2024-2025學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（2分）如圖是2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物“弗里熱”，它的座右銘是“獨(dú)行快，眾行遠(yuǎn)”，下列與該圖片是全等的是（）A． B． C． D．2．（2分）一艘輪船以3海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東航行，離開港口1小時(shí)，兩船相距（）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里3．（2分）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在BE上，且△ABC≌△DEF，若BC＝5，CE＝3，則FC的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（2分）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點(diǎn)A往地面拉兩條長(zhǎng)度相等的固定繩AB和AC，當(dāng)點(diǎn)B、E、C在同一直線上且固定點(diǎn)B、C到桿腳E的距離相等時(shí)，電線桿DE就垂直于BC，工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）A．等邊對(duì)等角 B．垂線段最短 C．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等 D．等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合5．（2分）如圖，△ABC的邊AB＝10，BC＝12，O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，若△ABO的面積為15，則△BCO的面積為（）A．11 B．17 C．18 D．206．（2分）如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，連接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列結(jié)論：①∠AMC＝135°；②△AMH≌△BME；③AH+CE＝AC；④BM+MH＝BC．其中，正確的結(jié)論是（）A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卷相應(yīng)位置上）7．（2分）等腰三角形的頂角為80°，則底角等于．8．（2分）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△ABC≌△DEF．9．（2分）如圖是用尺規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則△ADF≌△ADE的依據(jù)是．10．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E．若BC＝5，DE＝2，則DB的長(zhǎng)為．11．（2分）如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長(zhǎng)為．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，則BD與BA之間的數(shù)量關(guān)系為．13．（2分）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處，BC＝9，CD＝4，則AB2﹣AC2的值為．14．（2分）我國數(shù)學(xué)家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該圖為“趙爽弦圖”，如圖，“趙爽弦圖”是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為81，小正方形面積為9，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個(gè)推斷：①x2+y2＝81；②x﹣y＝3；③xy＝36；④x+y＝13．其中所有正確推斷的序號(hào)是．15．（2分）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝3，若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．16．（2分）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE+CF的最小值為．三、解答題（本大題共10小題，共68分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、說理過程或演算步驟）17．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高．求證：△ADB≌△ADC．18．（6分）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，AD＝BE，∠A＝∠B．求證：∠D＝∠E．19．（5分）如圖，在正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC，A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于直線MN的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（要求點(diǎn)A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)）；（2）線段BC與線段B1C1的數(shù)量關(guān)系為．20．（6分）如圖，在一塊三角形土地上，準(zhǔn)備規(guī)劃出圖中陰影部分作為綠地，若規(guī)劃圖設(shè)計(jì)中要求∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，BC＝12，AB＝13，求綠地的面積．21．（6分）如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE＝CE，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD與EC交于點(diǎn)G．判斷△AEG的形狀并說明理由．22．（6分）如圖，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接CE．（1）證明：△ABD≌△ECD；（2）若AB＝8，AC＝4，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是．23．（6分）如圖，在一條筆直的馬路EF同側(cè)有A，B兩個(gè)小區(qū)，A小區(qū)到馬路的垂直距離AC為10千米，B小區(qū)到馬路的垂直距離BD為2千米，CD的長(zhǎng)度為15千米．（1）求A，B小區(qū)之間的距離；（2）現(xiàn)要在線段CD上修建一個(gè)車站P，使得車站P到A，B兩小區(qū)的距離相等，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中確定車站P的位置．（保留作圖痕跡，不寫畫法）24．（9分）定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角α、β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝60°，則∠A＝．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，若CD是∠ACB的平分線．①求證：△BDC為近直角三角形；②求BD的長(zhǎng)．25．（8分）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF為定值．（1）深入探究將“在△ABC中，AB＝AC，P為BC上一點(diǎn)”改成“P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分別為E、F、M、G，有類似結(jié)論嗎？請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；（2）理解與應(yīng)用當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外，（1）結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，PE、PF、PM和BG之間又有怎樣的關(guān)系，并說明理由．26．（11分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°．BE分別交AC、AD于E、F．（1）如圖1，AB＝13，BC＝10，求AF的長(zhǎng)度；（2）如圖2，取BF中點(diǎn)G，若BF2+EF2＝CG2，求證：AF＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)D作DN⊥AC于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出的值．

