2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策應(yīng)用題解析試卷集考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考試時間：120分鐘一、簡答題（每題6分，共30分）1.簡述樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的區(qū)別，并說明為什么通常需要從樣本推斷總體。2.解釋假設(shè)檢驗中第一類錯誤和第二類錯誤的含義，并說明兩者之間的關(guān)系。3.在回歸分析中，什么是多重共線性？它會對回歸模型的估計和解釋帶來哪些主要問題？4.簡述方差分析的基本思想，并說明它在研究問題時相比于多個獨立樣本t檢驗的優(yōu)勢。5.什么是置信區(qū)間？構(gòu)建一個95%置信區(qū)間意味著什么？二、計算與分析題（共70分）1.（15分）某公司想要了解其產(chǎn)品在新舊兩個市場的滿意度差異。隨機抽取了100名在新市場購買者和100名在舊市場購買者，讓他們對產(chǎn)品進行評分（滿分10分）。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得到，新市場購買者的平均評分為8.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2分；舊市場購買者的平均評分為8.0分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5分。要求：a.計算新市場購買者評分的標(biāo)準(zhǔn)誤和舊市場購買者評分的標(biāo)準(zhǔn)誤。b.檢驗在新舊兩個市場購買者對產(chǎn)品的平均滿意度是否存在顯著差異（α=0.05）。請寫出檢驗的步驟，包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域（或p值）和得出結(jié)論。2.（20分）一家汽車銷售公司想要研究廣告投入與月銷售量之間的關(guān)系。隨機收集了過去12個月的月廣告投入（單位：萬元）和對應(yīng)的汽車銷售量（單位：輛）數(shù)據(jù)。通過分析得到回歸方程為：銷售量=120+5*廣告投入。要求：a.解釋回歸系數(shù)5的含義。b.如果下個月計劃投入6萬元廣告費，根據(jù)回歸方程預(yù)測該月的汽車銷售量是多少？c.假設(shè)某月的實際銷售量為150輛，廣告投入為7萬元。請計算該月的預(yù)測殘差，并簡要說明殘差的意義。d.簡述評價一個回歸模型好壞的常用統(tǒng)計量有哪些，并說明它們的基本含義。3.（20分）一個農(nóng)場想要比較四種不同的肥料（記為A,B,C,D）對某種作物產(chǎn)量的影響。在相同的條件下，選擇了一塊土地，將其分成16個小區(qū)，隨機將四種肥料分配到四個小區(qū)上（每個肥料4個小區(qū)）。作物成熟后，測量了每個小區(qū)的產(chǎn)量（單位：kg）。（注：此處不提供具體數(shù)據(jù)，請假設(shè)題目中隱含了數(shù)據(jù)足夠支撐分析）。要求：a.說明該研究屬于哪種實驗設(shè)計類型。b.為了檢驗四種肥料的平均產(chǎn)量是否存在顯著差異，應(yīng)使用什么樣的統(tǒng)計方法？請簡要說明該方法的基本原理。c.假設(shè)通過計算得到F檢驗的統(tǒng)計量為3.8，自由度為（3,12）。請查閱F分布表（或使用軟件），在顯著性水平α=0.05下，判斷是否可以拒絕“四種肥料的平均產(chǎn)量相同”的原假設(shè)。4.（15分）一家銀行想知道客戶的信用評分（CreditScore）與其月消費額（MonthlySpending）之間是否存在線性關(guān)系。隨機抽取了200名客戶的樣本數(shù)據(jù)進行分析。計算得到樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45。要求：a.解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45的含義。b.請計算該線性回歸模型的判定系數(shù)R2，并說明其含義。c.在α=0.01的顯著性水平下，檢驗“客戶的信用評分與月消費額之間存在線性關(guān)系”這一假設(shè)是否成立。請寫出檢驗的步驟（包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域或p值、得出結(jié)論）。---試卷答案一、簡答題（每題6分，共30分）1.樣本統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的量（如樣本均值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差），用于描述樣本特征；總體參數(shù)是根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算出來的量（如總體均值、總體標(biāo)準(zhǔn)差），用于描述總體特征。通常因為總體范圍過大或無法完全測量，我們通過抽取有代表性的樣本，利用樣本統(tǒng)計量來推斷和估計未知的總體參數(shù)。