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文檔簡介
一、解答題1.問題情境:在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點A(x1,y1)和點B(x2,y2),小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),若x1=x2,則AB∥y軸,且線段AB的長度為|y1﹣y2|;若y1=y(tǒng)2,則AB∥x軸,且線段AB的長度為|x1﹣x2|;(應(yīng)用):(1)若點A(﹣1,1)、B(2,1),則AB∥x軸,AB的長度為.(2)若點C(1,0),且CD∥y軸,且CD=2,則點D的坐標(biāo)為.(拓展):我們規(guī)定:平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點M(x1,y1),N(x2,y2)之間的折線距離為d(M,N)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|;例如:圖1中,點M(﹣1,1)與點N(1,﹣2)之間的折線距離為d(M,N)=|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|=2+3=5.解決下列問題:(1)如圖1,已知E(2,0),若F(﹣1,﹣2),則d(E,F(xiàn));(2)如圖2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,則t=.(3)如圖3,已知P(3,3),點Q在x軸上,且三角形OPQ的面積為3,則d(P,Q)=.解析:【應(yīng)用】:(1)3;(2)(1,2)或(1,﹣2);【拓展】:(1)=5;(2)2或﹣2;(3)4或8.【分析】(應(yīng)用)(1)根據(jù)若y1=y(tǒng)2,則AB∥x軸,且線段AB的長度為|x1?x2|,代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論;(2)由CD∥y軸,可設(shè)點D的坐標(biāo)為(1,m),根據(jù)CD=2,可得|0﹣m|=2,故可求出m,即可求解;(拓展)(1)根據(jù)兩點之間的折線距離公式,代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)兩點之間的折線距離公式結(jié)合d(E,H)=3,即可得出關(guān)于t的含絕對值符號的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論;(3)由點Q在x軸上,可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,0),根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角形OPQ的面積為3即可求出x的值,再利用兩點之間的折線距離公式即可得出結(jié)論;【詳解】(應(yīng)用):(1)AB的長度為|﹣1﹣2|=3.故答案為:3.(2)由CD∥y軸,可設(shè)點D的坐標(biāo)為(1,m),∵CD=2,∴|0﹣m|=2,解得:m=±2,∴點D的坐標(biāo)為(1,2)或(1,﹣2).故答案為:(1,2)或(1,﹣2).(拓展):(1)d(E,F(xiàn))=|2﹣(﹣1)|+|0﹣(﹣2)|=5.故答案為:=5.(2)∵E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,∴|2﹣1|+|0﹣t|=3,解得:t=±2.故答案為:2或﹣2.(3)由點Q在x軸上,可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,0),∵三角形OPQ的面積為3,∴|x|×3=3,解得:x=±2.當(dāng)點Q的坐標(biāo)為(2,0)時,d(P,Q)=|3﹣2|+|3﹣0|=4;當(dāng)點Q的坐標(biāo)為(﹣2,0)時,d(P,Q)=|3﹣(﹣2)|+|3﹣0|=8.故答案為:4或8.【點睛】本題是三角形綜合題目,考查了新定義、兩點間的距離公式、三角形面積等知識,讀懂題意并熟練運(yùn)用兩點間的距離及兩點之間的折線距離公式是解題的關(guān)鍵.2.已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE的角分線相交于點F.(1)如圖1,若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線,且∠BED=100°,求∠M的度數(shù);(2)如圖2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度數(shù);(3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系解析:(1)65°;(2);(3)2n∠M+∠BED=360°【分析】(1)首先作EG∥AB,F(xiàn)H∥AB,連結(jié)MF,利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°,從而得到∠BFD的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)可求∠M的度數(shù);(2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代換即可求解;(3)由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°.