浙江省臺州椒江區(qū)2026屆九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．從前有一天，一個笨漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺．他的鄰居教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個笨漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了．求竹竿有多長．設(shè)竹竿長尺，則根據(jù)題意，可列方程（）A． B．C． D．2．已知關(guān)于軸對稱點為，則點的坐標(biāo)為()A． B． C． D．3．如圖，點P（x，y）（x＞0）是反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上的一個動點，以點P為圓心，OP為半徑的圓與x軸的正半軸交于點A，若△OPA的面積為S，則當(dāng)x增大時，S的變化情況是（）A．S的值增大 B．S的值減小C．S的值先增大，后減小 D．S的值不變4．反比例函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，則k的值可能是（）A．3 B．5 C．6 D．85．如圖，從一張腰長為，頂角為的等腰三角形鐵皮中剪出一個最大的扇形，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面半徑為（）A． B． C． D．6．在四張完全相同的卡片上．分別畫有等腰三角形、矩形、菱形、圓，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上的圖形恰好是中心對稱圖形的概率是（）A． B． C． D．17．代數(shù)式有意義的條件是（）A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①，②，③，④，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．下列命題中，真命題是（）A．所有的平行四邊形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似10．如圖，已知ΔABC中，AE交BC于點D，∠C=∠E，AD：DE=2：3，AE=10，BD=5,則DC的長是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．一元二次方程的根的判別式的值為____.12．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作交OB于點D，若OA=2，則陰影部分的面積為.13．如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，則CD的長為____．14．如圖，矩形中，，點在邊上，且，的延長線與的延長線相交于點，若，則______.15．如圖，四邊形是菱形，，對角線，相交于點，于，連接，則=_________度.16．二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集為______．17．若關(guān)于x的方程x2-x+sinα=0有兩個相等的實數(shù)根，則銳角α的度數(shù)為___．18．如圖，⊙O的半徑為2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，對角線CE、DF相交于點M，則△MEF的面積是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）某校為響應(yīng)全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館，據(jù)統(tǒng)計，第一個月進(jìn)館200人次，此后進(jìn)館人次逐月增加，到第三個月進(jìn)館達(dá)到288人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同．（1）求進(jìn)館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不得超過400人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率不變，到第幾個月時，進(jìn)館人數(shù)將超過學(xué)校圖書館的接納能力，并說明理由．20．（6分）如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．（1）求證：四邊形AECF是矩形；（2）若AB=6，求菱形的面積．21．（6分）如圖，直線AC與⊙O相切于點A，點B為⊙O上一點，且OC⊥OB于點O，連接AB交OC于點D．（1）求證：AC＝CD；（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的長度．22．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y＝的圖象分別交于C，D兩點，點C（2，4），點B是線段AC的中點．（1）求一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y＝的解析式；（2）求△COD的面積；（3）直接寫出當(dāng)x取什么值時，k1x+b＜．23．（8分）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD、PF，當(dāng)△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值．（3）如圖2，點M為拋物線上一點，點N在拋物線的對稱軸上，點K為平面內(nèi)一點，當(dāng)以A、M、N、K為頂點的四邊形是正方形時，請求出點N的坐標(biāo)．24．（8分）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為點，像這樣的三角形均為“中垂三角形.設(shè).（1）如圖1，當(dāng)時，則_________，__________；（2）如圖2，當(dāng)時，則_________，__________；歸納證明（3）請觀察（1）（2）中的計算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；拓展應(yīng)用（4）如圖4，在中，分別是的中點，且.若，，求的長.25．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD邊上一點，BE平分∠ABC，連接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝1．（1）求AB的長；（2）求平行四邊形ABCD的面積；（3）求cos∠AEB．26．（10分）如圖，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA＝100米，山坡坡度＝1：2，且O、A、B在同一條直線上．求電視塔OC的高度以及此人所在位置P的鉛直高度PB．（測傾器高度忽略不計，結(jié)果保留根號形式）

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)題意，門框的長、寬以及竹竿長是直角三角形的三邊長，等量關(guān)系為：門框長的平方+門框?qū)挼钠椒?門的對角線長的平方，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：∵竹竿的長為x尺，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺．

