專題3.2勾股定理的逆定理基礎(chǔ)知識(shí)夯實(shí)知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)1.勾股數(shù)概念：如果三個(gè)正整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系：a2+b2=c2，則稱a，b，c為勾股數(shù)。注意：a，b，c要成為勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（1）滿足a2+b2=c2；（2）a，b，c必須是正整數(shù)；這里最易被忽略的是條件（2），千萬(wàn)要注意！2.若a，b，c為勾股數(shù)，且k為正整數(shù)，則ka，kb，kc也為勾股數(shù)。3.常用勾股數(shù)：如；；；等。4.用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）；3）（，為正整數(shù)）。典型案例探究知識(shí)點(diǎn)01勾股定理的逆定理例1．（24-25八年級(jí)下·云南德宏·期末）木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，下列各組數(shù)據(jù)能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14【答案】A【詳解】解：A、，能構(gòu)成直角三角形，符合題意；B、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選A．【變式1】（24-25八年級(jí)上·廣東·期末）將長(zhǎng)度分別為6，8，10，15，17的木棒，擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解：A、，，故選項(xiàng)A不符合題意；B、，，故選項(xiàng)B不符合題意；C、，，故選項(xiàng)C符合題意；D、，，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【變式2】（24-25八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積是（）A．5 B．4 C． D．8【答案】B【詳解】解：連接，如圖：∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式3】（24-25八年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）定義：如圖，點(diǎn)M，N把線段分割成，，三段，若以，，為邊的三角形是直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)．(1)若，，，則點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)已知點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)，且為直角邊．若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)是．理由見(jiàn)解析(2)的長(zhǎng)為或【詳解】（1）解：是，理由如下：∵，，，∴，，∴，∴以，，為邊的三角形是直角三角形，∴點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)；（2）解：設(shè)，∵，，∴，①當(dāng)為斜邊時(shí)，依題意，得，即，解得；②當(dāng)為斜邊時(shí)，依題意，得，即，解得；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【變式4】（24-25九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖．(1)在圖中，將圖中陰影部分繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的新圖形涂上陰影．(2)在圖中，找到一個(gè)格點(diǎn)，連接，使．(3)在圖中，找到一個(gè)格點(diǎn)，連接，使．【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析；(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；(3)畫(huà)圖見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：如圖，陰影部分繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（2）解：如圖，即為所求，理由：連接，∴，，∴，∴，∴，∴即為所求；（3）解：如圖，即為所求．【變式5】（24-25八年級(jí)下·陜西安康·期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，且，，．求證：．

【答案】見(jiàn)詳解【詳解】證明：連接，是的中點(diǎn)，，垂直平分，，

∵，，．，，是直角三角形，∴．即．知識(shí)點(diǎn)02勾股數(shù)例1．（24-25八年級(jí)下·廣東潮州·階段練習(xí)）下列不是勾股數(shù)的是（

）A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25【答案】C【詳解】解：A、，則3，4，5是勾股數(shù)，不符合題意；B、，則5，12，13是勾股數(shù)，不符合題意；C、，則2，3，4不是勾股數(shù)，符合題意；D、，則7，24，25是勾股數(shù)，不符合題意；故選：C．【變式1】（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）三個(gè)勾股數(shù)互質(zhì)時(shí)稱之為本原勾股數(shù)，按規(guī)律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，則第n組勾股數(shù)的第二個(gè)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，…，以此類推，可知，第n組本原勾股數(shù)的第一個(gè)數(shù)為，且第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)大1，且第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)的和等于第一個(gè)數(shù)的平方，設(shè)第n組本原勾股數(shù)的第二個(gè)數(shù)為，則第三個(gè)數(shù)為，∴，∴，∴，故選：C．【變式2】（24-25八年級(jí)下·安徽淮北·階段練習(xí)）已知．(1)當(dāng)時(shí)，則以的值為三邊長(zhǎng)的三角形面積為_(kāi)______；(2)小安猜想：當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，為勾股數(shù)，你認(rèn)為小安的猜想正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)120(2)小安的猜想正確，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，、，∴，以的值為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，以的值為三邊長(zhǎng)的三角形面積為，故答案為：120；（2）解：小安的猜想正確，理由：，，，∵是大于1的整數(shù)，所以都是正整數(shù)，當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，為勾股數(shù)，小安的猜想正確．課后作業(yè)A一、單選題1．下列幾組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（

）A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，據(jù)此先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，最后看看是否相等即可．【詳解】解：A、∵，∴1，1，可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)度，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，∴3，4，5可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)度，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴5，12，13可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)度，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴4，5，6不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)度，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．已知、、是三角形的三邊長(zhǎng)，如果滿足，則三角形的形狀是（