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．【分析】能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形，由此即可判斷．【解答】解：A、B、C中的圖片與題目中的圖片都不是全等形，故A、B、C不符合題意；D、圖片與題目中的圖片是全等形，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等形的定義．2．【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角，然后根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，得兩條船分別走了3海里，4海里，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：如圖，設(shè)輪船向東北方向航行到B，向東南方向航行到C，由題意得，AB＝3×1＝3（海里），AC＝4×1＝4（海里），∠BAC＝90°，∴BC＝＝5（海里），∴離開港口1小時(shí)后，則兩船相距5海里，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．【分析】由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推出EF＝BC＝5，即可求出FC＝EF﹣CE＝2．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5，∵CE＝3，∴FC＝EF﹣CE＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．4．【分析】利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明即可．【解答】解：∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC（等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到AB，BC，AC的距離相等，則△AOB、△BOC、△AOC面積的比實(shí)際為AB，BC，AC三邊的比．【解答】解：∵點(diǎn)O是三條角平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O到BC，AB的距離相等，∴△BOC的面積：△AOB面積＝BC：AB＝12：10＝6：5．∵△ABO的面積為15，∴△BCO的面積為18．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．6．【分析】根據(jù)AD是△ABC的高，∠DAC+∠DCA＝90°，結(jié)合CF是△ABC的角平分線，AE平分∠CAD，得到MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，即可得到∠AMC＝135°，判斷①正確；先證明再證明即可，可判定②正確；根據(jù)△CMA≌△CMB（AAS）得到AC＝BC，結(jié)合得到AH＝BE，結(jié)合CE+BE＝BC，等量代換即可得到AH+CE＝AC，可判定③正確；延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)N，得到∠BNC＝90°+∠MAN，得到BC＞BN，可以判斷④錯(cuò)誤，解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∵CF是△ABC的角平分線，AE平分∠CAD，∴∠MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，∴∠AMC＝180°﹣（∠MAC+∠MCA）＝135°，故①正確，符合題意；∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，∴∠ADC＝∠AMB＝90°，∵∠AHM＝∠BHD，∴∠CBM＝∠HAM，∵AE平分∠CAD，CF是△ABC的角平分線，∴∠CAM＝∠HAM，∠ACM＝∠BCM，∴∠CAM＝∠CBM，在△CMA△和CMB中，，∴△CMA≌△CMB（AAS），∴MA＝MB，在△AMH和△BME中，，∴△AMH≌△BME（ASA），故②正確，符合題意；∵△CMA≌△CMB（AAS），∴AC＝BC，∵△AMH≌△BME，∴AH＝BE，∵CE+BE＝BC，∴AH+CE＝BC，∴AH+CE＝AC，故③正確，符合題意；延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)N，在△AMH≌△AMN，，∴△AMH≌△AMN（ASA），∴MH＝MN，∴BH+2MH＝BH+MH+MN＝BN，∵∠BNC＝90°+∠MAN，是鈍角，∴∠BNC＞∠BCN，∴BC＞BN，故BM+MH＝BC不成立，故④錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形角平分線、中線和高，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的特征量，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卷相應(yīng)位置上）7．【分析】因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角的度數(shù)相等，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，即可分別求出三角形的底角的度數(shù)．【解答】解：（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°．故答案為：50°．【點(diǎn)評(píng)】考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的主要依據(jù)是：等腰三角形的特點(diǎn)以及三角形的內(nèi)角和定理．8．【分析】添加條件：∠A＝∠D，根據(jù)ASA即可證明△ABC≌△DEF．【解答】解：添加條件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案為：∠A＝∠D．（答案不唯一）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．9．【分析】由作圖可知，AE＝AF，DE＝DF，結(jié)合全等三角形的判定可得△ADF≌△ADE（SSS），即可得出答案．【解答】解：由作圖可知，AE＝AF，DE＝DF，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SSS），∴△ADF≌△ADE的依據(jù)是SSS．故答案為：SSS．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝DE＝2，∵BC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代換得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝7，AC＝8，∴△AEF的周長(zhǎng)為：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意證得△BDE與△CDF是等腰三角形是解此題的關(guān)鍵．12．【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°可以推出AB＝2BC，同理可得BC＝2BD，則結(jié)論即可證明．【解答】解：AB＝4BD．理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD．∴AB＝2BC＝4BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)：30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．13．【分析】由折疊得∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，求得∠ADE＝∠ADC＝90°，由BC＝9，CD＝4，求得BD＝5，則AB2＝BD2+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝16+AD2，所以AB2﹣AC2＝9，于是得到問題的答案．【解答】解：∵將△ABC沿AD折疊，點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處，∴∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∵BC＝9，CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，∴AB2＝BD2+AD2＝52+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝42+AD2＝16+AD2，∴AB2﹣AC2＝25+AD2﹣（16+AD2）＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明∠ADE＝∠ADC＝90°是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)所給圖形，用含x和y的代數(shù)式分別表示出圖中各部分圖形的面積，再結(jié)合各部分圖形面積之間的關(guān)系即可解決問題．【解答】解：由題知，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為81，所以大正方形的邊長(zhǎng)為9，則由勾股定理得，x2+y2＝81．故①正確．因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e為9，所以小正方形的邊長(zhǎng)為3，則x﹣y＝3．故②正確．由x﹣y＝3得，（x﹣y）2＝9．又因?yàn)閤2+y2＝81，所以2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝72，所以xy＝36．故③正確．（x+y）2＝x2+y2+2xy＝81+72＝153，所以x+y＝（舍負(fù)）．故④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題主題考查了勾股定理的證明，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．