概率論與數(shù)理統(tǒng)計第5講全概率公式與貝葉斯公式第1章隨機事件與概率2全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率,它們實質(zhì)上是加法公式,乘法公式以及條件概率的綜合運用.第5講

全概率公式與貝葉斯公式3全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0.第5講

全概率公式與貝葉斯公式4設(shè)甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，從這批產(chǎn)品中任取一件，求它是次品的概率.??例1解分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)第5講

全概率公式與貝葉斯公式完備事件組5全概率公式兩兩互斥第5講

全概率公式與貝葉斯公式B表示產(chǎn)品為次品01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容稱滿足上述條件的A1,A2,…,An為完備事件組.7全概率公式設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1,A2,…,An是兩兩互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,則對任一事件B，有01

全概率公式加法公式乘法公式B8證明兩兩互不相容，得也兩兩互不相容；

01

全概率公式某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，則B發(fā)生的概率是：每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BAi)=9??全概率公式的關(guān)鍵數(shù)學(xué)模型完備事件組P(Ai)P(B|Ai).01

全概率公式設(shè)某人有三個不同的電子郵件賬戶，有70%的郵件進(jìn)入賬戶1，另有20%的郵件進(jìn)入賬戶2，其余10%的郵件進(jìn)入賬戶3.根據(jù)以往經(jīng)驗，三個賬戶垃圾郵件的比例分別為1%，2%,5%，問某天隨機收到的一封郵件為垃圾郵件的概率.??例210解分別表示郵件來自賬戶1、2、3完備事件組B表示郵件為垃圾郵件全概率公式01

全概率公式??例311解設(shè)事件X、

Y分別表示機床加工零件A與B，Z表示機床停機，由題設(shè)知由全概率公式，得01

全概率公式1一個機床有的時間加工零件A，其余時間加工零件B.加工零件A時，停機的概率是0.3，加工零件B時，停機的概率是0.4，求這個機床停機的概率.從而這個機床停機的概率為01全概率公式02貝葉斯公式本講內(nèi)容甲、乙、丙三個廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別占總數(shù)的25%,35%,40%，次品率分別為5%,4%,2%，隨機地從中任取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，問它來自哪個廠的可能性大？??例413解實際中還有另一類問題：已知結(jié)果求原因乙廠生產(chǎn)的可能性最大貝葉斯公式01

全概率公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個原因的概率.設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，則對任一事件B，有14貝葉斯公式02

貝葉斯公式貝葉斯公式在實際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.——后驗概率在B已經(jīng)發(fā)生的前提下，再對導(dǎo)致B發(fā)生的原因的可能性大小重新加以修正.P(Ai)——先驗概率1502

貝葉斯公式它是由以往的經(jīng)驗得到的，是事件

B的原因.

（醫(yī)學(xué)模型——稀有病癥的診斷率問題）甲胎蛋白（AFP）免疫檢測法被普遍用于肝病的早期診斷和普查.已知肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性的概率為95%，而非肝病患者經(jīng)AFP檢測呈陽性（誤診）的概率為2%.設(shè)人群中肝病的發(fā)病率為0.04%，現(xiàn)有一人經(jīng)AFP檢測呈陽性，求此人確實患肝病的概率.??例516解記A={肝病患者}，{經(jīng)AFP檢測呈陽性},B=02

貝葉斯公式由貝葉斯公式

經(jīng)AFP檢測顯陽性的人，真患有肝病的人不到2%.可見，對于稀有病癥，一次檢測的結(jié)果不必過于擔(dān)心.1702

貝葉斯公式

對以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機器調(diào)整良好時,產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機器開動時,機器調(diào)整良好的概率為95%.已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時,試求機器調(diào)整良好的概率.??例618解A1=B=顯然A1∪A2=“機器未調(diào)整良好”，“機器調(diào)整良好”，A2=“產(chǎn)品是合格品”，S，由題意，A1

A2=?，02

貝葉斯公式19由貝葉斯公式，有即機器調(diào)整良好的概率為97%.02

貝葉斯公式某機器由A、B、C三類元件構(gòu)成,其所占比例分別為0.1,0.4,0.5,且其發(fā)生故障的概率分別為0.7,0.1,0.2.現(xiàn)機器發(fā)生了故障,問應(yīng)從哪類元件開始檢查？??例720解設(shè)D表示“機器發(fā)生故障”，A表示“元件是A類”，B表示“元件是B類”，C表示“元件是C類”，由全概率公式02

貝葉斯公式21由貝葉斯公式故應(yīng)從C元件開始檢查.同理02

貝葉斯公式設(shè)有甲乙兩袋，甲袋中裝有N個白球，M個黑球；乙袋中裝有n個白球，m個黑球，今從甲袋中任取一個球放入乙袋中，再從乙袋中任取一個球，問取到白球的概率是多少?2202

貝葉斯公式??例8解全概率公式

從數(shù)1，2，3，4中任取一個數(shù),記為X,再從1,?,X中任取一個數(shù),記為Y,則P{Y=2}=____2302

貝葉斯公式??例9解由全概率公式:

2402

貝葉斯公式故

2502

貝葉斯公式??例10解

2602

貝葉斯公式貝葉斯公式

盒中有12個乒乓球，其中9個是新的，第一次比賽時從盒中任取3個,用后仍放回盒中，第二次比賽時再從盒中任取3個，求第二次取出的都是新球的概率.?若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率.2702

貝葉斯公式??例11解設(shè)B表示第二次比賽取到3只新球表示第1次比賽取到i只新球

甲乙兩部機器制造大量的同一種機器零件，根據(jù)長期資料的總結(jié)，甲機器制造出的零件廢品率為1%，乙機器制造的零件廢品率為2%，現(xiàn)有同一機器制造的一批零件，估計這一批零件是乙機器制造的可能性比他們是甲機器制造的可能性大一倍，今從這批零件中任取一件，經(jīng)檢查恰好是廢品.由此檢查結(jié)果計算這批零件為為甲機器制造的概率.??例122802貝葉斯公式229解02貝葉斯公式3設(shè)事件X、Y分別表示甲、乙兩部機器制造的零件，乙表示制造出的零件為廢品，則由題設(shè)知由貝葉斯公式，得從而這批零