矩陣?yán)碚摽荚囶}及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.\(|\lambdaE-A|=0\)B.\(\lambda\)是\(A\)的特征方程的根C.存在非零向量\(x\)，使得\(Ax=\lambdax\)D.\(\lambda\)一定是實(shí)數(shù)答案：D2.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)合同B.\(|A|=|B|\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量D.\(A=B\)答案：B3.設(shè)\(A\)是\(m×n\)矩陣，\(r(A)=r\)，則（）A.\(r\lt\min(m,n)\)B.\(r\leq\min(m,n)\)C.\(r\gt\min(m,n)\)D.\(r=\min(m,n)\)答案：B4.設(shè)\(A\)為\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(A^{-1}\)的一個(gè)特征值是（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(\lambda^2\)D.\(-\lambda\)答案：B5.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個(gè)零向量B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有兩個(gè)向量成比例C.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每一個(gè)向量都能由其余向量線性表示答案：C6.設(shè)\(A\)是\(n\)階正交矩陣，則（）A.\(|A|=1\)B.\(A^TA=E\)C.\(A\)是對(duì)稱矩陣D.\(A\)的列向量組是正交單位向量組答案：D7.矩陣\(A\)的秩\(r(A)\)等于它的（）A.行向量組的秩B.列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)C.行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)D.以上都對(duì)答案：D8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值為（）A.0或1B.-1或1C.0或-1D.1答案：A9.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}3&-2\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}3&0\\-2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\-2&3\end{pmatrix}\)答案：A10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解，則（）A.\(|A|\neq0\)B.\(r(A)\ltn\)C.\(A\)的列向量組線性相關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列關(guān)于矩陣運(yùn)算的說(shuō)法正確的是（）A.矩陣的加法滿足交換律和結(jié)合律B.矩陣的乘法滿足交換律C.數(shù)乘矩陣滿足分配律D.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足\((AB)^T=B^TA^T\)答案：ACD2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(x\)是對(duì)應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A^2x=\lambda^2x\)B.對(duì)任意常數(shù)\(k\)，\(kA\)的特征值為\(k\lambda\)C.\(A+E\)的特征值為\(\lambda+1\)D.\(A\)與\(A^T\)有相同的特征值答案：ABCD3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）A.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩等于\(s\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中不存在一個(gè)向量能由其余向量線性表示D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的極大線性無(wú)關(guān)組就是它本身答案：ACD4.以下哪些矩陣是特殊矩陣（）A.單位矩陣B.對(duì)角矩陣C.三角矩陣D.對(duì)稱矩陣答案：ABCD5.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)可逆，則（）A.\(|A|\neq0\)B.\(A\)可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積C.\(A\)的秩為\(n\)D.齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解答案：ABCD6.對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式B.若\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)有相同的秩C.若\(A\)與\(B\)等價(jià)，則\(A\)與\(B\)有相同的行數(shù)和列數(shù)D.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的行列式答案：ABCD7.已知矩陣\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A\)的特征值可能是（）A.-1B.2C.1D.0答案：AB8.設(shè)\(A\)是\(m×n\)矩陣，\(B\)是\(n×p\)矩陣，則（）A.\(r(AB)\leqr(A)\)B.\(r(AB)\leqr(B)\)C.\(r(AB)=r(A)+r(B)\)D.\(r(AB)\geqr(A)+r(B)-n\)答案：ABD9.正交矩陣具有以下哪些性質(zhì)（）A.行列式的值為\(\pm1\)B.逆矩陣等于轉(zhuǎn)置矩陣C.列向量組是正交單位向量組D.行向量組是正交單位向量組答案：ABCD10.下列關(guān)于矩陣的秩的說(shuō)法正確的是（）A.矩陣的秩不超過(guò)其行數(shù)和列數(shù)中的較小者B.若矩陣\(A\)經(jīng)過(guò)初等變換化為矩陣\(B\)，則\(r(A)=r(B)\)C.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)D.兩個(gè)矩陣相加，它們的秩之和等于和矩陣的秩答案：ABC三、判斷題（每題2分，共20分）1.若矩陣\(A\)與\(B\)的乘積\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（×）2.可逆矩陣一定是方陣。（√）3.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則其中必有一個(gè)向量是零向量。（×）4.相似矩陣一定有相同的特征值和特征向量。（×）5.正交矩陣的行列式的值一定為1。（×）6.矩陣\(A\)的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。（√）7.若\(A\)是\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是0或1。（√）8.單位矩陣\(E\)是正交矩陣。（√）9.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)是常數(shù)，則\(|kA|=k|A|\)。（×）10.兩個(gè)矩陣等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩。（√）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述矩陣相似的定義及相似矩陣的性質(zhì)。答案：定義：設(shè)\(A\)，\(B\)都是\(n\)階方陣，若存在可逆矩陣\(P\)，使\(P^{-1}AP=B\)，則稱\(A\)與\(B\)相似。性質(zhì)：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、特征值、秩、行列式。2.如何求矩陣的秩？答案：可通過(guò)初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原矩陣的秩。也可利用矩陣的子式，矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。3.什么是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組？答案：向量組中的一個(gè)部分組，它本身線性無(wú)關(guān)，且向量組中任意向量都能由該部分組線性表示，這個(gè)部分組就是向量組的極大線性無(wú)關(guān)組。4.簡(jiǎn)述伴隨矩陣的定義及\(A\)與其伴隨矩陣\(A^\)的關(guān)系。答案：定義：由矩陣\(A\)的各元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣。關(guān)系：\(AA^=A^A=|A|E\)，當(dāng)\(A\)可逆時(shí)，\(A^=|A|A^{-1}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論矩陣的特征值和特征向量在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：在實(shí)際中，如物理的振動(dòng)問題、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的投入產(chǎn)出模型等。特征值和向量可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、變化趨勢(shì)等。例如在振動(dòng)問題中，特征值決定振動(dòng)頻率，特征向量確定振動(dòng)方向。2.試討論矩陣的相似對(duì)角化的條件及意義。答案：條件：\(n\)階方陣\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。意義：相似對(duì)角化后簡(jiǎn)化矩陣計(jì)算，如求矩陣的冪等。且能清晰分析矩陣的特征性質(zhì)，在理論和