5.1直角三角形的性質(zhì)定理第2課時

含30°角的直角三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用第5章直角三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進一步掌握直角三角形的性質(zhì)——在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；2．能利用直角三角形的性質(zhì)解決一些實際問題.思考在一個銳角為30°的直角三角板中，這個銳角所對直角邊的長度與斜邊的長度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？課時導(dǎo)入

ABC)30°D圖5.1-5知識講解

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

ABC)30°D圖5.1-5例2

OBDA北東60°圖5.1-6分析

如圖5.1-6，取輪船航向所在的直線為OB.過點A作AD⊥OB，垂足為D.AD的長為A島到輪船航道的最短距離，若AD大于20海里，則輪船由西向東航行不會有觸礁的危險。

OBDA北東60°圖5.1-6

例2

如圖5.1-7，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC=AB，求證：∠A=30°.證明：（方法一）如圖5.1-7，取斜邊AB的中點D，連接CD.因為CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，所以CD=AB=BD.因為BC=AB，所以BC=BD=CD,即△BDC為等邊三角形.于是∠B=60°.因為∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.BCAD例3

圖5.1-7

證明方法：中線法（方法二）如圖5.1-8，延長BC到F，使CF=BG，連接AF.因為∠BCA=90°，BC=CF，所以AC垂直平分BF，于是AB=AF（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等）.又BC=AB，BC=CF=BF，所以BF=AB，因此BF＝AB=AF，即△ABF是等邊三角形.所以∠B=60°，因此∠CAB=90°-∠B=30°.ABCF

證明方法：倍長法圖5.1-8

在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.由例3得出：B1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊

AB上的高，AD＝3cm，則

AB的長度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．隨堂小測2.如圖，一棵樹在一次強臺風(fēng)中，于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米B3.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價

a元，則購買這種草皮需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B4.如圖，在

△ABC

中，∠ACB=90°，CD是高，

∠A=30°，AB=4．則

BD的長為

.1A

B

C

D

5.如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，則

AB=______cm.ACB第5題圖第4題圖8因為∠B=∠ACB=15°

(已知)，所以∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，6.已知：等腰三角形的底角為15°，腰長為20.求腰上的高.ACBD15°15°20解：過

C作

CD⊥BA交

BA的延長線于點

D.))所以CD=AC=×20=10.方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含

30°角的直角三角形來解決．7.如圖所示，在四邊形

ACBD中，AD∥BC，

AB⊥AC，且

AC＝BC，求∠DAC的度數(shù)．解：因為AB⊥AC，

所以∠CAB＝90°.因為AC＝BC，所以∠CBA＝30°.因為AD∥BC，所以∠BAD＝

∠CBA＝30°．所以∠DAC

＝∠CAB＋∠BAD＝120°.ABCDE解：因為DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，所以BC=AB，DE=AD.所以BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB，所以DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱

BC的長是

3.7m，DE的長是1.85m.8.如圖是屋架設(shè)計圖的一部分，點

D

是斜梁

AB的中點，立柱

BC，DE

垂直于橫梁

AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱

BC、DE

有多長？內(nèi)容使用要點含30°角的直角三角形的性質(zhì)找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點明斜邊