∴門框的長為（x-2）尺，寬為（x-4）尺，

∴可列方程為（x-4）2+（x-2）2=x2，

故選：B．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，得到門框的長，寬，竹竿長是直角三角形的三邊長是解決問題的關(guān)鍵．2、D【分析】利用關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)的特點即可解答.【詳解】解：∵關(guān)于軸對稱點為∴的坐標(biāo)為（-3，-2）故答案為D.本題考查了關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)的特點，即識記關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)的特點是橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù).3、D【分析】作PB⊥OA于B，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OB=AB，則S△POB=S△PAB，再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△POB=|k|，所以S=2k，為定值．【詳解】作PB⊥OA于B，如圖，則OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值為定值．故選D．本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|．4、B【分析】根據(jù)點（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，點（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方可得出k的取值范圍，即可得答案.【詳解】∵點（1，3）在反比例函數(shù)圖象下方，∴k>3，∵點（3，2）在反比例函數(shù)圖象上方，∴<2，即k<6，∴3<k<6，故選：B.本題考查了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟記k=xy是解題關(guān)鍵.5、A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到的長，再利用弧長公式計算出弧的長，設(shè)圓錐的底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長可得到．【詳解】過作于，，，，弧的長，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則，解得．故選A．本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．6、C【分析】在等腰三角形、矩形、菱形、圓中是中心對稱圖形的有矩形、菱形、圓，直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】∵等腰三角形、矩形、菱形、圓中是中心對稱圖形的有矩形、菱形、圓，∴現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一張，卡片上畫的圖形恰好是中心對稱圖形的概率是：．故選：C．此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了中心對稱圖形的定義．7、B【分析】根據(jù)二次根式和分式成立的條件得到關(guān)于x的不等式，求解即可．【詳解】解：由題意得，解得．故選：B本題考查了代數(shù)式有意義的條件，一般情況下，若代數(shù)式有意義，則分式的分母不等于1，二次根式被開方數(shù)大于等于1．8、B【分析】由拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點位置，可判斷a、b、c的符號，可判斷①，利用對稱軸可判斷②，由當(dāng)x=-2時的函數(shù)值可判斷③，當(dāng)x=1時的函數(shù)值可判斷④，從而得出答案．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸的交點在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵0＜-＜1，∴b＞0，且b＜-2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正確，②正確；

∵當(dāng)x=-2時，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正確；∵當(dāng)x=1時，y＞0，∴a+b+c＞0，又c＞0，∴a+b+2c＞0，故④正確；