2.第一類錯誤（α錯誤）是指在原假設(shè)H?為真時，錯誤地拒絕了H?；第二類錯誤（β錯誤）是指在原假設(shè)H?為假時，錯誤地未能拒絕H?。兩者之間通常存在權(quán)衡關(guān)系，減小α往往會導(dǎo)致β增大，反之亦然（在樣本量固定時）。3.多重共線性是指回歸模型中兩個或多個自變量之間存在高度線性相關(guān)關(guān)系。主要問題包括：使得回歸系數(shù)估計值不穩(wěn)定、方差增大，導(dǎo)致系數(shù)顯著性檢驗（t檢驗）結(jié)果不可靠（容易得出錯誤結(jié)論），并且難以準(zhǔn)確解釋單個自變量對因變量的獨立影響。4.方差分析的基本思想是將總變異分解為不同來源的變異（如組間變異和組內(nèi)變異），通過比較這些變異的相對大小來判斷各個組的均值是否存在顯著差異。相比于多個獨立的樣本t檢驗（可能需要進行多次檢驗并面臨多重比較問題），方差分析能更高效、更全面地處理多個因素對結(jié)果的影響，且能在控制第一類錯誤率的前提下同時檢驗多個對比。5.置信區(qū)間是在點估計值的基礎(chǔ)上，給出一個區(qū)間范圍，該區(qū)間被認為包含總體參數(shù)真值的可能性有多大（用置信水平表示，如95%）。構(gòu)建一個95%置信區(qū)間意味著如果重復(fù)抽樣多次并構(gòu)建區(qū)間，大約有95%的區(qū)間會包含真實的總體參數(shù)。二、計算與分析題（共70分）1.（15分）a.新市場標(biāo)準(zhǔn)誤=σ?/√n?=1.2/√100=0.12；舊市場標(biāo)準(zhǔn)誤=σ?/√n?=1.5/√100=0.15。b.檢驗步驟：提出假設(shè)：H?:μ?=μ?（新舊市場平均滿意度無差異）；H?:μ?≠μ?（新舊市場平均滿意度有差異）。選擇檢驗統(tǒng)計量：t=(x??-x??)/sqrt(s?2/n?+s?2/n?)=(8.5-8.0)/sqrt(1.22/100+1.52/100)=0.5/sqrt(0.0144+0.0225)=0.5/sqrt(0.0369)=0.5/0.192=2.609。確定拒絕域：α=0.05，雙尾檢驗，自由度df≈min(n?-1,n?-1)=min(99,99)≈99。查t分布表得臨界值t_(0.025,99)≈1.984。拒絕域為t<-1.984或t>1.984。（或計算p值：p=2*P(T>|2.609|)≈2*P(T>2.609)≈2*0.0048=0.0096）。得出結(jié)論：由于t=2.609>1.984（或p=0.0096<0.05），拒絕H?。有充分證據(jù)表明新舊市場購買者對產(chǎn)品的平均滿意度存在顯著差異。2.（20分）a.回歸系數(shù)5的含義是：在其他因素保持不變的情況下，廣告投入每增加1萬元，預(yù)計汽車銷售量將增加5輛。b.預(yù)測銷售量=120+5*6=120+30=150輛。c.預(yù)測殘差=實際值-預(yù)測值=150-(120+5*7)=150-155=-5。殘差表示實際銷售量與根據(jù)廣告投入預(yù)測的銷售量之間的差異，負殘差說明實際銷售量低于預(yù)測值。d.常用統(tǒng)計量包括：判定系數(shù)R2（衡量模型解釋變異的比例）、回歸系數(shù)的t統(tǒng)計量（檢驗單個自變量的顯著性）、估計標(biāo)準(zhǔn)誤差（衡量模型預(yù)測精度）。R2越接近1越好，t統(tǒng)計量的p值小于顯著性水平表示自變量顯著，估計標(biāo)準(zhǔn)誤差越小越好。3.（20分）a.該研究屬于完全隨機化設(shè)計（或單因素方差分析設(shè)計）。b.應(yīng)使用單因素方差分析（One-wayANOVA）方法?；驹硎潜容^各組樣本均值之間的差異是否超過了隨機因素導(dǎo)致的預(yù)期波動，即檢驗各個組的總體均值是否相等。通過計算組間方差和組內(nèi)方差，并進行F檢驗來判斷組間均值差異的顯著性。c.查F分布表（α=0.05，df?=3,df?=12），得臨界值F_(0.05,3,12)≈3.49。由于F檢驗統(tǒng)計量=3.8>3.49，拒絕“四種肥料的平均產(chǎn)量相同”的原假設(shè)。有足夠證據(jù)表明至少有一種肥料的平均產(chǎn)量與其他不同。4.（15分）a.樣本相關(guān)系數(shù)r=0.45表示在樣本中，客戶的信用評分與月消費額之間存在中等強度的正相關(guān)關(guān)系，即信用評分越高，月消費額也傾向于越高。b.判定系數(shù)R2=r2=0.452=0.2025。其含義是信用評分在解釋月消費額變異方面貢獻了約20.25%。c.檢驗步驟：提出假設(shè)：H?:ρ=0（總體相關(guān)系數(shù)為0，即無線性關(guān)系）；H?:ρ≠0（總體相關(guān)系數(shù)不為0，即存在線性關(guān)系）。選擇檢驗統(tǒng)計量：t=r*sqrt((n-2)/(1-r2))=0.45*sqrt((200-2)/(1-0.452))=0.45*sqrt(198/(1-0.2025))=0.45*sqrt(198/0.7975)≈0.45*sqrt(248.53)≈0.45*15.7