幾何章節(jié)重點知識講義與題目幾何學是研究空間形式及其關(guān)系的數(shù)學分支，它不僅是邏輯推理的基石，也是解決實際問題的重要工具。學好幾何，需要我們勤于動手，善于觀察，樂于思考，將抽象的概念與直觀的圖形結(jié)合起來。本講義旨在梳理幾何學習中的核心知識點，并配以典型題目，幫助同學們鞏固基礎(chǔ)，提升能力。一、幾何的基本概念與公理幾何的大廈建立在一些最基本的概念和不加證明的公理之上。1.1點、線、面、體*點：點是構(gòu)成幾何圖形的最基本元素，它沒有大小，僅表示位置。通常用大寫字母表示，如點A，點B。*線：線是點運動的軌跡。它有長度，但沒有寬度和厚度。*直線：能夠向兩端無限延伸，沒有端點。表示方法：直線AB（或BA），或直線l。*射線：由線段的一端無限延長所形成的圖形，有一個端點。表示方法：射線OA（端點在前）。*線段：直線上兩點間的部分，有兩個端點，有確定的長度。表示方法：線段AB（或BA），或線段a。線段的基本性質(zhì)：兩點之間，線段最短。*面：面是線運動的軌跡。它有長度和寬度，但沒有厚度。面有平面和曲面之分。*體：體是面運動的軌跡。它有長度、寬度和高度。1.2角*定義：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。*表示方法：*用三個大寫字母表示，如∠AOB（頂點O在中間）。*用一個大寫字母表示（頂點處只有一個角時），如∠O。*用一個數(shù)字或希臘字母表示，如∠1，∠α。*度量：角的度量單位是度（°）、分（′）、秒（″）。1°=60′，1′=60″。*角的分類：*銳角：大于0°且小于90°的角。*直角：等于90°的角。*鈍角：大于90°且小于180°的角。*平角：等于180°的角（兩邊成一條直線）。*周角：等于360°的角（一邊旋轉(zhuǎn)一周回到起始位置）。*相關(guān)的角：*余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角。*補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角。*性質(zhì)：同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。1.3幾何公理與基本事實*公理（基本事實）：人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并作為判定其他命題真假的根據(jù)。*經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。（兩點確定一條直線）*兩點之間，線段最短。*過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。*直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。（簡稱：垂線段最短）*平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。*如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。二、相交線與平行線2.1相交線*對頂角：兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。對頂角相等。*鄰補角：兩條直線相交后所得的有一條公共邊且有一個公共頂點的兩個角叫做鄰補角。鄰補角互補（和為180°）。*垂線：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。*表示方法：a⊥b，讀作“a垂直于b”。*性質(zhì)：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。②垂線段最短。*點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。2.2平行線*定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。*表示方法：a∥b，讀作“a平行于b”。*平行線的判定：*同位角相等，兩直線平行。*內(nèi)錯角相等，兩直線平行。*同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。*如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。*在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。*平行線的性質(zhì)：*兩直線平行，同位角相等。*兩直線平行，內(nèi)錯角相等。*兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。*平行線間的距離：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫做這兩條平行線間的距離。平行線間的距離處處相等。三、三角形3.1三角形的基本概念*定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。*構(gòu)成要素：三個頂點、三條邊、三個內(nèi)角。*表示方法：△ABC，讀作“三角形ABC”。*三角形的邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊。三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。（判斷三條線段能否組成三角形的依據(jù)）*三角形的內(nèi)角：三角形相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角。三角形三個內(nèi)角的和等于180°。*三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角。*性質(zhì)：①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。③三角形的外角和等于360°。3.2三角形的分類*按角分類：*銳角三角形：三個角都是銳角的三角形。*直角三角形：有一個角是直角的三角形（直角所對的邊叫做斜邊，另兩邊叫做直角邊）。*鈍角三角形：有一個角是鈍角的三角形。*按邊分類：*不等邊三角形：三條邊都不相等的三角形。*等腰三角形：有兩條邊相等的三角形（相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所對的角叫做底角，底邊所對的角叫做頂角）。*等邊三角形（正三角形）：三條邊都相等的三角形。（等邊三角形是特殊的等腰三角形）3.3全等三角形*定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角。*表示方法：△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。（注意：對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上）*性質(zhì)：*全等三角形的對應(yīng)邊相等。*全等三角形的對應(yīng)角相等。*全等三角形的周長相等，面積相等。*全等三角形對應(yīng)邊上的中線、高線、對應(yīng)角的平分線也分別相等。*判定方法：*SSS（邊邊邊）：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）3.4等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)與判定*等腰三角形：*性質(zhì)：①兩腰相等。②兩底角相等（等邊對等角）。③頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（三線合一）。*判定：①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。