2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫——模型設(shè)計與應(yīng)用試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述線性回歸模型中最小二乘法的思想，并說明其基本假設(shè)有哪些？二、在多元線性回歸分析中，如何判斷自變量之間是否存在多重共線性問題？如果檢測到存在共線性，可以采用哪些方法來處理？三、解釋F檢驗在多元線性回歸分析中的作用。一個顯著的F檢驗意味著什么？四、邏輯回歸模型適用于什么類型的問題？請說明其因變量的特點以及如何解釋模型參數(shù)的估計值。五、比較判別分析（如Fisher線性判別法）和K-近鄰（KNN）方法在分類問題上的主要區(qū)別。請分別說明它們各自的優(yōu)缺點。六、簡述時間序列ARIMA模型中，參數(shù)p、d、q的含義。在實際應(yīng)用中，如何初步確定這些參數(shù)的值？七、什么是交叉驗證（Cross-Validation）？在模型選擇和評估中，使用交叉驗證的主要目的是什么？八、某研究旨在預(yù)測房價（元），收集了房屋面積（平方米）、房齡（年）和距離市中心距離（千米）三個潛在的自變量。研究者分別建立了包含不同自變量的線性回歸模型，并得到了各自的擬合優(yōu)度（R2）和調(diào)整后擬合優(yōu)度（AdjustedR2）。請解釋R2和AdjustedR2的區(qū)別，并說明在比較這些模型時，應(yīng)更關(guān)注哪個指標(biāo)？九、在實際應(yīng)用中，選擇統(tǒng)計模型時需要考慮哪些因素？請至少列舉三個關(guān)鍵因素并簡要說明。十、描述使用統(tǒng)計軟件（如R或Python）進行線性回歸分析的基本步驟，包括數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、模型擬合、診斷分析和結(jié)果解讀等環(huán)節(jié)。試卷答案一、最小二乘法思想：通過最小化觀測值與模型預(yù)測值之間差的平方和來估計模型參數(shù)，從而找到最能“擬合”數(shù)據(jù)的直線（或超平面）?；炯僭O(shè)包括：線性假設(shè)（因變量與自變量間關(guān)系線性）、獨立性假設(shè)（觀測值之間相互獨立）、等方差性假設(shè)（誤差項的方差相同）、正態(tài)性假設(shè)（誤差項服從正態(tài)分布）。二、判斷多重共線性方法：計算方差膨脹因子（VIF）、計算自變量之間的相關(guān)系數(shù)矩陣、使用容忍度（Tolerance）、觀察回歸系數(shù)估計值的符號與預(yù)期相反或發(fā)生劇烈變動。處理方法：移除引起共線性的自變量、將相關(guān)的自變量組合成一個新的變量（如創(chuàng)建指數(shù)或交互項）、使用嶺回歸（RidgeRegression）或Lasso回歸、增加樣本量。三、F檢驗作用：用于檢驗整個回歸模型的整體顯著性，即檢驗自變量整體的線性關(guān)系是否對因變量有顯著的解釋力。顯著的F檢驗（通常p值小于顯著性水平α）意味著至少有一個自變量與因變量之間存在顯著的線性關(guān)系，拒絕所有自變量系數(shù)均為零的原假設(shè)。四、適用類型：適用于因變量是二分類（0,1或其他兩個值）的問題。因變量特點：服從伯努利分布或二項分布。參數(shù)估計值解釋：模型中每個自變量的系數(shù)表示該自變量每增加一個單位，因變量為1的條件概率（或?qū)?shù)優(yōu)勢比）變化的倍數(shù)，需通過exp(系數(shù))轉(zhuǎn)換為優(yōu)勢比進行解釋。五、主要區(qū)別：判別分析是假設(shè)數(shù)據(jù)來自已知類別的總體，通過找到區(qū)分不同類別的最優(yōu)線性（或其他）超平面進行分類；KNN是一種非參數(shù)方法，通過計算待分類樣本與訓(xùn)練集中所有樣本的距離，選取最近的K個鄰居進行投票分類。優(yōu)點與缺點：*判別分析：優(yōu)點是模型簡潔、計算效率高；缺點是假設(shè)前提較強（如線性判別），對異常值敏感，可能不適用于復(fù)雜非線性邊界。*KNN：優(yōu)點是原理簡單、對數(shù)據(jù)分布無強假設(shè)、能處理非線性關(guān)系；缺點是計算復(fù)雜度高（尤其樣本量大時）、對K值選擇敏感、易受噪聲和異常值影響。六、p：自回歸項階數(shù)，表示當(dāng)前值與前p個觀測值之間的相關(guān)性。d：差分階數(shù)，表示需要差分多少次才能使時間序列達到平穩(wěn)。q：移動平均項階數(shù)，表示當(dāng)前誤差項與前q個誤差項之間的相關(guān)性。確定方法：通常通過觀察時間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）圖和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖，尋找ACF和PACF圖的截尾或拖尾特征來判斷p和q的初步值。也可以使用單位根檢驗（如ADF檢驗）判斷平穩(wěn)性（幫助確定d），并通過網(wǎng)格搜索等方法輔助確定最佳(p,d,q)組合。七、交叉驗證是一種模型評估方法，通過將數(shù)據(jù)集分成若干份（如K份），輪流將其中一份作為驗證集，其余作為訓(xùn)練集，重復(fù)K次，得到K個模型性能的評估值，最后取平均值作為模型性能的估計。主要目的：能夠更有效地利用有限的樣本數(shù)據(jù)，減少模型評估的偏差，提供對模型泛化能力的更可靠估計，尤其適用于模型選擇和超參數(shù)調(diào)優(yōu)。八、區(qū)別：R2表示模型對數(shù)據(jù)變異性的解釋程度，取值在0到1之間，越接近1表示解釋力越強；AdjustedR2在R2基礎(chǔ)上考慮了模型中自變量的數(shù)量，會隨著自變量增加而下降（除非新加入的自變量顯著提高了模型解釋力）。比較模型時，應(yīng)更關(guān)注AdjustedR2，因為它能避免為了提高R2而盲目增加不必要的自變量，更能反映模型對新增變量的實際貢獻能力。九、選擇因素：1.問題背景與目標(biāo)：模型的選擇必須符合研究或業(yè)務(wù)問題的實際背景和具體目標(biāo)。2.數(shù)據(jù)特性：數(shù)據(jù)的類型（分類、數(shù)值）、規(guī)模、維度、質(zhì)量（是否存在缺失值、異常值）等會影響模型選擇。3.模型假設(shè)與適用性：所選模型的理論假設(shè)是否與數(shù)據(jù)特性相符，模型是否適用于解決該類問題。十、基本步驟：1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：加載和清洗數(shù)據(jù)，處理缺失值，可能需要進行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換或特征工程。2.模型擬合：使用軟件函數(shù)（如R的lm(),Python的statsmodels.linear_model.OLS()）根據(jù)自變量和因變量數(shù)據(jù)擬合線性回歸模型。3.診斷分析：檢查模型假設(shè)是否滿足，包括繪制殘差圖檢查誤差獨立性、等方差性和正態(tài)性