《全品高考復習方案》第41講空間角【課標要求】能用向量方法解決簡單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.1.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的叫作異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍:.

(3)求法:①幾何法:平移補形法.②向量法:若異面直線l1,l2所成的角為θ,直線l1與l2的方向向量分別為u,v,則cosθ=|cos<u,v>|=u·v|u||v2.線面角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫作這條直線和這個平面所成的角.(2)范圍:.

(3)求法:①幾何法:求直線與平面所成的角的關鍵是作出直線在平面上的射影,常用方法是尋找經(jīng)過此直線并與已知平面垂直的平面,利用面面垂直的性質(zhì)確定直線在平面上的射影.②向量法:如圖,直線AB與平面α相交于點B,設直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sinθ=|cos<u,n>|=u·n|u||n3.二面角的平面角(1)定義:在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角的平面角(如圖).

(2)范圍:[0,π].(3)求法:①幾何法:找到二面角的棱的一個垂面,即可確定平面角.②向量法:若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角.設平面α與平面β的夾角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=n1·n2|n1||n特別注意:平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中的二面角稱為平面α與平面β的夾角.

題組一易錯辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)已知異面直線l1,l2的方向向量分別為m=(0,2,1),n=(-1,1,-2),則l1與l2的夾角為π2. ((2)已知兩個平面的法向量分別為m=(0,-1,0),n=(0,1,1),則這兩個平面的夾角為135°. ()(3)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的長都為2,D是CC1的中點,則直線AD與平面A1BD所成角的正弦值為155. ((4)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,則直線AC1和直線B1C所成的角為30°.()題組二教材改編1.已知平面α的一個法向量為n=(-3,-2,1),點A(-1,2,1)在平面α內(nèi).若點P的坐標為(-1,1,1),則直線PA與平面α所成的角為()A.π6 B.π4 C.π3 2.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC,AA1=AC=22,點E為棱A1B1的中點,點F是棱BC上的一點,且BF=3FC,則直線AE與C1F所成角的余弦值為 ()A.1699 B.3299 C.83399 3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱長為1,則平面ABC與平面AB1C1的夾角為 ()A.π6 B.π4 C.π3 4.已知長為4的線段AB的兩端點分別在直二面角α-l-β的兩個面內(nèi),且直線AB與這兩個面都成30°角,則異面直線AB與l所成的角為()A.π6 B.π4 C.π3 異面直線所成的角例1[2025·吉林長春期末]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AD,C1D1的中點,則異面直線EF與B1C所成角的余弦值是 ()A.33 B.63 C.36總結(jié)反思應用空間向量求解異面直線所成角的問題時要注意:(1)明確角的范圍.兩條異面直線所成角的范圍是0,π2,而兩個向量的夾角的范圍是[0,π],故異面直線所成角的余弦值一定非負(2)計算方法.設異面直線所成的角為θ,因為兩條直線的方向向量v1,v2的夾角與θ相等或互補,所以cosθ=|cos<v1,v2>|,可根據(jù)此公式計算求解.【對點演練1】[2025·河北張家口模擬]如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=2AB,E為PC的中點,則異面直線BE與AC所成角的余弦值為 ()A.66 B.24 C.63直線與平面所成的角例2如圖,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AD=AB=2,M,N分別為AB,PC的中點.(1)求證:MN⊥平面PCD;(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值.總結(jié)反思應用空間向量求解線面角問題應注意如下兩點:(1)明確角的范圍.線面角θ的范圍為0,π2,直線的方向向量v和平面的法向量n(2)計算方法.由θ與<v,n>或其補角互余可得sinθ=|cos<v,n>|,注意求解線面角涉及的是兩個不同名的三角函數(shù).【對點演練2】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABB1A1⊥平面ABC,平面CBB1C1⊥平面ABC.(1)證明:BB1⊥平面ABC;(2)若AB⊥BC,AB=1,BC=CC1=2,求直線AB與平面A1BC1所成角的余弦值.平面與平面的夾角例3[2024·北京卷]如圖,在四棱錐P-ABCD中,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3,點E在AD上,且PE⊥AD,PE=DE=2.(1)若F為線段PE中點,求證:BF∥平面PCD.(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.總結(jié)反思應用空間向量求兩平面的夾角一般遵循以下步驟:(1)建立坐標系,原則是方便求兩平面的法向量;(2)求出法向量,通常涉及解線性方程組或利用平面的幾何特性;(3)計算法向量的數(shù)量積和模長,代入夾角公式,計算得到兩法向量夾角θ的值;(4)判斷兩平面的夾角,如θ不為鈍角,則兩平面的夾角為θ