）A．底與邊不相等的等腰三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．求出三角形三邊的長(zhǎng)度，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．【詳解】解：，，，，，，，，，，，即三角形的形狀是直角三角形，故選：D．3．下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和勾股數(shù)，根據(jù)勾股數(shù)的定義和勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，∴不能組成直角三角形，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；、∵，∴能組成直角三角形，且邊是整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．4．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．已知，，是三角形的三邊，則B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方C．，，是一組勾股數(shù)D．在中，，所以【答案】D【分析】本題考查了勾股定理、勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理和勾股數(shù)的定義，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、當(dāng)，是直角三角形的兩直角邊，是直角三角形的斜邊時(shí)，，故A選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B、在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，故B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C、勾股數(shù)指滿足的三個(gè)正整數(shù)，，，，且，故C說(shuō)法錯(cuò)誤；D、在中，，所以，故D選項(xiàng)說(shuō)法正確．故選：D．二、填空題5．一個(gè)三角形三邊滿足，則這個(gè)三角形是三角形．【答案】直角【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．先根據(jù)完全平方公式將原式化為，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理作答即可．【詳解】∵∴，即，∴這個(gè)三角形是直角三角形．故答案為：直角．6．有一組勾股數(shù)，知道其中的兩個(gè)數(shù)分別是5和12，則第三個(gè)數(shù)是．【答案】13【分析】本題考查了勾股數(shù)，勾股定理，分第三個(gè)數(shù)是直角邊和斜邊兩種情況解答求出第三個(gè)數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)判定即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)?shù)谌齻€(gè)數(shù)是直角邊時(shí)，第三個(gè)數(shù)；當(dāng)?shù)谌齻€(gè)數(shù)是斜邊時(shí)，第三個(gè)數(shù)；∵三個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù)，∴當(dāng)?shù)谌齻€(gè)數(shù)為時(shí)，不合題意，舍去，∴第三個(gè)數(shù)是13，故答案為：13．7．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，則這個(gè)三角形的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】解：∵，∴這個(gè)三角形是直角三角形，其中直角邊為和，∴這個(gè)三角形的面積為，故答案為：．8．如圖，大小正方形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，它們的面積之和等于74．則陰影部分的面積為．【答案】7【分析】本題主要考查了勾股數(shù)，求陰影部分的面積．先根據(jù)題意得，結(jié)合整數(shù)解可求出a，b值，再根據(jù)面積公式可得答案．【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的邊長(zhǎng)為b，得，∵a，b為整數(shù)，∴，∴.故答案為：7．三、解答題9．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出(1)當(dāng)時(shí)，則，；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；（用字母n表示）(3)用（2）的結(jié)論判斷19，188，189是否為一組勾股數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)60,61(2)，(3)不是一組勾股數(shù)，理由見(jiàn)詳解【分析】本題考查了勾股數(shù)，數(shù)字規(guī)律，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）觀察題干的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)，結(jié)合勾股數(shù)的定義進(jìn)行列式化簡(jiǎn)，即可作答．（2）同理得，再結(jié)合以及勾股數(shù)的定義得，得，，即可作答．（3）由（2）得，，，令，則，，，即可作答．【詳解】（1）解：觀察題干的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)，∵a，b，c是勾股數(shù)，即，∵，，∴，∴，解得，∴，故答案為：60,61．（2）解：觀察題干的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)，∵a，b，c是勾股數(shù)，即，∵，，∴，∴，故，（3）解：不是一組勾股數(shù)，理由如下：由（2）得，，，依題意，令，則，，，∴19，188，189不是一組勾股數(shù)．10．如圖，，，，，．求：四邊形的面積．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形，然后分別求出兩個(gè)三角形的面積即可．【詳解】解：∵，∴，

∵，∴，∴三角形是直角三角形，

∴．11．如圖，在四邊形中，．

(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；（2）先求得，再由勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）是直角三角形．理由如下：在中，是直角三角形；（2）在四邊形中，由（1）得，∴在中，12．如圖，在中，，，所對(duì)的邊分別為，，，若，試說(shuō)明：是直角三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握，如果一個(gè)三角形的三條邊a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形．根據(jù)得出，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形．【詳解】證明：，∴，∴，∴，∴，∴，是直角三角形，且．B一、單選題1．三角形的三邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形是（

