通常用α=0.05），拒絕H?。解釋：有足夠證據(jù)拒絕正態(tài)性假設(shè)。樣本數(shù)據(jù)來自非正態(tài)分布總體。結(jié)合描述中的對稱性，可能表明數(shù)據(jù)接近正態(tài)但存在輕微偏離，或者樣本量足夠大使得微小偏離變得顯著。6.結(jié)論：根據(jù)p值與顯著性水平α的比較結(jié)果，判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布。三、解析思路：1.明確問題：比較兩種培訓(xùn)方法（方法A和方法B）導(dǎo)致員工平均工作效率的差異。2.選擇方法：這是典型的兩組均值比較問題。由于涉及兩個獨立組（接受不同培訓(xùn)），且假設(shè)效率得分的方差在兩組中可能相等（或不相等），應(yīng)使用獨立樣本t檢驗（檢驗方差相等或不等版本的t檢驗）。3.提出假設(shè)（假設(shè)兩組方差相等）：*H?：μ_A=μ_B（兩種方法的平均效率相同）*H?：μ_A≠μ_B（兩種方法的平均效率不同）4.計算檢驗統(tǒng)計量：需要樣本均值、樣本標準差、樣本量。t=(均值A(chǔ)-均值B)/標準誤。標準誤的計算取決于方差是否相等（使用pooledvariance或separatevarianceformula）。5.確定p值或臨界值：查t分布表（自由度df，取決于方差相等與否的計算方法），找到計算得到的t值對應(yīng)的p值。6.做出決策：若顯著性水平α=0.05，比較p值與α。若p值<α，拒絕H?。7.得出結(jié)論：根據(jù)檢驗結(jié)果判斷兩種培訓(xùn)方法在平均工作效率上是否存在顯著差異。四、解析思路：1.明確問題：分析性別（分類變量）與信用卡申請批準結(jié)果（分類變量）之間是否存在關(guān)聯(lián)。2.選擇方法：這是典型的分類變量關(guān)聯(lián)性檢驗，使用卡方獨立性檢驗（Chi-squareTestofIndependence）。3.構(gòu)建列聯(lián)表：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)（500人），構(gòu)建2x2列聯(lián)表，行代表性別（男、女），列代表批準結(jié)果（批準、拒絕），填入觀測頻數(shù)。4.提出假設(shè)：*H?：性別與信用卡申請批準結(jié)果之間無關(guān)聯(lián)（獨立）。*H?：性別與信用卡申請批準結(jié)果之間有關(guān)聯(lián)（不獨立）。5.計算檢驗統(tǒng)計量：卡方統(tǒng)計量χ2=Σ[(O-E)2/E]，其中O是觀測頻數(shù)，E是期望頻數(shù)。期望頻數(shù)E=(行合計*列合計)/總樣本量。6.確定p值或臨界值：查卡方分布表，自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=1。根據(jù)計算得到的χ2值（χ2=9.5）和df=1，找到對應(yīng)的p值。p值≈0.002。7.做出決策：若顯著性水平α=0.05，由于p值(0.002)<α，拒絕H?。8.得出結(jié)論：樣本數(shù)據(jù)提供了足夠證據(jù)表明性別與信用卡申請批準結(jié)果之間存在關(guān)聯(lián)。五、解析思路：1.明確問題：檢驗用戶訪問時間與購買金額之間的線性關(guān)系，并解釋模型。2.選擇方法：使用簡單線性回歸分析。模型形式為：購買金額=β?+β?*訪問時間+ε。3.構(gòu)建回歸模型：需要樣本數(shù)據(jù)（100對訪問時間和購買金額）。使用統(tǒng)計軟件或公式計算回歸系數(shù)β?（截距）和β?（斜率）。4.解釋回歸系數(shù)（斜率β?）：β?表示當用戶訪問時間增加一個單位（例如1分鐘）時，預(yù)計購買金額平均變化的數(shù)值（元/分鐘）。其符號（正/負）和顯著性（p值是否小于α）反映了訪問時間與購買金額之間的方向和強度關(guān)系。例如，若β?=5且顯著，表示每增加1分鐘訪問時間，預(yù)計購買金額增加5元。5.解釋判定系數(shù)R2：R2=0.45。表示在購買金額的總變異中，有45%可以通過用戶訪問時間與購買金額之間的線性關(guān)系來解釋。這意味著訪問時間是影響購買金額的一個重要因素，但還有55%的變異是由其他未包含在模型中的因素（如產(chǎn)品價格、促銷活動、用戶購買意愿等）引起的。6.評價模型：R2=0.45表明模型具有一定的解釋力，但不能完全解釋購買行為。需要進一步檢查回歸模型的假設(shè)（如線性關(guān)系、同方差性、正態(tài)殘差等）是否滿足。六、解析思路：1.明確問題：分析交通便利程度和競爭者數(shù)量對漢堡銷量的聯(lián)合影響，并提供建議。2.選擇方法：使用多元線性回歸模型。模型形式為：漢堡銷量=β?+β?*交通指數(shù)+β?*競爭者數(shù)量+ε。3.構(gòu)建回歸模型：需要樣本數(shù)據(jù)（30家分店，包含銷量、交通指數(shù)、競爭者數(shù)量）。使用統(tǒng)計軟件計算回歸系數(shù)β?,β?,β?及其顯著性。4.解釋回歸系數(shù)：*β?（交通指數(shù)的系數(shù)）：表示在其他因素不變的情況下，交通指數(shù)每增加一個單位，預(yù)計漢堡銷量平均變化的數(shù)值（元/單位）。其符號和顯著性反映了交通便利程度與銷量的關(guān)系。例如，若β?為正且顯著，表示交通越便利，銷量越高。*β?（競爭者數(shù)量的系數(shù)）：表示在其他因素（交通指數(shù)）不變的情況下，競爭者數(shù)量每增加一個單位，預(yù)計漢堡銷量平均變化的數(shù)值。其符號和顯著性反映了競爭對銷量的影響。例如，若β?為負且顯著，表示競爭者越多，銷量越低。5.考慮因素：解釋系數(shù)時需注意多重共線性問題（交通指數(shù)和競爭者數(shù)量之間可能相關(guān)），以及系數(shù)的顯著性（p值是否小于α）。6.結(jié)果解釋與建議（基于假設(shè)結(jié)果）：*交通指數(shù)系數(shù)顯著為正：說明交通便利性對漢堡銷量有正向促進作用。建議在高交通指數(shù)區(qū)域（如市中心、交通樞紐附近）可以適當增加投入，如擴大店面、增加宣傳