②有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）。*等邊三角形：*性質(zhì)：①三條邊都相等。②三個角都相等，并且每個角都等于60°。③具有等腰三角形的所有性質(zhì)（三線合一等）。*判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形。②三個角都相等的三角形是等邊三角形。③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。3.5直角三角形的性質(zhì)與判定*性質(zhì)：*直角三角形的兩個銳角互余。*直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。*在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。*勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方。即：a2+b2=c2。*判定：*有一個角是直角的三角形是直角三角形。*有兩個角互余的三角形是直角三角形。*勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。四、四邊形4.1四邊形的基本概念*定義：由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做四邊形。*四邊形的內(nèi)角和：四邊形的內(nèi)角和等于360°。*四邊形的外角和：四邊形的外角和等于360°。（任意多邊形的外角和都等于360°）4.2平行四邊形*定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。*性質(zhì)：*平行四邊形的對邊平行且相等。*平行四邊形的對角相等。*平行四邊形的鄰角互補。*平行四邊形的對角線互相平分。*平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。*判定：*兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）。*兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。*一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。*兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。*對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。4.3特殊的平行四邊形*矩形（長方形）：*定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。*性質(zhì)：①具有平行四邊形的所有性質(zhì)。②矩形的四個角都是直角。③矩形的對角線相等。④矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形（有兩條對稱軸）。*判定：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形。②對角線相等的平行四邊形是矩形。③有三個角是直角的四邊形是矩形。*菱形：*定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。*性質(zhì)：①具有平行四邊形的所有性質(zhì)。②菱形的四條邊都相等。③菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。④菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形（有兩條對稱軸）。*判定：①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。③四條邊都相等的四邊形是菱形。*正方形：*定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。*性質(zhì)：兼具矩形和菱形的所有性質(zhì)。①四個角都是直角，四條邊都相等。②對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。③既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。*判定：①先判定是矩形，再判定它有一組鄰邊相等。②先判定是菱形，再判定它有一個角是直角。4.4梯形*定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。（平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底；不平行的兩邊叫做梯形的腰；兩底之間的距離叫做梯形的高。）*等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。*性質(zhì)：①等腰梯形同一底邊上的兩個角相等。②等腰梯形的兩條對角線相等。③等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點的直線是它的對稱軸。*判定：①兩腰相等的梯形是等腰梯形。②同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。③對角線相等的梯形是等腰梯形。*直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形。五、圓（簡要介紹）5.1圓的基本概念*定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓。這個固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。*圓的表示：以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”。*點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓的半徑為r，點到圓心的距離為d。*點在圓內(nèi)?d<r*點在圓上?d=r*點在圓外?d>r*與圓有關(guān)的概念：*弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最長的弦。*弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。恍∮诎雸A的弧叫做劣弧。*圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。*圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。*等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓。同圓或等圓的半徑相等。*等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。5.2圓的基本性質(zhì)*圓的對稱性：圓既是中心對稱圖形（對稱中心是圓心），又是軸對稱圖形（任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸）。*垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。*推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。*圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。*圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等