【詳解】解:(1)如圖1,作,,連結(jié),,,,,,,,,,和的角平分線相交于,,,、分別是和的角平分線,,,,;(2)如圖1,,,,,與兩個角的角平分線相交于點,,,,,,;(3)由(2)結(jié)論可得,,,則.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和,關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì).3.如圖,已知直線射線,.是射線上一動點,過點作交射線于點,連接.作,交直線于點,平分.(1)若點,,都在點的右側(cè).①求的度數(shù);②若,求的度數(shù).(不能使用“三角形的內(nèi)角和是”直接解題)(2)在點的運(yùn)動過程中,是否存在這樣的偕形,使?若存在,直接寫出的度數(shù);若不存在.請說明理由.解析:(1)①35°;(2)55°;(2)存在,或【分析】(1)①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠PCG的度數(shù);②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到∠ECG=∠GCF=20°,再根據(jù)PQ∥CE,即可得出∠CPQ=∠ECP=60°;(2)設(shè)∠EGC=3x,∠EFC=2x,則∠GCF=3x-2x=x,分兩種情況討論:①當(dāng)點G、F在點E的右側(cè)時,②當(dāng)點G、F在點E的左側(cè)時,依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可.【詳解】解:(1)①∵AB∥CD,∴∠CEB+∠ECQ=180°,∵∠CEB=110°,∴∠ECQ=70°,∵∠PCF=∠PCQ,CG平分∠ECF,∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=35°;②∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC,∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°,∴∠EGC+∠ECG=70°,又∵∠EGC-∠ECG=30°,∴∠EGC=50°,∠ECG=20°,∴∠ECG=∠GCF=20°,∠PCF=∠PCQ=(70°?40°)=15°,∵PQ∥CE,∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°.(2)52.5°或7.5°,設(shè)∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,①當(dāng)點G、F在點E的右側(cè)時,∵AB∥CD,∴∠QCG=∠EGC=3x°,∠QCF=∠EFC=2x°,則∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°,∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°,則∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°,∵∠ECD=70°,∴4x=70°,解得x=17.5°,∴∠CPQ=3x=52.5°;②當(dāng)點G、F在點E的左側(cè)時,反向延長CD到H,∵∠EGC=3x°,∠EFC=2x°,∴∠GCH=∠EGC=3x°,∠FCH=∠EFC=2x°,∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°,∵∠CGF=180°-3x°,∠GCQ=70°+x°,∴180-3x=70+x,解得x=27.5,∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°,∴∠PCQ=∠FCQ=62.5°,∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°,【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),掌握兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.4.已知,點為平面內(nèi)一點,于.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,過點作的延長線于點,求證:;(3)如圖3,在(2)問的條件下,點、在上,連接、、,且平分,平分,若,,求的度數(shù).解析:(1)見解析;(2)見解析;(3).【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,然后結(jié)合即可證明;(2)過作,先說明,然后再說明得到,最后運(yùn)用等量代換解答即可;(3)設(shè)∠DBE=a,則∠BFC=3a,根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠C=2a,∠FBC=∠DBC=a+45°,根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°,可得∠AFC=∠BCF的度數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠AFC+∠NCF=180°,代入即可算出a的度數(shù),進(jìn)而完成解答.