必刷大題12數(shù)列的綜合問(wèn)題(分值：60分)1.(13分)(2024·咸陽(yáng)模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a12+a22+…+an2=n(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(6分)(2)若cn=1an+1an2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和S2.(15分)(2024·三明模擬)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2，a2=4，an+2=3an+12an.(1)證明：數(shù)列{an+1an}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(7分)(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為dn的等差數(shù)列，求數(shù)列1dn的前n項(xiàng)和Tn.(83.(15分)(2025·南京模擬)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2=3，a1，a3，a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(7分)(2)定義在數(shù)列{an}中，使log3(an+1)為整數(shù)的an叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間[1，2025]內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和Tn.(8分)4.(17分)(2024·孝感模擬)定義矩陣運(yùn)算：abcdxy=ax+bycx+dy.已知數(shù)列{an}，{(1)證明：數(shù)列{an}，{bn}分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列；(8分)(2)求數(shù)列{a2n+3b2n1+1}的前n項(xiàng)和Sn.(9分)

答案精析1.解(1)因?yàn)閍12+a22+…+an2＝當(dāng)n＝1時(shí)，a12＝當(dāng)n≥2時(shí)，a12+a22+①－②得an2＝n(n+1)2又因?yàn)閍12＝1符合上式，所以an因?yàn)閍n>0，所以an＝n.(2)由an＝n，可得cn＝1a則Sn＝c1+c2+c3+…+cn＝1-12+12-＝1－1n2.解(1)因?yàn)閍n+2＝3an+1－2an，所以an+2－an+1＝2(an+1－an)，又因?yàn)閍1＝2，a2＝4，所以a2－a1＝2≠0，所以an+2-所以數(shù)列{an+1－an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以an+1－an＝2×2n－1＝2n，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1＝2n－1+2n－2+…+21+2＝2(1-2n-1)1-2+當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2也滿(mǎn)足上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)由題意可知an+1－an＝(n+2－1)dn，所以(n+1)dn＝an+1－an＝2n，所以1d所以Tn＝221+322+將①式兩邊同時(shí)乘以12，得12Tn＝222+32①－②得12Tn＝1+122+＝1+1＝32所以Tn＝3－n+3故數(shù)列1dn的前n項(xiàng)和Tn＝3－3.解(1)因?yàn)閍1，a3，a7成等比數(shù)列，所以a32＝a1a因?yàn)閧an}是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，d≠0，所以a所以a所以an＝a1+(n－1)d＝n+1.(2)設(shè)b＝log3(an+1)，且b為整數(shù)，所以an＝3b－1，所以1≤3b－1≤2025，所以b可以取1，2，3，4，5，6，所以在區(qū)間[1，2025]內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和Tn＝(31－1)+(32－1)+(33－1)+(34－1)+(35－1)+(36－1)＝(31+32+33+34+35+36)－6＝3×(1-＝1086.4.(1)證明因?yàn)閚＝na所以n消去an，得(n2－1)bn＝(n2－1)2n，當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝2n，則an＝n；當(dāng)n＝1時(shí)，由nan+bn＝n2+2n及a1＝1，得b1＝2＝21，所以an＝n，bn＝2n(n∈N*)，因?yàn)閍n+1－an＝1，bn+1b所以數(shù)列{an}為公差為1的等差數(shù)列，{bn}為公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)知a2n+3b2n－1+1＝2n+