綜上可知正確的有②③④，

故選：B．本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．9、D【解析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【詳解】所有正方形都相似，故D符合題意；故選D．此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．10、B【分析】根據(jù)∠C=∠E以及∠BDE=∠ADC，可以得到△BDE∽△ADC，由AD：DE=2：3，AE=10，可以求出AD和DE的值，再利用對應(yīng)邊成比例，即可求出DC的長．【詳解】解：∵∠C=∠E，∠BDE=∠ADC∴△BDE∽△ADC∵AD：DE=2：3，AE=10∴AD=4，DE=6∴∴，解得：DC=故選B．本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練找出相似三角形以及列出對應(yīng)邊成比例的式子是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1.【解析】直接利用根的判別式△=b2-4ac求出答案．【詳解】一元二次方程x2+3x=0根的判別式的值是：△=32-4×1×0=1．故答案為1．此題主要考查了根的判別式，正確記憶公式是解題關(guān)鍵．12、.【解析】試題解析：連接OE、AE，∵點C為OA的中點，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO為等邊三角形，∴S扇形AOE=∴S陰影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===．13、1【分析】利用角角定理證明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，求得BC的長，從而使問題得解.【詳解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴．∵AB=6，BD=4，∴，∴BC=9，∴CD=BC-BD=9-4=1．本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記判定方法準(zhǔn)確找到相似三角形對應(yīng)邊是本題的解題關(guān)鍵.．14、【分析】設(shè)BC=EC=a,根據(jù)相似三角形得到，求出a的值，再利用tanA即可求解.【詳解】設(shè)BC=EC=a,∵AB∥CD，∴△ABF∽△ECF，∴,即解得a=（-舍去）∴tanF==故答案為：.此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)及正切的定義.15、25【解析】首先求出∠HDB的度數(shù)，再利用直角三角形斜邊中線定理可得OH=OD，由此可得∠OHD=∠ODH即可解決問題．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°，∴∠ABO=90°?∠BAO=65°，∵DH⊥AB，∴∠DHB=90°，∴∠BDH=90°?ABO=25°，在Rt△DHB中，∵OD=OB，∴OH=OD=OB，∴∠DHO=∠HDB=25°，故答案為：25.本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.16、x<?1或x>5.【分析】先利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（-1，0），然后寫出拋物線在x軸下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】拋物線的對稱軸為直線x=2，而拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(5,0)，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為(?1,0)，所以不等式?x2+bx+c<0的解集為x<?1或x>5.故答案為x<?1或x>5.考點：二次函數(shù)圖象的性質(zhì)17、30°【解析】試題解析：∵關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，∴解得：∴銳角α的度數(shù)為30°；故答案為30°．18、2﹣【分析】設(shè)OE交DF于N，由正八邊形的性質(zhì)得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂徑定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，證出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)OE交DF于N，如圖所示：∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面積＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案為：2﹣．本題考查的是圓的綜合，難度系數(shù)較高，解題關(guān)鍵是根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出每個角的度數(shù).三、解答題(共66分)19、（1）進(jìn)館人次的月平均增長率為20%；（2）到第五個月時，進(jìn)館人數(shù)將超過學(xué)校圖書館的接納能力，見解析【分析】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，根據(jù)第三個月進(jìn)館達(dá)到288次，列方程求解；（2）根據(jù)（1）所計算出的月平均增長率，計算出第五個月的進(jìn)館人次，再與400比較大小即可．【詳解】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，根據(jù)題意，得：200(1+x)2=288解得：x1=0.2，x2=﹣2.2(舍去)．答：進(jìn)館人次的月平均增長率為20%．（2）第四個月進(jìn)館人數(shù)為288(1+0.2)=345.6(人次)，第五個月進(jìn)館人數(shù)為288(1+0.2)2=414.1(人次)，由于400＜414.1．答：到第五個月時，進(jìn)館人數(shù)將超過學(xué)校圖書館的接納能力．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用-增長率問題，列出方程是解答本題的關(guān)鍵．本題難度適中，屬于中檔題．20、（1）證明見解析；（2）24【解析】試題分析：（1）首先證明△ABC是等邊三角形，進(jìn)而得出∠AEC=90°，四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案；（2）利用勾股定理得出AE的長，進(jìn)而求出菱形的面積．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等邊三角形，∵E是BC的中點，∴AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵E、F分別是BC、AD的中點，∴AF=AD，EC=BC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵∠AEC=90°，∴四邊形AECF是矩形；（2）在Rt△ABE中，AE=，所以，S菱形ABCD=6×3=18．考點：1.菱形的性質(zhì)；2..矩形的判定．21、（1）見解析；（1）1【分析】（1）由AC是⊙O的切線，得OA⊥AC，結(jié)合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，進(jìn)而得到結(jié)論；（1）利用勾股定理求出OC，即可解決問題．【詳解】（1）∵AC是⊙O的切線，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，∵OD⊥OB，∴∠DOB＝90°，∴∠BDO+∠B＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAD＝∠B，∴∠BDO＝∠DAC，∵∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA＝∠DAC，∴CD＝CA．（1）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，∵CA＝CD＝3，∴OD＝OC﹣CD＝1．本題主要考查圓的基本性質(zhì)，掌握切線的基本性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.22、（1）y1＝x+2；y2＝；（2）S△COD＝6；（3）當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣4時，k1x+b＜．【分析】（1）把點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式，作軸于E，根據(jù)題意求得B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式；