【詳解】(1)證明:∵,∴,∵于,∴,∴,∴;(2)證明:過作,∵,∴,又∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴;(3)設(shè)∠DBE=a,則∠BFC=3a,∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=∠C=2a,又∵AB⊥BC,BF平分∠DBC,∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2a+90,即:∠FBC=∠DBC=a+45°又∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°,即:3a+a+45°+∠BCF=180°∴∠BCF=135°-4a,∴∠AFC=∠BCF=135°-4a,又∵AM//CN,∴∠AFC+∠NCF=180°,即:∠AFC+∠BCN+∠BCF=180°,∴135°-4a+135°-4a+2a=180,解得a=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)及角的計算,熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.5.已知直線,點P為直線、所確定的平面內(nèi)的一點.(1)如圖1,直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖3,點E在射線上,過點E作,作,點G在直線上,作的平分線交于點H,若,,求的度數(shù).解析:(1)∠A+∠C+∠APC=360°;(2)見解析;(3)55°【分析】(1)首先過點P作PQ∥AB,則易得AB∥PQ∥CD,然后由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),即可證得∠A+∠C+∠APC=360°;(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可證得∠APC=∠A+∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB-∠PCD,先證∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG,∠GEH=∠BEG,根據(jù)∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案.【詳解】解:(1)∠A+∠C+∠APC=360°如圖1所示,過點P作PQ∥AB,∴∠A+∠APQ=180°,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C+∠CPQ=180°,∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°,即∠A+∠C+∠APC=360°;(2)∠APC=∠A+∠C,如圖2,作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠C=∠CPQ,∵∠APC=∠APQ-∠CPQ,∴∠APC=∠A-∠C;(3)由(2)知,∠APC=∠PAB-∠PCD,∵∠APC=30°,∠PAB=140°,∴∠PCD=110°,∵AB∥CD,∴∠PQB=∠PCD=110°,∵EF∥BC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵EF∥BC,∴∠BEF=∠PQB=110°,∵∠PEG=∠PEF,∴∠PEG=∠FEG,∵EH平分∠BEG,∴∠GEH=∠BEG,∴∠PEH=∠PEG-∠GEH=∠FEG-∠BEG=∠BEF=55°.【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6.點A,C,E在直線l上,點B不在直線l上,把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD.(1)如圖1,若點E在線段AC上,求證:B+D=BED;(2)若點E不在線段AC上,試猜想并證明B,D,BED之間的等量關(guān)系;(3)在(1)的條件下,如圖2所示,過點B作PB//ED,在直線BP,ED之間有點M,使得ABE=EBM,CDE=EDM,同時點F使得ABE=nEBF,CDE=nEDF,其中n≥1,設(shè)BMD=m,利用(1)中的結(jié)論求BFD的度數(shù)(用含m,n的代數(shù)式表示).解析:(1)見解析;(2)當(dāng)點E在CA的延長線上時,∠BED=∠D-∠B;當(dāng)點E在AC的延長線上時,∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D;(3)【分析】(1)如圖1中,過點E作ET∥AB.利用平行線的性質(zhì)解決問題.(2)分兩種情形:如圖2-1中,當(dāng)點E在CA的延長線上時,如圖2-2中,當(dāng)點E在AC的延長線上時,構(gòu)造平行線,利用平行線的性質(zhì)求解即可.(3)利用(1)中結(jié)論,可得∠BMD=∠ABM+∠CDM,∠BFD=∠ABF+∠CDF,由此解決問題即可.【詳解】解:(1)證明:如圖1中,過點E作ET∥AB.由平移可得AB∥CD,∵AB∥ET,AB∥CD,∴ET∥CD∥AB,∴∠B=∠BET,∠TED=∠D,∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D.(2)如圖2-1中,當(dāng)點E在CA的延長線上時,過點E作ET∥AB.∵AB∥ET,AB∥CD,∴ET∥CD∥AB,∴∠B=∠BET,∠TED=∠D,∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B.如圖2-2中,當(dāng)點E在AC的延長線上時,過點E作ET∥AB.∵AB∥ET,AB∥CD,∴ET∥CD∥AB,∴∠B=∠BET,∠TED=∠D,∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D.