）．A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理，完全平方公式，由，得，所以，最后通過(guò)勾股定理逆定理即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，由勾股定理的逆定理可知，這個(gè)三角形是直角三角形，故選：．2．如圖，在中，，，那么的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了勾股定理，利用三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．先利用勾股定理求解直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，再利用三角形面積公式求解高的長(zhǎng)度．【詳解】解：在中，，．，，即．．故選：D．3．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)，分別是，邊上一點(diǎn)，且，．則圖中的直角三角形有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理．根據(jù)已知可得，，根據(jù)勾股定理可得，，，根據(jù)勾股定理的逆定理，可判斷的形狀，從而可得直角三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵在長(zhǎng)方形中，，，∴，，，∵，，∴，，∴，，，∴，∴為直角三角形，，∴圖中的直角三角形有、、、，共個(gè)．故選：D．4．已知為正整數(shù)，且，下列各項(xiàng)為三角形的三條邊長(zhǎng)：①，②，③，④，其中必定構(gòu)成直角三角形的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式與平方差公式等知識(shí)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)可得①必定構(gòu)成直角三角形；根據(jù)可得②必定構(gòu)成直角三角形；根據(jù)可得③必定構(gòu)成直角三角形；根據(jù)可得④必定構(gòu)成直角三角形；由此即可得．【詳解】解：①，則必定構(gòu)成直角三角形；②，，則，必定構(gòu)成直角三角形；③，則，必定構(gòu)成直角三角形；④，，，則，必定構(gòu)成直角三角形；綜上，必定構(gòu)成直角三角形的有4個(gè)，故選：D．二、填空題5．若的三邊a，b，c滿足，則的面積為．【答案】54【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，絕對(duì)值的非負(fù)性，熟練掌握勾股定理的逆定理及絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求得，，，然后根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可．【詳解】解：，，，，，，的面積為．故答案為：54．6．已知三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足，則的形狀為．【答案】等腰直角三角形【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，偶次方的非負(fù)性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，偶次方的非負(fù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知，，可得且，進(jìn)而得出，，即，根據(jù)勾股定理的逆定理和等腰三角形的定義即可得出答案．【詳解】解：，且，，，即，，是直角三角形，是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．7．如圖，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，當(dāng)長(zhǎng)為時(shí)，為直角三角形．【答案】或或【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是關(guān)鍵．作于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理用表示出、，分類討論，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：作于，如圖：則四邊形為長(zhǎng)方形，∴，，∴，由勾股定理得，，，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得，；當(dāng)時(shí)，如圖：作于，由勾股定理得，，，，在中，，即，，解得：；當(dāng)時(shí)，在中，則，解得：，綜上：的長(zhǎng)為：或或．故答案為：或或．8．如圖，在四邊形中，，則的度數(shù)為，四邊形的面積為．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，證明是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可證是直角三角形，再由即可得出結(jié)論；再由三角形的面積公式即可得出四邊形的面積．【詳解】解：連接，∵，∴，，在中，，，，∴，∴是直角三角形，∴，∴，∴的度數(shù)為；四邊形的面積的面積的面積，∴四邊形的面積為．故答案為：，三、解答題9．如圖，在四邊形中，，且．(1)求證：；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟練運(yùn)用勾股定理、勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理、勾股定理逆定理求證即可；（2）結(jié)合三角形面積公式，根據(jù)四邊形的面積求解即可．【詳解】（1）證明：∵，且，∴∵，∴∴是直角三角形，且，∴；（2）解：∵，四邊形的面積，∴四邊形的面積．10．為了讓學(xué)生更多的參與到勞動(dòng)實(shí)踐中，育才中學(xué)開(kāi)辟了一片勞動(dòng)基地，然后中間用柵欄將這塊勞動(dòng)基地劃分成兩部分，分別種植花卉和蔬菜（如圖），其中，已知，，，．(1)求花卉區(qū)的面積；(2)若學(xué)校在蔬菜基地周圍修兩條步道（寬度忽略不計(jì)）和，這兩條步道的長(zhǎng)度相差多少米？【答案】(1)花卉區(qū)的面積為；(2)這兩條步道的長(zhǎng)度相差6米．【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行線的性質(zhì)．（1）由勾股定理的逆定理可得，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)線段之間的和差計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴花卉區(qū)的面積為．（2）解：∵，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴這兩條步道的長(zhǎng)度相差6米．11．如圖，點(diǎn)，，在同一條直線上，，，，，，連接，求點(diǎn)到的距離．