數(shù)列通項(xiàng)公式與求和14技巧清單觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)由Sn與an的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)累加法求數(shù)列通項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)取倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式法求和分組轉(zhuǎn)化法求和并項(xiàng)法求和逆序相加法求和裂項(xiàng)相消法求和錯(cuò)位相減法求和數(shù)列求和與不等式成立問(wèn)題數(shù)列中的探究性問(wèn)題1、觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）各項(xiàng)的符號(hào)特征，通過(guò)或來(lái)調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．（2）考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系．（3）相鄰項(xiàng)(或其絕對(duì)值)的變化特征．（4）拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．（5）通過(guò)通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.【例1】（23-24高二下·四川廣元·期中）下列不能作為數(shù)列的通項(xiàng)公式的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A選項(xiàng)：通項(xiàng)為的數(shù)列，前4項(xiàng)分別為，，，，成立；B選項(xiàng)：通項(xiàng)為，列出前面幾項(xiàng)，也成立；C選項(xiàng)：通項(xiàng)為的數(shù)列的第1項(xiàng)為，不成立；D選項(xiàng)：通項(xiàng)為的數(shù)列，前4項(xiàng)分別為，，，，成立.故選：C．【變式1-1】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）數(shù)列，3，，9的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】數(shù)列各項(xiàng)可改寫為：，因此一個(gè)通項(xiàng)公式可為=.故選：B.【變式1-2】（23-24高二下·北京·期中）數(shù)列的前四項(xiàng)依次是4，44，444，4444，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前四項(xiàng)依次是：4，44，444，4444，則有，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是，故選：C．【變式1-3】（23-24高二下·遼寧大連·月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)，歸納可得其通項(xiàng)公式為：.故選：D.2、由Sn與an的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)已知求的三個(gè)步驟：（1）先利用求出.（2）用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式．（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來(lái)寫．【例2】（23-24高二下·廣東惠州通·月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．65 B．127 C．129 D．255【答案】B【解析】時(shí)，，則.時(shí)，，，是2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，故選：B.【變式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．12 B．24 C．48 D．96【答案】C【解析】由題知可得，當(dāng)時(shí)，，所以，且，由于為等比數(shù)列，可知，解得，所以，.故選：C【變式2-2】（23-24高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由①知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，②，由①②：，即得，當(dāng)時(shí)，符合題意，故.故選：A.【變式2-3】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則（

）A．216 B．260 C．290 D．316【答案】A【解析】令，得，∴．當(dāng)時(shí)，．與已知式相減，得．∴，又時(shí)，滿足上式，∴．∴，∴．故選：A3、累加法求數(shù)列通項(xiàng)若an+1?an=f(n)，則an兩邊分別相加得：a【例3】（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）在數(shù)列中，，，則（

）A．43 B．46 C．37 D．36【答案】C【解析】法一：由題得，所以.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）法二：由題，，所以.故選：C.【變式3-1】（23-24高二下·寧夏吳忠·月考）已知數(shù)列首項(xiàng)為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由數(shù)列首項(xiàng)為，且，則.故選：C.【變式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知得：，又，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列,因此，當(dāng)時(shí)，相加得：.故選：A.【變式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得，則當(dāng)時(shí)，，，，，以上各式相加得，，所以，即，當(dāng)時(shí)，適合此式，所以.故選：D.4、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)若an+1an=fn，則ana兩邊分別相乘得：a【例4】（23-24高二下·河南南陽(yáng)·月考）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B【變式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意易知，由變形為，故，所以，因?yàn)椋?，故，所?故選：C【變式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即，?所以.因?yàn)椋?故選：B.【變式4-3】（22-23高二下·廣東佛山·期中）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，兩式相減得:,即，即，即，.所以，，，…，.相乘得：……，即，因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B5、待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)1、形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）2、形如，）的遞推式，當(dāng)時(shí)，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．3、形如，通過(guò)配湊轉(zhuǎn)化為，通過(guò)待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得【例5】（23-24高二上·河北石家莊·期末）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，由，得，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，，即，所以.故選：D【變式5-1】（23-24高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，故為常?shù)列，所以.由，解得.故選：B【變式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（

）A．9 B．21 C．45 D．93【答案】C【解析】由得，整理得，又得，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即所以.故選：C.【變式5-3】（22-23高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，令，則①式變?yōu)?，即，所以?shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以，即，所以，所以，解法二：設(shè)，則，與比較可得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故選：D6、取倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)對(duì)于，取倒數(shù)得．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，令，則，可用待定系數(shù)法求解．【例6】（23-24高二上·湖北黃岡·月考）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，由，得，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，，所以.故選：C【變式6-1】（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，則，，，…，，以上各式相加可得，，.故選：B【變式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，又，所以，故?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，得，所以.故選：A【變式6-3】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）已知數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，又，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，，，故選：D．7、公式法求和（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項(xiàng)的和，若，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，由題設(shè)得因?yàn)?，所以，解得，?（2）由（1）得，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得.【變式7-1】（23-24高二下·北京順義·期中）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最值；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2），沒(méi)有最大值；（3）【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，即，所以公差，則，所以，又因?yàn)?，，即，所以公比，所以；?）數(shù)列的前項(xiàng)和，所以或時(shí)，取得最小值，且，沒(méi)有最大值；（3）由（1）可得，所以的前項(xiàng)和．【變式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的最小值及取最小值時(shí)n的值．【答案】（1），；（2）最小值為，此時(shí)或．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，記得，所以?shù)列的首項(xiàng)為，公差為．（2）由（1）知，可得，因?yàn)?，所以或時(shí)，取得最小值．【變式7-3】（23-24高二下·陜西西安·月考）（1）已知數(shù)列滿足，，求．（2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知、、成等差數(shù)列．（i）求的公比；（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（ii）若，求．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】（1）因?yàn)椋?，又，所以，則；（2）（i）因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，解得或（舍去）；（ii）因?yàn)榍遥?，解得，所?8、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.【例8】（23-24高二下·四川達(dá)州·期中）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知有，即，解得（舍），，；（2），.【變式8-1】（23-24高二下·廣東江門·月考）在遞增等比數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）在遞增等比數(shù)列中，，，解得，設(shè)公比為，則，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，故，所以，所以，即；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.（2）由（1）知，，所以，則，即.【變式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在數(shù)列中，，且.（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1），因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，所以，所以．【變式8-3】（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，成等差數(shù)列，，即，化簡(jiǎn)整理，得，解得（舍去），或，首項(xiàng)，.（2）由（1）可得則數(shù)列的前項(xiàng)和為9、并項(xiàng)法求和并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，．【例9】（23-24高二下·陜西西安·月考）在數(shù)列中，已知，則的值為？（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）【答案】【解析】因?yàn)?，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以，，，所以.【變式9-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）設(shè)是等差數(shù)列，是公比大于0的等比數(shù)列，已知，，．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，且．依題意得，解得，所以或．又因?yàn)椋?，所以，故，．?），．【變式9-2】（23-24高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，；（2）【解析】（1）顯然，將兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，所的.（2）由已知得，那么數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．故.【變式9-3】（23-24高二上·山東青島·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依題意，則，解得，則，故，所以，解得，則，故.（2），，.10、逆序相加法求和倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，則兩式相加得所以，所以.故選：A.【變式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函數(shù)，則的值為（