(3)如圖,設(shè)∠ABE=∠EBM=x,∠CDE=∠EDM=y,∵AB∥CD,∴∠BMD=∠ABM+∠CDM,∴m=2x+2y,∴x+y=m,∵∠BFD=∠ABF+∠CDF,∠ABE=n∠EBF,∠CDE=n∠EDF,∴∠BFD===.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會條件常用輔助線,構(gòu)造平行線解決問題,屬于中考??碱}型.7.如圖①,將一張長方形紙片沿對折,使落在的位置;(1)若的度數(shù)為,試求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示);(2)如圖②,再將紙片沿對折,使得落在的位置.①若,的度數(shù)為,試求的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示);②若,的度數(shù)比的度數(shù)大,試計算的度數(shù).解析:(1);(2)①;②【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到,由折疊的性質(zhì)可知,∠2=∠BFE,再根據(jù)平角的定義求解即可;(2)①由(1)知,,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,再由折疊的性質(zhì)及平角的定義求解即可;②由(1)知,∠BFE=,由可知:,再根據(jù)條件和折疊的性質(zhì)得到,即可求解.【詳解】解:(1)如圖,由題意可知,∴,∵,∴,,由折疊可知.(2)①由題(1)可知,∵,,再由折疊可知:,;②由可知:,由(1)知,,又的度數(shù)比的度數(shù)大,,,,.【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì),屬于綜合題,有一定難度,熟記“兩直線平行,同位角相等”、“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8.已知,AB∥DE,點C在AB上方,連接BC、CD.(1)如圖1,求證:∠BCD+∠CDE=∠ABC;(2)如圖2,過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F,探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系;(3)如圖3,在(2)的條件下,∠CFD的平分線交CD于點G,連接GB并延長至點H,若BH平分∠ABC,求∠BGD﹣∠CGF的值.解析:(1)證明見解析;(2);(3).【分析】(1)過點作,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,再根據(jù)平行公理推論可得,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,由此即可得證;(2)過點作,同(1)的方法,先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,,從而可得,再根據(jù)垂直的定義可得,由此即可得出結(jié)論;(3)過點作,延長至點,先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,,從而可得,再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合(2)的結(jié)論可得,然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得,由此即可得出答案.【詳解】證明:(1)如圖,過點作,,,,,即,,;(2)如圖,過點作,,,,,即,,,,,;(3)如圖,過點作,延長至點,,,,,平分,平分,,由(2)可知,,,又,.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點,熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9.在平面直角坐標(biāo)系中,已知線段,點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,如圖1所示.(1)平移線段到線段,使點的對應(yīng)點為,點的對應(yīng)點為,若點的坐標(biāo)為,求點的坐標(biāo);(2)平移線段到線段,使點在軸的正半軸上,點在第二象限內(nèi)(與對應(yīng),與對應(yīng)),連接如圖2所示.若表示△BCD的面積),求點、的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,在軸上是否存在一點,使表示△PCD的面積)?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析:(1);(2);(3)存在點,其坐標(biāo)為或.【分析】(1)利用平移得性質(zhì)確定出平移得單位和方向;(2)根據(jù)平移得性質(zhì),設(shè)出平移單位,根據(jù)S△BCD=7(S△BCD建立方程求解,即可);(3)設(shè)出點P的坐標(biāo),表示出PC用,建立方程求解即可.【詳解】(1)∵B(3,0)平移后的對應(yīng)點,∴設(shè),∴即線段向左平移5個單位,再向上平移4個單位得到線段∴點平移后的對應(yīng)點;(2)∵點C在軸上,點D在第二象限,∴線段向左平移3個單位,再向上平移個單位,∴連接,,∴∴;(3)存在設(shè)點,∴∵,∴∴,∴∴存在點,其坐標(biāo)為或.【點睛】本題考查了線段平移的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在利用平移的性質(zhì),得到點坐標(biāo)的關(guān)系、圖形面積的關(guān)系,根據(jù)面積的關(guān)系,從而求出點的坐標(biāo).10.