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，可證，得到，設(shè)點(diǎn)到的距離為，由等積法即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴，∴是直角三角形，且，∵，，∴，∴，∵，∴；∴，設(shè)點(diǎn)到的距離為，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)到的距離為．12．在中，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，連接．(1)【基礎(chǔ)設(shè)問(wèn)】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，則是三角形．（填“等腰”“等邊”或“直角”）(2)如圖，連接，若平分，，，，則．(3)如圖，若，，求證：點(diǎn)在的平分線上．(4)【能力設(shè)問(wèn)】如圖，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，始終保持與相等，是的垂直平分線，交于點(diǎn)．①判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)直角(2)5(3)見(jiàn)解析(4)①，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）先根據(jù)中點(diǎn)的定義得，再利用勾股定理逆定理求解即可；（2）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，設(shè)，則，利用勾股定理列方程求解即可；（3）連接，證明得，即可得出結(jié)論；（4）①由得，，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，，進(jìn)而可推出，進(jìn)一步可得結(jié)論；②連接，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴，∵，，且，∴，∴是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：平分，，，，設(shè)，則，在中，，，，即，故答案為：5；（3）證明：如圖，連接，，，在和中，，，，∴點(diǎn)在的平分線上；（4）解：，理由如下：由題意知，，，是的垂直平分線，，，，，，；②如圖，連接，設(shè)，則，，，，，由勾股定理，得，，即，，線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用，角平分線的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及應(yīng)用，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)．C1．如圖是張伯伯承包的一塊待開(kāi)墾的四邊形田地為田間的一條小路，且，已知，，，．(1)求四邊形田地的面積；(2)為了方便灌溉，張伯伯打算從靠近河岸的邊上引一條水渠到點(diǎn)處，請(qǐng)你幫他計(jì)算這條水渠的最短長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，則四邊形田地的面積為，代入計(jì)算即可．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由“垂線段最短”，可得線段的長(zhǎng)即為所引水渠的最短長(zhǎng)度．根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：，．在中，由勾股定理，得，（負(fù)值已舍去）．，，是直角三角形，且，四邊形田地的面積為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由“垂線段最短”，可得線段的長(zhǎng)即為所引水渠的最短長(zhǎng)度．，，，解得，這條水渠的最短長(zhǎng)度為．2．在中，，設(shè)為最長(zhǎng)邊，當(dāng)時(shí)，是直角三角形；當(dāng)時(shí)，通過(guò)比較代數(shù)式和的大小，探究的形狀（按角分類）．(1)當(dāng)三邊長(zhǎng)分別為6，8，9時(shí)，為_(kāi)_______角形；當(dāng)三邊長(zhǎng)分別為6，8，11時(shí)，為_(kāi)_______三角形；(2)猜想：當(dāng)________時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)________時(shí)，為鈍角三角形；(3)當(dāng)時(shí)，探究的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍．【答案】(1)銳角，鈍角(2)，(3)是銳角三角形，此時(shí)；時(shí)，是直角三角形；是鈍角三角形，此時(shí)【分析】本題主要考查了勾股定理和三角形的性質(zhì)，熟練掌握“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”、“三角形任意兩邊之和大于第三邊”是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)三邊長(zhǎng)分別為6，8，10時(shí)，是一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為6、8的直角三角形，斜邊長(zhǎng)為10，，所以當(dāng)三邊長(zhǎng)分別為6，8，9時(shí)，邊長(zhǎng)為9的邊所對(duì)的角小于直角，則為銳角三角形；，所以當(dāng)三邊長(zhǎng)分別為6，8，11時(shí)，邊長(zhǎng)為11的邊所對(duì)的角大于直角，則為鈍角三角形；故答案為：銳角，鈍角．（2）解：由（1），猜想當(dāng)時(shí)，為銳角三角形；當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形；故答案為：，．（3）解：為最長(zhǎng)邊，，時(shí)，是直角三角形；時(shí)，是銳角三角形，此時(shí)，即；時(shí)，是鈍角三角形，此時(shí)，即；綜上，時(shí)，是銳角三角形；時(shí)，是直角三角形；時(shí)，是鈍角三角形．3．定義：若過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)的線段，將這個(gè)三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是直角三角形，另一個(gè)是等腰三角形，則稱這個(gè)三角形是等直三角形，這條線段叫做這個(gè)三角形的等直分割線段．例如：如圖1，在中，于，且是等直三角形，是的一條等直分割線段．(1)定義理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；(2)定義應(yīng)用：如圖2，在中，是的等直分割線段，，，求的長(zhǎng)；(3)應(yīng)用提升：在中，是的等直分割線段，則AC的長(zhǎng)可以為_(kāi)__________．【答案】(1)是(2)5(3)