）．A．2012 B． C．2013 D．【答案】B【解析】由可得：，所以，，所以設(shè)，則兩式相加可得：故選：B.【變式10-2】（23-24高二下·遼寧大連·期中）已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，若，則（

）A．4050 B．2025 C．4052 D．2026【答案】A【解析】由數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，故，因?yàn)?，故，即有，由，則當(dāng)時(shí)，有，設(shè)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），，，故．故選：.【變式10-3】（23-24高二下·遼寧沈陽(yáng)·月考）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為.【答案】1009【解析】由函數(shù)，得，令，則，兩式相加得，解得，所以所求值為1009.11、裂項(xiàng)相消法求和1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）()；（2）【解析】（1）∵①，當(dāng)，時(shí)，有②，由①－②得，即，∵正項(xiàng)數(shù)列，，∴，，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，∴（）.（2）由（1）得，則（），∴.【變式11-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（2）由（1），當(dāng)時(shí)，，所以，又適合上式，所以，所以，所以．【變式11-2】（23-24高二下·河北石家莊·月考）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2），證明見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，由題意得，即，解得，所以.（2），所以，因?yàn)椋?，?【變式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）因?yàn)?，所以又，所以，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，所以，又，所以.12、錯(cuò)位相減法求和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯(cuò)位相減法．①②得：．整理得：．【例12】（23-24高二下·重慶·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，所以；（2）由（1）可得，所以，則，所以，所以.【變式12-1】（23-24高二下·山東濰坊·期中）在數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列.（1）求的值;（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式:（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），，，因?yàn)槌晒炔粸?的等比數(shù)列，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，故.（2）當(dāng)時(shí)，由于，所以，又，故.當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.（3）因?yàn)?，所以，，兩式相減得即.【變式12-2】（23-24高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，所以，所以．因?yàn)闀r(shí)也滿足，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以.【變式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在與中插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，（1）求的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)樵?，之間插入項(xiàng)，使這個(gè)數(shù)成公差為的等差數(shù)列，所以，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以.（2）易知，所以，兩式相減得，所以.13、數(shù)列求和與不等式成立問(wèn)題數(shù)列與不等式是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其綜合的角度主要包括兩個(gè)方面：一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問(wèn)題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問(wèn)題來(lái)求解；二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。【例13】（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，，兩式作差可得，，也適合該式，故；（2）證明：由題意知，故，由于，則，故，即.【變式13-1】（23-24高二下·貴州銅仁·月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，由得，因?yàn)閷?duì)任意都成立，所以，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為【變式13-2】（23-24高二下·遼寧大連·期中）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項(xiàng)和，，已知數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）求；（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可得：，，上面兩式相減得：，整理得：，，所以數(shù)列是常數(shù)列，即，所以，則，所以兩邊同乘以2得：兩式相減得：，即.（2）由可得：，整理得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，上面不等式可化簡(jiǎn)為：，利用該數(shù)列單調(diào)遞增性可知：，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，上面不等式可化簡(jiǎn)為：，再利用該數(shù)列單調(diào)遞減性可知：，所以，綜上可得：.【變式13-3】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，兩式相減得：為非零定值，而，即是以1為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以；（2），所以，，兩式相減：，由得，，即存在使成立，隨著增大，在減小，當(dāng)時(shí)，，故求的取值范圍是．14、數(shù)列中的探究性問(wèn)題數(shù)列中的探究性問(wèn)題實(shí)際上就是不定方程解的問(wèn)題，對(duì)于此類問(wèn)題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來(lái)加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行求解；③通過(guò)求出變量的取值范圍，從而對(duì)范圍內(nèi)的整數(shù)值進(jìn)行試根的方法來(lái)加以求解．對(duì)于研究不定方程的解的問(wèn)題，也可以運(yùn)用反證法，反證法證明命題的基本步驟：①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時(shí)要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來(lái)，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過(guò)正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）【例14】（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知的等差中項(xiàng)為.（1）求證為等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在整數(shù)滿足？若存在求，否則說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）因?yàn)榈牡炔钪许?xiàng)為，所以，因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，由得，又，兩式相減得，即，所以有，所以，所以是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2.（2）由（1）知，所以，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所?【變式14-1】（