已知AB∥CD,線段EF分別與AB,CD相交于點E,F(xiàn).(1)請在橫線上填上合適的內(nèi)容,完成下面的解答:如圖1,當(dāng)點P在線段EF上時,已知∠A=35°,∠C=62°,求∠APC的度數(shù);解:過點P作直線PH∥AB,所以∠A=∠APH,依據(jù)是;因為AB∥CD,PH∥AB,所以PH∥CD,依據(jù)是;所以∠C=(),所以∠APC=()+()=∠A+∠C=97°.(2)當(dāng)點P,Q在線段EF上移動時(不包括E,F(xiàn)兩點):①如圖2,∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立嗎?請說明理由;②如圖3,∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP,∠M+∠MPQ+∠PQM=180°,請直接寫出∠M,∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系.解析:(1)兩直線平行,內(nèi)錯角相等;平行于同一條直線的兩條直線平行;∠CPH;∠APH,∠CPH;(2)①∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立,理由見解答過程;②3∠PMQ+∠A+∠C=360°.【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空;(2)結(jié)合(1)的輔助線方法即可完成證明;(3)結(jié)合(1)(2)的方法,根據(jù)∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP,∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=180°,即可證明∠PMQ,∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系.【詳解】解:過點P作直線PH∥AB,所以∠A=∠APH,依據(jù)是兩直線平行,內(nèi)錯角相等;因為AB∥CD,PH∥AB,所以PH∥CD,依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行;所以∠C=(∠CPH),所以∠APC=(∠APH)+(∠CPH)=∠A+∠C=97°.故答案為:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;平行于同一條直線的兩條直線平行;∠CPH;∠APH,∠CPH;(2)①如圖2,∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立,理由如下:過點P作直線PH∥AB,QG∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PH∥QG,∴∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+∠GQP=180°,∴∠APQ+∠PQC=∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG=∠A+∠C+180°.∴∠APQ+∠PQC=∠A+∠C+180°成立;②如圖3,過點P作直線PH∥AB,QG∥AB,MN∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN,∴∠A=∠APH,∠C=∠CQG,∠HPQ+∠GQP=180°,∠HPM=∠PMN,∠GQM=∠QMN,∴∠PMQ=∠HPM+∠GQM,∵∠APM=2∠MPQ,∠CQM=2∠MQP,∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=180°,∴∠APM+∠CQM=∠A+∠C+∠PMQ=2∠MPQ+2∠MQP=2(180°﹣∠PMQ),∴3∠PMQ+∠A+∠C=360°.【點睛】考核知識點:平行線的判定和性質(zhì).熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定,添加適當(dāng)輔助線是關(guān)鍵.11.如圖,在長方形ABCD中,AB=8cm,BC=6cm,點E是CD邊上的一點,且DE=2cm,動點P從A點出發(fā),以2cm/s的速度沿A→B→C→E運(yùn)動,最終到達(dá)點E.設(shè)點P運(yùn)動的時間為t秒.(1)請以A點為原點,AB所在直線為x軸,1cm為單位長度,建立一個平面直角坐標(biāo)系,并用t表示出點P在不同線段上的坐標(biāo).(2)在(1)相同條件得到的結(jié)論下,是否存在P點使△APE的面積等于20cm2時,若存在,請求出P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解析:(1)建立直角坐標(biāo)系見解析,當(dāng)0<t≤4時,即當(dāng)點P在線段AB上時,其坐標(biāo)為:P(2t,0),當(dāng)4<t≤7時,即當(dāng)點P在線段BC上時,其坐標(biāo)為:P(8,2t﹣8),當(dāng)7<t≤10時,即當(dāng)點P在線段CE上時,其坐標(biāo)為:P(22﹣2t,6);(2)存在,當(dāng)點P的坐標(biāo)分別為:P(,0)或P(8,4)時,△APE的面積等于.【分析】(1)建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)點P的運(yùn)動速度分別求出點P在線段AB,BC,CE上的坐標(biāo);(2)根據(jù)(1)中得到的點P的坐標(biāo)以及,分別列出三個方程并解出此時t的值再進(jìn)行討論.