【分析】分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，過點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＝MN時(shí)，a＝6，即可求出a的取值范圍；②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．【解答】解：①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖所示：則PM＝PN，此時(shí)△PMN是等腰三角形，過點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＞MN，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，∵M(jìn)N＝3，∠AOB＝30°，當(dāng)MH＝3時(shí)，OM＝2MH＝6，∴當(dāng)a＞6時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)MN＝MP，∠NMP＝60°，∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，∴OM＝MP＝MN＝3，∴a＝3，綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝3或a＞6，故答案為：a＝3或a＞6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，理解題意以及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．【分析】作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH＝EF＝1，連接HG'交AB于E，推出GE+CF的最小值為G'H的長(zhǎng)，再求出G'H的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH＝EF＝1，連接HG'交AB于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD、AD＝BC＝4、DC＝AB＝9，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH＝CF，∵G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)是G'、G為邊AD的中點(diǎn)，∴GE＝G'E，AG＝AG′＝AD＝2，∴GE+CF＝G'E+EH＝G'H，∴GE+CF的最小值為G'H，∴DG'＝AD+AG'＝4+2＝6，DH＝DC﹣CH＝9﹣1＝8，由勾股定理得：HG′＝＝＝10，即GE+CF的最小值為10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．三、解答題（本大題共10小題，共68分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、說理過程或演算步驟）17．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后利用AAS證明△ADB≌△ADC，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)SAS證明△DAC≌△EBC即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，在△DAC與△EBC中，，∴△DAC≌△EBC（SAS），∴∠D＝∠E．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，BC＝B1C1．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由題意得，線段BC與線段B1C1的數(shù)量關(guān)系為BC＝B1C1．故答案為：BC＝B1C1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．【分析】先由勾股定理求出AC＝5，再由勾股定理的逆定理證出∠ADC＝90°，由三角形面積公式求解即可．【解答】證明：∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝5，∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝169，∴∠ACB＝90°；∴綠地的面積＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．21．【分析】過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，然后根據(jù)等腰三角形三線合一得出∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，再根據(jù)EF∥AD，得出∠FEC＝∠DGC，得∠AGE＝∠EAG即可．【解答】解：△AEG是等腰三角形，理由如下：如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC交于點(diǎn)F，∵BE＝CE，EF⊥BC，∴∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠FEC＝∠DGC，又∵∠DGC＝∠AGE，∴∠AGE＝∠FEC＝∠BEC，∴∠BEF＝∠AGE，∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，∴∠AGE＝∠EAG，∴EA＝EG，∴△AEG是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)這些性質(zhì)的掌握和運(yùn)用．22．【分析】（1）由三角形中線的定義得到BD＝CD，再利用SAS即可證明△ABD≌△ECD；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到CE＝AB＝8，再由三角形三邊的關(guān)系可得8﹣4＜2x＜8+4，據(jù)此可得答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ECD，∴CE＝AB＝8，∵CE﹣AC＜AE＜AC+CE，∴8﹣4＜2x＜8+4，∴2＜x＜6，故答案為：2＜x＜6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．【分析】（1）過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，則BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝8千米，由勾股定理得AB＝，進(jìn)而可得答案．（2）結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)，作線段AB的垂直平分線，交線段CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【解答】解：（1）過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G，則BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝10﹣2＝8（千米），由勾股定理得，AB＝＝＝17（千米），∴A，B小區(qū)之間的距離為17千米．（2）如圖，作線段AB的垂直平分線，交線段CD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．24．【分析】（1）∠B不可能是α或β，當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝15°；（2）①如圖1，設(shè)∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，證明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝8，由勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，當(dāng)∠A＝α?xí)r，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α＝60°，α+2β＝90°，則β＝15°，故答案為：15°；（2）①△BDC是“近直角三角形”．理由：設(shè)∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝＝10，如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，∴AD＝DM．在Rt△ACD和Rt△MCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．∴AC＝CM＝8．∴BM＝AB﹣CM＝2．設(shè)AD＝DM＝x，在Rt△BDM中，DM＝x，BM＝2，DB＝6﹣x，∵DM2+BM2＝DB2，∴x2+22＝（6﹣x）2，∴x＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確的理解“近直角三角形”是解題的關(guān)鍵．25．【分析】（1）連接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC計(jì)算即可；（2）連接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC計(jì)算即可．【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，∵等邊三角形ABC，∴AB＝AC＝BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，∴，∴，∴PE+PF+PM＝BG；（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S△ABP+S△A