（2）聯(lián)立方程求得D的坐標(biāo)，然后根據(jù)即可求得△COD的面積；

（3）根據(jù)圖象即可求得時，自變量x的取值范圍．【詳解】（1）∵點C（2，4）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴，∴；如圖，作CE⊥x軸于E，∵C（2，4），點B是線段AC的中點，∴B（0，2），∵B、C在的圖象上，∴，解得，∴一次函數(shù)為；（2）由，解得或，∴D（﹣4，﹣2），∴；（3）由圖可得，當(dāng)0＜x＜2或x＜﹣4時，．本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，方程組的解以及三角形的面積等，求得B點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．23、（1）y＝﹣x2+﹣x+2；（2）；（3）N點的坐標(biāo)為：或（）或（﹣）或（﹣）或（﹣）或或（﹣）【分析】(1)根據(jù)對稱軸公式列出等式,帶點到拋物線列出等式,解出即可;(2)先求出A、B、C的坐標(biāo),從而求出D的坐標(biāo)算出BD的解析式,根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)出P、G的坐標(biāo)代入三角形的面積公式得出一元二次方程,聯(lián)立方程組解出即可;(3)分類討論①當(dāng)AM是正方形的邊時，(ⅰ)當(dāng)點M在y軸左側(cè)時(N在下方),(ⅱ)當(dāng)點M在y軸右側(cè)時,②當(dāng)AM是正方形的對角線時,分別求出結(jié)果綜合即可．【詳解】(1)拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，與x軸交于點B(1，0)．∴，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+﹣x+2；(2)拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，∴A(﹣1，0)，B(1，0)，C(0，2)．∵點D為線段AC的中點，∴D(﹣2，1)，∴直線BD的解析式為：，過點P作y軸的平行線交直線EF于點G，如圖1，設(shè)點P(x，)，則點G(x，)．∴，當(dāng)x＝﹣時，S最大，即點P(﹣，)，過點E作x軸的平行線交PG于點H，則tan∠EBA＝tan∠HEG＝，∴，故為最小值，即點G為所求．聯(lián)立解得，(舍去)，故點E(﹣,)，則PG﹣的最小值為PH＝．(3)①當(dāng)AM是正方形的邊時，(ⅰ)當(dāng)點M在y軸左側(cè)時(N在下方)，如圖2，當(dāng)點M在第二象限時，過點A作y軸的平行線GH，過點M作MG⊥GH于點G，過點N作HN⊥GH于點H，∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠GMA＝∠HAN，∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA(AAS)，∴GA＝NH＝1﹣，AH＝GM，即y＝﹣，解得x＝，當(dāng)x＝時，GM＝x﹣(﹣1)＝，yN＝﹣AH＝﹣GM＝，∴N(,)．當(dāng)x＝時，同理可得N(,)，當(dāng)點M在第三象限時，同理可得N(,)．(ⅱ)當(dāng)點M在y軸右側(cè)時，如圖3，點M在第一象限時，過點M作MH⊥x軸于點H設(shè)AH＝b，同理△AHM≌△MGN(AAS)，則點M(﹣1+b，b﹣)．將點M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：b＝(負(fù)值舍去)yN＝y(tǒng)M+GM＝y(tǒng)M+AH＝，∴N(﹣,)．當(dāng)點M在第四象限時，同理可得N(﹣,-)．②當(dāng)AM是正方形的對角線時，當(dāng)點M在y軸左側(cè)時，過點M作MG⊥對稱軸于點G，設(shè)對稱軸與x軸交于點H，如圖1．∵∠AHN＝∠MGN＝90°，∠NAH＝∠MNG，MN＝AN，∴△AHN≌△NGN(AAS)，設(shè)點N(﹣,π)，則點M(﹣,)，將點M的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,(舍去)，∴N(,)，當(dāng)點M在y軸右側(cè)時，同理可得N(,)．綜上所述：N點的坐標(biāo)為：或()或(﹣)或(﹣)或(﹣)或或(﹣)．本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題型,關(guān)鍵在于熟練掌握設(shè)數(shù)法,合理利用相似全等等基礎(chǔ)知識．24、（1），；（2），；（3），證明見解析；（4）【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線得出；，進(jìn)而得到計算即可得出答案；（2）連接EF，中位線的性質(zhì)以及求出AP、BP、EP和FP的長度再根據(jù)勾股定理求出AE和BF的長度即可得出答案；（3）連接EF，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出AE與AP和EP的關(guān)系以及BF與BP和FP的關(guān)系，即可得出答案；（4）取的中點，連接，結(jié)合題目求出四邊形是平行四邊形得出AP＝FP即可得到是“中垂三角形”，根據(jù)第三問得出的結(jié)論代入，即可得出答案(連接，交于點，證明求得是的中線，進(jìn)而得出是“中垂三角形”，再結(jié)合第三問得出的結(jié)論計算即可得出答案).【詳解】解：（1）∵是的中線，∴是的中位線，∴，且，易得.∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（2）如圖2，連結(jié).∵是的中線，∴是的中位線，∴，且，易得..∵，∴，∴.由勾股定理，得，∴.（3）之間的關(guān)系是.證明如下：如圖3，連結(jié).∵是的中線，∴是的中位線.∴，且，易得.在和中，∵，，∴.∴.∴，即.（4）解法1：設(shè)的交點為.如圖4，取的中點，連接.∵分別是的中點，是的中點，∴.又∵，∴.∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴是“中垂三角形”，∴，即，解得.（另：連接，交于點，易得是“中垂三角形”，解法類似于解法1，