【詳解】(1)正確畫出直角坐標(biāo)系如下:當(dāng)0<t≤4時,點P在線段AB上,此時P點的橫坐標(biāo)為,其縱坐標(biāo)為0;∴此時P點的坐標(biāo)為:P(2t,0);同理:當(dāng)4<t≤7時,點P在線段BC上,此時P點的坐標(biāo)為:P(8,2t﹣8);當(dāng)7<t≤10時,點P在線段CE上,此時P點的坐標(biāo)為:P(22﹣2t,6).(2)存在,①如圖1,當(dāng)0<t≤4時,點P在線段AB上,,解得:t(s);∴P點的坐標(biāo)為:P(,0).②如圖2,當(dāng)4<t≤7時,點P在線段BC上,;∴;解得:t=6(s);∴點P的坐標(biāo)為:P(8,4).③如圖3,當(dāng)7<t≤10時,點P在線段CE上,;解得:t(s);∵7,∴t(應(yīng)舍去),綜上所述:當(dāng)P點的坐標(biāo)為:P(,0)或P(8,4)時,△APE的面積等于.【點睛】本題考查了三角形的面積的計算公式,,在本題計算的過程中根據(jù)動點的坐標(biāo)正確地求出三角形的底邊長度和高是解題的關(guān)鍵.12.如果x是一個有理數(shù),我們定義x表示不小于x的最小整數(shù).如3.24,2.62,55,66.由定義可知,任意一個有理數(shù)都能寫成xxb的形式(0≤b<1).(1)直接寫出x與x,x1的大小關(guān)系;提示1:用“不完全歸納法”推導(dǎo)x與x,x1的大小關(guān)系;提示2:用“代數(shù)推理”的方法推導(dǎo)x與x,x1的大小關(guān)系.(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論解決下列問題:①直接寫出滿足3m74的m取值范圍;②直接寫出方程3.5n22n1的解..解析:(1);(2)①;②或.【分析】(1)提示1:先列出4個x的值,分別得出與的大小關(guān)系,再利用“不完全歸納法”即可得;提示2:先根據(jù)“”得出,再根據(jù)“”即可得;(2)①根據(jù)(1)的結(jié)論得出,據(jù)此解不等式組即可得;②先根據(jù)(1)的結(jié)論得出,再解不等式組求出n的取值范圍,從而可得的取值范圍,然后根據(jù)“為整數(shù)”可得出方程,由此解方程即可得.【詳解】(1)提示1:當(dāng)時,,則當(dāng)時,,則當(dāng)時,,則當(dāng)時,,則由“不完全歸納法”可得:;提示2:,且;(2)①由(1)的結(jié)論得:解得;②由(1)的結(jié)論得:解得為整數(shù)則或解得或.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、解一元一次方程等知識點,理解新定義,正確求解不等式組是解題關(guān)鍵.13.兩個兩位數(shù)的和是68,在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù),得到一個四位數(shù);在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù),也得到一個四位數(shù).已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大990.若設(shè)較大的兩位數(shù)為x,較小的兩位數(shù)為y,回答下列問題:(1)可得到下列哪一個方程組?A.B.C.D.(2)解所確定的方程組,求這兩個兩位數(shù).解析:(1)C;(2)39和29【分析】(1)首先設(shè)較大的兩位數(shù)為,較小的兩位數(shù)為,根據(jù)題意可得等量關(guān)系:①兩個兩位數(shù)的和為68,②比大990,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組;(2)利用加減消元法解方程組即可.【詳解】解:(1)解:設(shè)較大的兩位數(shù)為,較小的兩位數(shù)為,根據(jù)題意,得故選:C;(2)化簡得,①+②,得,即.①-②,得,即.所以這兩個數(shù)分別是39和29.【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組和解二元一次方程組,關(guān)鍵是弄清題目意思,表示出“較小的兩位數(shù)寫在較大的兩位數(shù)的右邊,得到一個四位數(shù)為”,把較小的兩位數(shù)寫在較大的兩位數(shù)的左邊,得到另一個四位數(shù)為.14.判斷下面方程組的解法是否正確,如果全部正確,判斷即可;如果有錯誤,請寫出正確的解題過程.解:①×2-②×3,得,解得,把代入方程①,得,解得.∴原方程組的解為解析:【分析】用加減消元法解二元一次方程組,在兩個方程作差時符號出錯了,正確為①②,得,再求解即可.【詳解】解:上述解法不正確.正確解題過程如下:①②,得,解得,把代入方程①,得,解得.原方程組的解為.【點睛】本題考查了二元一次方程組的解,解題的關(guān)鍵是熟練掌握加減消元法解二元一次方程組.15.閱讀下列材料,解答下面的問題:我們知道方程有無數(shù)個解,但在實際生活中我們往往只需求出其正整數(shù)解.例:由,得:,(x、y為正整數(shù))∴,則有.又為正整數(shù),則為正整數(shù).由2與3互質(zhì),可知:x為3的倍數(shù),從而x=3,代入∴2x+3y=12的正整數(shù)解為問題:(1)請你寫出方程的一組正整數(shù)解:.(2)若為自然數(shù),則滿足條件的x值為.(3)七年級某班為了獎勵學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生,購買了單價為3元的筆記本與單價為5元的鋼筆兩種獎品,共花費35元,問有幾種購買方案?解析:(1)方程的正整數(shù)解是或.(只要寫出其中的一組即可);(2)滿足條件x的值有4個:x=3或x=4或x=5或x=8;(3)有兩種購買方案:即購買單價為3元的筆記本5本,單價為5元的鋼筆4支;或購買單價為3元的筆記本10本,單價為5元的鋼筆1支.【解析】(1)---------------------------.(2)C(3)解:設(shè)購買單價為3元的筆記本x個,購買單價5元的鋼筆y個,由題意得:3x+5y=35此方程的正整數(shù)解為有兩種購買方案:方案一:購買單價為3元的筆記本5個,購買單價為5元的鋼筆4支.方案二:購買單價為3元的筆記本10個,購買單價為5元的鋼筆1支(1)只要使等式成立即可(2)x-2必須是6的約數(shù)(3)設(shè)購買單價為3元的筆記本x個,購買單價5元的鋼筆y個,根據(jù)題意列二元一次方程,去正整數(shù)解求值16.小明為班級購買信息學(xué)編程競賽的獎品后,回學(xué)校向班主任李老師匯報說:“我買了兩種書,共30本,單價分別為20元和24元,買書前我領(lǐng)了700元,現(xiàn)在還余38元.”李老師算了一下,說:“你肯定搞錯了.”(1)李老師為什么說他搞錯了?試用方程的知識給予解釋;(2)小明連忙拿出購物發(fā)票,發(fā)現(xiàn)的確弄錯了,因為他還買了一個筆記本.但筆記本的單價已模糊不清,只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于10元的整數(shù),如果單價為20元的書多于24元的書,請問:筆記本的單價為多少元?解析:(1)見解析;(2)6元【分析】(1)設(shè)單價為20元的書買了x本,單價為24元的書買了y本,根據(jù)總價=單價×數(shù)量,結(jié)合購買兩種書30本共花費(700?38)元,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出x,y的值,結(jié)合x,y的值為整數(shù),即可得出小明搞錯了;(2)設(shè)單價為20元的書買了a本,則單價為24元的書買了(30?a)本,筆記本的單價為b元,根據(jù)總價=單價×數(shù)量,即可得出關(guān)于a,b的二元一次方程,化簡后可得出a=14+,結(jié)合0<b<10,且a,b均為整數(shù),可得出b=2或6,將b值代入a=14+中可求出a值,再結(jié)合單價為20元的書多于24元的書,即可確定b值.【詳解】解:(1)設(shè)20元的書買了本,24元的書買了本,由題意,得,解得,∵,的值為整數(shù),故,的值不符合題意(只需求出一個即可)∴小明搞錯了;(2)設(shè)20元的書買了本,則24元的書買了本,筆記本的單價為元,由題意,得:,化簡得:∵,∴或6.當(dāng),,即20元的書買了15本,24元的書買了15本,不合題意舍去當(dāng),,即20元的書買了16本,則24元的書買了14本∴.答:筆記本的價格為6元.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程.17.如圖,數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是-1,1,點P是線段AB上一動點,給出如下定義:如果在數(shù)軸上存在動點Q,滿足|PQ|=2,那么我們把這樣的點Q表示的數(shù)稱為連動數(shù),特別地,當(dāng)點Q表示的數(shù)是整數(shù)時我們稱為連動整數(shù).(1)在-2.5,0,2,3.5四個數(shù)中,連動數(shù)有;(直接寫出結(jié)果)(2)若k使得方程組中的x,y均為連動數(shù),求k所有可能的取值;(3)若關(guān)于x的不等式組的解集中恰好有4個連動整數(shù),求這4個連動整數(shù)的值及a的取值范圍.解析:(1)-2.5,2;(2)k=-8或-6或-4;(3)2,1,-1,-2,【分析】(1)根據(jù)連動數(shù)的定義即可確定;(2)先表示出x,y的值,再根據(jù)連動數(shù)的范圍求解即可;(3)求得不等式的解,根據(jù)連動整數(shù)的概念得到關(guān)于a的不等式,解不等式即可求得.【詳解】解:(1)∵點P是線段AB上一動點,點A、點B對應(yīng)的數(shù)分別是-1,1,又∵|PQ|=2,∴連動數(shù)Q的范圍為:或,∴連動數(shù)有-2.5,2;(2),②×3-①×4得:,①×3-②×2得:,要使x,y均為連動數(shù),或,解得或或,解得或∴k=-8或-6或-4;(3)解得:,∵解集中恰好有4個解是連動整數(shù),∴四個連動整數(shù)解為-2,-1,1,2,∴,∴∴a的取值范圍是.【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的整數(shù)解,一元一次方程的解,根據(jù)新定義得到不等式組是解題的關(guān)鍵,18.對,定義一種新的運(yùn)算,規(guī)定:(其中).已知,.(1)求、的值;(2)若,解不等式組.解析:(1);(2)【分析】(1)先根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算列出關(guān)于m、n的方程組,再解之即可;(2)由a>0得出2a>a-1,-a-1<-a,根據(jù)新定義列出關(guān)于a的不等式組,解之即可.【詳解】解:(1)由題意,得:,解得;(2)∵a>0,∴2a>a,∴2a>a-1,-a<-a,∴-a-1<-a,∴,解不等式①,得:a<1,解不等式②,得:a≥,∴不等式組的解集為≤a<1.【點睛】本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式組,正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ),根據(jù)新定義列出相應(yīng)的方程組和不等式組是解答此題的關(guān)鍵.19.在平面直角坐標(biāo)系中,對于任意兩點,,如果,則稱與互為“距點”.例如:點,點,由,可得點與互為“距點”.(1)在點,,中,原點的“距點”是_____(填字母);(2)已知點,點,過點作平行于軸的直線.①當(dāng)時,直線上點的“距點”的坐標(biāo)為_____;②若直線上存在點的“點”,求的取值范圍.(3)已知點,,,的半徑為,若在線段上存在點,在上存在點,使得點與點互為“距點”,直接寫出的取值范圍.解析:(1);(2)①;②;(3).【分析】(1)根據(jù)定義判斷即可;(2)①設(shè)直線上與點的“距點”的點的坐標(biāo)為(a,3),根據(jù)定義列出關(guān)于a的方程,解方程即可;②點坐標(biāo)為,直線上點的縱坐標(biāo)為b,由題意得,轉(zhuǎn)化為不等式組,解不等式組即可.(3)分類討論,分別取P與點M重合、P與點N重合討論。當(dāng)點P與點M重合時,設(shè)⊙C左側(cè)與x軸交于點Q,則點Q的坐標(biāo)是(m-,0),根據(jù)定義列出關(guān)于m的絕對值方程,解方程,取較小的值;當(dāng)點P與點N重合時,設(shè)⊙C右側(cè)與x軸交于點Q,則點Q的坐標(biāo)是(m+,0),根據(jù)定義列出關(guān)于m的絕對值方程,解方程,取較大的值,問題得解.【詳解】解:(1)∵,O(0,0),∴,∴點D與原點互為“距點”;∵,O(0,0),∴,所以點D與原點互為“距點”;∵,O(0,0),∴,所以點D與原點互為“距點”;故答案為:;(2)①設(shè)直線上與點的“距點”的點的坐標(biāo)為(a,3),則,解得a=2故答案為(2,3);②如圖,點坐標(biāo)為,直線上點的縱坐標(biāo)為b,設(shè)直線上點的坐標(biāo)為(c,b)則:,∴,∴,∴,即的取值范圍是;(3)如圖(1),當(dāng)點P與點M重合時,設(shè)⊙C左側(cè)與x軸交于點Q,則點Q的坐標(biāo)是(m-,0),∵點P與點Q互為“5-距點",P(1,2),∴,解得:,;∵,∴?。?dāng)點P與點N重合時,設(shè)⊙C右側(cè)與x軸交于點Q,則點Q的坐標(biāo)是(m+,0),∵點P與點Q互為“5-距點",則P(3,2),∴,解得:,,∵∴取∴.【點睛】本題為新定義題型,關(guān)鍵要讀懂題目中給出的新概念,建立模型,并結(jié)合所學(xué)知識解決即可.20.學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批籃球和足球,已知2個籃球和6個足球共需480元;3個籃球和4個足球共需470元.(1)求一個籃球和一個足球的售價各是多少元;(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)兩種球共50個,并且籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的2倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.解析:(1)一個籃球的價格90元,一個足球的價格50元;(2)購買籃球34個,足球16個,見解析【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組,從而可以解答本題;(2)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式,從而可以解答本題.【詳解】解:(1)設(shè)一個籃球的價格元,一個足球的價格元,則有,,解得:,∴一個籃球的價格90元,一個足球的價格50元;(2)設(shè)購進(jìn)籃球個,則購進(jìn)足球個.∵籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的2倍,,解得:∵籃球價格高于足球價格,∴在購買數(shù)量固定,則買的籃球越少越省錢,∴最省錢的購買方案是購買籃球34個,足球16個.【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,列出相應(yīng)的方程組和不等式,利用方程的思想和不等式的性質(zhì)解答.21.在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點.已知兩點,且、滿足;若四邊形為平行四邊形,且,點在軸上.(1)如圖①,動點從點出發(fā),以每秒個單位長度沿軸向下運(yùn)動,當(dāng)時間為何值時,三角形的面積等于平行四邊形面積的四分之一;(2)如圖②,當(dāng)從點出發(fā),沿軸向上運(yùn)動,連接、,、、存在什么樣的數(shù)量關(guān)系,請說明理由(排除在和兩點的特殊情況).解析:(1)1或3;(2)∠APD=∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP,理由見解析【分析】(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a,b,得到AB的長,結(jié)合點C坐標(biāo)求出平行四邊形ABCD的面積,再根據(jù)的面積等于平行四邊形面積的,列出方程,解之即可;(2)分點P在線段OC上和點P在OC的延長線上,兩種情況,過P作PQ∥AB,利用平行線的性質(zhì)求解.【詳解】解:(1)∵,∴a=-4,b=3,即A(-4,0),B(3,0),∴AB=3-(-4)=7,又C(0,4),∴OC=4,∴平行四邊形ABCD的面積=4×7=28,由題意可知:PC=2t,則OP=,∵的面積等于平行四邊形面積的,∴,解得:t=1或t=3,(2)如圖,當(dāng)
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